高中数学不等式练习题(附答案)

高中数学不等式练习题



一．选择题（共16小题）

1．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）

A．a+＜＜log
2
（a+b）） B．＜log
2
（a+b）＜a+

C．a+＜log
2
（a+b）＜ D．log
2
（a+b））＜a+＜

2．设x、y、z为正数，且2
x
=3
y
=5
z
，则（ ）

A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z

3．若x，y满足，则x+2y的最大值为（ ）

A．1 B．3 C．5 D．9

4．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9

5．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（
A．0 B．2 C．5 D．6

6．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3

7．设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（
A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]

第1页（共24页）

）
）




）

8．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（ ）

A．﹣3 B．0 C． D．3

9．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（ ）

A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3

10．若a，b∈R，且ab＞0，则+的最小值是（ ）

A．1 B． C．2 D．2

11．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（ ）

A．c
a
＞c
b
B．a
c
＜b
c
C． D．log
a
c＞log
b
c

的最小值是（ ）

12．已知x＞0，y＞0，lg2
x
+lg8
y
=l g2，则
A．2 B．2 C．4 D．2

13．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则
A．6 B． C． D．

的最小值是（ ）

14．已知x，y∈R，x
2
+y
2
+xy=315，则x
2
+y
2
﹣xy的最小值是（ ）

A．35 B．105 C．140 D．210

15．设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式
最大值为（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16

的最小值为（ ）

+≥m恒成立，则m的
16．已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=
A．


二．解答题（共10小题）

B． C． D．

17．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x
2﹣mx+n＜0的解集相同．

第2页（共24页）

（Ⅰ）求m﹣n；

（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．

18．已知不等式x
2
﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x
2
+x ﹣6＜0的解集为B．

（1）求A∩B；

（2）若不等式x
2< br>+ax+b＜0的解集为A∩B，求不等式ax
2
+x+b＜0的解集．

19．解不等式：≥2．

20．已知不等式ax
2
+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．

（1）求a，c的值；

（2）若不等式ax
2
+2x+4c＞0的 解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A
?B，求实数m的取值范围．

21．（1）已知实数x，y均为正数，求证：
（2）解关于x的不等式x
2
﹣2ax +a
2
﹣1＜0（a∈R）．

22．已知a，b，c是全不相等的正实数， 求证：
23．设a、b为正实数，且+=2
（1）求a
2
+b
2的最小值；

（2）若（a﹣b）
2
≥4（ab）
3
，求ab的值．

24．已知x，y∈（0，+∞），x
2
+y
2
=x+y．

（1）求的最小值；

．

＞3．

；

（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由．

25．某车 间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗A原料6吨、B原料4
吨、C原料4吨，乙种产品每吨消 耗A原料3吨、B原料12吨、C原料6吨．已
知每天原料的使用限额为A原料240吨、B原料400 吨、C原料240吨．生产甲
种产品每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600元，分别用x ，y表示
每天生产甲、乙两种产品的吨数

（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（Ⅱ）每天分别生甲、乙两种产品各多少吨，才能使得利润最大？并求出此最大
利润．

第3页（共24页）

26．某家公司每月生产两种布料 A和B，所有原料是三种不同颜色的羊毛．下表
给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的 每种颜色的羊毛的总量．

羊毛颜色

每匹需要kg

布料A

红

绿

黄

3

4

2

布料B

3

2

6

1050

1200

1800

供应量kg

已知生产每匹 布料A、B的利润分别为60元、40元．分别用x、y表示每月生产
布料A、B的匹数．

（Ⅰ）用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（Ⅱ）如何安排生产才能使得利润最大？并求出最大的利润．




第4页（共24页）

高中数学不等式练习题

参考答案与试题解析



一．选择题（共16小题）

1．（2017?山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）

A．a+＜＜log
2
（a+b）） B．＜log
2
（a+b）＜a+

C．a+＜log
2
（a+b）＜ D．log
2
（a+b））＜a+＜

【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b=．代入计算即可得出大小关系．

【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，

∴可取a=2，b=．

则
∴
=4，==，log
2
（a+b）==∈（1，2），

＜log
2
（a+b）＜a+．

故选：B．

【 点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计
算能力，属于中档题．


2．（2017?新课标Ⅰ）设x、y、z为正数，且2
x
=3
y
=5
z
，则（ ）

A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z

【分析】x、y、z 为正数，令2
x
=3
y
=5
z
=k＞1．lgk＞0．可得 x=
得3y=
=
，2x=，5z=．根据==
，y=
，
，z =
＞
．可
．即可得出大小关系．

，y=，z=．另解：x、y、z 为正数，令2
x
=3
y
=5
z
=k＞1．lgk＞0．可得 x=
第5页（共24页）

==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．

【解答】解：x、y、z为正数，

令2
x
=3
y
=5
z
=k＞1．lgk＞0．

则x=
∴3y=
∵
∴
=
＞lg
，y=
，2x=
=
＞
，
＞0 ．

，z=．

，5z=
＞
．

=．

∴3y＜2x＜5z．

另解：x、y、z为正数，

令2
x
=3
y
=5
z
=k＞1．lgk＞0．
则x=
∴
=
=
=
，y=
=
，z=．

＞1，可得2x＞3y，

＞1．可得5z＞2x．

综上可得：5z＞2x＞3y．

故选：D．

【点评】本题考查了 对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理
能力与计算能力，属于中档题．



3．（2017?北京）若x，y满足，则x+2y的最大值为（ ）

A．1 B．3 C．5 D．9

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即
可．

第6页（共24页）

【解答】解：x，y满足的可行域如图：

由可行域可知目标函数z=x+2y经过可 行域的A时，取得最大值，由
A（3，3），

目标函数的最大值为：3+2×3=9．

故选：D．

，可得

【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是 解
题的关键．



4．（2017?新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件
（ ）

A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9

，则z=2x+y的最小值是
【分析】画出约束条件的可 行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值
即可．

【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：

z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，

由解得A（﹣6，﹣3），

第7页（共24页）

则z=2x+y 的最小值是：﹣15．

故选：A．


【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．



5．（2017?山东）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（
A．0 B．2 C．5 D．6

【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是

由解得的点A的坐标，

代入目标函数求出最大值．

【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；


由解得A（﹣3，4），

此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，

第8页（共24页）

）

所以目标函数z=x+2y的最大值为

z
max
=﹣3+2×4=5．

故选：C．

【点评】本题考查了线性规划的应用问题，是中档题．



6．（2017?新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件
A．0 B．1 C．2 D．3

，则z=x+y的最大值为（ ）

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值
即可．

【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：

，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，

由解得A（3，0），

所以z=x+y 的最大值为：3．

故选：D．


【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行 域，判断目标函数
的最优解是解题的关键．



7．（2017?新课标Ⅲ）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是
（ ）

第9页（共24页）

A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即
可．

【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：

目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，

由
由
解得A（0，3），

解得B（2，0），

目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，

目标函数的取值范围：[﹣3，2]．

故选：B．


【 点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是
解题的关键．



8．（2017?大石桥市校级学业考试）已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（ ）

A．﹣3 B．0 C． D．3

【 分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得
到最优解，把最优解的坐标 代入目标函数得答案．

第10页（共24页）

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，


A（0，3），
< br>化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴
上的截 距最大，z有最小值为﹣3．

故选：A．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．



9．（2017?天津学业考试）若变量x，y满足约束条件
﹣2x+y的最大值为（ ）

A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3

，则目标函数z=
【分 析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得
到最优解，联立方程组求得最 优解的坐标，代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，


第11页（共24页）

联立，解得A（1，1），

化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知， 当直线y=2x+z过A时，直线在y轴
上的截距最大，为﹣1．

故选：B．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．



10．（2017?明山区校级学业考试）若a，b∈R，且ab＞0，则+的最小值是（ ）

A．1 B． C．2 D．2

【分析】根据题意，首先由ab＞0可 得＞0且＞0，进而由基本不等式可得
+≥2，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，若a，b∈R，且ab＞0，

则＞0且＞0，

+≥2=2，

即+的最小值是2；

故选：C．

【点评】本题考查基本不等式的性质，注意首先要满足基本不等式的使用条件．



11．（2017?资阳模拟）已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（ ）

A．c
a
＞c
b
B．a
c
＜b
c
C． D．log
a
c＞log
b
c

【分析】根据题意，依次分 析选项：对于A、构造函数y=c
x
，由指数函数的性质
分析可得A错误，对于B、构 造函数y=x
c
，由幂函数的性质分析可得B错误，对
于C、由作差法比较可得C错误 ，对于D、由作差法利用对数函数的运算性质分
析可得D正确，即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A、构造函数y=c
x
，由于0＜c＜1，则函数y=c
x
是减函数，又由a＞b＞1，
则有c
a
＞c
b
，故A错误；

对于B、构造函数y=x
c
，由于0＜c＜1，则函数y=x
c
是增函数，又由a＞b＞1，
第12页（共24页 ）

则有a
c
＞b
c
，故B错误；

对于C、﹣==， 又由0＜c＜1，a＞b＞1，则（a
﹣＜0，故有＜，﹣c）＞0、（b﹣c）＞0、（b﹣a）＜0 ，进而有
故C错误；

对于D、log
a
c﹣log
bc=﹣=lgc（），又由0＜c＜1，a＞b＞1，则
﹣=lgc（）＞0，即有lgc＜0，l ga＞lgb＞0，则有log
a
c﹣log
b
c=
有log
a
c＞log
b
c，故D正确；

故选：D．

【点评】本题考查不等式比较大小，关键是掌握不等式的性质并灵活运用．



12．（2017?全国模拟）已知x＞0，y＞0，lg2
x
+lg8< br>y
=lg2，则
A．2 B．2 C．4 D．2

的最小值是（ ）

【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出．

【解答】 解：∵lg2
x
+lg8
y
=lg2，∴lg（2
x
?8< br>y
）=lg2，∴2
x
+
3y
=2，∴x+3y=1．

∵x＞0，y＞0，∴
当x=3y=时取等号．

故选C．

【点评】熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键．



13．（2017?锦州一模）设a＞0，b＞2，且a+b=3，则
A．6 B． C．
=（
D．

==2+=4，当且仅
的最小值是（ ）

【分析】
可求出

）（a+b﹣2）=2+1++，根据基本不 等式即
【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，

∴a+b﹣2=1，

∴=（）（a+b﹣2）=2+1++≥3+2，当且仅当a=（b
第13页（共24页）

﹣2）时取等号，即b=1+
则
故选：D

的最小值是3+2
，a=2﹣
，

时取等号，

【点评】本题考查了基本不等式的应用，掌握一正二定三相等，属于中档题



14．（2017?乌鲁木齐模拟）已知x，y∈R，x
2
+y
2
+xy=315，则x
2
+y
2
﹣xy的最小值
是（ ）

A．35 B．105 C．140 D．210

【分析】x，y∈R ，x
2
+y
2
+xy=315，可得x
2
+y
2< br>=315﹣xy≥2xy，因此xy≤105．即
可得出．

【解答】解：∵x，y∈R，x
2
+y
2
+xy=315，

∴x
2
+y
2
=315﹣xy，315﹣xy≥2xy，当且仅当x =y=±
∴xy≤105．

∴x
2
+y
2
﹣xy =315﹣2xy≥315﹣210=105．

故选：B．

【点评】本题考查了重要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题．



15．（2017?和平区校级二模）设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式
≥m恒成立，则m的最大值为（ ）

A．2 B．4 C．8
+
D．16

≥m恒成立，转化为求+的最小值，可得m
+
时取等号．

【分析】 不等式
的最大值．将分母转化为整数，设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1） ，
利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：设y﹣1=b，则y=b+1，令 2y﹣1=a，y=（a+1），a＞0，b＞0．

那

么：+=
第14页（共24页）
=

（当且仅
当a=b=1即x=2，y=1时取等号．

∴+的最小值为8，

则m的最大值为8．

故选：C．

【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题，利用了换元法
转化求解，多次 使用基本不等式式解决问题的关键，属于中档题．



16．（2017春?温江区校级月考）已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=
的最小值为（ ）

A． B． C． D．
< br>【分析】展开，并根据x+y=1可以得到
而根据
【解答】解：z=
=
=
=；

；

在

，可令t=xy，并求出，的单调性即可求出f（t）的最小值，进而求出z的最小值．



令t=xy，则
由
即：
故选B．

上单调递减，故当t=时
．

有最小值，

时z有最小值
【点评】考查基本不等式的 应用，注意等号成立的条件，要熟悉函数
的单调性．

第15页（共24页）

二．解答题（共10小题）
17．（2017?郑州二模）已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x
2
﹣mx+n＜0 的解集相
同．

（Ⅰ）求m﹣n；

（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．

【分析】（Ⅰ）讨论2x﹣3≥0或2x﹣3＜0，求出不等式|2x﹣3|＜x的解集，得
出 不等式x
2
﹣mx+n＜0的解集，利用根与系数的关系求出m、n的值；

（Ⅱ）根据a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）
2
的最小 值，即
可得出a+b+c的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）当2x﹣3≥0，即x≥时 ，不等式|2x﹣3|＜x可化为2x﹣3
＜x，

解得x＜3，∴≤x＜3；

当2x﹣3＜0，即x＜时，不等式|2x﹣3|＜x可化为3﹣2x＜x，

解得x＞1，∴1＜x＜；

综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；

∴不等式x
2
﹣mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜3}，

∴方程x
2
﹣mx+n=0的两实数根为1和3，

∴，

∴m﹣n=4﹣3=1；

（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n=1，

∴（a+b+ c）
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2（ab+ bc+ca）

≥（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）

=3（ab+bc+ca）=3；

∴a+b+c的最小值是．

【 点评】本题考查了解不等式以及根与系数的关系应用问题，也考查了基本不等
式的应用问题，是综合题．



第16页（共24页）

18．（2017春?巢湖市校级期中）已知不等式x
2
﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式
x
2
+x﹣6＜0的解集为B．

（1）求A∩B；
（2）若不等式x
2
+ax+b＜0的解集为A∩B，求不等式ax
2
+ x+b＜0的解集．

【分析】（1）由一元二次不等式的解法分别求出集合A，B，再利用集 合的交集
即可求出；

（2）由一元二次方程的实数根与不等式的解集的关系及判别式 与解集的关系即
可求出．

【解答】解：（1）由不等式x
2
﹣2x ﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，∴A=（﹣1，3）；

由不等式x
2
+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，∴B=（﹣3，2）．

∴A∩B=（﹣1，2）．

（2）由不等式x
2
+ax+b＜0的解集为A∩B=（﹣1，2），

∴解得

∴不等式﹣x
2
+x﹣2＜0可化为x
2
﹣x+2＞0，

∵△=1﹣4×2=﹣7＜0，

∴x
2
﹣x+2＞0的解集为R．

【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．



19．（2017春?齐河县校级期中）解不等式：≥2．

【分析】把不等式的右边 移项到左边，通分后把分子分母都分解因式，得到的式
子小于等于0，然后根据题意画出图形，在数轴上 即可得到原不等式的解集．

【解答】解：不等式移项得：
变形得：≤0，

﹣2≥0，

即2（x﹣）（x﹣6）（x﹣3）（x﹣5）≤0，且x≠3，x≠5，

根据题意画出图形，如图所示：

第17页（共24页）

根据图形得：≤x＜3或5＜x≤6，

则原不等式的解集为[，3）∪（5，6]．

【点评】此题考查了一元二次不等式的 解法，考查了转化的思想及数形结合的思
想．此类题先把分子分母分解因式，然后借助数轴达到求解集的 目的．



20．（2017春?涞水县校级期中）已知不等式ax
2
+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．

（1）求a，c的值；

（2）若不等式ax
2
+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集 为B，且A
?B，求实数m的取值范围．

【分析】（1）由一元二次不等式和对应方 程的关系，利用根与系数的关系即可求
出a、c的值；

（2）由（1）中a、c的值 求解不等式ax
2
+2x+4c＞0，再根据真子集的定义求出
m的取值范围．

【解答】解：（1）∵不等式ax
2
+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，

∴1、3是方程ax
2
+x+c=0的两根，且a＜0，…（1分）

所以；…（3分）

解得a=﹣，c=﹣；…（5分）

（2）由（1）得a=﹣，c=﹣，

所以不等式ax
2
+2x+4 c＞0化为﹣x
2
+2x﹣3＞0，

解得2＜x＜6，

∴A={x|2＜x＜6}，

又3ax+cm＜0，即为x+m＞0，

解得x＞﹣m，

第18页（共24页）

∴B={x|x＞﹣m}，…（8分）

∵A?B，

∴{x|2＜x＜6}?{x|x＞﹣m}，

∴﹣m≤2，即m≥﹣2，

∴m的取值范围是[2，+∞）．…（10分）

【点评】本题考查了一元二次不等式 和对应方程的应用问题，也考查了真子集的
定义与应用问题，是中档题目．



21．（2017春?雨城区校级期中）（1）已知实数x，y均为正数，求证：
；

（2）解关于x的不等式x
2
﹣2ax+a
2
﹣1＜0（a∈R）．

【分析】（1）化简不等式的左边，利用基本不等式求得最小值即可；

（ 2）原不等式可化为[x﹣（a+1）]?[x﹣（a﹣1）]＜0，求出不等式对应方程的
根，再写出 不等式的解集．

【解答】解：（1）证明：
又因为x＞0，y＞0，所以
由 基本不等式得，
当且仅当时，取等号，

，

，…（4分）

=，…（2分）

即2y=3x时取等号，

所以；…（5分）

（2）原不等式可化为[x﹣（a+1）]?[x﹣（a﹣1）]＜0，…（7分）

令[x﹣（a+1）]?[x﹣（a﹣1）]=0，

得 x
1
=a+1，x
2
=a﹣1，

又因为a+1＞a﹣1，…（9分）

所以原不等式的解集为（a﹣1，a+1）．…（10分）

【点评】本题考查了基本不等式与一元二次不等式的解法和应用问题，是中档题．



第19页（共24页）

22．（2017?泉州模拟）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：
＞3．

【分析】根据a，b，c全不相等，推断出
后利用基本不等式求得＞2，＞2，
全不相 等，然
＞2，三式相加整理求得
＞3，原式得证．

【解答】解：∵a，b，c全不相等，

∴
∴＞2，＞2，
全不相等

＞2

＞6

＞3

＞3

三式相加得，
∴
即
【点评】 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时一
定要把握好“一定，二正，三相等 ”的原则．



23．（2017?泉州模拟）设a、b为正实数，且+= 2
（1）求a
2
+b
2
的最小值；

（2）若（a﹣b）
2
≥4（ab）
3
，求ab的值．
< br>【分析】（1）根据基本不等式得出ab
利用a
2
+b
2
≥2 ab=
（2）根据+=2
∴a，

）
2
﹣4ab≥4（ab）
3

．

（a=b时等号成立），

．

（a=b时等号成立）求解即可．

代入得出（a+b）
2
﹣4ab ≥4（ab）
3
，即（2
求解即可得出ab=1

【解答】解：（1）∵a、b为正实数，且+=2．

第20页（共24页）

∴a、b为正实数，且+=2
即ab（a=b时等号成立）

≥2（a=b时等号成立）．

∵a
2
+b
2
≥2ab=（a=b时等号成立）．

∴a
2
+b
2
的最小值为1，

（2）∵且+=2
∴a

．

∵（a﹣b）
2
≥4（ab）
3
，

∴（a+b）
2
﹣4ab≥4（ab）
3

即（2）
2
﹣4ab≥4（ab）
3

即（ab）
2
﹣2ab+1≤0，（ab﹣1）
2
≤0，

∵a、b为正实数，

∴ab=1

【点评】本题考查了基本不等式 ，考查了运用基本不等式求函数的最值，运用基
本不等式求函数最值时，要保证：“一正、二定、三相等 ”，此题是基础题



24．（2017?唐山一模）已知x，y∈（0， +∞），x
2
+y
2
=x+y．

（1）求的最小值；

（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由．

【分析】（ 1）根据基本不等式的性质求出的最小值即可；（2）根据基本不
等式的性质得到（x+1）（y+1） 的最大值是4，从而判断出结论即可．

【解答】解：（1）
当且仅当x=y=1时，等号成立．

所以的最小值为2．

，

（2）不存在．

因为x
2
+y
2
≥2xy，

所以（x+y）2
≤2（x
2
+y
2
）=2（x+y），

第21页（共24页）

∴（x+y）
2
﹣2（x+y）≤0，

又x，y∈（0，+∞），所以x+y≤2．

从而有（x+1）（y+1）≤≤=4，

因此不存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5．

【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道中档
题．



25．（2017?天津一模）某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消 耗A
原料6吨、B原料4吨、C原料4吨，乙种产品每吨消耗A原料3吨、B原料12
吨、C原 料6吨．已知每天原料的使用限额为A原料240吨、B原料400吨、C
原料240吨．生产甲种产品 每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600
元，分别用x，y表示每天生产甲、乙两种产品的 吨数

（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（Ⅱ）每天分别生甲、乙两种产品各多少吨，才能使得利润最大？并求出此最大
利润．

【分析】（Ⅰ）写出约束条件，画出图象即可，

（Ⅱ）设出目标函数，欲求利润最大 ，即求可行域中的最优解，将目标函数看成
是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最 优解．

【解答】解：（Ⅰ）由已知x，y满足的数学关系式为，

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分．

（Ⅱ）解：设利润为z万 元，则目标函数z=900x+600y，所以y=﹣x+
是斜率为﹣，在y轴上的截距为
当< br>的一族平行直线．

，这
取最大值时，z的值最大，又因为x，y满足约束条件 ，所以由图可知，当
的值最大，即z的值最大．

直线z=900x+600y经过可行域中的点M时，截距
第22页（共24页）

解方程组，得点M的坐标为（30，20），

所以Z
max
=900×30+600×20=39000．

故每 天生产甲种产品30吨，乙种产品20吨时利润最大，且最大利润为39000
元．


【点评】本题主要考查生活中的优化问题，利用条件建立二元二次不等式组，利
用线性规划的知 识进行求解是解决本题的关键．



26．（2017?滨海新区模拟）某 家公司每月生产两种布料A和B，所有原料是三种
不同颜色的羊毛．下表给出了生产每匹每种布料所需的 羊毛量，以及可供使用的
每种颜色的羊毛的总量．

羊毛颜色

每匹需要kg

布料A

红

绿

黄

3

4

2

布料B

3

2

6

1050

1200

1800

供应量kg

已知生产每匹布料A、B的利润分别为60元、40元．分别用x、y表 示每月生产
布料A、B的匹数．

（Ⅰ）用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（Ⅱ）如何安排生产才能使得利润最大？并求出最大的利润．

【分析】（Ⅰ）根据条 件建立不等式关系，利用二元一次不等式组表示平面区域
进行作图即可．

（Ⅱ）求出目标函数，利用线性规划的知识进行求解．

【解答】解：（Ⅰ）设每月生产布料A、B分别为x匹、y匹，利润为Z元，

第23页（共24页）

则，对应的可行域如图：

（Ⅱ）设最大利润为z，则目标函数为 z=60x+40y，

则y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，当直线y=﹣x+经过可行域上 M时，
截距最大，即z最大．

解方程组，

得M的坐标为x=250，y=100

所以z
max
=60x+40y=19000．

答：该公司每月生 产布料A、B分别为250、100匹时，能够产生最大的利润，
最大的利润是19000 元．


【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件，利用线性规划的知识 进
行求解是解决本题的关键．



第24页（共24页）