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高中数学中的不等式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 19:00
tags:高中数学不等式

李永乐高中数学-高中数学必修二测试题免费下载

2020年9月20日发(作者:梅士已)


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高中数学中的不等式
(一) 目录
前言
(一)不等式的概念
(二)不等式的基本性质
(三)不等式的分类
(四)常用不等式介绍
(五)重要不等式介绍
(六)两个重要的工具
(七)不等式的证明
例题介绍
(八)不等式的解法
例题介绍
(九)不等式的应用
例题介绍
(十)综述
软件(数学公式编辑器,几何画板,lingo,matalab等)








正文:
一 不等式的概念
不等式在我们的日常生活中很常见,它是与等式相对的一个概念。为了给不等式一个确切
的概念,下面 我介绍一下集合论的简单知识。
“集合论创始人Cantor称集合为一些确定的、不同的东西的总体 ,这些东西,人们能够意
识到,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。”[1]
定 义1:如果a是集合A的元素,则称a属于A,记作a?A,反之,如果a不是集合A的
元素,则称a不 属于A,记作a?A。[2]
定义2:如果集合A和B的元素完全相同,则称A和B相等,记作A=B, 如果集合A
中的每一个元素都是集合B中的元素,称A包含于B,记作A?B(当B中还有不属
于集合A的元素,则称A真包含于B,记作A?B)。[3]
列出集合的元素的方式,一般采用枚举法、 描述法和归纳法。其实我们可以将不等式归为
一类集合,如下:
U?{不等式}?{f(x< br>1
,x
2
,x
3
,...)?0或者f(x
1
,x
2
,x
3
,...)?0|f(x
1
,x
2
,x
3
,...)为一个定义
在实数集R上的函数}。
一般地,在数 学
上,不等
式表明两个对象的大小或者顺序的二元关系。不等关系主要有四

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种:
a?b,即a小于b
a?b,即a大于b
上述两个属于严格不等。

a?b,即a小于等于b
a?b,即a大于等于b
a?b,即a不等于b
将两个表达式用不等符号连起来,就构成了
不等式。
若不等关系对变量的所有元素都成 立,
则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立,而对另一部分
将改变方向或失效,则称为条件不等。我们现在就引入集合的几种运算,从集合理论中来
对它进行更深刻 的认识。
定义3.1:集合A与集合B的并集记为A?B,而
A?B?{x|x?A或者x?B};
定义3.2:集合A与集合B的交集记为A?B,而
A?B?{x|x?A且x?B};
定义3.3:集合A与集合B的差集记为A-B,而
A-B?{x|x?A且x?B}。
根据上面的定义,我们就可以推出下面的运算性质:
定理1:设E为全集,则对任意子集A,B,C而言,我们有如下的结论:

(1) 并的交换律:A?B=B?A;
(2)交的交换律:A?B=B?A;
(3)并的结合律:A? (B?C)=(A?B)?C;
(4)交的结合律:A?(B?C)=(A?B)?C;
(5)并对交的分配律:A?(B?C)=(A?B)?(A?C);
(6)交对并的分配律:A? (B?C)=(A?B)?(A?C);
(7)零元:A??=A,A??=?;
(8)单位元 :A?E=A,A?E=E。
它们的证明可以参看朱梧槚、肖奚安教授所著《集合论导引》25页的证明 。
要理解不等式,其实质上是“不等”,我们就利用上面的知识来阐释“不等”。当然我们还
要一个概念——卡氏积,下面就来介绍卡氏积。
首先,我们给出“序偶”的概念。1921年,wsk 给出的定义,也是我们现在普遍
采用的一种。


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定义5:={{x},{x,y}}。
我们利用集合的定义及性质,可以证明得出下 面的定理。
定理5:??u,v??x?u且y?v。
证明:? ??u ,v?,则有{{x},{x,y}}?{{u},{u,v}},下面我们分两种情况
进行分类讨论:
1)当x?y时,则有{x}={x,x},即=={{x}}={{u},{u ,v}},于是得到{x}?
{u}={u,v},根据集合的定义,x?y?u?v。
2)当 x?y时,则有{x}?{x,y},于是{x}?{{u},{u,v}},若{x}?{u},则x?u,然 后
{x,y}?{u,v}?{x,v},得出y?u;若{x}?{u,v},则x?u?v,从而有 {{x},{x,y}}?
{{u},{u,v}}?{{x}},即{x}={x,y},矛盾。? 因为x?u且y?v,则{x}?{u},{x,y}?{u,v},因此={{x},{x ,y}}?{{u},
{u,v}}??u,v?。
定义6:设两个集合A,B,则A与B的卡 氏积如下定义,记为A?B,即
A?B?{?x,y?|x?A且y ?B}
上述定义表明卡氏积A?B是由序偶?x,y?所组成的集合。
然而卡氏积这个概念与不 等式的关系不大,如果我们将不等式中的“不等”单独地提出来
看,其实不等式中核心的部分是不等这个 关系,因此我们需要“关系”这个数学概念。因
此我们就用上面的所建立的卡氏积概念来定义,如下:


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定义7:设两个集合A, B为,则把卡氏积A?B的任意子集R称为A与B的元素之间的
一个关系,如果A=B,则称为R为A上 的关系。[4]
根据定义,我们知道关系也是一个集合,那么“不等”这个关系也是一个集合,
然而我们限定的不等只是在实数上比较,而不是那种更广义的“不等”。接下来
我们将介绍关系的运算以 及分类。
先来给出运算的定义:
定义7.1:设R
1
?A?B,R
2
?B?C,则由R
1
和R
2
合成之由A到C的复合关系被定义如下,
并记为R
1
R
2
,即
R
1
R
2
?{?a,c?|a?A&c?C&?b(b?B&?a,b??R
1< br>&?b,c??R
2
)}
它表示R
1
R
2
? A?C,并对任意的a?A和c?C,
a(R
1
R
2
)c??b(b?B&aR
1
b&bR
2
c)
举一个例子, 当A?{a,b,c},则
R
1
?{?a,b?,?a,c?,?c,b?}
R
2
?{?a,b?,?b,c?,?c,a?}
都是A?A上的二元关系,然而
R
1
R
2
?{?a,b?,?a,c?,?c,b?}
R
2
R
1
?{?b,b?,?b,c?,?c,a?}
显然,R1
R
2
?R
2
R
1
,所以在一般情况下,关系 的复合运算是不可交换的。对于关
系这个特殊的集合,它的特殊运算性质如下:
定理7.1:设 R
1
?A?B,R
2
?B?C,R
3
?C?D,则
R
1
(R
2
R
3
)(?R
1
R
2
)R
3
它的证明利用集合证明问题的两种普遍方法(利用集合运算规则,或者利用集合 的
定义)得到,它表示的是关系的运算满足结合律。
定理7.2:设R
1
?A ?B,R
2
?B?C,R
3
?B?C,R
4
?C?D,则< br> (1) R
1
(R
2
?R
3
)? R
1
R
2
?R
1
R
3
(2)(R
2
?R
3
)R
4
?R
2
R4
?R
3
R
4
实际上我们看到关系对于并运算满足分配律。现在我们来对关系的运算进行说明,首先定义六个基本的二元关系的特性,依次为自反性,
反自反性 ,对称性,反对称性,拟反对成性和可传性,然后而我们利用这些特性来对关系
分类。关系的这些特性是 从实际生活中抽象出来写成数学语言,现在就列在下面:






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定义8.1:集合A上的二元关系R 按如下方式而被定义为自反的,并记为
R[ref],即
R[ref] ??a(a?A??a,a??R).
定义8.2:集合A上的二元关系R按如下方式而被定义为反自反 的,并记为
R[irref],即
R[irref]??a(a?A? ?a,a??R).
定义8.3:集合A上的二元关系R按如下方式而被定义为对称性的,并记为
R[sym],即
R[sym]??a?b(a?A&b?A&?a,b?? R??b,a??R).
定义8.4:集合A上的二元关系R按如下方式而被定义为反对称性的,并记为
R[asym],即
R[asym]??a?b(a?A&b?A&? a,b??R&?b,a??R?a?b).
定义8.5:集合A上的二元关系R按如下方式而被定义为 拟反对称性的,并记为
R[imasym],即
R[imasym]??a? b(a?A&b?A&?a,b??R??b,a??R).
定义8.6:集合A上的二元关系R按如下 方式而被定义为传递性的,并记为
R[tra],即
R[tra]??a?b?c(a?A&b ?A&c?A&?a,b??R&?b,c??R??a,c??R).
上面所列举的特性对于“不等式 ”中的不等关系是成立的,由于等式与不等式相对应,先
给出一个简单的关系——等价关系。

定义9.1:如果集合A上二元关系R满足下述条件,则R被定义为A上之等价关系,
并记为? R?,即
?R??R?A?A&R[ref]&R[sym]&R[tra]
我们现在能够理解 “=”是等价关系,因为“=”满足自反性,对称性,传递性。那么,“不
等”的性质在下面作出详细的 介绍:















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定义9.2:非空集合A上的二元关系R如果满足下述条件,则被定义为A上的偏序
关系:
R?A?A&R[ref]&R[asym]&R[tra]
我们经常用?表示偏序关系 。下面我们定义一个称作全序的概念:
定义9.2:非空集合A上的偏序关系R如果满足下述条件,则被 定义为A上的全序
关系:
R?A?A&?a?b(a?A&b?A?a?b或者a?b)
我们经常用表示??全序关系,显然我们能够得出这样的结论—全序一定是偏序,
这里举几个例子来说 明这一点:
正整数集合N
?
上的整除关系|上偏序关系,不是全序,这里用(N
?
,|)来表示。下
面给出|关系在N
?
的定义:m,n?N
?< br>,若n?k?m,其中k?N
?
,则m|n,记作?m,
n??|。现在来验证 |满足偏序的几个条件,(1)自反性,因为n?N
?
,n?1?n,则
?n,n?? |;(2)反对称性,当?n,m??N
?
,?m,n??N
?
,即n|m, 有m?k?n,m|n,
有n?l?m,k,l?N
?
,则k?l?1,k=l=1, 故k=l。(3)传递性,如果n|m,m|s,有m?k?n, s?l?m,则s?k?l?n,即n|s,?n,s??|,因此|满足传递性。
下面我们来举例子说 明不是全序关系,|<3,7>?|,<7,3>?|,不满足全序关系的定义。
根据上面集合理论,我 们经常使用的“不等”关系显然的是属于全序关系,现在我们给出
一个称为严格全序关系的定义:
定义9.3:非空集合A上的二元关系R,如果满足下述条件,则被定义为A上的严格偏序:

定义9.4:非空集合A上的严格偏序<,如果满足下述条件,则被定义为A上的严格全序:
R?A?A&R[imasym]&R[tra]
?<)
现在我们可以将不等式大致地分 为两类,一类是用“<”或“>”表示的不等式,它显然的
是属于严格全序关系;另一类是用“
?
”或“
?
”表示的不等式,它属于全序关系。因此我
们就可以定义不等式了 ,即两个代数式满足全序关系。根据上面的介绍,可以得出不等式
的基本性质。



二 不等式的基本性质
1)对称性:a?b?a?b;
2)传递性:若a?b,b?c,则a?c;

上面两个性质是直接可以利用全序关系之直接得出,而我们特别的注意到全序关系的特殊
性,因此我们 有:
若a?b,b?a,则a?b. (?)

下面对于运算有另一些性质:


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3)加法保序性:若a?b,则a?c?b?c;
4)乘正数保序性:若a?b,c?0,则a c?bc。
我们可利用这四条性质导出更多的式子,例如下面一些:

1)若a?b ,c?0,则ac?bc;
2)若a?b,c?d,则a?c?b?d;
3)若a?b?0,c ?d?0,则ac?bd;
4)若a?b?0,n?N,则a?b,a?b.
我们列举两个例子 来进行证明:
nn
1
n
1
n

1)是明显,因为 -c?0,可以利用基本性质4)得到,-ac??bc,再利用基本性质3)两边同时加
上bc,得到 bc?ac?0,同理可以得到,两边再加上ac,得到结论。
4)先要证明3)是正确的,由基本性子 4),ac?bc,bc?bd,再利用基本性质2)得到结论,
于是,就有a?b,依次类推可以得到 a?b,对于另一个结论,我们做一种转化,令c?a,
d?b,就是要证明c?d,因为c
n
?d
n
,如果0?c?d,利用第一个结论得到c
n
?d
n
,则得到矛盾。
从而结论成立。


三 不等式的分类
在世界上,不等关系远远多于相等关系,而我们知道关系是可以进行分类的,下面我们介
绍几 重分类方式,以帮助学生进行更好的记忆及应用。我们知道,对关系进行分类,我们
需要对集进行全面的 了解,而不等式是如此之多,但我们很容易的得出一种分类方式,及
利用全序与非全序得到两种不等式, 根据它们自身的性质,其中区别是全序具有
1
n
22nn
1
n
即当a?b,b?a,则a?b,对于“?”关系不成立

然而这样的分类并没有怎样在学 生学习有任何大的帮助,于是我们探求更好的分类的方式。
在高中阶段,学习的都是初等不等式,一般书 上都是分成几类经典的不等式,如均值不等
式、几何不等式、柯西不等式、琴生不等式等,这样的分类能 够让学生更加容易掌握并应
用。但是它并没有将初等的不等式进行完整的概括。为了更全面的认识,首先 引进函数的
概念,因为不等式的两端可以看作一个函数,例如
a
2
?b2
?2ab,我们可以看作是函数f(x,y)?x
2
?y
2
与 函数g(x,y)?2xy,即f(x,y)
?g(x,y).
现在我将对初等函数进行分类, 如下:
多项式函数:________(常数函数看作是零多项式函数)
指数函数:——————————
对数函数:——————————
三角函数:——————————
反三角函数:——————————
因此我将根 据初等函数来对不等式进行分类,高中不等式的种类大概可以分成


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135
C
5
?C
5
2
?C
5< br>?C
5
4
?C
5
?31种。
这样,我们就可以很容易 的将所有初等多项式做完整的
分类。这里再提出一类重要不等式,绝对值不等式,它可以由我们的多项式 函数表示出来,

y?|x|?
还有我们所熟知的数列不等式,以及组合不等式,我们 可以看作他们的定
x
2

义域是在N上的函数,例如
S(n)?n(n?1)

等。
2
现在我们来证明我们的分类是成立的。
首先,我们记L
1
为多项式函数类,L
2
为指数函数类,L

为对数函数类,L

三角函
数类,L

为反三角函数类,L
12
表示含有指数函数与多项式函数类,依次类推,就
可以将31类表示出来。
现在 我们来进行证明,L
i
1
i
2
i
3
i
4< br>i
5
?L
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
??,其中i
1
i
2
i
3
i
4
i
5
?j
1
j
2
j
3
j
4
j(注:
5
i
1
i
2
i< br>3
i
4
i
5
没有次序,例如13,31是相同的,113与1 3也是相同的)如果L
i
1
i
2
i
3
i
4
i
5
?L
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
??,那么存在一个元素x?L
i
1
i< br>2
i
3
i
4
i
5
且x?L
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
,即x这 个不等式中必然存在既有
L
i
1
,L
i
2
,Li
3
,L
i
4
,L
i
5
,以及Lj
1
,L
j
2
,L
j
3
,L
j
4
,L
j
5
中的元素(注:L
i
1
,L
i
2
,L
i
3

L
i
4
,L
i
5
可能有相同的元素,L
j
1
,L
j
2
,L
j
3
,L
j
4
,L
j
5
可能有相同的元素),因此我
们只需要证明L
1
,L
2
,L
3
,L
4
,L
5
两两之交非空,这个显然是成立的。因为在 初等
函数类两两之交非空,那么组成的不等式的集合的交也是非空的。这里需要指出的
是,{e
x
?0}?L
2
。这里特别说明的是对于不等式一段只有0的这种情形,应当 将它
归类为另一端的函数类所对应的不等式类。那么{e
x
?1:x?0}?L
12
,因为,1?L
2

而是1?L
1
。对于上面的结论 ,我们已经完成了证明。
其次,我们要证明的是UL
i
1
i
2
i
3
i
4
i
5
?{初等不等式}。现在我们给出初等不等 式的定义:
包含多项式或指数式或对数式或三角函数式或反三角函数式的不等式。因此根据这
个 定义,UL
i
1
i
2
i
3
i
4
i
5
?{初等不等式}。
完成了对不等式的分类,下面我们就要根据这些分类来对不等时 进行认知。
四 常用不等式介绍





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L
1
类不等式
1)均 值不等式
设n个正数a
1
,a
2
,...,a
n
的 算术平均、几何平均、平方平均、调和平均分别为A
n
?
a
1
?a< br>2
?...?a
n
,G
n
?
n
a
1
a
2
...a
n
,Q
n
?
n
则它 们之间的关系为:
H
n
?G
n
?A
n
?Q
n
三个不等式中的 等号都是当且仅当a
1
?a
2
?...?a
n
时成立。证明:记b
1
?
c
1
?
aa...a
a
1
aa
2
,b
2
?
1
2
,...bn
?
12
n
n
?1;
G
n
G
n
G
n
a
1
?a
2
?...a
n
1
,H
n
?,
111
2
??...?
a
1
a
2
a
n
222
111
,c
2
? ,...,c
n
??1。
b
1
b
2
b
n< br>L
2
类不等式
L
3
类不等式
L
4
类 不等式
L
5
类不等



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