高中数学不等式习题与详细答案

第三章 不等式

一、选择题















1．已知 x≥ ，则 f( x) ＝

5

x
2
－
4x
＋
5
2x－4

有(





) ．




A．最大值

5
2


B ．最小值

5

C．最大值 1


D ．最小值 1




4




2．若 x＞ 0， y＞0，则 ( x＋ ) ＋ ( y＋ )
2
的最小值是 (


1
4

2
1

) ．








2 y

B ．
A． 3




7
2 x







C．4


D ．
9

2

2


3．设 a＞ 0， b＞ 0 则下列不等式中不成立的是

A． a＋ b＋

1


2
(


) ．


≥ 2
2





B．( a＋ b)(


11
a

b

＋)≥4


ab


2


C
．
a

b

≥ a＋b






D．
2ab
≥

ab





ab


a

b

4．已知奇函数 f( x) 在 ( 0，＋∞ ) 上是增函数，且














f( 1) ＝ 0，则不等式







f( x)－f ( － x)
＜

0

x

的解集为 (

) ．


A． ( －1，0) ∪( 1，＋∞ )

B．( －∞，－ 1) ∪ ( 0， 1)

D． ( － 1，0) ∪ ( 0，1)




C． ( －∞，－ 1) ∪ ( 1，＋∞ )

π
5．当 0＜ x＜

时，函数 f( x) ＝
1
＋
cos 2x
＋
8sin
2
x

的最小值为 (











) ．

2



sin 2 x



a b

A． 2


B．
2 3

C．4


D．
4 3

6．若实数 a，b 满足 a＋b＝

2，则 3

＋ 3 的最小值是 (

A． 18




) ．


3


B ． 6


C．2

D．2
4
3


7．若不等式组



x ≥ 0


x＋3y ≥ 4

，所表示的平面区域被直线

3x＋ y ≤ 4


) ．

B ．



y＝
k
x＋ 分为面积相等的两

4












3



部分，则
k
的值是

(

A．











7





3


C．


4

3



D ．

3

4

3








7


8．直线 x＋ 2y＋ 3＝0 上的点 P 在 x－ y＝1 的上方，且 P 到直线

2x＋y－ 6＝ 0 的距离为

第1页共11页

．设变量


























3 5，则点 P的坐标是 (

) ．


A． ( － 5，1)


B．( －1，5)

C．( － 7， 2)

D．( 2，－ 7)

9．已知平面区域如图所示， z＝ mx＋ y( m＞ 0) 在平面区


域内取得最优解 ( 最大值 ) 有无数多个，则 m 的值为 (

) ．


A．－
7


B ．
7


1
20


20


C．


D ．不存在


2


10．当 x＞ 1 时，不等式

x＋
1


≥ a
(第 9题)


恒成立，则实数

a



x

1


的取值范围是 (

) ．


A． ( －∞， 2]


B．[ 2，＋∞ )

C．[ 3，＋∞ )

D．( －∞， 3]

二、填空题


11．不等式组
( x－y＋ 5)( x＋ y) ≥ 0



所表示的平面区域的面积是

．

0≤x≤ 3

x＋ 2y－ 3≤0

x， y 满足约束条件 x＋ 3y－ 3≥0，若目标函数 z＝ ax＋ y( a＞0) 仅在点 ( 3，y－
1≤ 0

0) 处取得最大值，则 a 的取值范围是


．


13．若正数 a，b 满足 ab＝ a＋ b＋3，则 ab 的取值范围是

．


14．设 a，b 均为正的常数且
ab

x＞ 0，y＞ 0， ＋ ＝ 1，则 x＋ y 的最小值为

．


x

y


15．函数 y＝log
a
( x＋3) － 1( a＞ 0，且 a≠ 1) 的图象恒过定点

A，若点 A 在直线 mx＋ ny

＋ 1＝ 0 上，其中 mn＞ 0，则
1

＋
2
的最小值为


．


m

n


16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为

p
1
，第三年比第二年增长的百分


率为 p
2
，若 p
1
＋p
2
为定值，则年平均增长的百分率

p 的最大值为

．


第2页共11页

12

三、解答题


17．求函数

x
＋
7x
＋
10
y＝ ( x＞－ 1) 的最小值．

2

x＋1

18．已知直线 l 经过点 P( 3，
面积最小时，求直线

l 的方程．

2) ，且与 x 轴、 y 轴正半轴分别交于 A，B 两点，当△ AOB
(第 18 题)

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19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用


A 原料 3 吨， B 原料 2 吨；

5 万元，销售

生产每吨乙产品要用



A 原料 1 吨， B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润

3 万元．该企业在一个生产周期内消耗

每吨乙产品可获得利润


A 原料不超过 13 吨， B 原料

不超过 18 吨 .那么该企业可获得最大利润是多少？



































20． ( 1) 已知 x＜

，求函数 y＝ 4x－ 1＋

1

的最大值；

4x－5


4


( 2) 已知 x， y∈R ( 正实数集 ) ，且

＋ ＝1，求 x＋ y 的最小值；


＊
5
19

x

2
y


( 3) 已知 a＞ 0，b＞ 0，且 a＋

















































b
2
＝ 1，求 a 1＋ b
2
的最大值．

2

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参考答案




1．D





解析：由已知




f( x) ＝

x －4 x＋5

2
∵ x≥ ， x－2＞ 0，
2

5

2 x－4

)

2

＋1

1

，

＝


x－2


＝

1

－2

＋

( x


(


)


)


x－2


2


2 x－2



(

∴


1



－2 ＋


≥


· 2

( x－2)




x－2

2


x－2

2


( x




1

1

1


＝ 1，

















当且仅当 x－

2＝






1


x－2


，即 x＝ 3 时取等号．
































2． C


解析： (



＋
x
1


＋

(


＋
1
)
2
2 y


2 x


)
2
y





















＝ x＋
＋


2
x1

＋ y ＋ ＋

2
y1


y


4 y
2


2

x


2

4x
2


＋

＝
x＋

1


＋
y

＋
1


x
＋
y
．

y


x










4x
2


4y
2


∵ x＋

2
1

2
≥ 2

x
2

4x


1
2

＝ 1，当且仅当 x

2
＝

1

2
， x＝

4x


4x


1



2

时取等号；

2

2
＋

1


y
2





2
＝

1
， y＝

2

时取等号；


y


4 y
2

≥ 2

4 y
2
＝
1
，当且仅当
y

4y
2

2

x
＋
y
≥ 2



y


∴


x


x

y

＝ 2( x＞0， y＞ 0) ，当且仅当

x
＝
y
， y
2
＝ x
2
时取等号．

y

x


y

x


2
＋

1


y
2
＋


1


x
＋
y

≥ 1＋ 1＋ 2＝ 4，前三个不等式的等号同时成立

x


4x


2
＋

4y
2


＋

y

x＝ y＝




x







时，原式取最小值，故当且仅当













2

时原式取最小值

2












4．




3．D


解析：

方法一： 特值法， 如取 a＝ 4，b＝ 1，代入各选项中的不等式，

易判断只有




2ab
a b


≥
ab


不成立．

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方法二：可逐项使用均值不等式判断

A： a＋ b＋

1



≥ 2

ab
＋


ab


1

≥ 2

ab


2

ab

1

＝ 2

2
，不等式成立．

ab


1

>0，相乘得

( a＋b)(

ab


B：∵ a＋b≥ 2









ab
>0，



1
1
＋≥2

a


11
＋)≥4成立．

b



a b

2 2
2222
C：∵ a

＋ b＝ ( a＋ b) － 2ab≥( a＋ b) － 2


a

b

2

2

＝ 2


a

2

b

，


又
ab
≤


a

b

2

1

≥

a

ab

2

b


，∴
a
b
2

≥ a＋ b

成立．

ab


D：∵ a＋ b≥ 2

ab





≥
ab

1

≤

1

，∴
2ab
≤
2ab

＝

ab
，即

a

b 2 ab

a

b

2

ab

a b

2ab
不成立．



4．D



解析 :

因为 f( x) 是奇函数，则

f( － x) ＝－ f( x) ，

f( x)－ f( － x)
＜

0

x

号的 x 的集合为所求．


2 f( x)
＜

0

x



xf( x) ＜ 0，满足 x 与 f( x) 异












y


因为 f( x) 在 ( 0，＋ ∞ ) 上是增函数，且 f( 1) ＝ 0，画出 f( x) 在
( 0，＋∞ ) 的简图如图，再根据 f( x) 是奇函数的性质得到 f( x) 在


－1
O


1

x

( －∞， 0)的图象．


( 第 4 题)

由 f( x) 的图象可知，当且仅当




x∈ ( － 1，0) ∪ ( 0，1) 时， x 与 f( x) 异号．

5． C

解析：由 0＜ x＜
π
，有 sinx＞ 0， cosx＞ 0．

2

f( x)

＝
1＋ cos2x

＋8sin
2

x
＝
2 cos
2
x＋8 sin
2

sin

2x

2 sin x cos x

x
＝

cos x

＋

4sin x


sin x

cosx


≥

2
cos x
·
4sin x
＝
4
，当且仅当

cosx

＝

4sin x

，即

tan x
＝

1

时，取“＝”．

sin xcos x

∵ 0＜x＜


sin x

cosx

2

π
，∴

存在
x
使 tan x＝ ，这时 f( x)
min
＝ 4．

1
2

6． B

2

3

＝ 2

b

ab
解析：∵

a＋ b＝ 2，故 3＋ 3≥ 2 3


a

3

＝6，当且仅当 a＝ b＝1 时取等号．

a b




第6页共11页

故 3
a
＋ 3
b
的最小值是 6．





7．A

解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分


△ ABC ．
由
x
＋
3y
＝
4
＋ ＝

得 A( 1，1) ，又 B( 0， 4) ， C( 0， ) ．

4
3x


y



4


由于直线 y＝
k
x＋ 过点 C( 0， ) ，设它与直线

4

4
3








3

3



3x＋ y＝ 4 的交点为 D ，

则由 S
△

BCD
＝
1



∴

＝
k
×

＋

，
k
＝

．

5

1
2

2



△


S
ABC
，知 D 为 AB 的中点，即 x ＝
1


D

4

7
2




，∴ y


＝ ，

D
5
2







2


8．A





3



3



x
0
＋2 y
0
＋3＝0 ，




＝3

解析：设 P 点的坐标为 ( x
0
， y
0
) ，则

x
0
－ y
0
－1＜0，



解得

x
0
＝－ 5 ，









2x
0
＋y
0
6

5


5 .


y
0
＝1.






∴ 点 P坐标是(－5，1)．

9． B



解析：当直线 mx

＋ y＝z 与直线 AC 平行时，线段 AC 上的每个点都是最优解．

3－
∵
k
AC
＝
22




5
5－1


∴ －m＝－



＝－


7
，

7

7
20

，即 m＝
20


．

20
























10．D

解析：由 x＋


1

＝( x－ 1)

＋

＋ 1，

x－1


x－1


1


∵ x＞1，∴ x－ 1＞ 0，则有 ( x－ 1) ＋



1

＋1≥2

( x－1) ·
x－1

1

＋1＝3，


x－1


则 a≤3．
















第7页共11页

二、填空题

11． 24．

解析：不等式

( x－ y＋ 5)( x＋ y) ≥ 0 可转化为两个

二元一次不等式组．

( x－ y＋ 5)( x＋ y) ≥ 0

0≤x≤ 3

x－ y＋ 5≥ 0

x－ y＋ 5≤ 0


x＋ y≥ 0

或 x＋ y≤ 0


0≤ x≤ 3

0≤ x≤3



(第 11题)


这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．

第一个不等式组所对应的区域如图，

而
第二个不等式组所对应的区域不存在．


图中 A( 3， 8) ， B( 3，－ 3) ，C( 0， 5) ，阴影部分的面积为

3 ( 11＋5)
＝

24
．



2


12．

a a＞
1

．

2

解析：若

z＝ ax＋ y( a＞ 0) 仅在点 ( 3， 0) 处取得最大

值，则直线 z＝ ax＋ y 的倾斜角一定小于直线

x＋ 2y－3＝


0 的倾斜角，直线 z＝ ax＋ y 的斜率就一定小于直线

x＋2y


－ 3＝ 0 的斜率，可得：－ a＜－
1
，即 a＞
1
．



2

2


13． a
b
≥ 9．


解析：由于 a，b 均为正数，等式中含有 ab 和 a＋ b 这个特征，可以设想使用

a＋ b
≥

ab


2

构造一个不等式．


∵ ab＝ a＋ b＋3≥ 2 ab ＋ 3，即 a
b
≥ 2

ab ＋ 3( 当且仅当 a＝ b 时等号成立 ) ，

∴ (

ab
)

2
－

2 ab

－3≥

0，


∴ (

ab － 3)(
ab
＋ 1) ≥ 0，∴

ab ≥ 3，即 a
b
≥ 9( 当且仅当 a＝ b＝3

时等号成立 ) ．
14． ( a ＋

b )
2
．

解析：由已知

ay
，
bx

均为正数，

x

y

第8页共11页

∴ x＋y＝

( x＋ y)( ＋ ) ＝a＋ b＋



abay
x

＋
bx


≥ a＋ b＋
2

ay

bx


·

＝ a＋ b＋2
ab
，





即 x＋ y≥ (


x


y


y


x

即

y



a ＋ b )

，当且仅当

2

ay
＝
bx


x




y


＝


＋

a
ab

时取等号．















a

x


＋

b

y


＝1






＝


＋

y b


ab



















15． 8．

解析：因为 y＝ log
a
x 的图象恒过定点 ( 1， 0) ，故函数 y＝log
a
( x＋ 3) － 1 的图象恒过定

点 A( －2，－ 1) ，把点 A 坐标代入直线方程得

mn＞0 知 ，

m( －2) ＋ n( －1) ＋ 1＝ 0，即 2m＋ n＝1，而由

n4m
均为正，





















m

∴

n

1
＋ ＝ ( 2m＋ n)(
2
1

＋

) ＝ 4 ＋
n



2
n

＋
4m

≥4＋ 2

n





n

4m

＝ 8，当且仅当


m

n


m

m








m




n








1






n
＝
4m

2m＋ n＝1


p
1

p
2


．
m

n

即

m＝

4

时取等号．

n＝

1


2

















16
．


2

a，由题意， a( 1＋ p)
2
＝ a( 1＋ p
1
)( 1＋ p
2
) ，且 1＋ p
1
＞0，

解析：设该厂第一年的产值为


1＋ p
2
＞ 0，



所以 a( 1＋ p)
2
＝ a( 1＋ p
1
)( 1＋p
2
) ≤ a

1＋p
1
＋1＋p
2

＝

a 1
＋

2


p
1
＋ p
2
，当且仅当

p≤

2




2

p
＋
p
1
2

2




，解得


2


1＋ p ＝ 1＋p ，即 p ＝ p 时取等号．所以

1

p 的最大值是



2

12




p
1
p
2

．

2

＋

三、解答题



17．解：令

x＋ 1＝ t＞ 0，则 x＝t －1，


y＝


(


t－1

＋7 t－1 ＋10

)
2

(

t

)

2
＝
t ＋5t

＋
4
＝ t ＋


4
t

＋ 5≥ 2 t


4

t

＋ 5＝9，



t

当且仅当 t＝















4
，即 t＝ 2， x＝ 1 时取等号，故

x＝ 1 时， y 取最小值 9．


t


第9页共11页

18．解：因为直线 l 经过点 P( 3， 2) 且与 x 轴 y 轴都相交，

y



故其斜率必存在且小于

0．设直线 l 的斜率为

k
，


B


则 l 的方程可写成

y－ 2＝
k
( x－ 3) ，其中
k
＜ 0．

令 x＝0，则 y＝2－ 3
k
；令 y＝0，则 x＝－ ＋ 3．

△
AOB
＝
2
P(3,2)



1

( 2－ 3
k
)( －
2

＋3)＝
1
k

O



A

(第 18题)

x

S

2



k

＝ 12，当且仅当 ( －9
k
) ＝( －

) ，即
k
＝－


4
12＋(－9

)＋( －

4
)

≥

12＋2

－9

－

4

k


(

k) (


)


2

k

2

k



1
2
3

时，S


△ AOB


有最小值

12，所求直线方程为

y－ 2＝－ ( x－ 3) ，即 2x＋ 3y－ 12＝ 0．




2

k















3

19．解：设生产甲产品


x
吨，生产乙产品

y
吨，则有关系：

A 原料用量

3x

y

B 原料用量

2x

3y

甲产品 x 吨

乙产品 y 吨



x 0

则有

y 0

3x y ≤13

2x 3y ≤18

，目标函数

z＝ 5x＋ 3y






作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知

(第 18题)

当
x
＝3，
y
＝

4

时可获得最大利润为

27万元.

20．解： ( 1) ∵ x＜


5
4

，∴ 4x－ 5＜ 0，故 5－ 4x＞ 0．

y＝ 4x－ 1＋



1



＝－ ( 5－ 4x＋





1

) ＋4．

4x
－

5

1

5
－
4x


∵ 5－4x＋



≥
2 ( 5
－
4x)




1

5
－
4x

＝ 2，

5
－
4x


∴ y≤－ 2＋ 4＝ 2，


当且仅当 5－ 4x＝


















1

，即 x＝1

或 x＝ ( 舍 ) 时，等号成立，

5
－
4x


2


3
故当 x＝ 1 时， y
max
＝ 2．

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1


( 2) ∵ x＞ 0， y＞ 0，

＋


9

＝ 1，




∴ x＋y＝ ( ＋ )( x＋ y) ＝ ＋ ＋ 10≥2
x

y

x

y

当且仅当 ＝
x

19y9x
y9x

·
y9x
，且 ＋ ＝ 1，即

x

y


19
x



＋

10＝

6＋

10＝

16．
y




y


＝4，


x


时等号成立，

y＝12











2


∴ 当 x＝ 4， y＝12 时， ( x＋ y)
min
＝ 16．


( 3) a 1＋b ＝ a


2
2
1
＋
b
2

2
2

＝ 2 · a




2

，即 a＝


1
＋
b

≤

2

2

2
2
2

2
a
2
＋

1
＋

b

2

2

＝
3 2
，

4

当且仅当 a＝














































































1
＋
b
2


3
， b＝


2
时， a 1＋ b


有最大值

3 2
4

．


2

2

2

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