高中数学不等式题库

高中数学不等式经典题库
典型例题一
例1 解不等式
x?1?2x?3?2

分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概 念
a?
?
?
a(a?0)
，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与< br>?
?a(a?0)
之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键 是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），
将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．
解：令
x?1?0
，∴
x??1
，令
2x?3?0
，∴
x?
3
，如图所示．
2
（1）当
x??1
时原不等式化为
?(x?1)??(2x?3)?2
∴
x?2
与条件矛盾，无 解．
33
时，原不等式化为
x?1??(2x?3)?2
．∴
x?0
，故
0?x?
．
22
33
（3）当
x?
时，原不等式化为
x?1?2x?3?2
．∴
x?6
，故?x?6
．综上，原不等式的解为
?
x0?x?6
?
．
22
（2）当
?1?x?
说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段， 然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．
典型例题二

例2 求使不等式
x?4?x?3?a
有解的
a
的取值范围．
分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．
解法 一：将数轴分为
?
??,3
?
,[3,4],(4,??)
三个区间
当
x?3
时，原不等式变为
(4?x)?(3?x)?a,x?
7? a7?a
有解的条件为
?3
，即
a?1
；
22
当
3?x?4
时，得
(4?x)?(x?3)?a
，即
a?1
；
a?7a?7
，有解的条件为
?4
∴
a?1
． 22
以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为
a?1
．
当
x?4
时，得
(x?4)?(x?3)?a
，即
x?解法二：设数
x
，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义 ，原不等式
PA?PB?a
的意义是P到A、B的距离之和小于
a
．
因为
AB?1
，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于1），即
x?4?x? 3?1
，故当
a?1
时，
x?4?x?3?a
有解．
典型例题三

例3 已知
x?a?
??
,0?y?b?,y ?(0,M)
，求证
xy?ab??
．
2M2a
分析：根据条件凑
x?a,y?b
．
证明：
xy ?ab?xy?ya?ya?ab
?y(x?a)?a(y?b)?yx?a?a?y?b?M?
??
?a???
．
2M2a

说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．
典型例题四

例4 求证
a
2
?b
2
a
?a?b

分析：使用分析法
证明 ∵
a?0
，∴只需证明
a?b?a?ab
，两边同除
b
，即只需证明
22
2
2
a
2
?b
2
b
2
a
aaaaaaaaa
?
2
?
，即
()
2
?1?()
2
?
当
?1
时，
()
2
?1?()
2
?1?()
2?
；当
?1
时，
b
bbbbbbb
bb
b< br>a
2
a?b?0
，原不等式显然成立．∴原不等式成立．
说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：
a
（1）如果
?1
，则
a?b?0
，原不等式显然成立．
b
（2）如果
bbb
?1
，则
???b
，利用不等 式的传递性知
a?
，
b?a?b
，∴原不等式也成立．
a
aa
典型例题五
例5 求证
a?b
1?a?b
?
a
1?a
?
b
1?b
．
分析：本题的证法很多 ，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构
造函数的方法， 再用单调性去证明．
证明：设
f(x)?
x1?x?11
．
?? 1?
1?x1?x1?x
定义域为｛
xx?R
，且
x??1
｝，
f(x)
分别在区间
(??,?1)
，区间
(?1,??)上是增函数．
又
0?a?b?a?b
，∴
f(a?b)?f(a?b)
即
∴原不等式成立．
说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误：
∵a?b?a?b
，
1?a?b?0
，∴
a?b
1?a?b
?
a?b
1?a?b
?
a
1?a?b
?
b
1?a?b
?
a
1?a
?
b
1?b

a?babab
a?b
?????
．
1?a?b1?a?b1?a ?b1?a?b1?a1?b
错误在不能保证
1?a?b?1?a
，
1?a? b?1?b
．绝对值不等式
a?b?a?b
在运用放缩法证明不等式时有非常
重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．
型例题六

(a?1)
2
(a?1)
2
例6 关于 实数
x
的不等式
x?
与
x
2
?3(a?1)x?2 (3a?1)?0
(a?R)
的解集依次为
A
与
B
，求使< br>?
22
A?B
的
a
的取值范围．
分析：分别求出集合
A
、
B
，然后再分类讨论．

< br>(a?1)
2
(a?1)
2
(a?1)
2
(a?1)
2
(a?1)
2
?x??
?
解：解不等式
x?，
?
，∴
A?x2a?x?a
2
?1,a?R
． 222
22
??
解不等式
x
2
?3(a?1)x?2( 3a?1)?0
，
[x?(3a?1)](x?2)?0
．
当
a?
?
1
1
?
时（即
3a?1?2
时），得
B ?
?
x2?x?3a?1,a?
?
．
3
?
3?
?
1
1
?
时（即
3a?1?2
时），得B?
?
x3a?1?x?2,a?
?
．
3
?
3
?
当
a?
当
a?
?
2a?2,
1
时，要满足
A?B
，必须
?
2
故
1?a?3
；
3
?
a?1?3a?1,
?
2a?3a?1,
?
a ??1,
1
时，要满足
A?B
，必须
?
∴
a??1
．
?
2
?1?a?1,
3
?
?
2?a?1;
当
a?
所以
a
的取值范围是
a?R a??1或1?a?3
．
说明：在求满足条件
A?B
的
a
时，要注意关于
a
的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．
??
典型例题七

例6 已知数列通项公式
a
n
?
sinasin2asin3asinna
?
2
?
3
???
n
对于正整数
m
、
n
，当
m?n
时，求证 ：
2
222
a
m
?a
n
?
1
．
2
n
分析：已知数列的通项公式是数列的前
n
项和，它的任意两项差 还是某个数列的和，再利用不等式
a
1
?a
2
???a
n< br>?a
1
?a
2
???a
n
，问题便可解决．
证明：∵
m?n
∴
a
m
?a
n
?
sin (n?1)asin(n?2)asinmasin(n?1)asin(n?2)asinma
??? ??????

2
n?1
2
n?2
2
m
2
n?1
2
n?2
2
m
1
m?n
1
?
1
2
n?1
?
1
2
n?2
1
? ??
m
?
2
2
(1?
n?1
2
1
1?
2
)
?
1111
(1?)?(0?1??1)
． nm?nnm?n
2222
2
n?1
2
n?2
项是常见 错误．
说明：
1
?
1
???
1
11
是以 为首项，以为公比，共有
m?n
项的等比数列的和，误认为共有
m?n?1
2
2
m
2
n?1
正余弦函数的值域，即
sin??1
，
cos??1
，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、
n
个变 量的绝对值
不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同 样成立．
典型例题八

例8 已知
f(x)?x
2
?x? 13
，
x?a?1
，求证：
f(x)?f(a)?2(a?1)
< br>分析：本题中给定函数
f(x)
和条件
x?a?1
，注意到要证的式子 右边不含
x
，因此对条件
x?a?1
的使用可有几
种选择：(1)直 接用；(2)打开绝对值用
a?1?x?a?1
，替出
x
；(3)用绝对值的 性质
x?a?x?a?1?x?a?1
进行

替换．
证明：∵
f(x)?x
2
?x?13
，∴
f(a)?a
2
? a?13
，∵
x?a?1
，∴
x?a?x?a?1
．
∴< br>x?a?1
，∴
f(x)?f(a)?x
2
?a
2
? a?x
?(x?a)(x?a)?(x?a)?(x?a)(x?a?1)

?x?a ?x?a?1?x?a?1?x?a?1?a?1?a?1?2(a?1)
，即
f(x)?f( a)?2(a?1)
．
说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值 不等式的性质等综合知识的运用．分析中
对条件
x?a?1
使用时出现的三种可能是经 常碰到的，要结合求证，灵活选用．
典型例题九

?
x?0
?
例9 不等式组
?
3?x2?x
的解集是（ ）．
?
?
3?x 2?x
?
A．
?
x0?x?2
?
B．
?
x0?x?2.5
?

C．
x0?x?6
D．
?
x0?x?3
?

??
分析：本题是考查含有绝对值 不等式的解法，由
3?x2?x
3?x
?
，知∴
?3?x?3
，又
x?0
，∴
0?x?3
，
?0
，
3?x2? x
3?x
解原不等式组实为解不等式
3?x2?x
?
（
0? x?3
）．
3?x2?x
解法一：不等式两边平方得：
(3?x)
2
(2?x)
2
?(3?x)
2
(2?x)
2
．
∴
(x
2
?x?6)
2
?(x
2
?x?6 )
2
，即
(x
2
?x?6?x
2
?x?6)(x< br>2
?x?6?x
2
?x?6)?0
，
?
x
2
?6?0
∴
x(6?x)?0
，又
0?x?3
．∴
?
∴
0?x?6
．选C．
?
0?x?3
2
解 法二：∵
x?0
，∴可分成两种情况讨论：
3?x2?x
（
0?x?2
）．解得
0?x?2
．
?
3?x2?x
3?xx?2
(2)当
x?2
时，不等式组可化为 （
x?2
），解得
2?x?6
．
?
3?x2?x
(1)当
0?x?2
时，不等式组化为
综合(1)、(2)得，原不等式组的解为0?x?6
，选C．
说明：本题是在
x?0
的条件下，解一个含绝对值 的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只
有在保证两边均为非负数时，才能将不等 式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然
本题还可用特殊值排除法求解 ．
典型例题十

例10 设二次函数
f(x)?ax
2
? bx?c
(
a?0
，且
b?0
)，已知
b?a
，< br>f(0)?1
，
f(?1)?1
，
f(1)?1
，当
x?1
时，
证明
f(x)?
5
．
4

分析：从
a?0
知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从
x?1
且f(?1)?1
，
f(1)?1
知，要求证的是
f(x)?
5< br>，
4
所以抛物线的顶点一定在
x
轴下方，取绝对值后，图像翻到
x
轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这
道题的关键所在．
证明： ∵
2b?(a?b?c)?(a?b?c)?a?b?c?a?b?c?f(1)?f(?1)?1?1
?2
，∴
b?1
．又∵
b?a
，
bb1
b 4ac?b
2
b
2
??1
．又
c?f(0)?1
，
f(?)?
∴
?1
．∴
?
，
?c?
a2 a2
2a4a4a
1b15
bb
2
b
2
?c??? b?1??1?1?
．而
f(x)
的图像为开口向上的抛物线，且
x?1，∴
f(?)?c??c?
4a44
2a4a4a
?1?x?1
，∴
f(x)
的最大值应在
x?1
，
x??1
或
x ??
∴
f(x)?
b5
b
处取得．∵
f(1)?1
，
f(?1)?1
，
f(?)?
，
2a4
2a
5
．
4
说明：本题考查了绝对值不等式的性质 、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参
数
a
，
b
，
c
的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在
x? 1
范围内的最大值．