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高一数学不等式解法经典例题92436

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 18:51
tags:高中数学不等式

四川高中数学竞赛复赛二等奖人数-高中数学技术

2020年9月20日发(作者:卫靖)


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典型例题一

32
例1 解不等式:(1)2x?x?15x?0
;(2)
(x?4)(x?5)(2?x)?0

23
分析:如果多项式
f(x)
可分解为
n
个一次式的积,则一元 高次不等式
f(x)?0
(或
f(x)?0
)可用“穿根法”求解,但要注意 处理好有重根的情况.
解:(1)原不等式可化为
x(2x?5)(x?3)?0

把方程
x(2x?5)(x?3)?0
的三个根
x
1
?0, x
2
??,x
3
?3
顺次标上数轴.然后从右上
开始画线顺 次经过三个根,其解集如下图的阴影部分.
5
2

∴原不等式解集为
?
x?
(2)原不等式等价于
?
?
5
?
?x?0或x?3
?

2
?
(x?4)(x?5)
2
(x?2)
3
?0

?
x??5
?
x?5?0
?
?
?
?
(x? 4)(x?2)?0
?
?
x??4或x?2
∴原不等式解集为
xx? ?5或?5?x??4或x?2

说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中
x
的系数必为正;②对于偶次或
奇次重根可转化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法” ,但注意“奇穿偶不穿”,其法
如下图.
??

典型例题二

例2 解下列分式不等式:
x
2
?4x?1
32
?1
(1); (2)
2
?1?
3x?7x?2
x?2x?2
分析:当分式不等式化为
f(x )
?0(或?0)
时,要注意它的等价变形
g(x)
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f(x)
?0?f(x)?g(x)?0

g(x)
②< br>?
f(x)?g(x)?0
f(x)f(x)
?0?
?
或?0 ?f(x)?0或f(x)?g(x)?0

g(x)g(x)
?
g(x)?0

(1)解:原不等式等价于 < br>3x3x
????0
x?2x?2x?2x?2
3(x?2)?x(x?2)? x
2
?5x?6
??0??0
(x?2)(x?2)(x?2)(x?2)< br>?
(x?6)(x?1)(x?2)(x?2)?0
(x?6)(x?1)
?? 0?
?
(x?2)(x?2)
?
(x?2)(x?2)?0
用“穿根 法”
∴原不等式解集为
(??,?2)?
?
?1,2
?
?
?
6,??
?


2x
2
?3x?1
?0
(2)解法一:原不等式等价于
3x
2
?7x?2
?(2x
2
?3x?1)(3x
2
?7x?2)?0
22
?
?
2x?3x?1?0
?
?2x?3x?1?0
?
?
2

?
2

??
?
3x?7x?2?0
?
3x?7x?2?0
11
?x ?或?x?1或x?2
32
11
∴原不等式解集为
(??,)?(,1)?( 2,??)

32

解法二:原不等式等价于
(2x?1)(x?1)
?0

(3x?1)(x?2)
?(2x?1)(x?1)(3x?1)?(x?2)?0

用“穿根法”
∴原不等式解集为
(??,)?(,1)?(2,??)

1
3
1
2
典型例题三

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例3 解不等式
x
2
?4?x?2

分析:解此题的关键是去绝对值符号, 而去绝对值符号有两种方法:一是根据绝对值的
意义
a?
?
?
a(a ?0)

?a(a?0)
?
二是根据绝对值的性质:
x?a??a? x?a,x.a?x?a

x??a
,因此本题有如
下两种解法.
22
??
?
x?4?0
?
x?4?0
解法一:原不等式?
?


?
22
?
?
x?4?x?2
?
?
4?x?x?2

?
?
x?2或x??2?
?2?x?2


?
?
?2?x?x
?x??2或x?1

2?x?3

1?x?2

故原不等式的解集为
x1?x?3

解法二:原不等式等价于
?(x?2)?x?4?x?2

2
?
?
?2?x?3?
x?4?x?2

?

?
故1?x?3

2
?
?
x?1或x??2
?
x?4??(x?2)
2
??

典型例题四


x
2
?6x?5
?0
. 例4 解不等式
12?4x?x< br>2
分析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于
x
二次式的商,由商的符号法 则,它等价
于下列两个不等式组:
22
??
?
x?6x?5?0< br>?
x?6x?5?0

?

?
22
???
12?4x?x?0
?
12?4x?x?0
所以,原不等式的解集是上 面两个不等式级的解集的并集.也可用数轴标根法求解.
解法一:原不等式等价下面两个不等式级的并集:
22
??
,
?< br>x?6x?5?0 
?
x?6x?5?0,

?

?
22
??
?
12?4x?x?0
?
12?4x?x?0?
(x?1)(x?5)?0,
?
(x?1)(x?5)?0,
?
?

?

(x?2)(x?6)?0;(x?2)(x?6)?0;
??
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?
x?1,或x?5,
?
1?x?5,

?
?
?

?
?2?x?6
?
x??2,或x?6
?1?x?5,

x??2

x?6

∴原不等式解集是
{xx??2,或1?x?5,或x?6}

解法二:原不等式化为
(x?1)(x?5)
?0

(x?2)(x?6)
画数轴,找因式根,分区间,定符号.
(x?1)(x?5)
符号
(x?2)(x?6)

∴原不等式解集是
{xx??2,或1?x?5,或x?6}

说明:解法 一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组
的解的并集,否则会产生误解 .
解法二中,“定符号”是关键.当每个因式
x
的系数为正值时,最右边区间一定是 正值,其他
各区间正负相间;也可以先决定含0的区间符号,其他各区间正负相间.在解题时要正确运< br>用.
典型例题五


x
2
?2x?2
?x
. 例5 解不等式
3?2x?x2
分析:不等式左右两边都是含有
x
的代数式,必须先把它们移到一边,使另一边 为0再解.
(x?2)(x
2
?x?1)
?0
. 解:移项整理, 将原不等式化为
(x?3)(x?1)

x
2
?x?1?0
恒成立,知原不等式等价于
(x?2)
?0

(x?3)(x?1)
解之,得原不等式的解集为
{x?1?x?2或x?3}

说明:此题易出现去分 母得
x
2
?2x?2?x(3?2x?x
2
)
的错误解法. 避免误解的方法是移
项使一边为0再解.
另外,在解题过程中,对出现的二项式要注意其是否 有实根,以便分析不等式是否有解,从
而使求解过程科学合理.
典型例题六

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例6 设
m?R
,解关于
x
的不等式
m
2
x
2
?2mx?3?0

分析:进行分类讨论求解.
解:当
m?0
时,因
?3 ?0
一定成立,故原不等式的解集为
R


m?0
时,原不等式化为
(mx?3)(mx?1)?0

31
?x?

mm
13

m?0
时,解得
?x??

mm

m?0
时,解得
?
?
31
?
∴当< br>m?0
时,原不等式的解集为
?
x??x?
?

mm
??
?
13
?
?x??
?
. 当m?0
时,原不等式的解集为
?
x
m
??
m
说 明:解不等式时,由于
m?R
,因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因为当
m ?0
时,原不等式化为
?3?0
,此时不等式的解集为
R
,所以解题 时应分
m?0

m?0

种情况来讨论.
3131

x
2
?
后,认为
??
,这也是易出现的错
mm
mm
3131
误之处.这时也应分情况来讨论:当
m?0
时,
??
;当
m?0
时,
??

mm
mm
在解出
m
2
x
2
?2mx?3?0
的两根为
x1
??
典型例题七


例7 解关于
x
的不等式
2ax?a
2
?1?x(a?0)

分析:先按无理不等式的解法化为两个不等式组,然后分类讨论求解.
?
2ax?a
2
?0,
?
2x?a
2
?0,
?
解:原不 等式
?(1)
?
1?x?0,

(2)
?

1?x?0.
?
?
22
2ax?a?(1?x);
?
a< br>?
x?,
?
a
2
?
?
?
x?,
a?0
,得:
(1)?
?
x?1,

(2)?
?
2

?
?
22
?
x? 1.
x?2(a?1)x?a?1?0;
?
?
由判别式
??4(a? 1)
2
?4(a
2
?1)?8a?0
,故不等式
x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0
的解是
a?1?2a?x?a? 1?2a


0?a?2
时,
a
?a?1?2a?1
a?1?2a?1
,不等式组(1)的解是
2
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a?1?2a?x?1
,不等式组(2)的解是
x?1


a?2
时,不等式组(1)无解,(2)的解是
x?
a

2
综上可知,当
0?a?2
时,原不等式的解集是
a?1?2a,? ?
;当
a?2
时,原不等式
?
?
?
a
?< br>的解集是
?
,??
?

?
2
?
说 明:本题分类讨论标准“
0?a?2

a?2
”是依据“已知
a?0
及(1)中‘
x?
(2)中‘
x?
a

x?1’,
2
a

x?1
’”确定的.解含有参数的不等式是不等式问 题中的难点,也是近几年高
2
考的热点.一般地,分类讨论标准(解不等式)大多数情况下依“ 不等式组中的各不等式的
解所对应的区间的端点”去确定.
本题易误把原不等式等价于不等式
2ax?a
2
?(1?x)
.纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式
基本类型的解法.
典型例题八


例8 解不等式
4x
2
?10x?3?3

分析:先去掉绝对值号,再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可.
解答:去掉绝对值号得
?3?4x
2
?10x?3?3

∴原不等式等价于不等式组
22
?
?
?3?4x?10x?3?
?
4x?10x?0
?
?
2
?

?
2
??
?
4x?10x?3?3
?
4x?10x?6?0< br>5
?
x?0或x?,
?
?
2x(2x?5)?0
?< br>2

?
??
?
2(x?3)(2x?1)?0
??
1
?x?3.
?
?
2
??
15
∴原 不等式的解集为
?
x??x?0或?x?3
?

22
??
说明:解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式,然后把不等式等
价转化为 不等式组,变成求不等式组的解.
典型例题九


例9 解关于
x
的不等式
x
2
?(a?a
2
)x?a
3
? 0

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分析:不等式中含有字母< br>a
,故需分类讨论.但解题思路与一般的一元二次不等式的解法
完全一样:求出方程x
2
?(a?a
2
)x?a
3
?0
的根,然后 写出不等式的解,但由于方程的根含
有字母
a
,故需比较两根的大小,从而引出讨论.
解:原不等式可化为
(x?a)(x?a
2
)?0

(1 )当
a?a
2
(即
a?1

a?0
)时,不等式的 解集为:
?
x
?
x
?
x
x?a或x?a
2

?
?
(2)当
a?a
2
(即
0?a ?1
)时,不等式的解集为:
x?a
2
或x?a

(3)当
a?a
2
(即
a?0
或1)时,不等式的解集为:
x?R且x?a
?

说明:对参数进行的讨论,是根据解题的需要而自然引 出的,并非一开始就对参数加以
分类、讨论.比如本题,为求不等式的解,需先求出方程的根
x
1
?a

x
2
?a
2
,因此不等式
的解就是
x
小于小根或
x
大于大根.但
a

a< br>2
两根的大小不能确定,因此需要讨论
a?a
2

a?a2

a?a
2
三种情况.
典型例题十


例10 已知不等式
ax?bx?c?0
的解集是
2
?
x< br>?
?x?
?
?
(
?
?0)
.求不等式
cx
2
?bx?a?0
的解集.
分析:按照一元二次不等式的一般解法, 先确定系数
c
的正负,然后求出方程
cx
2
?bx?a?0
的两根即可解之.
解:(解法1)由题可判断出
?

?
是方程ax
2
?bx?c?0
的两根,

?????
bc

????

aa

ax
2
?bx?c?0
的解集是
?
x??x??
?
,说明
a?0


??0

??0
?? ??0?
c
?0?c?0

a
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cx
2
?bx?a?0?x
2
?
ba
x??0

cc
?
?
?
11
?
b
b
?
?????,
?
?
?
??
?
c
?
????
??
a

?
??
cc111
?
?
?
?
?
?
??(? )(?),
?
?
a
??
?
?
a
??
1111
ba
x??0
,即
x
2
?(??)x?(?)( ?)?0

????
cc
11

(x?)(x?)?0

??
11

0????
,∴
?

??< br>∴
x
2
?

(x?
?
11
11?
)(x?)?0
的解集为
?
x?x?
?

??
??
??
(解法2)由题意可判断出
?

?
是 方程
ax
2
?bx?c?0
的两根,

????
c

a

ax
2
? bx?c?0
的解集是
?
x??x??
?
,说明
a?0

??0

??0
????0?
c
?0? c?0

a
对方程
cx
2
?bx?a?0
两边同 除以
x
2

11
a?()
2
?b?()?c?0

xx
1

t?
,该方程即为
x
at
2< br>?bt?c?0
,它的两根为
t
1
??

t
2
??


1
1
1
1
??
,< br>??
.∴
x
1
?

x
2
?

x
2
x
1
?
?
1
1
,. < br>?
?
∴方程
cx
2
?bx?a?0
的两根为

0????
,∴
11
?

??
∴不等式
cx
2
?bx?a?0
的解集是
?
x
?
?
11
?
?x?
?

??
?
说明:(1)万变不 离其宗,解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根;(2)
结合使用韦达定理,本 题中只有
?

?
是已知量,故所求不等式解集也用
?
?
表示,不等式
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系数
a

b

c
的关系也用
?

?
表 示出来;(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根.
典型例题十二

x?ax?b
1
的解为
?
(??,)?(1,??)
,求
a

b
的值.
3
x
2
?x?1x
2< br>?x?1
分析:不等式本身比较复杂,要先对不等式进行同解变形,再根据解集列出关于
a

b

子.
13
解:∵
x
2
?x?1?(x?)
2
??0

24
13
x
2< br>?x?1?(x?)
2
??0

24
例12 若不等式< br>∴原不等式化为
(2?a?b)x
2
?(a?b)x?a?b?0

?
?
2?a?b?0
?
1
?
a?b
?, 依题意
?
?
2?a?b3
4
?
a?b
?< br>?
?
2?a?b3
5
?
a?
?
?
2
. ∴
?
?
b?
3
?
2
?
说明:解有关一元二次方程的不等式,要注意判断二次项系数的符号,结合韦达定理来
解.
典型例题十三


例13 不等式
ax
2
?bx? 2?0
的解集为
?
x?1?x?2
?
,求
a
b
的值.
分析:此题为一元二次不等式逆向思维题,要使解集为
?
x? 1?x?2
?
,不等式
ax
2
?bx?2?0
需满足条件< br>a?0

??0

ax
2
?bx?2?0
的 两根为
x
1
??1

x
2
?2

解法一:设
ax
2
?bx?2?0
的两根为
x
1

x
2
,由韦达定理得:
b
??
b
x?x??? ??1?2
12
??
??
aa
由题意:
?
< br>?
22
?
x?x??
?
???1?2
12
? ?
a
??
a

a?1

b??1
,此时满 足
a?0

??b
2
?4a?(?2)?0

解法二:构造解集为
?
x?1?x?2
?
的一元二次不等式:
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x
2
?x?2 ?0
,此不等式与原不等式
ax
2
?bx?2?0
应为同解不等式,
(x?1)(x?2)?0

故需满足:
ab?2

a?1

b??1

??
1?1?2
说明:本 题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系,同时还考查逆向思维的能
力.对有关字母抽象问题, 同学往往掌握得不好.

典型例题十四


例14 解关于
x
的不等式
ax
2
?(a?1)x?1?0
分析:本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法,因为含有字母系数,所以还
考查分类思想 .
解:分以下情况讨论
(1)当
a?0
时,原不等式变为:
?x ?1?0
,∴
x?1

(2)当
a?0
时,原不等式变为:
(ax?1)(x?1)?0

11

aa
1
②当
a?0
时,①式变为(x?)(x?1)?0
. ②
a
11?a111

?1?
,∴当
0?a?1
时,
?1
,此时②的解为
1?x?
.当
a?1
时,
?1

aaaaa
1
此时②的解 为
?x?1

a
说明:解本题要注意分类讨论思想的运用,关键是要找到分 类的标准,就本题来说有三
级分类:
①当
a?0
时,①式变为
(x ?)(x?1)?0
,∴不等式的解为
x?1

x?
?
a? 0
?
?
a?0
?
?
?
a?R
?
?
0?a?1

?
a?0
??
?
a?0
?< br>a?1
?
?
?
a?1
?
?
?
??
分类应做到使所给参数
a
的集合的并集为全集,交集为空集,要做到不重不漏. 另外,解本题
还要注意在讨论
a?0
时,解一元二次不等式
ax
2< br>?(a?1)x?1?0
应首选做到将二次项系数变
为正数再求解.
典型例题十五


例15 解不等式
x
2
?3x?10?8?x

分析:无理不等式转化为有 理不等式,要注意平方的条件和根式有意义的条件,一般情
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况下,
f(x)?g(x)
可转化为
f( x)?g(x)

f(x)?g(x)
,而
f(x)?g(x)
等价 于:
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
或.
?
?
g(x)?0
g(x)?0
?
?
f(x)?[g(x)]
2
?
解:原不等式等价于下面两个不等式组:
?
8?x?0
?
8?x?0
?

?
2

?
x
2
?3x?10?0

?
2
?x?3x?10?0
2
?
x?3x?10?(8?x)
?
x?8
由①得
?
,∴
x?8

x?5或x??2
?
?
?
x?8
?
74
由②得∴
?
x?5或x??2

?x?8

13
?
74
?
x?
?
13.
7474
????
?x?8或x?8
?
,即为< br>?
xx?
所以原不等式的解集为
?
x
?

1313
????
说明:本题也可以转化为
f(x)?g(x)
型的不等式求 解,注意:
?
f(x)?0
?

f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
2
?
f(x)?[g(x)]
2
?
这里,设全集
U?{xx
2
?3x?10?0}?{xx??2或x?5 }

A?
?
?
xx?3x?10?8?x
?
??
则所求不等式的解集为
A
的补集
A

?
8?x?0
?
74
?x??2

5?x?

x2
?3x?10?8?x?
?
x
2
?3x?10?0

13
?
22
x?3x?10?(8?x)
?
?
74
?

A?
?
xx?2或5?x?
?
,∴原不等式的 解集是
13
??



?
74
?
A?
?
xx?
?

13
??
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本文更新与2020-09-20 18:51,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/405724.html

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