高中数学不等式与不等关系知识梳理

不等式与不等关系
【考纲要求】
1.了解不等关系、不等式（组）的实际背景；
2.理解并掌握不等式的性质，理解不等关系；
3.能用不等式的基本性质解决某些数学问题.
【知识网络】
实际背景
不等式与不等关系
不等式的性质
基本性质的应


【考点梳理】
要点一、符号法则与比较大小
1. 实数的符号
任意x?R
，则
x?0
（
x
为正数）、
x?0
或< br>x?0
（
x
为负数）三种情况有且只有一种成立。
2. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：
a?0,b?0?a?b?0
；
a?0,b?0?a?b?0

②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：
a?0,b?0?ab?0
；
a?0,b?0?ab?0

③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
a?0,b?0?ab?0

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：
x?R?x?0
，
x?0?x?0
.
3、比较两个实数大小的法则：对任意两个实数
a
、
b

①
a?b?0?a?b
；
②
a?b?0?a?b
；
③
a?b?0?a?b
。
对于任意实数
a
、
b
,
a?b
,
a?b
,
a?b
三种关系有且只有 一种成立。
要点诠释：
这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本 章的基础，也是证明不等式与解
不等式的主要依据。
22

要点二、不等式的基本性质
１．不等式的基本性质
（1）
a?b?b?a

（2）
a?b,b?c?a?c

（3）
a?b?c?a?c?b


a?b?a?c?b?c

?
c?0?ac?bc
?
（4）
a?b
?
c?0?ac?bc

?
c?0?ac?bc
?
２．不等式的运算性质
（１）加法法则：
a?b,c?d?a?c?b?d

（２）减法法则：
a?b,c?d?a?d?b?c

（３）乘法法则：
a?b?0,c?d?0?ac?bd?0

（４）除法法则：
a?b?0,c?d?0?
ab
??0

dc
（５）乘方法则：
a?b?0?a
n
?b
n< br>?0(n?N,n?2)

（６）开方法则：
a?b?0?
n
a?
n
b?0(n?N,n?2)

要点诠释：
不等式的 概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等
式的性质，弄清 每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。
要点三、比较大小的方法
1、作差法：任意两个代数式
a
、
b，可以作差
a?b
后比较
a?b
与0的关系，进一步比较
a与
b
的大
小。
2、作商法：任意两个值为正的代数式
a
、
b
，可以作商
a?b
后比较
的大小。
3、中间量法： 若
a>b
且
b>c
，则
a>c
（实质是不等式的传递性）. 一般选择0或1为中间量.
4、利用函数的单调性比较大小：若两个式子具有相同的函数结构，可以利 用相应的基本函数的单调性
比较大小.
【典型例题】
类型一：比较代数式（值）的大小
例1．已知：
x,y?R
, 比较
x?xy?y
和
x?y?1
的大小.
22
a
与1的关系，进一步比较
a
与
b
b

【解析】
(x
2
?xy?y
2
)?(x?y?1)?(x
2
?x)? (y
2
?y)?xy?1

?
1
(2x
2
?2x?2y
2
?2y?2xy?2)

2
1
?(x
2
?2x?1?y
2
?2y?1?x
2
?y
2
? 2xy)

2
1
?[(x?1)
2
?(y?1)
2
?(x?y)
2
]

2
∵
(x?1)
2
?0
，
(y?1)
2
?0
，
(x?y)
2
?0

∴
[(x?1)?(y?1)?(x?y)]?0

∴
x
2
?xy?y
2
?x?y?1
.
【 总结升华】作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论，其中判断差的符号为目的，
变形是 关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.
举一反三：
【变式1】若
a?b?0
，则下列不等式中，不能成立的是( )
A.
1
2
222
1111
?
C.
a?b
D.
a
2
?b
2

?
B.
a?bb
ab
【解析】取特殊值
a??2,b??1
，代入验证即可
【答案】B
【变式2】已知
a?b(ab?0)
,试比较
【解析】 ∵
11
和的大小.
ab
11b?a
??
，
abab
又∵
a?b
即
b?a?0

11
?
；
ab
11
当
ab?0
时，
?
.
ab【变式3】
x?0
且
x?1
，比较
1?log
x
3
与
2log
x
2
的大小.
∴当
ab?0时，
【解析】作差：
(1?log
x
3)?2log
x
2?log
x
3x?log
x
4?log
x
(
3x
)

4
?
0?x?1
3x
?
0?x?1< br>log()?0
，此时
1?log
x
3?2log
x
2
. (1) 当
?
， 即时，
3x
x
4
0??1
?
4
?
?
0?x?1
?
(2) 当
?
3x
，即
x??

?1
?
?4

?
x?1
3x4
4
?
log
x
( )?0
, 此时
1?log
x
3?2log
x
2
，(3) 当
?
其中
x?
时取等号.
即1?x?时
，
3?
?
0?
4
x?1
3
4
?
x?1(4) 当
?
?
3x
即
x?
4
时，
log
3x
x
()?0
， 此时
1?log
x
3?2log
?
?
4
?1
34
x
2

例2．已知：
a
、
b?R
?
, 且
a?b
,比较
a
a
b
b
与a
b
b
a
的大 小.
【解析】∵
a
、
b?R
?
，∴
a
a
b
b
?0
，
a
b
b
a
?0
作商：
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
a
?b
a
a?b
a
b
ba
?(
b
)(
a
)?(
b
)(
b)?(
b
)
（*）
(1)若a>b>0, 则
a
b
?1
，a-b>0,
(
a
a?b
b
)?1
, 此时
a
a
b
b
?a
b
b
a
成立；
(2)若b>a>0, 则
0?
a
b
?1
, a-b<0，
(
a
a?b
b
)?1
, 此时
a
a
b
b
?a
b
b
a
成立。
综上，
a
a
b
b
?a
b
b
a总成立。
【总结升华】1、作商比较法的基本步骤是:
判定式子的符号并作商
?
变形
?
判定商式大于1或等于1或小于1
?
结论。
2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.
举一反三：
【变式】已知
a、b、c
为互不相等的正数，求证：
a
2a
b
2b
c
2c
?a
b?c
b
c?a
c
a?b
.

【解析】
a、b、c
为不等正数，不失一般性，设
a?b?c?0,

这时
a
2a
b
2b
c
2c
?0
，
a
b?c
b
c?a
c
a?b
?0
，则有：
a
2a
b
2b
c
2c
(a?b)?(a?c)(b ?c)?(b?a)
a
a?b
b
b?c
c
c?a
a
b?c
b
c?a
c
a?b
?abc
(c?a)?( c?b)
?(
b
)(
c
)(
a
)

a?b?c?0

?
a
b
?1,a?b?0;
b
c
?1,b?c?0;0?
c
a
?1,c-a<0

由指数函数的性质可知：
(
a
a?b
b
)?1,(
bc
)
b?c
?1,(
c
a
)
c?a
? 1

?
a
2a
b
2b
c
2c
a< br>b?c
b
c?a
c
a?b
?1
，即
a
2a
b
2b
c
2c
?a
b?c
b
c?a
c
a?b
.
类型二：不等式性质的应用
例3．如果
a,b,c满足c?b?a,且ac?0,那么下列选项中不一定成立的是
（
A．
ab?ac
B.
c(b?a)?0
C.
cb
2
?ab
2
D.
ac(a?c)?0

【解析】由题可知：
c?0,a?0,由b?c?ab?ac

3
）

又
b?a?0?c(b?a)?0

ac?0,a?c?0?ac(a?c)?0

cb
2
?ab
2
不一定成立，因为当b=0时候，取等号，故选C.
【总结升华】判别不等式成立与否，应紧扣不等式性质，当出现字母代数式最常用赋值法.
举一反三：
【变式1】对于实数
a,b,c
，判断以下命题的真假.
22
（1）若
a?b
, 则
ac?bc
； （2）若
ac?bc
，则
a?b
；
22
（3）若
a?b?0
, 则
a?ab?b
； （4）若
a?b?0
, 则
|a|?|b|
;
(5) 若
a?b
，则
a11
?1
； （6）若
a?b
且
?
, 则
a?0,b?0
．
bab
(7) 若
a?b
，则
3
a?
3
b
； (8)若
a?b
，则
|a|?b

【解析】（１）因为
c< br>的符号不定，所以无法判定
ac
和
bc
的大小，故原命题为假命题.
222
（２）因为
ac?bc
, 所以
c?0
, 从而
c?0
，故原命题为真命题.
2
（３）因为
a?b且a?0
，所以
a?ab
①；
又
a?b且b?0
，所以
ab?b
②
综合①②得
a?ab?b
，故原命题为真命题.
（４）两个负实数，绝对值大的反而小．故原命题为真命题．
（5）因为当
b?0< br>时，
22
2
a
?1
不成立，故原命题为假命题..
b
?
a?b
?
a?b?0
?
b?a?0
???（6）因为
?
11
?
?
11
，所以
ab?0< br>
?
?
b?a
???0
?
?0
??
ababab
???
又因
a?b
，所以
a?0,b?0
．故原命题为真命题．
（7）因为
y?x
的函数在
R
上单调递增，故原命题为真命题． < br>（8）因为
|a|?a,a?b
，所以
|a|?b
，故原命题为真命题 ．
【变式2】已知
?1?a?b?3
且
2?a?b?4
,求
2a?3b
的取值范围.
【解析】设
2a?3b?x(a?b)?y(a?b)?(x?y)a?(x?y)b

1
3

51
,y??
，
22
51
所以
2a?3b?(a?b)?(?)(a?b)

22
5515
由
?1?a?b?3
得
??(a?b)?

222
1
由
2?a?b?4
得
?2?(?)(a?b)?? 1

2
951
所以
??(a?b)?(?)(a?b)?3

222
9
即
??2a?3b?3

2
解得
x?
【变式3】已知
a?0
，
b??1
那么下列不等式成立的是（ ）
A.
a?
aaaaaaaa
?
2
B.
2
??a
C.
?a?
2
D.
?
2
?a

b
b
bbb
bbb
【 解析】D；特殊值法：令
a??1
，
b??2

类型三：不等关系在实际问题中的应用
例4．船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次 的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为
什么？

【解析】
设甲地与乙地的距离为S，船在静水中的速度为u, 水流速度为v(u>v>0)，
则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间
t?
SS2uS
??
22

u?vu?vu?v
2Su
2
?v
2
?< br>平均速度
u?
，
tu
u
2
?v
2
v
2
?u???0
， ∵
u?u?
uu
∴
u?u

因此，船在 流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水
中的速度。
举一反三：
【变式】甲乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a,另 一半时间的速度为b;乙车
用速度为a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若
a?b，试判断哪辆车先到达B地.
解析：设从A到B的路程为S，甲车用的时间为
t
1
，乙车用的时间为
t
2
，
则
t
1
t< br>2SSSS11
a?
1
b?S,?t
1
?,t
2???(?),

22a?b2a2b2ab
2SS
?
11?
2S(a＋b)S4abS－(a＋b)
2
S(a－b)
2
S
－
?
＋
?
?－????0

a＋b2
?< br>ab
?
a＋b2ab2ab(a＋b)2ab(a＋b)
所以，甲车先到达B地 。