最新高中数学不等式知识点总结

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弹性学制数学讲义
不等式（4课时）
★知识梳理

1、不等式的基本性质
①（对称性）
a?b?b?a

②（传递性）
a?b,b?c?a?c

③（可加性）
a?b?a?c?b?c

（同向可加性）
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

（异向可减性）
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

④（可积性）
a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

⑤（同向正数可乘性）
a?b?0,c?d?0?ac?bd

（异向正数可除性）
a?b?0,0?c?d?
ab
?
cd

nn
a?b?0?a?b(n?N,且n?1)
⑥（平方法则）
nn
⑦（开方法则）
a?b?0?a?b(n?N,且n?1)

a?b?0?
⑧（倒数法则）
2、几个重要不等式
1111
?;a?b?0??
abab

a
2
?b
2
ab?.
a
2
?b
2
?2ab
?
a，b?R
?
2
①（,当且仅当
a?b
时取
?
号 ）. 变形公式：
a?b
?ab
?
a，b?R
?
?
②（基本不等式）
2
,（当且仅当
a?b
时取到等号）.
变形公式：
a?b?2
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?
a?b
?
ab?
??.
ab
?
2
?

2

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用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要 注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”.

a?b?c
3
?a bc
?
(a、b、c?R)
（当且仅当
3
③（三个正数的算术—几何 平均不等式）
a?b?c
时取到等号）.
④
a
2
?b2
?c
2
?ab?bc?ca
?
a，b?R
?

（当且仅当
a?b?c
时取到等号）.
333
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0)
⑤
（当且仅当
a?b?c
时取到等号）.
ba
若ab?0,则??2
ab
⑥（当仅当a=b时取等号）
ba
若ab?0,则???2
ab
（当仅当a=b时取等号）
bb ?ma?na
??1??
aa?mb?nb
，⑦（其中
a?b?0，m?0， n?0)

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
⑧
当a?0时， x?a?x
2
?a
2
?x??a或x?a;

x?a?x< br>2
?a
2
??a?x?a.
⑨绝对值三角不等式

3、几个著名不等式


a?b?a?b?a?b.
2a?ba< br>2
?b
2
?ab??
?
?1?1
（a,b?R
a?b22
①平均不等式：，，当且仅当
a?b
时取
?
号）.
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（即调和平均
?
几何平均?
算术平均
?
平方平均）.
变形公式：
22
2
?
a?b
?
a?b
(a?b)
22
ab?
?
;
a?b?.
?
?
22
??
2

2
②幂平均不等式：
1
a
1
2
?a
2< br>2
?...?a
n
2
?(a
1
?a
2
?...?a
n
)
2
.
n

③二维形式的三角不等式：
x
1
2
?y
1
2?x
2
2
?y
2
2
?(x
1
?x2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
(x
1
,y
1
,x
2
,y
2
?R).④二维形式的柯西不等式：

22222
(a?b)(c?d)? (ac?bd)(a,b,c,d?R).
当且仅当
ad?bc
时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
(a
1
2
?a
2
2< br>?a
3
2
)(b
1
2
?b
2
2?b
3
2
)?(a
1
b
1
?a
2b
2
?a
3
b
3
)
2
.
⑥一 般形式的柯西不等式：

(a
1
2
?a
2
2?...?a
n
2
)(b
1
2
?b
2
2
?...?b
n
2
)
?(a
1
b
1?a
2
b
2
?...?a
n
b
n
)< br>2
.
⑦向量形式的柯西不等式：
设
?
,
?
是两个向量，则

?
?
?
?
??
,
当且仅当
?
是零向量，或存在实数
k< br>，使
?
?k
?
时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设
a
1
?a
2
?...?a
n
,b
1
?b
2
?...?b
n
为两组实数.
c
1,c
2
,...,c
n
是
b
1
,b
2
,...,b
n
的任一排列，则
a
1
b
n
?a
2
b
n?1
?...?a
n
b
1
?a
1
c
1
?a
2
c
2
?...?a
n
c
n
?a
1
b
1
?a
2
b2
?...?a
n
b
n
.
（反序和
?
乱序和
a?a
2
?...?a
n
b
1
?b
2
?...?b
n
?
顺序和），当且仅当
1
或时，反序和等 于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间上的函数
f (x)
,对于定义域中任意两点
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
),
有
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?或
22
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?.
22
则称f(x)为凸（或凹）函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.
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常见不等式的放缩方法：
131
(a?)
2
??(a?)
2
;
242
①舍去或加上一些项，如
②将分子或分母放大（缩小），
11112212
?,?,???,
22
k(k?1)

kk(k?1)

2kk?kkk?k?1
如
k
12
?(k?N
*
,k?1)
kk?k?1
等.
5、一元二次不等式的解法
2
ax?bx?c?0(或?0)
求一元二次不等式
(a?0,??b
2
?4ac?0)
解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，
写出 不等式的解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
f(x)
?0?f (x)?g(x)?0
g(x)
?
f(x)?g(x)?0
f(x)
?0?
?
g(x)
?
g(x)?0
“?或?”
（时同理）
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
⑴

?
f(x)? 0
f(x)?a(a?0)?
?
2
?
f(x)?a

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⑵
?
f(x)?0
f (x)?a(a?0)?
?
2
?
f(x)?a

?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
f(x)?g(x)?
?
g (x)?0
或
?
?
f(x)?[g(x)]
2
?
g (x)?0
?

?
f(x)?0
?
f(x)?g(x)?< br>?
g(x)?0
?
f(x)?[g(x)]
2
?
< br>?
f(x)?0
?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0?
f(x)?g(x)
?

⑶
⑷
⑸
规律：把无 理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
9、指数不等式的解法： ⑴当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f (x)?g(x)

f(x)g(x)
a?a?f(x)?g(x)

0?a?1
⑵当时,
规律：根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
?
f(x)?0
?
log
af(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
?
f( x)?g(x)
?
a?1
⑴当时,
?
f(x)?0
?< br>log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x) ?0.
?
f(x)?g(x)
?
⑵当
0?a?1
时,
规律：根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法：
?
a( a?0)
a?
?
.
?
?a(a?0)
⑴定义法：
⑵平方法：
f(x)?g(x)?f
2
(x)?g
2
(x).

⑶同解变形法，其同解定理有：
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①

②

③
x?a??a?x?a(a?0);

x?a?x?a或x??a(a?0);

f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)(g(x)?0)

④
f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)(g(x)?0)

规律：关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
解形如
ax?bx?c?0
且含参数的不等式 时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
⑴讨论
a
与0的大小；

⑵讨论
?
与0的大小；
⑶讨论两根的大小.
14、恒成立问题
2
ax?bx?c?0
的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ⑴不等式
2
①当
a?0
时
?b?0,c?0;


?
a?0
?
?
?
??0.
②当
a?0< br>时
⑵不等式
ax?bx?c?0
的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当
a?0
时
?b?0,c?0;

2
?
a?0
?
?
?
??0.
②当
a?0
时
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?f(x)
max
?a;
⑶
f(x)?a
恒成立

f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;

?f(x)
min
?a;
⑷
f(x)?a
恒成立

f(x)?a
恒成立
?f(x)
min
?a.

15、线性规划问题
常见的目标函数的类型：

①“截距”型：
z?Ax?By;

z?
②“斜率”型：
y y?b
z?;
x
或
x?a

22
22
z?x?y;

z?x?y
③“距离”型：或22
z?(x?a)
2
?(y?b)
2
或
z?(x?a )?(y?b).

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义 求解，从而使
问题简单化.


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