四川高中数学竞赛复赛二等奖人数-高中数学技术
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典型例题一
32
例1 解不等式:(1)2x?x?15x?0
;(2)
(x?4)(x?5)(2?x)?0
.
23
分析:如果多项式
f(x)
可分解为
n
个一次式的积,则一元
高次不等式
f(x)?0
(或
f(x)?0
)可用“穿根法”求解,但要注意
处理好有重根的情况.
解:(1)原不等式可化为
x(2x?5)(x?3)?0
把方程
x(2x?5)(x?3)?0
的三个根
x
1
?0,
x
2
??,x
3
?3
顺次标上数轴.然后从右上
开始画线顺
次经过三个根,其解集如下图的阴影部分.
5
2
∴原不等式解集为
?
x?
(2)原不等式等价于
?
?
5
?
?x?0或x?3
?
2
?
(x?4)(x?5)
2
(x?2)
3
?0
?
x??5
?
x?5?0
?
?
?
?
(x?
4)(x?2)?0
?
?
x??4或x?2
∴原不等式解集为
xx?
?5或?5?x??4或x?2
说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中
x
的系数必为正;②对于偶次或
奇次重根可转化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法”
,但注意“奇穿偶不穿”,其法
如下图.
??
典型例题二
例2 解下列分式不等式:
x
2
?4x?1
32
?1
(1); (2)
2
?1?
3x?7x?2
x?2x?2
分析:当分式不等式化为
f(x
)
?0(或?0)
时,要注意它的等价变形
g(x)
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①
f(x)
?0?f(x)?g(x)?0
g(x)
②<
br>?
f(x)?g(x)?0
f(x)f(x)
?0?
?
或?0
?f(x)?0或f(x)?g(x)?0
g(x)g(x)
?
g(x)?0
(1)解:原不等式等价于 <
br>3x3x
????0
x?2x?2x?2x?2
3(x?2)?x(x?2)?
x
2
?5x?6
??0??0
(x?2)(x?2)(x?2)(x?2)<
br>?
(x?6)(x?1)(x?2)(x?2)?0
(x?6)(x?1)
??
0?
?
(x?2)(x?2)
?
(x?2)(x?2)?0
用“穿根
法”
∴原不等式解集为
(??,?2)?
?
?1,2
?
?
?
6,??
?
。
2x
2
?3x?1
?0
(2)解法一:原不等式等价于
3x
2
?7x?2
?(2x
2
?3x?1)(3x
2
?7x?2)?0
22
?
?
2x?3x?1?0
?
?2x?3x?1?0
?
?
2
或
?
2
??
?
3x?7x?2?0
?
3x?7x?2?0
11
?x
?或?x?1或x?2
32
11
∴原不等式解集为
(??,)?(,1)?(
2,??)
。
32
解法二:原不等式等价于
(2x?1)(x?1)
?0
(3x?1)(x?2)
?(2x?1)(x?1)(3x?1)?(x?2)?0
用“穿根法”
∴原不等式解集为
(??,)?(,1)?(2,??)
1
3
1
2
典型例题三
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例3
解不等式
x
2
?4?x?2
分析:解此题的关键是去绝对值符号,
而去绝对值符号有两种方法:一是根据绝对值的
意义
a?
?
?
a(a
?0)
?a(a?0)
?
二是根据绝对值的性质:
x?a??a?
x?a,x.a?x?a
或
x??a
,因此本题有如
下两种解法.
22
??
?
x?4?0
?
x?4?0
解法一:原不等式?
?
或
?
22
?
?
x?4?x?2
?
?
4?x?x?2
即
?
?
x?2或x??2?
?2?x?2
或
?
?
?2?x?x
?x??2或x?1
∴
2?x?3
或
1?x?2
故原不等式的解集为
x1?x?3
.
解法二:原不等式等价于
?(x?2)?x?4?x?2
2
?
?
?2?x?3?
x?4?x?2
即
?
∴
?
故1?x?3
.
2
?
?
x?1或x??2
?
x?4??(x?2)
2
??
典型例题四
x
2
?6x?5
?0
. 例4 解不等式
12?4x?x<
br>2
分析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于
x
二次式的商,由商的符号法
则,它等价
于下列两个不等式组:
22
??
?
x?6x?5?0<
br>?
x?6x?5?0
或
?
?
22
???
12?4x?x?0
?
12?4x?x?0
所以,原不等式的解集是上
面两个不等式级的解集的并集.也可用数轴标根法求解.
解法一:原不等式等价下面两个不等式级的并集:
22
??
,
?<
br>x?6x?5?0
?
x?6x?5?0,
或
?
?
22
??
?
12?4x?x?0
?
12?4x?x?0?
(x?1)(x?5)?0,
?
(x?1)(x?5)?0,
?
?
或
?
(x?2)(x?6)?0;(x?2)(x?6)?0;
??
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?
x?1,或x?5,
?
1?x?5,
或
?
?
?
;
?
?2?x?6
?
x??2,或x?6
?1?x?5,
或
x??2
或
x?6
.
∴原不等式解集是
{xx??2,或1?x?5,或x?6}
.
解法二:原不等式化为
(x?1)(x?5)
?0
.
(x?2)(x?6)
画数轴,找因式根,分区间,定符号.
(x?1)(x?5)
符号
(x?2)(x?6)
∴原不等式解集是
{xx??2,或1?x?5,或x?6}
.
说明:解法
一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组
的解的并集,否则会产生误解
.
解法二中,“定符号”是关键.当每个因式
x
的系数为正值时,最右边区间一定是
正值,其他
各区间正负相间;也可以先决定含0的区间符号,其他各区间正负相间.在解题时要正确运<
br>用.
典型例题五
x
2
?2x?2
?x
. 例5 解不等式
3?2x?x2
分析:不等式左右两边都是含有
x
的代数式,必须先把它们移到一边,使另一边
为0再解.
(x?2)(x
2
?x?1)
?0
. 解:移项整理,
将原不等式化为
(x?3)(x?1)
由
x
2
?x?1?0
恒成立,知原不等式等价于
(x?2)
?0
.
(x?3)(x?1)
解之,得原不等式的解集为
{x?1?x?2或x?3}
.
说明:此题易出现去分
母得
x
2
?2x?2?x(3?2x?x
2
)
的错误解法.
避免误解的方法是移
项使一边为0再解.
另外,在解题过程中,对出现的二项式要注意其是否
有实根,以便分析不等式是否有解,从
而使求解过程科学合理.
典型例题六
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例6 设
m?R
,解关于
x
的不等式
m
2
x
2
?2mx?3?0
.
分析:进行分类讨论求解.
解:当
m?0
时,因
?3
?0
一定成立,故原不等式的解集为
R
.
当
m?0
时,原不等式化为
(mx?3)(mx?1)?0
;
31
?x?
;
mm
13
当
m?0
时,解得
?x??
.
mm
当
m?0
时,解得
?
?
31
?
∴当<
br>m?0
时,原不等式的解集为
?
x??x?
?
;
mm
??
?
13
?
?x??
?
. 当m?0
时,原不等式的解集为
?
x
m
??
m
说
明:解不等式时,由于
m?R
,因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因为当
m
?0
时,原不等式化为
?3?0
,此时不等式的解集为
R
,所以解题
时应分
m?0
与
m?0
两
种情况来讨论.
3131
,
x
2
?
后,认为
??
,这也是易出现的错
mm
mm
3131
误之处.这时也应分情况来讨论:当
m?0
时,
??
;当
m?0
时,
??
.
mm
mm
在解出
m
2
x
2
?2mx?3?0
的两根为
x1
??
典型例题七
例7
解关于
x
的不等式
2ax?a
2
?1?x(a?0)
.
分析:先按无理不等式的解法化为两个不等式组,然后分类讨论求解.
?
2ax?a
2
?0,
?
2x?a
2
?0,
?
解:原不
等式
?(1)
?
1?x?0,
或
(2)
?
1?x?0.
?
?
22
2ax?a?(1?x);
?
a<
br>?
x?,
?
a
2
?
?
?
x?,由
a?0
,得:
(1)?
?
x?1,
(2)?
?
2
?
?
22
?
x?
1.
x?2(a?1)x?a?1?0;
?
?
由判别式
??4(a?
1)
2
?4(a
2
?1)?8a?0
,故不等式
x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0
的解是
a?1?2a?x?a?
1?2a
.
当
0?a?2
时,
a
?a?1?2a?1,
a?1?2a?1
,不等式组(1)的解是
2
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a?1?2a?x?1
,不等式组(2)的解是
x?1
.
当
a?2
时,不等式组(1)无解,(2)的解是
x?
a
.
2
综上可知,当
0?a?2
时,原不等式的解集是
a?1?2a,?
?
;当
a?2
时,原不等式
?
?
?
a
?<
br>的解集是
?
,??
?
.
?
2
?
说
明:本题分类讨论标准“
0?a?2
,
a?2
”是依据“已知
a?0
及(1)中‘
x?
(2)中‘
x?
a
,
x?1’,
2
a
,
x?1
’”确定的.解含有参数的不等式是不等式问
题中的难点,也是近几年高
2
考的热点.一般地,分类讨论标准(解不等式)大多数情况下依“
不等式组中的各不等式的
解所对应的区间的端点”去确定.
本题易误把原不等式等价于不等式
2ax?a
2
?(1?x)
.纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式
基本类型的解法.
典型例题八
例8
解不等式
4x
2
?10x?3?3
.
分析:先去掉绝对值号,再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可.
解答:去掉绝对值号得
?3?4x
2
?10x?3?3
,
∴原不等式等价于不等式组
22
?
?
?3?4x?10x?3?
?
4x?10x?0
?
?
2
?
?
2
??
?
4x?10x?3?3
?
4x?10x?6?0<
br>5
?
x?0或x?,
?
?
2x(2x?5)?0
?<
br>2
?
??
?
2(x?3)(2x?1)?0
??
1
?x?3.
?
?
2
??
15
∴原
不等式的解集为
?
x??x?0或?x?3
?
.
22
??
说明:解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式,然后把不等式等
价转化为
不等式组,变成求不等式组的解.
典型例题九
例9 解关于
x
的不等式
x
2
?(a?a
2
)x?a
3
?
0
.
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分析:不等式中含有字母<
br>a
,故需分类讨论.但解题思路与一般的一元二次不等式的解法
完全一样:求出方程x
2
?(a?a
2
)x?a
3
?0
的根,然后
写出不等式的解,但由于方程的根含
有字母
a
,故需比较两根的大小,从而引出讨论.
解:原不等式可化为
(x?a)(x?a
2
)?0
.
(1
)当
a?a
2
(即
a?1
或
a?0
)时,不等式的
解集为:
?
x
?
x
?
x
x?a或x?a
2
;
?
?
(2)当
a?a
2
(即
0?a
?1
)时,不等式的解集为:
x?a
2
或x?a
;
(3)当
a?a
2
(即
a?0
或1)时,不等式的解集为:
x?R且x?a
?
.
说明:对参数进行的讨论,是根据解题的需要而自然引
出的,并非一开始就对参数加以
分类、讨论.比如本题,为求不等式的解,需先求出方程的根
x
1
?a
,
x
2
?a
2
,因此不等式
的解就是
x
小于小根或
x
大于大根.但
a
与
a<
br>2
两根的大小不能确定,因此需要讨论
a?a
2
,
a?a2
,
a?a
2
三种情况.
典型例题十
例10 已知不等式
ax?bx?c?0
的解集是
2
?
x<
br>?
?x?
?
?
(
?
?0)
.求不等式
cx
2
?bx?a?0
的解集.
分析:按照一元二次不等式的一般解法,
先确定系数
c
的正负,然后求出方程
cx
2
?bx?a?0
的两根即可解之.
解:(解法1)由题可判断出
?
,
?
是方程ax
2
?bx?c?0
的两根,
∴
?????
bc
,
????
.
aa
又
ax
2
?bx?c?0
的解集是
?
x??x??
?
,说明
a?0
.
而
??0
,
??0
??
??0?
c
?0?c?0
,
a
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∴
cx
2
?bx?a?0?x
2
?
ba
x??0
.
cc
?
?
?
11
?
b
b
?
?????,
?
?
?
??
?
c
?
????
??
a
?
??
cc111
?
?
?
?
?
?
??(?
)(?),
?
?
a
??
?
?
a
??
1111
ba
x??0
,即
x
2
?(??)x?(?)(
?)?0
,
????
cc
11
即
(x?)(x?)?0
.
??
11
又
0????
,∴
?
,
??<
br>∴
x
2
?
∴
(x?
?
11
11?
)(x?)?0
的解集为
?
x?x?
?
.
??
??
??
(解法2)由题意可判断出
?
,
?
是
方程
ax
2
?bx?c?0
的两根,
∴
????
c
.
a
又
ax
2
?
bx?c?0
的解集是
?
x??x??
?
,说明
a?0.
而
??0
,
??0
????0?
c
?0?
c?0
.
a
对方程
cx
2
?bx?a?0
两边同
除以
x
2
得
11
a?()
2
?b?()?c?0
.
xx
1
令
t?
,该方程即为
x
at
2<
br>?bt?c?0
,它的两根为
t
1
??
,
t
2
??
,
∴
1
1
1
1
??
,<
br>??
.∴
x
1
?
,
x
2
?
,
x
2
x
1
?
?
1
1
,. <
br>?
?
∴方程
cx
2
?bx?a?0
的两根为
∵
0????
,∴
11
?
.
??
∴不等式
cx
2
?bx?a?0
的解集是
?
x
?
?
11
?
?x?
?
.
??
?
说明:(1)万变不
离其宗,解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根;(2)
结合使用韦达定理,本
题中只有
?
,
?
是已知量,故所求不等式解集也用
?
,?
表示,不等式
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系数
a
,
b
,
c
的关系也用
?
,
?
表
示出来;(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根.
典型例题十二
x?ax?b
1
的解为
?
(??,)?(1,??)
,求
a
、
b
的值.
3
x
2
?x?1x
2<
br>?x?1
分析:不等式本身比较复杂,要先对不等式进行同解变形,再根据解集列出关于
a
、
b
式
子.
13
解:∵
x
2
?x?1?(x?)
2
??0
,
24
13
x
2<
br>?x?1?(x?)
2
??0
,
24
例12 若不等式<
br>∴原不等式化为
(2?a?b)x
2
?(a?b)x?a?b?0
.
?
?
2?a?b?0
?
1
?
a?b
?, 依题意
?
?
2?a?b3
4
?
a?b
?<
br>?
?
2?a?b3
5
?
a?
?
?
2
. ∴
?
?
b?
3
?
2
?
说明:解有关一元二次方程的不等式,要注意判断二次项系数的符号,结合韦达定理来
解.
典型例题十三
例13 不等式
ax
2
?bx?
2?0
的解集为
?
x?1?x?2
?
,求
a
与b
的值.
分析:此题为一元二次不等式逆向思维题,要使解集为
?
x?
1?x?2
?
,不等式
ax
2
?bx?2?0
需满足条件<
br>a?0
,
??0
,
ax
2
?bx?2?0
的
两根为
x
1
??1
,
x
2
?2
.
解法一:设
ax
2
?bx?2?0
的两根为
x
1
,
x
2
,由韦达定理得:
b
??
b
x?x???
??1?2
12
??
??
aa
由题意:
?
<
br>?
22
?
x?x??
?
???1?2
12
?
?
a
??
a
∴
a?1
,
b??1
,此时满
足
a?0
,
??b
2
?4a?(?2)?0
.
解法二:构造解集为
?
x?1?x?2
?
的一元二次不等式:
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即
x
2
?x?2
?0
,此不等式与原不等式
ax
2
?bx?2?0
应为同解不等式,
(x?1)(x?2)?0
,
故需满足:
ab?2
∴
a?1
,
b??1
.
??
1?1?2
说明:本
题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系,同时还考查逆向思维的能
力.对有关字母抽象问题,
同学往往掌握得不好.
典型例题十四
例14
解关于
x
的不等式
ax
2
?(a?1)x?1?0
. 分析:本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法,因为含有字母系数,所以还
考查分类思想
.
解:分以下情况讨论
(1)当
a?0
时,原不等式变为:
?x
?1?0
,∴
x?1
(2)当
a?0
时,原不等式变为:
(ax?1)(x?1)?0
①
11
.
aa
1
②当
a?0
时,①式变为(x?)(x?1)?0
. ②
a
11?a111
∵
?1?
,∴当
0?a?1
时,
?1
,此时②的解为
1?x?
.当
a?1
时,
?1
,
aaaaa
1
此时②的解
为
?x?1
.
a
说明:解本题要注意分类讨论思想的运用,关键是要找到分
类的标准,就本题来说有三
级分类:
①当
a?0
时,①式变为
(x
?)(x?1)?0
,∴不等式的解为
x?1
或
x?
?
a?
0
?
?
a?0
?
?
?
a?R
?
?
0?a?1
?
a?0
??
?
a?0
?<
br>a?1
?
?
?
a?1
?
?
?
??
分类应做到使所给参数
a
的集合的并集为全集,交集为空集,要做到不重不漏.
另外,解本题
还要注意在讨论
a?0
时,解一元二次不等式
ax
2<
br>?(a?1)x?1?0
应首选做到将二次项系数变
为正数再求解.
典型例题十五
例15
解不等式
x
2
?3x?10?8?x
.
分析:无理不等式转化为有
理不等式,要注意平方的条件和根式有意义的条件,一般情
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况下,
f(x)?g(x)
可转化为
f(
x)?g(x)
或
f(x)?g(x)
,而
f(x)?g(x)
等价
于:
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
或.
?
?
g(x)?0
g(x)?0
?
?
f(x)?[g(x)]
2
?
解:原不等式等价于下面两个不等式组:
?
8?x?0
?
8?x?0
?
①
?
2
②
?
x
2
?3x?10?0
?
2
?x?3x?10?0
2
?
x?3x?10?(8?x)
?
x?8
由①得
?
,∴
x?8
x?5或x??2
?
?
?
x?8
?
74
由②得∴
?
x?5或x??2
?x?8
,
13
?
74
?
x?
?
13.
7474
????
?x?8或x?8
?
,即为<
br>?
xx?
所以原不等式的解集为
?
x
?
.
1313
????
说明:本题也可以转化为
f(x)?g(x)
型的不等式求
解,注意:
?
f(x)?0
?
,
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
2
?
f(x)?[g(x)]
2
?
这里,设全集
U?{xx
2
?3x?10?0}?{xx??2或x?5
}
,
A?
?
?
xx?3x?10?8?x
?
,??
则所求不等式的解集为
A
的补集
A
,
?
8?x?0
?
74
?x??2
或
5?x?
由
x2
?3x?10?8?x?
?
x
2
?3x?10?0
.
13
?
22
x?3x?10?(8?x)
?
?
74
?
即
A?
?
xx?2或5?x?
?
,∴原不等式的
解集是
13
??
?
74
?
A?
?
xx?
?
.
13
??
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