高中数学常见不等式典型例题解析

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
不等式
一．不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若
a?b,c ?d
，则
a?c?b?d
（若
，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以 相减；
a?b,c?d
，则
a?c?b?d
）
2．左右同正不等式 ：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但
不能相乘：若
a?b?0,c ?d?0
，则
ac?bd
（若
a?b?0,0?c?d
，则
ab
?
）；
cd
nn
3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开 方：若
a?b?0
，则
a?b
或
n
a?
n
b
；
1111
4．若
ab?0
，
a?b
，则?
；若
ab?0
，
a?b
，则
?
。如
ab
ab
（1）对于实数
a,b,c
中，给出下列命题：
①
若a?b,则ac?bc
； ②
若ac?bc,则a?b
；
22
③
若a?b?0,则a?ab?b
； ④
若a?b?0,则
2222
11
?
；
ab
ba
?
； ⑥
若a?b?0,则a?b
；
ab
ab11
?
⑦
若c?a?b?0,则
； ⑧
若a?b,?
，则
a?0,b?0
。
c?ac?bab
⑤
若a?b?0,则
其中正确的命题是______
（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知
?1?x?y?1
，
1?x?y?3
，则
3x?y的取值范围是______
（答：
1?3x?y?7
）；
（3）已知
a?b?c
，且
a?b?c?0,
则
c
的取值范围是___ ___
a
（答：
?
?2,?
?
）
?
?
1
?
2
?
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；
3．分析法；
4．平方法；
5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；
7．寻找中间量或放缩法 ；
8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如
1t?1
log
a
t和log
a
的大小
221t?1
（答：当
a?1
时，
log
a
t?loga
（
t?1
时取等号）；当
0?a?1
时，
22
1t?1
log
a
t?log
a
（
t?1
时取等 号））；
22
2
1
（2）设
a?2
，
p?a?< br>，
q?2
?a?4a?2
，试比较
p,q
的大小
a?2
（答：
p?q
）；
（3）比较1+
log
x
3
与
2log
x
2(x?0且x?1)
的大小
（1）设
a?0且a?1,t?0
，比较

（答：当
0?x?1
或
x?
44
时，1+
log
x
3
＞
2log
x
2
；当
1?x?
时，1 +
log
x
3
＜
33
2log
x
2
；当
x?
4
时，1+
log
x
3
＝
2l og
x
2
）
3
三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到： “一正二定三相等，和定积最大，积定
和最小”这17字方针。如
（1）下列命题中正确的是
A、
y?x?
B、
y?
1
的最小值是2
x
x
2
?3
x?2
2
的最小值是2
4
(x?0)
的最大值是
2?43

x
4
D、
y?2?3x?(x?0)
的最小值是
2?43

x
C、
y?2?3x?
（答：C）；
（2）若
x?2y?1
，则
2?4
的最小值是______
（答：
22
）；
（3）正数
x,y
满足
x?2y ?1
，则
xy
11
?
的最小值为______
xy
（答：
3?22
）；
22
a?b
?
a?b
?ab?
2
(根据目标不等式左右的运算4.常用不等式有：（1）
2 21
?
1
ab
222
结构选用) ；（2）a、b、c
?< br>R，
a?b?c?ab?bc?ca
（当且仅当
a?b?c
时，取等< br>bb?m
号）；（3）若
a?b?0,m?0
，则
?
（糖水的 浓度问题）。如
aa?m
如果正数
a
、
b
满足
a b?a?b?3
，则
ab
的取值范围是_________
（答：
?
9,??
?
）
五．证明不等式的方法：比较法、 分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）
后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符 号或与1的大小，然后作出结论。).
1111111
???
2
???

nn?1n(n?1)n n(n?1)n?1n
111
k?1?k????k?k?1

k?1?k2 kk?1?k
222222
如（1）已知
a?b?c
，求证：
ab? bc?ca?ab?bc?ca
；
222222
(2) 已知
a,b,c?R
，求证：
ab?bc?ca?abc(a?b?c)
；
11
xy
?
?
（3）已知
a,b,x,y?R
，且
?,x?y
，求证：；
ab
x?ay?b
a?bb?cc?alg?lg?lg?lga?lgb?lgc
；(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证： < br>222
2222
22
（5）已知
a,b,c?R
，求证：ab?bc
?ca?abc(a?b?c)
；
常用的放缩技巧有：
2< br>*
(6)若
n?N
，求证：
(n?1)?1?(n?1)?
n
2
?1?n
；

|a|?|b||a|?|b|
；
?
|a?b||a?b|
111
（8）求证：
1?
2
?
2
???
2
?2< br>。
23n
(7)已知
|a|?|b|
，求证：
六．简单的一 元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，
并使每一个因式中最高次 项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最
大根的右上方依次通过每一点画曲线；并 注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现
f(x)
的符号变化规律，写出不等式的解集。如
（1）解不等式
(x?1)(x?2)
2
?0
。
（答：
{x|x?1
或
x??2}
）；
（2）不等式
(x?2)x
2
?2x?3?0
的解集是____
（答：
{x|x?3
或
x??1}
）；
（3）设函数f(x)
、
g(x)
的定义域都是R，且
f(x)?0
的解集为
{x|1?x?2}
，
g(x)?0
的解集为
?
，则不等式
f(x)?g(x)?0
的解集为______
（答：
(??,1)?[2,??)
）；
（4）要使满足关于
x< br>的不等式
2x?9x?a?0
（解集非空）的每一个
x
的值至少满足不等式
x?4x?3?0和x?6x?8?0
中的一个，则实数
a
的取 值范围是______.
（答：
[7,
22
2
81
)
）
8
七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子
分母分解因 式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不
等式时，一般不能去分母，但 分母恒为正或恒为负时可去分母。如
（1）解不等式
5?x
??1

2
x?2x?3
（答：
(?1,1)?(2,3)
）；
（ 2）关于
x
的不等式
ax?b?0
的解集为
(1,??)
， 则关于
x
的不等式
集为____________
ax?b
?0< br>的解
x?2
（答：
(??,?1)?(2,??)
）.
八．绝对值不等式的解法：
1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式
|2?
（2）利用绝对值的定义；
（3）数形结合；如解不等式
|x|?|x?1|?3

（答：
(??,?1)?(2,??)
）
（4）两边平方：如
若 不等式
|3x?2|?|2x?a|
对
x?R
恒成立，则实数
a的取值范围为______。
（答：
{}
）
九．含参不等式的解法： 求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关
键．”注意解完之后要写上：“综上， 原不等式的解集是?”。注意：按参数讨论，最后应按
参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最 后应求并集. 如
（1）若
log
a
31
x|?2?|x?|

42
（答：
x?R
）；
4
3
2
?1，则
a
的取值范围是__________
3

（答：
a?1
或
0?a?
2
）；
3
ax
2
?x(a?R)
（2）解不等式
ax?1
（答：
a?0
时，
{x|
x?0}
；
a?0
时，
{x|x?
11
或
x?0}
；
a?0
时，
{x|?x?0}
aa
或
x?0}
）
提醒：（1）解不等式是求不 等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集
的端点值往往是不等式对应方程的根或不等 式有意义范围的端点值。如关于
x
的不等式
ax?b?0
的解集为
(??,1)
，则不等式
x?2
?0
的解集为__________（答：（ －1,2））
ax?b
十一．含绝对值不等式的性质：
a、b
同号或有< br>0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
；
a、b
异号或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|?
||a|?|b||?|a?b|
.
如设
f(x)?x
2< br>?x?13
，实数
a
满足
|x?a|?1
，求证：
| f(x)?f(a)|?2(|a|?1)

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题： 不等式恒成立问题的常规处理方式？（常
应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住 所给不等式的结构特
征，利用数形结合法）
1).恒成立问题
若不等式
f
?
x
?
?A
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间< br>D
上
f
?
x
?
min
?A

若不等式
f
?
x
?
?B
在区间
D
上恒成 立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?
max
?B

如（1）设实数
x,y
满足
x
2
?(y?1 )
2
?1
，当
x?y?c?0
时，
c
的取值范围是 ______
（答：
?
2?1,??
）；
?
?
（2）不等式
x?4?x?3?a
对一切实数
x
恒成立，求实数
a< br>的取值范围_____
（答：
a?1
）；
（3）若不等式
2x?1?m(x?1)
对满足
m?2
的所有
m
都成立，则
x
的取值范围_____
（答：（
n
2
7?1
3?1
,））；
2
2
(?1)
n?1
（4）若不等式
(?1)a?2?
对于任意正整数
n
恒成立，则实数
a
的取值范围是
n
_____
（答：
[?2,)
）；
2
（5）若不等式
x?2mx?2 m?1?0
对
0?x?1
的所有实数
x
都成立，求
m
的取值范
3
2
围.
（答：
m??
2). 能成立问题
若在区间
D
上存在实数
1
）
2
x
使不等 式
f
?
x
?
?A
成立,则等价于在区间
D
上
上的
f
?
x
?
max
?A
；
若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?
?B
成立,则等价于在区间
D
f
?
x
?
min
?B
.如

已知不等式
x?4? x?3?a
在实数集
R
上的解集不是空集，求实数
a
的取值范围__ __
（答：
a?1
）
3). 恰成立问题
若不等式
f
?
x
?
?A
在区间
D
上恰成立, 则等价于不等式
f
?
x
?
?A
的解集为
D
；
若 不等式
f
?
x
?
?B
在区间
D
上恰成立, 则等价于不等式
f
?
x
?
?B
的解集为
D
.