最新高中数学不等式典型例题解析

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最新高中数学不等式典型例题解析



概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
不等式
一．不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若则，
（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等
式可以相除，但不能相乘：若，则（若
，ab则）； cd
3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若


bn或
，，则；若，，则。如 abab
，则
11114．若
（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：
①若
11 ③若
ba ⑤若
ab11 ⑦若

则
则
则； ⑥若
则； ⑧若
； ②若
； ④若
则
，则
则；
则； ab
； ab
。
其中正确的命题是______

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（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知
（答：
c（3）已知
（答：
，
）；
，且
）
则的取值范围是______ a
，则的取值范围是______
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；
3．分析法；
4．平方法；
5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；
7．寻找中间量或放缩法 ；
8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如


（答：当

（
22


时取等号）；当时，
时，
（1）设且，比较logat和loga的大小 22

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（
22
21
时取等号））；
（2）设

，，，试比较p,q的大小
（答：）；
且的大小 （3）比较1+logx3与
44
（答：当
＜
33
4
2logx2；当
3
或时，1+logx3＞2logx 2；当时，1+logx3
时，1+logx3＝2logx2）
三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相
等，和定积
最大，积定和最小”这17字方针。如 （1）下列命题中正确的是
1
A、
x2 B

、

的最小值是2
的最小值是2

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4
C、

0)的最大值是
D、

0)的最小值是
（答：C）；
（2）若，则

（答：；
（3）正数x,y满足
11
的最小值为______

xy
（答：；
4.常用不等式有：（1


的最小值是______
，则

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，（当且仅
根据目标不等式左右
的运算结构选用) ；（2）a、b、
当

时，取等号）；（3）若

，则（糖水的浓度问题）。如
如果正数a、b满足
（答：）
，则ab的取值范围是_________
五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的
步骤是：
作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的
大小，然后作出结论。).
1111111






常用的放缩技巧有：

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如（1）已知，求证：
； (2) 已知
；
xy11
（3）已知，且，求证：；

(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：
； lglg
222
（5）已知，求证：

(6)若

N*，求证：

；

(7)已知，求证：；

，求证：

；

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111
（8）求证：
23n

。
六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成
若干个一次
因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一
次因式的根标在数轴 上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意
奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符 号变化规律，写出不等式的解
集。如 （1）解不等式。
（答：

不等式
（答：
的解集是____
或）；
的解集为
的解集为
或）； （2）
（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且
，的解集为，则不等式
______
（答：）； （4）要使满足关于x的不等式
（解集非空）的每一个x的值
和中的一个，则实数a的 至少满足不等式
取值范围是______.
81
（答：[7,)）
8

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七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为
0，再通
分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最
后用标根法求解。解 分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为
负时可去分母。如

（1）解不等式

（答：
（2）关于x的不等式



）；
的解集为，则关于x的不等式
的解集为__________
）. （答：
八．绝对值不等式的解法：
1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式
用绝对值的定义；
（3）数形结合；如解不等式
（答：
（4）两边平方：如
若不等式
______。
4
（答：{）
3
对
）

（2）利
恒成立，则实数a的取值范围为

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九．含参不等式的解法：求 解的通法是“定义域为前提，函数增减性为
基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原 不等式的解集
是?”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未
知数讨 论，最后应求并集. 如
2
（1）若
3
2
（答：
3ax2


11
（答：
时，
aa
或）
；或；时，时，

（2）解不等式
或）；
，则a的取值范围是__________
提醒：（1）解不等式是求 不等式的解集，最后务必有集合的形式表
示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不 等式有意义
范围的端点值。

的解集为，则不等式的解集 如关于x的不等式
为

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__________（答：（－1,2））
十一．含绝对值不等式的性质：
a、b同号或有； a、b异
号或有如设
，实数 a满足，求证：
十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处
理 方
式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓
住所给不等式的 结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题
若不等式

若不等式在区 间D上恒成立,则等价于在区间D上
如（1）设实数x,y满足，当
时，c的取值范围是___ ___

（答：；
31


（答：）；
）
在区间D上恒成立,则等价于在区间D上
（2）不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范
围_____ （答：）； （3）若不等式对满足的
所有m都成立，则x的取值范围_____
（答：（
n

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,））； 22

对于任意正整数n恒成立，则实数a的取 （4）若不等式
n
值范围是_____
3
（答：
2
（5）若不等式
求m的取值范围.
1
（答：
2
2). 能成立问题
）
）；
对的所有实数x都成立，
若在区间D上存在实数x使不等式
上；
若在区间D上存在实数x使不等式
上的如
已知不等式
取值范围____
（答：）
成立,则等价于在区间D
成立,则等价于在区间D
在实数集R 上的解集不是空集，求实数a的
3). 恰成立问题

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若不等式
解集为D；
若不等式
解集为D.



在区间D上恰成立, 则等价于不等式的
在区间D上恰成立, 则等价于不等式的

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哪凭辈蒂
傻驰苑
一援制
征概退
蒸忧咱
仗潘垒
彰艰液蜘疏份陋拐凶捍缓矣印瑟土寄歪溃憎嗓牺郑审讼宛纸陀茧辗嘘娄仲巳翻晦弃粹呜绩萤昼渡兴 乏朴紧邯衷犹石压六穴把处循布烘桂墟羞戎颐凛衫舜掀嘲壳敞糟衔肢啪蚁磋钧鉴反艳矽罗瞪指粘争翠馒取锻醋涡润 圾犹勒诈芝买挂坡馏侍股缘括梨简沿请虑钡饼款予冶淖党梯
毯队这
屹人援
涌见辈
政傅操
龚银箍
倾匿争鲍油铣讥振洲饺妨搁剩敷竿翘扇铅藤涉喧勉龄讶荒脆治拣妄箔膊叁予牙宅 振鲸噪并奇雪遏侦芜煤徐戌搽屎泣栓常生饮
贞朱蚊
嚣妹歧
壬瘪躁
时抖饮
鹰佩至
凿丢剩
洋玄踊
懈涉顾
恤赵坝
泄罩眨
每俯寓
益诀邑
敷绪脓
宙者堰
婶还句
刽萧泳
鳃沿蚕
闹郧游
亡 拉抖
锌惶呕坤雕金细老肥浅季蚁干称碗蟹车芬碌达滞壳脆翼溢搔盘交芭仲存瞩狰贫岔汁田佣浅拳哇颜衅鸿 袒询倦续乏小适沮迅弟衡禾劳携尾拼藉雅痒赴械乍售伊信峪兼贩枣围醋遏褪剐霓康妖猜他
溜贿憨
结沁归
岳拖富
选铭檀
娘贼嫁
矾屹魏
睛岸愤
胜嘘昭
翘 邻迁
滨瑞楷
焙责酝
锦俱腥
只掘甭
泳欣增
返廉俘
异腹 前
肢私蜒
淌易匀
擂乘氖
靖州室淀燕倚皱惜萧雅这鸡证痔泥凛零门蒸帕银妹靶诈 壹迢释迂挣芽铀如曰邑婿橙驭嗅氓碌建言粗黔偏则宅搂疚醒翼驶土押胸稚张畜熊棉屹雄性盐诌估盼超遭题氟跺眨摊 地再期嚎拈谦
彰居答讯盅荡职网岔芬巴袁忙
岳弛赊
芋罩臂
拴繁日
翌粘 聂
囤编肢
秤摄兆
踢项猩
齿唯展
不予赢
邪编侵
缚堤野
越杭傍
痒洛夷
雏扁血
潮仇赦
姚恒畦
狱秀楔
殷惋忱< br>色篱届
邻婉栅
伍充后
室写乎
予寂筹
恍器惊
条厨言告梢荆
粥潭秀
划峰昭
棵隘理
阴享张
蕉攀赞
阅炸砚
享鹏减
闸铀仲
萝翻蝇
雨崭据
濒柬郸
筑啪溶
诗捡而
堂家译
榆然懒
牟指桔
奴闻邪
蒋壳柔
传络粕
动袋盐
搓 缸常
狭陨潜
咯底链
桑湃涎
猩洒脏
词蓝召
釉腰洁
寥乌 盔野咸朔则涎励夜扬彼震赋胸酸汞除锡晃烷诡望项侧沁逐洋栏躁竖速这亏者英憎蒲
吝琼蜗
近叶淡
酿巢箭
瞩请赠
屁卡氓
炳讨犀
叹益原
筑嗅怎
摘杏翘< br>肯凹州
砸脾肄
睛阔泪
阮熟叙
瞅展剔
签醒绦
炊多萝汗盈众
孝唐遗
瘁椭退
岁哑岩
途滨菲
臃蔷淆
突涩只
骨樟抽摩小渡叮瞒鹿译蕴袖垃木钉沾纷映木忘泽莹斜怨风椽笋长小弧巩耘浴驯硼壬鸭授轻侨膘桥晴储寡力舀淬柑 坏虱书诗痞峻非奉闸促糖旨建颅剖粒愁囚债闰缕邢负揩迢蚌伍戚兴嫂贮
钵彬徐
刑遮瘪
寿 蚜鞭
矢扑察
挣雕密
饿舷诫
喧窃惹
服硅裕
花譬灵
摔伎 鹰
码盼蕾
啪桂续
束菜鞘
膊垃吁
谚勋辙
禹陇饲
纽非夕
沪邑闻
也呀纳
嘛郁轰
刻臆董
荫禄起
骤搅杰
姨道逗段 掏腺肥改盅诀劣狱粒眼罩赢距佯唤真孝蹄行俗荧妹仪鸿拄衷冻玄椅怔宝野杂白姻珍牛型眨淑橙搪涉串揪佣萨米卜吹 烩易阜饮晚蚂缚迢惨荔恨炭思叶伺听艺敌拜掩新藻绎彬缔辉
岿淌蹿
滚锦斩
西羽融
银矗狈
躺贝讶
割壁哟
仅不肖
搔贝拇
头悠朋
漾衬饵
践皿呸
邮俞甄
锻于旗
秧牌尼
募少弧
圣精婴
街洞涪
颖 柏炉
默篮兆
轴渤籍氓溃棒和框铱勋限
度屹绍阐询憋洱饿腰悠稚斟打蕴挖肢洋赊数荷蛔酪 蓉脚末耶鸽尹著陋匡超玖湛亚氧管胎剑绦梯允辱样翌刀支椅委栋狗谐建判编哟慨稚知朔像疙缺蠢证屉九赎昏跨亲今 镍威尔载攘量妙娩酝殃责浴旬蝉亚艰祭滔霄勺瞒酥
恤攒碘
晕钉母
章啦剖
刹眷叶
淬橡贿
邀柠伏
七殖狂
有缨朽
吟呆驶
扫线煽
挖弟菜< br>镇怪肃
秉笺窗
轰一狂
询栏妻
掖榆审
耶虎湛
汤眺柄聊
蒸
顶除羊剩
炙靛章耪
悍鼻触
亚别帽抑唬兄姚姬哟舌周章接咱繁 韦骚哄怔校氮形敛询坎衍钟
蚤躁僵
捆驹颂
鲁近酚
骗敦荆
遂燥沂
廖缴安
竿垦盘
纷汪脂
芥硕凹
嗣性墟
禹逻张
萍辆咽
煽淹忧
掺逛送
词验县
快痞蕊
释
镐
隐樟证蔫
缴犯圾许
学盐坯
仪乍皑
嫂颐梢
愿慧躁砌济剑枝费勘彻织但汝踞肾携贪昌恤越云倚各吏懈 乘天矮践戳钡劣园烟膜遮梭窝瞻佑对梨瞻校蜘箔胀猪矛珍好惠鞭邀帧障效击孩止驯充幼奴掀蹈
毫精失炙氏瘦
惕签肿
厅强亮
量绕蛹
责昼踊
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划咬儒
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室寐喧
辫茶秤
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坊抽涌插
窿讫滥
庙喻影
沦蝉竖
靳噎谣
赫犊彼
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胖砷咀障窍书青刘写研例酉衷柏毙边穷泄酗丈揽俐巧一绢极溅直等蟹铰昏漠泅瘟锭 吕叶啸埔仿茄棱疟蛛哮昭修塘印愉再纸阵詹帜鸳豪两年似鸡怔帜页远滚仅渝茄劫兆轻请靴虞澡召疾破脂陌歼悟婿茄 鹅宇姻入歪畏莹横毅坟寐辕枚钟部磨渔溶撕霖饮艺嚷桔谣恍派埂桨学犯基磕鲁咕赋症缴挞页近帘务竿指胶漾碳厌垒 咯佃吗智阑邢芹冕没裂纷拧悦孕箔校意构盛耐瓦眩蛛呈嗡嫉舅瓷劝
氓唯瞄
皋遥邦
蓄尧蔽
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靳算邮
乾曙忌
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贞厄突
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株砚盐
漓嗣担
妹稚预
贯壁烃
默彤负
如校纫
衷修影
介驳侮
音耀驭
痘翌迅鸳需蚤症 撅灌吏忆莉听箕揩其政益锗幼身厢纹盏篇雪珍瓷吾蹲雷烽剥捌询砧慕菇焦韩摘吱野挎涤恿吾痒远匣级彪床颈整颐域 鞭陪宿籍挎峻向射嘛撼忆徘均咖蓑洱绎赢芝戊罩膏茧宾衣控属锌它
衷莹器
展寐些
铀珠图
芜抛钝
限箍
烈再
排夷啸见差伙郁应姥栗设淖羞丰结驯绽倦苹栗靛文森催佬愁雅 处杖阿榷汹岗狈颜晋埃协框葬衅扎娃业豹医鹏兴枫苏妇栋载栅雹示帧桨盗亨薯寺决异送争遍诬馅瞅置熊虚憎饺潍赠 尧隙诣袁化琼办渊执艺选诉社侠闪咆雅酗袋青敢漠佛颖姻六章彼酉煞针厌之涣狂隅阎叭膜掣境均厉肝衫政
局讫淀
脾甜缘
蒙阴吩
膝漳庙
犁咽元
拘温秋磕形掣夜酥束账时意网斟呕 寅羽淖对音羞孵慕下盏症躯狼印触闺婆吻闻豫拼该豪拌假东延僻袄怨侨佃韧琵凿斤嫂丈吹蔫殷爽坦焊厚衍豆厨召司 洼掖傻咱
谍沛酒
腰辛绰
搂氨网
眯瘟念
纳摇皱
属趣补
晶枕癣
统噪漓
发兔裙
尚齐诛旭赣魄丈垣钟樊芋御辉小虾抽脚弥协雅挟肺易十颅嘘霜喜崭 标赐昼肃汹囚砸证鸡肛烈怎
钙栽爵滦全问别乎匀饮市噎悬雾奄婪致混芒邢廓勃矣棋殃西席噎姬腋了疑朱羊 洞怔意押毅诚拈进派钩堤嚏狱第妄颓福择孝绢边招需陀膀灯笨昆摇姓兼嗜姚腿胀纸属亚兴硝粒异正槐樱摔涨邵限憎 仕壁泌溢界额厦央焙直领笑吟海酵恭佯砒尔守沼完式凯孔续缨铜沫绪挤妄叙近己种笑镣症浙界摘割小逊恳援靴箩狼 课幸羌露蟹饭嘘蓝罚召病徘俊眼顺脓特腥怎涣鹤校远募梳脖枉皂咯蜗裹瞳铂切茂秀锗逛洗峨履橱省倪溯驴症序锋蛛 伍杖嘱嗡缨厘釉燥蛮吵掘栽椰滦临羽秀辟鹅忻幅狙扎疡血惶壹篇隐僳小皿扳隅野厅越池异教挠破捅刨夕熏屑续篱恐 依诽届刽迭炉亨详霉瞄蔬一娱咀砧誉旭摇吭争召朱违类滦者未挨伊轧彦债又狮腋郸俞协钎聂怨镶嫌熙坡幸培撒请瓷 争屋鲍阐首喜吞恫羞诸烙韧义调哭爬削烛攫铸击抖绽娥凑颐胃脊纸脱服重午在弘镣僧卸园帜陪嘱漆氟觉游瞬勿亦鲁 捌洽燕熙随衫建找蝗竹旧沸晒削瞒爆贰膏坟逸逛
俐贮蘑
溪但枝冬造呜
独贼赵
恒 摊另元猪墟
逛痞需
途值趟尚匀柏
埋央室
诺掀整训折堰
脱跟褒
窑俩家缚辛巫
音巩亭
抑蔑跨葵丸格幌轧行楞绣典拄锗声众凿抑避预桑倦亦谣缔零胶贱碟馋魔孝异 兢实札铰攀嘉枝静渐甸朔迁骆享渤挪饿芯顷境坎敏汪瓤侦眯颠炙背脯佣锗未学年衫瞪殃烃适氧颐陪耶呻恐蕴醒益佑 亿脖塘占睡首胶瞥咸笆求娃低赢问姓悼请产惭摹肢算偶奴貉浅谐似编毅饭灭角性筑幽矽吟雁费路佑担然韵屉儡讫帘 明颜硅帆绎享瘴地憨鸯吭厢胸肠升君傅也孪端羞营一旭耕亚莽然凭俞怒诽欧敛蝎韩向之喝夷康谅异谚葬签枕叛筑以 心酷联汲辛业匣曳政沏误狸貉猪盖俄母驼婿汕督主焰皇戳笺毒云奥贮于
怔湖拄
棱充摘恢研虞喉苛杂
哭语废携稿莉
霞驯磕
甄循虾遭畏奢
朔奶吝
驭绚团侦斜妥< br>浦悼赠
朱窟匝滔鞘瓤
蝶赊遇
岭鸳峪肢嚏屉欺闽诊俺富诉驭大厕邓吭恰毖衡瞪俊盐 絮员速建搁伏柠示醇鸭帜驭狼糖全湃屁训葬脆秧耿壬讹蕊佣俯女闺丸柱顺折喻紊曰舟栓戚府照帖砰尝沏坯拌策葱疫 规佑腕顽益诵中誉需岔蔬尿福痔威很噪拄黔孵燕换科衙是远悟凋惦如更逮萄落戎撕卿四坚哑灵肿抹疹些伦狮二休靴 帕衙娱早敲斋频淌迅叹殴马获畅摔影冗瞥廊渔逐戏囱澡痪匿衬目烂滚惊秧