高中数学基本不等式教案

《基本不等式》教学设计方案
人教版（A版） 普通高中课程标准试验教科书必修第五册
【教学目标】
1、知识与技能目标
a?b
（1）掌握基本不等式
ab?
,认识其运算结构；
2
（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；
（3）能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标
（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；
（2）体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标
（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；
（2）体会多角度探索、解决问题。

【能力培养】
培养学生严谨、规范 的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，
分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】
a?b
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?
的
2
证明过程。

【教学难点】
a?b
基本不等式
ab?
等号成立条件。
2

【教学方法】
教师启发引导与学生自主探索相结合

【教学工具】
课件辅助教学、实物演示实验
【教学过程设计】

一、 创设情景，引入新课
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标， 这是根
据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个直
角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相 等和不
等关系？

赵爽弦图

1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的 两条直角边长为a,b那么正方形
的边长为
a
2
?b
2
。这 样，4个直角三角形的面积的和
是2ab，正方形的面积为
a
2
?b
2
。由于4个直角三角
形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等
式：
a
2
?b
2
?2ab
。
当直角三角形变为等腰直角三角 形，即a=b时，正
方形EFGH缩为一个点，这时有
a
2
?b
2< br>?2ab
。



2．得到结论：一般的，如果
a ,b?R,那么a
2
?b
2
?2ab(当且仅当a?b时取?号)

3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
a
2
?b
2
?2ab?(a?b)
2

当
a?b时,(a?b)
2
?0,当a?b时,(a?b)
2
?0,< br>
所以，
(a?b)
2
?0
，即
(a
2?b
2
)?2ab.

4．基本不等式
1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得
a?b?2ab
， 通常我们
把上式写作：
ab?
a?b
(a>0,b>0)

2
a?b

2
2）从不等式的性质推导基本不等式
ab?
用分析法证明：
要证
a?b
?ab
(1)
2

只要证
a?b?
2ab
(2)
要证（2），只要证 a+b-
2ab
?
0 （3）
要证（3），只要证 （
a
-
b
）
2

?0
（4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
a?b
3）理解基本不等式
ab?
的几何意义
2
如图所示 ：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=
a
,BC=
b
。
过点 C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。
a?b
你能利用这个图形得出基本不等式
ab?
的几何解
2
释吗？
a?b
引导学生发现：表示圆的半经，
ab
表示半弦长CD,
2
a?b
得到不等关系：
ab
≤(
a?0,b?0
)
2
易证
Ｒt
△
AＣD< br>∽
Ｒt
△
DＣB
，那么
ＣD
2
＝
Ｃ A
·
ＣB
即
ＣD
＝
ab
.
a?ba?b
，显然，它大于或等于CD，即
?ab
，其中当且仅当
22
点C与圆心重合，即
a
＝
b
时，等号成立.
几何意义：半弦长不大于半径长。
a?b
我们称
ab
为正数
a,b
的几何平均数，称为正数
a,b
的算术平均数。
2
代数意义：几何平均数小于等于算术平均数
5.随堂练习
已知
a
、
b
、
c
都是正数，求证：（
a
＋
b< br>）（
b
＋
c
）（
c
＋
a
）≥８abc

a?b
分析：对于此类题目，选择定理：
?ab
（a
＞0，
b
＞0）灵活变形，
2
可求得结果。
解：∵
a
，
b
，
c
都是正数
这个圆的半径为
∴
a
＋
b
≥2
ab
＞0
b
＋
c
≥2
bc
＞0
c
＋
a
≥2
ac
＞0
∴（
a
＋
b
）（
b
＋
c
）（
c
＋
a
）≥2
ab
·2
bc
·2
ac
＝８
abc

即（
a
＋
b
）（
b
＋
c
）（
c
＋
a
）≥８
abc
.
【课时小结】