高中数学必修五单元测试：基本不等式word版含答案

基本不等式单元测试
一、选择题
1．“
a
>0，
b
>0”是“
ab
<
?
?
a
＋
b
?
2
”的( )
?
?
2
?
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A．充分不必要条件
C．充要条件
解析：选D 因为当
a
>0，
b
>0时，
?
所以当
a
＝
b
时，“
ab
<
?
当“
ab
<
?
?
a
＋
b
?
2
≥
a b
，
?
?
2
?
?
a
＋
b
?
2
”不成立，
?
?
2
?
?
a
＋
b
?
2
”时，
a
，
b
可以异号，所以 “
a
>0，
b
>0”不一定成立，
?
?
2
?
?
a
＋
b
?
2
”的既不充分也不必要条件．
?
?
2
?
xy
故“
a
>0，
b< br>>0”是“
ab
<
?
32
2．已知向量
a
＝ (3,2)，
b
＝(
x,
1－
y
)且
a
∥
b
，若
x
，
y
均为正数，则＋的最小值是( )
A．24
8
C.
3
B．8
5
D.
3
解析：选B ∵
a
＝(3,2)，
b
＝(
x,< br>1－
y
)且
a
∥
b
，
∴3(1－
y
)＝2
x
，即2
x
＋3
y
＝3.
2
∴
x
＋
y
＝1，
3
32
?< br>32
??
2
3
y
4
x
?
∴＋＝?
＋
??
x
＋
y
?
＝2＋2＋＋≥4＋2 < br>xy
?
xy
??
3
x
3
y
?
31
当且仅当
x
＝，
y
＝时取等号，
42
32
故＋的最小值是8.
3
y
4
x
·＝8，
x
3
y
xy
11
3．若直线
ax
－
by
＋2＝0(
a
>0，
b
>0)被圆
x
2
＋
y
2
＋2x
－4
y
＋1＝0截得的弦长为4，则 ＋的最小值为( )
ab
3
A.＋2
2
1
C.
4
B.2
3
D.＋22
2
22
解析：选A 因 为直线
ax
－
by
＋2＝0被圆
x
＋
y
＋ 2
x
－4
y
＋1＝0截得的弦长为4，圆的圆心为(－1,2)，
1 11
?
11
?
1
半径为2，所以直线
ax
－
by
＋2＝0过圆心(－1,2)，则有
a
＋2
b
＝2，所以 ＋ ＝(
a
＋2
b
)
?
＋
?
＝
ab< br>2
?
ab
?
2

?
3＋
2b
＋
a
?
≥
3
＋2，当且仅当
2
b< br>＝
a
时，等号成立．故
1
＋
1
的最小值为
3
＋2.
?
ab
?
abab
2
??
24．(2018·开封摸底考试)已知
x
>0，
y
>0，
x＋2
y
＋2
xy
＝8，则
x
＋2
y
的 最小值是( )
A．3
9
C.
2
B．4
D.
11

2
解析：选B 由题意得
x
＋2
y
＝8－
x
·2
y
≥8－
?
?
x
＋2
y
?
2
，当且仅当
x
＝2
y
时，等 号成立，整理得(
x
＋2
y
)
2
?
?
2< br>?
＋4(
x
＋2
y
)－32≥0，即(
x
＋ 2
y
－4)(
x
＋2
y
＋8)≥0，又
x
＋2
y
>0，所以
x
＋2
y
≥4，所以
x
＋2
y
的最小值为
4.
5．设
x
>0，
y
>0且
x
＋4
y
＝40，则lg
x
＋lg
y
的最大值是( )
A．40
C．4
B．10
D．2
解析：选D ∵
x
>0，
y
>0且
x＋4
y
＝40，∴40≥2
x
·4
y
，即
xy
≤100，当且仅当
x
＝4
y
＝20时取等号．则
lg
x
＋lg
y
＝lg(
xy
)≤lg 100＝2，因此其最大值是2.
6．不等式
x
＋2
x
<＋
A．(－2,0)
C．(－4,2)
2
a
16
b
对任意
a
，
b
∈(0，＋∞)恒成立，则实数
x
的取值范围是( )
ba
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(2，＋∞) a
16
ba
?
a
16
b
?
22
解析：选C 不等式
x
＋2
x
<＋对任意
a
，
b
∈(0，＋∞)恒成立，等价于
x
＋2
x
<
?
＋< br>?
min
，由于
ba
?
ba
?
b
＋
16
b
≥2
a
a
16
b
·＝8(当且仅 当
a
＝4
b
时等号成立)，
ba
∴
x
＋ 2
x
<8，解得－4<
x
<2.
1221
7．若正数a
，
b
满足，＋＝1，则＋的最小值为( )
aba
－1
b
－2
A．2
5
C.
2
B.
32

2
2
32
D．1＋
4
12
解析：选A 因为正数
a
，
b
满足：＋＝1 ，所以2
a
＋
b
＝
ab
，且
a
>1，b
>2，
ab
则
21
＋≥2
a
－1
b
－2
21
·＝2
a
－1
b
－2
2
＝2，
ab
－2
a
－
b
＋2
当且仅当

2121
＝，即
a
＝
b
＝3时，等号成立，故＋的最小值为2. < br>a
－1
b
－2
a
－1
b
－2

xy
111
8．(2018·洛阳统考)若正实数
x
，
y< br>，

满足
x
2
＋4
y
2
＝

＋3
xy
，则当取最大值时，＋－的最大值为( )
zx
2
yz
A．2
C．1
22
3
B.
2
1
D.
2
解析：选D ∵

＝
x
＋4
y
－3
xy
，
x< br>，
y
，

∈(0，＋∞)，
∴
xyxy
1
＝
2
＝≤1(当且仅当
x
＝2
y
时等号成立)，
zx
＋4
y
2
－3
xyx
4
y
＋ －3
yx
111111
此时＋－＝－
2
，令＝
t
> 0，
x
2
yzy
2
yy
1111
2
11 1
2
则＋－＝
t
－
t
＝－(
t
－1)＋≤ (当且仅当
t
＝1时等号成立)．
x
2
yz
2222
二、填空题
32
22
9．已知
a
>0，
b
>0，圆
C
：(
x
－ 2)＋(
y
＋1)＝5关于直线
ax
－
by
－1＝0对称， 则＋的最小值为________．
ba
解析：由
a
>0，
b>0，圆
C
：(
x
－2)＋(
y
＋1)＝5关于直线< br>ax
－
by
－1＝0对称，
可得2
a
＋
b
－1＝0，
32
?
32< br>?
6
a
2
b
所以＋＝
?
＋
?
(2
a
＋
b
)＝＋＋7≥2
22
ba
?
ba
?
ba
ba
6
a
2
b
·＋7＝43 ＋7，
ba
6
a
2
b
当且仅当＝且2
a
＋
b
－1＝0，即
a
＝2－3，
b
＝23－3时取等号．
32
故＋的最小值为7＋43.
ba
答案：7＋43
19
10．(2018·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{
a
n
}的前
n< br>项和为
S
n
，若
S
2 017
＝4 034，则＋的最小值
a
9
a
2 009
为________．
2 017
a
1
＋
a
2 017
解析：由等差数列的前
n
项和公式，得
S
2 017
＝＝4 034，
2
则
a
1
＋
a
2 017
＝4.由等差数列的性质得
a
9
＋
a
2 009
＝4，
191
?
49×4
?
1
?
a
9
＋
a
2 009
9
＋
所以＋＝
?＋
?
＝
?
a
9
a
2 009
4
?
a
9
a
2 009
?
4
?
a
9
1
?
a
2 0 09
9
a
9
?
1
?
＋
＝
?
＋10≥
?
2
?
a
2 009
?
4
?
a
9
4
?
a
9
＋
a
2 009
?
?

a
2 009
?
a
2 009
9
a
9
?
×＋10
?
＝4，
a
9
a
2 009
?
a
9
a
2 009
19
当且仅当
a
2 009
＝3
a
9
时等号成立．故＋的最小值为4.

答案：4
12
11.如图，动点
A
在函数
y
＝(
x
<0)的图象上，动点
B
在函数
y
＝(< br>x
>0)
xx
的图象上，
＝4，则过点
A
，
B
分别向
x
轴，
y
轴作垂线，垂足分别为
A
1，
A
2
，
B
1
，
B
2
，若|
A
1
B
1
|
|
A
2
B
2
|的最小值为________．
?
1
??
2
?
解析：设
A
?
a
，
?
，
B
?
b< br>，
?
，
a
<0，
b
>0，
?
a< br>??
b
?
因为|
A
1
B
1
|＝4， 所以
b
－
a
＝4，
211
故|
A
2B
2
|＝－＝
[
b
＋－
a
ba
421
?
1
?
－2
ab
?
1
]
·
?
?
b
＋
－
a
?
＝
?
3＋
b
＋
－
a
?
≥(3＋2
??
4
??
4
2)，
3＋22
22
当且仅当
b
＝2< br>a
，即
a
＝4－42，
b
＝8－42时，|
A
2
B
2
|取得最小值.
4
3＋22
答案：
4
12．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买
x
吨，运 费为6万元次，一年的总存储
费用为4
x
万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最 小，则
x
的值是________．
600600
?
900
?
解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4
x
＝4
?
＋
x
?
≥8
900
xx
?
x
?
x
·
x
＝
240，当且仅当
x
＝30时取等号， 故总运费与总存储费用之和最小时
x
的值是30.
答案：30
三、解答题
13．已知
x
>0，
y
>0，且
x
＋8
y
－
xy
＝0.
(1)当
x
，
y
分别为何值时，
xy
取得最小值？
(2)当
x
，
y
分别为何值时，
x
＋
y< br>取得最小值？
解：(1)∵
x
>0，
y
>0，且
x
＋8
y
－
xy
＝0，
∴
xy
＝
x
＋8
y
≥42
xy
，当且仅当
x
＝8
y
，即
x
＝16，
y
＝2时取等号，
∴
xy
≥32.
∴
xy
的最小值为32.
81
(2)∵
x
＋8
y
－
xy
＝0，∴＋＝1， xy
x
8
yx
8
y
?
81
?
∴
x
＋
y
＝(
x
＋
y
)
?
＋
?
＝9＋＋≥9＋42，当且仅当＝，即
y
＝1＋22，
x＝8＋22时取等号．
?
xy
?
yxyx
因此
x＋
y
的最小值为9＋42.
14．某工地决定建造一批房型为长方体、房高为2.5 m的简易房，房的前后墙用2.5 m高的彩色钢板，两
侧墙用2.5 m高的复合钢板．两种钢板的价格都用长度来计算(即：钢板的高均 为2.5m．用钢板的长度乘以
单价就是这块钢板的价格)．已知彩色钢板每米单价为450元．复合钢 板每米单价为200元，房的地面不需

另买材料，房顶用其他材料建造，每平方米材料费 200元，每套房的材料费控制在32 000元以内．
(1)设房前面墙的长为
x
(m)，两侧墙的长为
y
(m)，建造一套房所需材料费为
P
(元)，试用< br>x
，
y
表示
P
；
(2)试求一套简易房面积
S
的最大值是多少？当
S
最大时，前面墙的长度应设计为多少米？
解：( 1)依题得，
P
＝2
x
×450＋2
y
×200＋
xy
×200＝900
x
＋400
y
＋200
xy
，
即
P
＝900
x
＋400
y
＋200
xy
.
(2)∵
S
＝
xy
，∴
P
＝90 0
x
＋400
y
＋200
xy
≥2900×400
S
＋200
S
＝200
S
＋1 200
S
，
又因为
P
≤32 000，所以200
S
＋1 200
S
≤32 000，
解得0<
S
≤10，
??
900
x
＝400
y
，
∴0<
S
≤ 100，当且仅当
?
?
?
xy
＝100，

20
即
x
＝时，
S
取得最大值．
3
20
2
答：每套简易房面积
S
的最大值是100 m，当
S
最大时前面墙的长度是 m.
3


1
2
1．若正实数
x
，
y
满足(2
xy
－1)＝(5
y
＋2)(
y
－2)，则
x
＋的最大值为( )
2
y
32
A．－1＋
2
33
C．1＋
2
2
33
B．－1＋
2
32
D．－1－
2
解析：选A 由(2
xy
－1)＝(5
y
＋2)(
y
－2)，
可得(2
xy
－1)＝9
y
－(2
y
＋2)，
即(2
xy
－1)＋(2
y
＋2)＝9
y
， 1
?
2
?
2
?
2
?
所以
?< br>2
x
－
?
＋
?
2＋
?
＝9. 222
222
?
y
??
y
?
1
?2
?
2
?
2
?
因为
?
2
x< br>－
?
＋
?
2＋
?
≥
?
2
x
－
1
＋2＋
2
?
2
?
yy
???
2
?
y
??
y
?

＝
?
2
x
＋
1
＋2
?
2
?
y
?
??
2
12
，当且仅当2
x
－＝2＋时等号成立． yy
1
?
2
?
所以
?
2
x
＋ ＋2
?
≤18，
?
y
?
1
所以2
x
＋≤32－2，
y

132－2
即
x
＋≤.
2
y
2
132
所以
x
＋的最大值为－1.
2
y
2
14
y
2
2．若两个正实数
x
，
y
满足＋＝1，且不等式
x
＋<
m
－3
m
有解，则实数
m
的取值范围是( )
xy
4
A．(－1,4)
C．(－4,1)
B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：选B ∵不等式
x
＋<
m
－3
m
有解，∴
x
＋
min
＜
m
－3
m
，
44
14
y
?
y
??
14
?
4
xy
∵
x
＞0，
y
＞0，且＋＝ 1，∴
x
＋＝
?
x
＋
??
＋
?
＝ ＋＋2≥2
xy
4
?
4
??
xy
?
y4
x
4
xy
当且仅当＝，即
x
＝2，
y
＝8时取等号，
y
4
x
∴
?
x
＋
?< br>min
＝4，∴
m
－3
m
＞4，即(
m
＋1 )(
m
－4)＞0，
?
4
?
解得
m
＜－ 1或
m
＞4，故实数
m
的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
3．设
x
>
y
>

，且
11
n< br>＋≥(
n
∈N)恒成立，则
n
的最大值为________．
x
－
yy
－
zx
－
z
4
xy
· ＋2＝4，
y
4
x
y
2
y
2
?
y
?
2
解析：因为
x
>
y
>

，所以
x
－
y
>0，
y
－

>0，
x
－

>0，
不等式
11
n11
＋≥恒成立等价于
n
≤(
x
－

)＋恒成立．
x
－
yy
－
zx
－
zx< br>－
yy
－
z
因为
x
－

＝(
x
－
y
)＋(
y
－

)≥2
所以(
x
－

)
11
＋≥2
x
－
yy
－
z
x
－
yy
－
z< br>，
11
＋≥2
x
－
yy
－
z
11< br>×，
x
－
yy
－
z
x
－
yy－
z
·2
11
×＝4(当且仅当
x
－
y
＝
y
－

时等号成
x
－
yy
－
z
立)，则要使
n
≤(
x
－

)·
答案：4
11
＋恒成立，只需使
n
≤4(
n
∈N)，故
n
的最大值为4.
x
－
yy
－
z