【其中复习】高一数学不等式解法经典例题

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典型例题一

例1 解不等式：（1）
2x?x?15x?0
；（ 2）
(x?4)(x?5)
2
(2?x)
3
?0
．
分析：如果多项式
f(x)
可分解为
n
个一次式的积，则一元高次不等式< br>f(x)?0
（或
32
f(x)?0
）可用“穿根法”求解，但要注意 处理好有重根的情况．
解：（1）原不等式可化为
x(2x?5)(x?3)?0

把方程
x(2x?5)(x?3)?0
的三个根
x
1
?0, x
2
??,x
3
?3
顺次标上数轴．然后从右上
开始画线顺 次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．
5
2

∴原不等式解集为
?
x?
（2）原不等式等价于
?
?
5
?
?x?0或x?3
?

2
?
(x?4)(x?5)
2
(x?2)
3
?0

?
x??5
?
x?5?0
?
?
?
?
(x? 4)(x?2)?0
?
?
x??4或x?2
∴原不等式解集为
xx? ?5或?5?x??4或x?2

说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中
x
的系数必为正；②对于偶次或
奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿”，其法
如下图．
??

典型例题二

例2 解下列分式不等式：
32
x
2
?4x?1
?1?
?1
（1）； （ 2）
2
x?2x?2
3x?7x?2
分析：当分式不等式化为
f(x )
?0(或?0)
时，要注意它的等价变形
g(x)
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①
f(x)
?0?f(x)?g(x)?0

g(x)
②< br>?
f(x)?g(x)?0
f(x)f(x)
?0?
?
或?0 ?f(x)?0或f(x)?g(x)?0

g(x)g(x)
?
g(x)?0

（1）解：原不等式等价于 < br>3x3x
????0
x?2x?2x?2x?2
3(x?2)?x(x?2)? x
2
?5x?6
??0??0
(x?2)(x?2)(x?2)(x?2)< br>?
(x?6)(x?1)(x?2)(x?2)?0
(x?6)(x?1)
?? 0?
?
(x?2)(x?2)
?
(x?2)(x?2)?0
用“穿根 法”
∴原不等式解集为
(??,?2)?
?
?1,2
?
?
?
6,??
?
。

2x
2
?3x?1
?0
（2）解法一：原不等式等价于
3x
2
?7x?2
?(2x
2
?3x?1)(3x
2
?7x?2)?0
22
?
?
2x?3x?1?0
?
?2x?3x?1?0
?
?
2
或
?
2

??
3x?7x?2?03x?7x?2?0
??
11
?x?或?x?1或x ?2
32
11
∴原不等式解集为
(??,)?(,1)?(2,??)
。
32

解法二：原不等式等价于
(2x?1)(x?1)
?0

(3x?1)(x?2)
?(2x?1)(x?1)(3x?1)?(x?2)?0

用“穿根法”
∴原不等式解集为
(??,)?(,1)?(2,??)

1
3
1
2
典型例题三

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2
例3 解不等式
x?4?x?2

分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两 种方法：一是根据绝对值的
意义
a?
?
?
a(a?0)
< br>?a(a?0)
?
二是根据绝对值的性质：
x?a??a?x?a,x.a?x ?a
或
x??a
，因此本题有如
下两种解法．
22
??< br>?
x?4?0
?
x?4?0
或
?
解法一：原不等式< br>?
?
2

2
?
?
x?4?x?2
?
?
4?x?x?2
即
?
?
x?2或x??2
??2?x?2

或
?
?
?2?x?x
?
x?? 2或x?1
∴
2?x?3
或
1?x?2

故原不等式的解集为
x1?x?3
．
解法二：原不等式等价于
?(x?2)?x
2
?4?x?2

2
?
?
?2?x?3
?
x?4?x?2
故1?x?3
． 即
?
2
∴
?
?
?
x?1或x??2
?< br>x?4??(x?2)
??

典型例题四


x
2
?6x?5
?0
． 例4 解不等式
12?4x?x< br>2
分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于
x
二次式的商，由商的符号法 则，它等价
于下列两个不等式组：
22
??
?
x?6x?5?0< br>?
x?6x?5?0
或
?

?
22
???
12?4x?x?0
?
12?4x?x?0
所以，原不等式的解集是上 面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．
解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：
22
??
,
?< br>x?6x?5?0　
?
x?6x?5?0,
或
?

?
22
??
12?4x?x?012?4x?x?0
??
?
( x?1)(x?5)?0,
?
(x?1)(x?5)?0,
或
?
< br>?
?
(x?2)(x?6)?0;(x?2)(x?6)?0;
??
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?
1?x?5,
?
x?1,或x?5,
或
?
?
?
；
?
?2?x?6
?
x??2,或x?6
?1?x?5,
或
x??2
或
x?6
．
∴原不等式解集是
{xx??2，或1?x?5，或x?6}
．
解法二：原不等式化为
(x?1)(x?5)
?0
．
(x?2)(x?6)
画数轴，找因式根，分区间，定符号．
(x?1)(x?5)
符号
(x?2)(x?6)

∴原不等式解集是
{xx??2，或1?x?5，或x?6}
．
说明：解法 一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组
的解的并集，否则会产生误解 ．
解法二中，“定符号”是关键．当每个因式
x
的系数为正值时，最右边区间一定是 正值，其他
各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运< br>用．
典型例题五


x
2
?2x?2
?x
． 例5 解不等式
3?2x?x2
分析：不等式左右两边都是含有
x
的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边 为0再解．
(x?2)(x
2
?x?1)
解：移项整理，将原不等式化为< br>?0
．
(x?3)(x?1)
由
x
2
?x?1?0
恒成立，知原不等式等价于
(x?2)
?0
．
(x?3)(x?1 )
解之，得原不等式的解集为
{x?1?x?2或x?3}
．
说明：此题易 出现去分母得
x
2
?2x?2?x(3?2x?x
2
)
的错 误解法．避免误解的方法是移
项使一边为０再解．
另外，在解题过程中，对出现的二项式要注 意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从
而使求解过程科学合理．
典型例题六

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例6 设
m?R
，解关于
x
的不等式
m
2
x
2
?2mx?3?0
．
分析：进行分类讨论求解．
解：当
m?0
时，因
?3?0
一定成立，故原不等式的解集为
R．
当
m?0
时，原不等式化为
(mx?3)(mx?1)?0
；
31
?x?
；
mm
13
当
m?0
时，解得
?x??
．
mm
当
m?0
时，解得
?
?
31
?
∴当< br>m?0
时，原不等式的解集为
?
x??x?
?
；
m m
??
?
13
?
当
m?0
时，原不等式的解集为< br>?
x?x??
?
．
m
??
m
说明：解不等 式时，由于
m?R
，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当
m?0
时，原不等式化为
?3?0
，此时不等式的解集为
R
，所以解题时应分m?0
与
m?0
两
种情况来讨论．
3
131
，
x
2
?
后，认为
??
，这也是易出现的错
mm
mm
3131
误之处．这时也应分情况来讨论：当
m?0
时，
??
；当
m?0
时，
??
．
mm
mm< br>在解出
m
2
x
2
?2mx?3?0
的两根为
x
1
??
典型例题七


例7 解关于
x
的不等式
2ax?a
2
?1?x(a?0)
．
分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．
?
2ax?a
2
?0,
?
2x?a
2
?0,
?
解：原不 等式
?(1)
?
1?x?0,
或
(2)
?

1?x?0.
?
?
22
2ax?a?(1?x);
?
a< br>?
x?,
?
a
?
2
?
?
x?,由
a?0
，得：
(1)?
?
x?1,

(2)?
?
2

?
?
22
?
x? 1.
x?2(a?1)x?a?1?0;
?
?
由判别式
??4(a? 1)
2
?4(a
2
?1)?8a?0
，故不等式
x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0
的解是
a?1?2a?x?a? 1?2a
．
当
0?a?2
时，
a
?a?1?2a?1，
a?1?2a?1
，不等式组(1)的解是
2
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a?1?2a?x?1
，不等式组(2)的解是
x?1
．
当
a?2
时，不等式组(1)无解，(2)的解是
x?
a
．
2
综上可知，当
0?a?2
时，原不等式的解集是
a?1?2a,? ?
；当
a?2
时，原不等式
?
?
?
a
?< br>的解集是
?
,??
?
．
?
2
?
说 明：本题分类讨论标准“
0?a?2
，
a?2
”是依据“已知
a?0
及(1)中‘
x?
(2)中‘
x?
a
，
x?1’，
2
a
，
x?1
’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问 题中的难点，也是近几年高
2
考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“ 不等式组中的各不等式的
解所对应的区间的端点”去确定．
本题易误把原不等式等价于不等式
2ax?a
2
?(1?x)
．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式
基本类型的解法．
典型例题八


例8 解不等式
4x
2
?10x?3?3
．
分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可．
解答：去掉绝对值号得
?3?4x
2
?10x?3?3
，
∴原不等式等价于不等式组
22
?
?
?3?4x?10x?3?
?
4x?10x?0
?
?
2
?

?
2
??
?
4x?10x?3?3
?
4x?10x?6?0< br>5
?
x?0或x?,
?
?
2x(2x?5)?0
?< br>2

?
??
?
2(x?3)(2x?1)?0
??
1
?x?3.
?
?
2
??
15
∴原 不等式的解集为
?
x??x?0或?x?3
?
．
22
??
说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等
价转化为 不等式组，变成求不等式组的解．
典型例题九


例9 解关于
x
的不等式
x
2
?(a?a
2
)x?a
3
? 0
．
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3eud教育网 http: 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ < br>分析：不等式中含有字母
a
，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法
完全一样：求出方程
x
2
?(a?a
2
)x?a
3
?0
的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含
有字母
a
，故需 比较两根的大小，从而引出讨论．
解：原不等式可化为
(x?a)(x?a
2
)?0
．
(1 )当
a?a
2
（即
a?1
或
a?0
）时，不等式的 解集为：
?
x
?
x
?
x
x?a或x?a
2
；
?
?
(2)当
a?a
2
（即
0?a ?1
）时，不等式的解集为：
x?a
2
或x?a
；
(3)当
a?a
2
（即
a?0
或1）时，不等式的解集为：
x?R且x?a
?
．
说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引 出的，并非一开始就对参数加以
分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根
x
1
?a
，
x
2
?a
2
，因此不等式
的解就是
x
小于小根或
x
大于大根．但
a
与
a< br>2
两根的大小不能确定，因此需要讨论
a?a
2
，
a?a2
，
a?a
2
三种情况．
典型例题十


例10 已知不等式
ax?bx?c?0
的解集是
2
?
x< br>?
?x?
?
?
(
?
?0)
．求不等式
cx
2
?bx?a?0
的解集．
分析：按照一元二次不等式的一般解法， 先确定系数
c
的正负，然后求出方程
cx
2
?bx?a?0
的两根即可解之．
解：(解法1)由题可判断出
?
，
?
是方程ax
2
?bx?c?0
的两根，
∴
?????
c
b
，
????
．
aa
又
ax
2
?bx?c?0
的解集是
x??x??，说明
a?0
．
而
??0
，
??0
???? 0?
??
c
?0?c?0
，
a
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∴
cx
2
?bx?a?0?x
2
?
ba
x??0
．
cc
?
?
?
11
?
b
b
?
?????,
?
?
?
??
?
c
?
????
??
a

?
??
cc111
?
?
?
?
?
?
??(?)(?),
?
?
a
??
?
?
a
??
1111
ba
x??0
，即
x
2< br>?(??)x?(?)(?)?0
，
????
cc
11
即
(x?)(x?)?0
．
??
11
又
0????
，∴
?
，
??< br>∴
x
2
?
∴
(x?
?
11
11?
)(x?)?0
的解集为
?
x?x?
?
．
??
??
??
(解法2)由题意可判断出
?
，
?
是 方程
ax
2
?bx?c?0
的两根，
∴
????
c
．
a
又
ax
2
? bx?c?0
的解集是
x??x??
，说明
a?0
．
而< br>??0
，
??0
????0?
??
c
?0?c?0< br>．
a
对方程
cx
2
?bx?a?0
两边同除以x
2
得
11
a?()
2
?b?()?c?0
．
xx
1
令
t?
，该方程即为
x
at
2< br>?bt?c?0
，它的两根为
t
1
??
，
t
2
??
，
∴
1
1
1
1
??
，< br>??
．∴
x
1
?
，
x
2
?
，
?
x
1
x
2
?
1
1
，． < br>?
?
∴方程
cx
2
?bx?a?0
的两根为
∵
0????
，∴
11
?
．
??
?
11
?
∴不等式
cx
2
?bx?a?0
的解集是
?x?x?
?
．
??
??
说明：(1)万变不离其宗，解不等式 的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)
结合使用韦达定理，本题中只有
?
，
?
是已知量，故所求不等式解集也用
?
，
?
表 示，不等式
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a
，
b
，
c
的关系也用
?
，< br>?
表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．
典型例题十二


x?ax?b
1
?
的解为
(??，)?(1，??)
，求
a
、
b
的值．
x
2
?x?1x
2
?x?1
3
分析：不等式本身比较复杂，要先对不 等式进行同解变形，再根据解集列出关于
a
、
b
式
子．
例12 若不等式
解：∵
x
2
?x?1?(x?)
2?
13
?0
，
24
13
x
2
?x? 1?(x?)
2
??0
，
24
∴原不等式化为
(2?a? b)x
2
?(a?b)x?a?b?0
．
?
?
2?a?b ?0
?
1
?
a?b
?
， 依题意
?
?2?a?b3
4
?
a?b
?
?
?
2?a?b3
5
?
a?
?
?
2
． ∴
?
?
b?
3
?
2
?
说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来
解．
典型例题十三


例13 不等式
ax
2
?bx? 2?0
的解集为
x?1?x?2
，求
a
与
b
的值．
分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为
x?1?x?2
，不等式
??
??
ax
2
?bx?2?0
需满足条件
a?0
，
??0
，
ax
2
?bx?2?0
的两根为
x< br>1
??1
，
x
2
?2
．
解法一：设
ax
2
?bx?2?0
的两根为
x
1
，
x
2
，由韦达定理得：
b
??
b
x?x?????1?2
12
??
??
aa
由题意：
?

?
2 2
?
x?x??
?
???1?2
12
??
a
??
a
∴
a?1
，
b??1
，此时满足
a?0< br>，
??b
2
?4a?(?2)?0
．
解法二：构造解集为
x?1?x?2
的一元二次不等式：
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??

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(x?1)(x?2)?0
，即
x
2
?x?2?0
，此不等式与原不等式
ax
2
?bx?2? 0
应为同解不等式，
故需满足：
ab?2
∴
a?1
，
b??1
．
??
1?1?2
说明：本 题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能
力．对有关字母抽象问题， 同学往往掌握得不好．

典型例题十四


例14 解关于
x
的不等式
ax
2
?(a?1)x?1?0
． 分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还
考查分类思想 ．
解：分以下情况讨论
(1)当
a?0
时，原不等式变为：
?x ?1?0
，∴
x?1

(2)当
a?0
时，原不等式变为：
(ax?1)(x?1)?0
①
1
1
．
a
a
1
②当
a?0
时，①式变为
(x?)(x?1)?0
． ②
a
11
11?a1
∵
?1?
，∴当
0?a?1
时，
?1
，此时②的解 为
1?x?
．当
a?1
时，
?1
，
aa
a aa
1
此时②的解为
?x?1
．
a
①当
a?0< br>时，①式变为
(x?)(x?1)?0
，∴不等式的解为
x?1
或x?
说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三
级分类：
?
a?0
?
?
a?0
?
?
?< br>a?R
?
?
0?a?1

?
a?0
???
a?0
?
a?1
?
?
?
a?1
?< br>?
?
?
?
分类应做到使所给参数
a
的集合的并集为全 集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题
还要注意在讨论
a?0
时，解一元二 次不等式
ax
2
?(a?1)x?1?0
应首选做到将二次项系数变
为正数再求解．
典型例题十五


例15 解不等式
x
2
?3x?10?8?x
．
分析：无理不等式转化为有 理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情
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况下，
f(x)?g(x)
可转化 为
f(x)?g(x)
或
f(x)?g(x)
，而
f(x)?g(x )
等价于：
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
或．
?
?
g(x)?0
g(x)?0
?
?
f(x)?[g(x)]
2
?
解：原不等式等价于下面两个不等式组：
?
8?x?0
?< br>8?x?0
?
①
?
2
②
?
x
2
?3x?10?0

?
x?3x?10? 0
?
22
?
x?3x?10?(8?x)
?
x?8
由①得
?
，∴
x?8

?
x?5或x??2
??
x?8
?
74
由②得∴
?
x?5或x??2

?x?8
，
13
?
74
?
x?
?
13.
7474
????
?x?8或x?8
?
，即为
?< br>xx?
所以原不等式的解集为
?
x
?
．
1313< br>????
说明：本题也可以转化为
f(x)?g(x)
型的不等式求解，注意：
?
f(x)?0
?
，
f(x)?g(x)?
?
g (x)?0
?
2
?
f(x)?[g(x)]
2
?
这里，设全集
U?{xx
2
?3x?10?0}?{xx??2或x?5}
，
A?
?
?
xx?3x?10?8?x
?
，
??则所求不等式的解集为
A
的补集
A
，
?
8?x?0< br>?
74
由
x
2
?3x?10?8?x?
?
x
2
?3x?10?0
．
?x??2
或
5?x?
1 3
?
22
x?3x?10?(8?x)
?
?
74
?
即
A?
?
xx?2或5?x?
?
，∴原不等式的解集是13
??


?
74
?
A?
?
xx?
?
．
13
??
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