高中数学不等式证明典型例题

不等式证明典型例题
例1 若
0?x?1
，证明
log< br>a
(1?x)?log
a
(1?x)
（
a?0
且
a?1
）．
分析1 用作差法来证明．需分为
a?1
和
0?a?1
两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．
解法1 （1）当
a?1
时，
因为
0?1?x?1,1?x?1
，
2
所以
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)

??log
a
(1?x)?log
a
(1?x)

??log
a
(1?x)?0
．
（2）当
0?a?1
时，
因为
0?1?x?1,1?x?1

2
所以
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)

?l og
a
(1?x)?log
a
(1?x)
?log
a
(1?x)?0
．
综合（1）（2）知
log
a
(1?x)?l og
a
(1?x)
．
分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号．
解法2 作差比较法．
因为
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)

?
lg(1?x)lg(1?x)

?
lgalga
?1
?
lg(1?x)?lg(1?x)
?
?
1
?
?lg(1?x)?lg(1?x)
?
?
?1
lg(1?x
2)?0
，
lgalgalga
所以
log
a
(1?x )?log
a
(1?x)
．
例2 设
a?b?0
，求证：
ab?ab.

abba
a
a
b
b
a
a?b
?b
b?a
?()
a?b
证明：
ba
?a
b
ab
a
a
b
b
aa
a?b
∵
a?b?0
，∴
?1,a?b?0.
∴
()?1
. ∴
ba
?1.

ab
bb
又∵
ab?0
， ∴
ab?ab.
. < br>baabba
a
4
?b
4
a?b
4
?()< br>（当且仅当
a?b
时取等号） 例3 对于任意实数
a
、
b
，求证
22
证明：∵
a?b?2ab
（当且仅当
a?b
时取等号）
两边同加
(a?b):2(a?b)?(a?b)
，
4444222
2222

a
4
?b
4
a
2
?b
2
2
?()
（1） 即：
22
又：∵
a?b?2ab
（当且仅当
a?b
时取等号）
两边同加
(a?b):2(a?b)?(a?b)

22222
22
a
2
?b
2
a?b
2
?()
∴
22
a
2
?b
2
2
a?b
4
)? ()
（2） ∴
(
22
a
4< br>?b
4
a?b
4
?()
（当且仅当
a?b
时 取等号）由（1）和（2）可得．
22
例4 已知
a
、
b
、
c?R
，
a?b?c?1
，求证
证明：∵
a?b?c?1

?
111
???9.

abc
111a?b?ca?b?ca?b?c

?????
abcabc
bcacabbacacb

?(1??)?(?1?)?(??1)?3?(?)?(?)?(?)

aabbccabacbc
∴
∵
baba
cacb
??2 ??2
，同理：
??2
，
??2
。
abab
acbc
∴
111
???3?2?2?2?9.

abc
111
例５ 已知
a?b?c
，求证：＞0.
??
a?bb?cc?a
证明一：(分析法书写过程)
111
＞0
??
a?bb?cc?a
111
只需要证明＞
?
a?bb ?c
a?c
为了证明
∵
a?b?c
∴
a?c?a?b?0, b?c?0

111111
?,?
＞0∴＞成立
a?ba?cb?ca?bb?c
a?c
111
??
∴＞0成立
a?bb?cc?a
∴
证明二：(综合法书写过程)
∵
a?b?c
∴
a?c?a?b?0,b?c?0

∴
111
＞ ＞0
a?ba?c
b?c

∴
111111
＞成立 ∴＞0成立
???
a?bb?c
a?c
a?bb?cc?a
例6 若
a?0,b?0
，且
2c?a?b
，求证：
c?c
2
?ab ?a?c?c
2
?ab.

证明：为要证
c?c
2
?ab?a?c?c
2
?ab.

只需证
?c
2
?ab?a?c?c
2
?ab
， 即证
a?c?
22
c
2
?ab
，
2
也就 是
(a?c)?c?ab
，即证
a?2ac??ab
，即证
2ac? a(a?b)
，
∵
a?0,2c?a?b,b?0
，
∴
c?
a?b
?ab
，故
c
2
?ab
即有
c
2
?ab?0
，
2
又 由
2c?a?b
可得
2ac?a(a?b)
成立，
∴ 所求不等式
c?c
2
?ab?a?c?c
2
?ab
成立．
例7 若
a
3
?b
3
?2
，求证
a?b?2
．
证法一：假设
a?b?2
，则
a?b?(a?b)(a?ab?b)?2(a ?ab?b)
，
33
而
a?b?2
，故
(a
2< br>?ab?b
2
)?1
．
332222
∴
1?ab? a?b?2ab
．从而
ab?1
， ∴
a?b?1?ab?2
． < br>∴
(a?b)
2
?a
2
?b
2
?2ab?2 ?2ab?4
． ∴
a?b?2
．
这与假设矛盾，故
a?b?2
．
证法二：假设
a?b?2
，则
a?2?b
，
故
2 ?a
3
?b
3
?(2?b)
3
?b
3
，即
2?8?12b?6b
2
，即
(b?1)
2
?0
，
这不可能．从而
a?b?2
．
证法三：假设
a?b?2
， 则
(a?b)
3
?a
3
?b
3
?3ab(a?b) ?8
．
由
a
3
?b
3
?2
，得
3ab(a?b)?6
，故
ab(a?b)?2
．
又
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?2< br>，
∴
ab(a?b)?(a?b)(a
2
?ab?b
2)
． ∴
a
2
?ab?b
2
?ab
，即(a?b)
2
?0
．
这不可能，故
a?b?2
．
例8 设
x
、
y
为正数，求证
x
2
?y< br>2
?
3
x
3
?y
3
．
分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法．
2222

证明：要证
x
2
?y
2
?
3
x
3
?y
3
，只需证
(x
2
?y
2
)
3
?(x
3
?y
3
)
2
，
即证
x
6
?3x
4
y
2
?3x
2
y
4
?y
6
?x
6
?2x
3
y
3
?y
6
，
化简得
3x
4
y
2
?3x
2
y
4
?2x
3
y
3
，
x
2
y< br>2
(3x
2
?2xy?3y
2
)?0
．
∵
??4y
2
?4?3?3y
2
?0
， ∴
3x
2
?2xy?3y
2
?0
．
∴
x
2
y
2
(3x
2
?2xy?3y
2
)?0
．∴原不等式成立．
1
?x
2
?xy?y
2
?3
．
2
证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数
r
．
例9 已知
1?x
2
?y
2
?2
，求证
∵
1?x
2
?y
2
?2
，
0???2?
． ∴可设
x?rcos?
，
y?rsin?
，其中
1?r?2，
1
sin2?)
．
2
113113
由
?1?sin2??
， 故
r
2
?r
2
(1?sin2?)?r
2
． 222222
1131
而
r
2
?
，
r
2
?3
，故
?x
2
?xy?y
2
?3
．
2222
1111
例10 设
n
是正整数，求证
??????1
．
2n?1n?22n
111
分析：要求一个
n
项分式的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”
????
n?1n?22n
的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围．
111
证明：由
2n?n?k?n(k?1,2,?,n)
，得
??
．
2nn?kn
111
当
k?1
时，
??
；
2nn?1n
111
当
k?2
时，
??

2nn?2n
……
111
当
k?n
时，
??
．
2nn?nn
1n111n
∴
????????1
．
22 nn?1n?22nn
(a?b)
2
a?b(a?b)
2
例11 已知
a?b?0
，求证：．
??ab?
8a28b
(a?b)2
a?b(a?b)
2
证明：欲证，
??ab?
8a28b< br>(a?b)
2
(a?b)
2
只须证．
?a?b?2ab?< br>4a4b
∴
x
2
?xy?y
2
?r
2
?r
2
sin?cos??r
2
(1?

?
a?b
??
a?b
?
2
即要证
????
?(a?b)?
????
，
?
2a
??
2b
?< br>即要证
22
a?b
2a
?a?b?
a?b
2b
． 即要证
a?b
2a
b
a
?1?
a?b
2b
，
即要证
a?b
a
?2?
a?b
b
． 即要证
1??2?
a
b
?1
，即
ba
．
?1?
ab
ba
?1?
（*）
ab
∵
a?b?0
，∴（*）显然成立，
即要证
(a?b)
2
a?b(a?b)
2
故
??ab?
8a28b
例12 如果
x
，
y
，z
?R
，求证：
x
8
?y
8
?z
8< br>?x
2
y
3
z
3
?y
2
z
3
x
3
?z
2
x
3
y
3
． 证明：∵
x
8
?y
8
?z
8
?(x
4
)
2
?(y
4
)
2
?(z
4
)< br>2

?x
4
y
4
?y
4
x
4
?z
4
x
4


?( x
2
y
2
)
2
?(y
2
z
2)
2
?(z
2
x
2
)
2


?x
2
y
2
?y
2
z
2
?y2
z
2
?z
2
x
2
?z
2
x
2
?x
2
y
2

?(xy
2
z)
2
?(yz
2
x)
2
?(zx
2
y)
2


?xy< br>2
z?yz
2
x?yz
2
x?zx
2
y?z x
2
y?xy
2
z


?x
2
y
3
z
3
?y
2
z
3x
3
?z
2
x
3
y
3
．
∴
x
8
?y
8
?z
8
?x
2
y3
z
3
?y
2
z
3
x
3
?z
2
x
3
y
3
．
例13 已知
0?a?1
，
0?b?1
，
0?c?1
，求证：在
(1?a)b，不可能都大于
(1?b)c，(1?c)a
三数中，
证明：假设
(1?a )b，(1?b)c，(1?c)a
三数都大于
即
(1?a)b?
1
．
4
1
，
4
111
，
(1?b)c?
，
(1?c)a?
．
444
又∵
0?a?1
，
0?b?1
，
0?c?1
，
111
∴
(1?a)b?
，
(1?b)c?
，
(1?c)a?
．
222
3
∴
(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?
①
2
1?a?b1?b?c1?c?a
又∵
(1?a)b?
，
(1?b)c?
，
(1?c)a?
．
222
以上三式相加，即得：

3
②
2
显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证．
(1?a)?b?(1?b)?c?(1?c)?a?
例14 已知
a
、b
、
c
都是正数，求证：
2
?
?
a?b
??
a?b?c
3
?
?ab
?
?3
?
? abc
?
．
3
?
2
???
?
a?b??
a?b?c
3
?
?abc
?
， 证法一：要证2
??
?ab?3
?
3
?
2
???
只 需证
a?b?2ab?a?b?c?3
3
abc
，
即
?2 ab?c?3
3
abc
，移项，得
c?2ab?3
3
abc
．
由
a
、
b
、
c
为正数，得
c ?2ab?c?ab?ab?3
3
abc
．
∴原不等式成立．
证法二：∵
a
、
b
、
c
为正数，
?c?ab?ab?3
3
cab?ab?3
3
abc
． < br>即
c?2ab?3
3
abc
，故
?2ab?c?3
3
abc
．
?a?b?2ab?a?b?c?3
3
abc
，
?
a?b
??
a?b?c
3
?
?2
??abc
?
．
?
?ab?3
?
3
?
2
???
a?ba?b?c
3
，
ab
，，
abc< br>，只因为
a
、
b
、
c
都是正数，形式同算术平均23
数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题就不好解决 了．
111
)(b?)?1
． 例15 已知
a?0
，
b ?0
，且
a?b?1
．求证：
0?(a?
a
ab
?
证明：令
a?sec
2
?
，
b?tan
2
?
，且
0???
，
2
111111
)(b?)?(sec??)?(tan??)
则
(a?
asec?tan?
sec
2
?
ab
说明：题中给出 的
1sin?cos?
?cos?)?(?)

cos?cos?sin?< br>sin
2
?1
2
?cos????sin?

cos?sin?cos?
111
?
)(b?)?1
成立． ∵0???
，∴
0?sin??1
，即
0?(a?
a
2< br>ab
?cos
2
?(
例16 已知
x
是不等于1的正 数，
n
是正整数，求证
(1?x)(1?x)?2
证明：∵
x
是不等于1的正数，
∴
1?x?2x?0
，

nnn?1
?x
n
．

∴
(1?x)
n
?2
n
x
n
． ①
又
1?x
n
?2x
n
?0
． ②
将式①，②两边分别相乘得
(1?x
n
)(1?x)
n
? 2x
n
?2
n
?x
n
， ∴
(1?x
n< br>)(1?x)
n
?2
n?1
?x
n
．
例17 已知，
x
，
y
，
z
?R
?
，且
x?y?z?1
，求证
x?
证明：要证
x?
y?z? 3
．
y?z?3
， 只需证
x?y?z?2(xy?xz?
yz? 1
．∵
x
，
y
，
z
?R
?
，
yz)?3
，
只需证
xy?xz?
∴
x?y?2xy，
x?z?2xz
，
y?z?2yz
， ∴
2(x?y?z)?2(xy?
∴
xy?xz?
例18 求证
1?
xz?yz)
，
yz?1
成立． ∴
x?y?z?3
．
111
?????2
．
22223n
证明：∵
111111
?????(n?2)
，
n
2
nnn(n?1)n?1n
∴
1?

1
?
1
111
?
1
?
11
??
11
?
???2??2
．
?????1??????
????
??< br>222
n
23n
?
12
??
23
?
?
n?1n
?
例19 在
?ABC
中，角
A
、B
、
C
的对边分别为
a
，
b
，
c，若
A?C?2B
，求证
a
4
?c
4
?2b< br>4
．
分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化．
证明：∵
A?C???B?2B
，∴
B?
?1
，cosB?
． 32
由余弦定理得
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB?a
2
?c
2
?ac

∴
a
2
?c
2
?b
2
?ac
，
∴
a
4
?c
4
?(a
2
?c
2< br>)
2
?2a
2
c
2

=
(a
2
?c
2
?2ac)(a
2
?c
2< br>?2ac)


?[b
2
?(2?1)ac]?[b
2
?(2?1)ac]


?b
4
?2ac?b
2
?a
2
c
2


??(ac?b)
2
?2b
4
?2b
4

一元二次不等式：


一元一次不等式的解法：（依据、步骤、注意的问题，利用数轴表示）
例1、已知关于x的不 等式在
x
2
?(3?a
2
)x?2a?1?0
(–2，0) 上恒成立，求实数a的取值范围．
例2．关于x的不等式
y?log
2
( ?ax
2
?ax?1)
对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.
例3、 若关于
x
的不等式
x
2
?ax?a?0
的解集为
( ??,??)
，则实数
a
的取值范围是______________；若
关 于
x
的不等式
x
2
?ax?a??3
的解集不是空集，则实 数
a
的取值范围是______________。（-4,0）,
?
??,?6
?
?
?
2,??
?

几个重要不等式
（1）
若a?R,则|a|?0,a
2
?0

（2）
若a、b?R
?
,则a
2
?b
2
?2ab(或a
2
?b
2
?2|ab|?2ab)
（当仅当a=b时取等号）
（3 ）如果a,b都是正数，那么
ab?
a?b
.
（当仅当a=b时取等号）一正 、二定、三相等.
2
(4)若a、b、c?R
?
,则
a?b?c
3
?abc
（当仅当a=b=c时取等号）
3

ba
(5)若ab?0,则??2
（当仅当a=b时取等号）
ab

|x|?a?x
2
?a
2
?x??a或x?a;|x|?a?x2
?a
2
??a?x?a


(6)a?0时，
（7）
若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|


常用不等式
22
a?b
?
a?b
?ab?
2< br>(根据目标不等式左右的运算结构选用)； （1）
221
?
1
ab< br>（2）a、b、c
?
R，
a
2
?b
2
?c< br>2
?ab?bc?ca
（当且仅当
a?b?c
时，取等号）；
（3）若
a?b?0,m?0
，则
bb?m
（糖水的浓度问题）。如
?
aa?m
如果正数
a
、
b
满足
ab?a ?b?3
，则
ab
的取值范围是_________（答：
?
9,? ?
?
）
11111
常用不等式的放缩法：①
1
?
1
?
p
2
p
??(n?2)

nn?1n(n?1 )nn(n?1)n?1n
②
n?1?n?
1
n?n?1
p
1
2n
p
1
n?n?1
?n?n?1(n?1)
利用函数的 单调
性
简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的 积，并使每一个因式中
最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上 方依次通过每一点画
曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现
f(x)
的符号 变化规律，写出不等式的解集。

如（1）解不等式
(x?1)(x ?2)?0
。（答：
{x|x?1
或
x??2}
）；
（2 ）不等式
(x?2)x
2
?2x?3?0
的解集是____（答：
{ x|x?3
或
x??1}
）；
（3）设函数
f(x)
、< br>g(x)
的定义域都是R，且
f(x)?0
的解集为
{x|1?x?2 }
，
g(x)?0
的解集为
；
?
，则不等式
f( x)gg(x)?0
的解集为______（答：
(??,1)U[2,??)
）（4）要使满足关于
x
的不等式
2x
2
?9x?a?0
（解集非空）的每一个
x
的值至少满足不等式
2
x
2
?4x ?3?0和x
2
?6x?8?0
中的一个，则实数
a
的取值范围是_ _____.（答：
[7,
81
)
）
8
分式不等式的解法 ：先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系
数为正，最后用标 根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
如（1）解不等式
5?x
；
??1
（答：
(?1,1)U(2,3 )
）
x
2
?2x?3
ax?b
?0
的解集为
x?2
（2）关于
x
的不等式
ax?b?0
的解集 为
(1,??)
，则关于
x
的不等式
_____（答：
(? ?,?1)?(2,??)
）.
绝对值不等式的解法：
（1）分段讨论法（最后 结果应取各段的并集）：如
x?1?x?2
＞
a
在
x?R
上 有解,则
a
的取值范围是
（
?
??,3
?
） （2）利用绝对值的定义；
x?a(a?0)??a?x?a
，
x?a(a?0) ?x??a或x?a


（3）数形结合；如解不等式
|x|?|x?1|? 3
（答：
(??,?1)U(2,??)
）
（4）两边平方：如若不等式< br>|3x?2|?|2x?a|
对
x?R
恒成立，则实数
a
的取 值范围为______。（答：
{}
）
含参不等式的解法：求解通法是“定义域为前 提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后
要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注 意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集；但若按未
知数讨论，最后应求并集.
如（1）若
log
a
4
3
22
；
?1< br>，则
a
的取值范围是__________（答：
a?1
或
0 ?a?
）
33
ax
2
?x(a?R)
（2）解不等式
ax?1

（答：
a?0
时，
{x|x?0 }
；
a?0
时，
{x|x?
11
或
x?0}
；
a?0
时，
{x|?x?0}
或
x?0}
）
aa
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值 往往
是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于
x
的不等式
ax?b?0
的解集为
(??,1)
，则
不等式
x?2
（－ 1,2））
?0
的解集为__________（答：
ax?b

含绝对值不等式的性质：
a、b
同号或有
0
?|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
；
a 、b
异号或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a| ?|b||?|a?b|
.
如设
f(x)?x?x?13
，实数
a
满足
|x?a|?1
，求证：
|f(x)?f(a)|?2(|a|?1)< br>
不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方 程思想和“分
离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）
1).恒成立问题
若不等式
f
?
x
?
?A
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?
min
?A

若不等式
f
?
x
?
?B
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?
max
?B

如（1）设实数
x, y
满足
x?(y?1)?1
，当
x?y?c?0
时，
c的取值范围是______（答：
22
2
?
2?1,??
）；
?
（2）不等式
x?4?x?3?a
对一切实数
x
恒成立， 求实数
a
的取值范围_____（答：
a?1
）；
2
（3 ）若不等式
2x?1?m(x?1)
对满足
m?2
的所有
m
都成立，则
x
的取值范围_____（答：
?
（
7?13?1
,））；
22
(?1)
n?1
（4）若不等式
(?1)a?2?
对于任意正整数
n
恒成立，则实数
a
的取值范围是_____（答：
n
n
3
；
[?2,)
）
2
（5）若不等 式
x
2
?2mx?2m?1?0
对
0?x?1
的所有实数< br>x
都成立，求
m
的取值范围.（答：
m??
1
）
2
2).能成立问题
若在区间
D
上存在实数
x
使 不等式
f
?
x
?
?A
成立,则等价于在区间
D上
f
?
x
?
max
?A
；
若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?
?B
成立,则等价于在区间
D
上的
f
?
x
?min
?B
.如
已知不等式
x?4?x?3?a
在实数集R
上的解集不是空集，求实数
a
的取值范围____（答：
a?1
）
两个重要函数：
|x|?|x?1|?3

函数y=x+
练习：
1、已若
x?1
，求
2?3x?
1

x
4
51
的最小值． 已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值
44x?5
x?1

2、知
x,y?R
且
______
?
19
??1
，则
x?y
的最小值是_____________．若
x? 2y?1
，则
2
x
?4
y
的最小值是
xy
3、知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
<1>若
ab?0，bc?ad?0
，则
<3>若
bc?ad? 0，
cdcd
??0
；<2>若
ab?0，??0
，则
bc ?ad?0

abab
cd
??0
，则
ab?0
其中正确命题是（）
ab

(x?1)
2
?4
4.求函数的最小值.
f(x)?
x?1
(x??1)

5、求证：
1?
111
112
3
4
2

??L??2
x(1?x)??2x(1?x)(1?x)?()?
2
23
2
n
2
22327
二元一次不等式组与简单线性规划问题
1.二元一次不等式表示的平面区域：直线l: ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分：
（1）直线l上的点（x,y）的坐标满足ax+by+c=0
（2）直线l一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标都满足ax+by+c>0
（3）直线l另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足ax+by+c<0
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x
0
, y
0
）,从a
0
x+b
0
y+c值的正负，即可判
断不等式表示 的平面区域。
2.线性规划：如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数 的最大值或最小值，
称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作二元线 性规划问题。其中，
满足约束条件的解(x,y)称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域，使 目标函数取得最大值和最小
值的可行解称为这个问题的最优解。
3.线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先写出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；
（2）作出相应的可行域；（3）确定最优解
例题分析：
?
x?0
?
例1．若
A
为不等式组
?
y?0
表示的平面区域，则当
a
从－2连续变化到1时，动直线
x?y?a
扫过
A
?y?x?2
?
中的那部分区域的面积为 ( )
A．
37
B．1 C． D．5
44
?
2x?y? 2?0
?
22
例2.如果点P在平面区域
?
x?y?2?0
上，点O在曲线
x?(y?2)?1
上，
?
2y?1?0
?
那么
|PQ|的
最小值为（）
(A)
4
3
?1
(C)
22?1
(D)
2?1
(B)
2
5

?x?y?3?0
?
x?2y?5?0
?
例3、已知实数
x,y< br>满足
?
，则
y?2x
的最大值是_________.
?
x?0
?
?
y?0
1、点P（x，y）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到
坐标原点距离的取值范围是（）
A. [0，5] B. [0，10] C. [5，10] D. [5，15]
?< br>x?y?2≤0，
y
?
2．已知变量
x，y
满足约束条件?
x≥1，
则的取值范围是（）
?
x?y?7≤0，
x
?
??
?
C．
?
??，
A．
?
,6
?
B．
?
??
，
?
U
?
6
，
3
?
U
?
6，??
?

55
?
?
9
?
??
?
?
9
?
D．
[3，6]
?
x?2y?10，
?
2x?y?3,
?
3.设
D是不等式组
?
表示的平面区域，则
D
中的点
P
（
x
,
y
）到直线
x
+
y
=10距离的最大值是.
?
0?x?4,
?
?
y?1
?
x?1,
?
22
4.已知
?
x?y?1?0,
则
x?y
的最小 值是.
?
2x?y?2?0
?
例1．C; 例2. A; 例3、___0_____.1、B; 2.A; 3.
42
; 4. 5