高中数学-不等式的性质及其解法

高中数学- 不等式的性质及其解法-不等式专题
第一部分：基础回顾
一、不等式的主要性质：
(1)对称性：
a?b?b?a
(2)传递性：
a?b,b?c?a?c

(3)加法法则：
a?b?a?c?b?c
；
a?b,c?d?a?c?b?d

?b?0,c?d?0?ac?bd
( 4)乘法法则：
a?b,c?0?ac?bc
；
a?b,c?0?ac?bc
；
a
(5)倒数法则：
a?b,ab?0?
n
11
?

ab
n
(6)乘方法则：
a?b?0?a?b(n?N*且n?1)

(7)开方法则：
a?b?0?
2
n
a?
n
b(n ?N*且n?1)

2
二、一元二次不等式
ax?bx?c?0
和< br>ax?bx?c?0(a?0)
及其解法


??0

??0


??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

?a(x?x
1
)(x? x
2
)
y?ax
2
?bx?c
?a(x?x
1)(x?x
2
)
y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象


有两相等实根


一元二次方程
有两相异实根

ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
a x
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

b
x
1
?x
2
??

2a
无实根

?
x
?
x
x?x
1
或x?x< br>2
?

?
b
?
xx??
??

2a
??

R

x
1
?x?x
2
?

?

?

注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式
顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间
1

第二部分：不同题型不等式的解法
1、高次不等式
例1 解不等式：（1）
2
x?x?
15
x?
0
；
32
（2）
(
x?
4)(
x?
5)(2
?x
)
?
0
．
23
解：（1）原不等式可化为
x(2x?5)(x?3)?0

把 方程
x(2x?5)(x?3)?0
的三个根
x
1
?0,x
2
??
过三个根，其解集如下图的阴影部分．
5
,
x
3< br>?
3
顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经
2

∴原不等 式解集为
?
x
5
??
??x?0或x?3
?

2
??
（2）原不等式等价于
(x?4)(x?5)
2
(x?2)
3
?0

?< br>x??5
?
x?5?0
?
?
?
?
(x?4) (x?2)?0
?
?
x??4或x?2
∴原不等式解集为
?
xx??5或?5?x??4或x?2
?

说明：用“穿根法”解不等式时应注意：① 各一次项中
x
的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不
含重根的不等式，也可 直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．
2、分式不等式
例2 解下列分式不等式：
x
2
?4x?1
32
?
1

?1?
（1）； （2）
3x
2
?7x?2
x?2x?2
分析：①
f(x)
?
0
?f
(
x
)
?g
(
x
)
?
0

g(x)
f(x)?g(x)?0
f(x)
②
f(x)
?0?
?
或?0?f(x)?0或f(x)?g(x)?0

?
g(x)?0
g(x)g(x)
?
（1）解：原不等式等价于
2

3x3x
????0
x?2x?2x?2x?2
3(x?2)?x(x?2) ?x
2
?5x?6
??0??0
(x?2)(x?2)(x?2)(x?2)
?
(x?6)(x?1)(x?2)(x?2)?0
(x?6)(x?1)
? ?0?
?
(x?2)(x?2)
?
(x?2)(x?2)?0
∴原不 等式解集为
(??,?2)??1,2
?
?6,??
?
。

??
2x
2
?3x?1
?
0
（2）解法一：原不等式等价于
2
3x?7x?2
?(2x
2
?3 x?1)(3x
2
?7x?2)?0
22
?
?
2x?3x? 1?0
?
?
2x?3x?1?0
?
?
2
或
?
2

?
?
3x?7x?2?0
?
?
3x ?7x?2?0
11
?x?或?x?1或x?2
32
11
∴原不等式 解集为
(??,)?(
,1)
?
(2,
??
)
。
32
解法二：原不等式等价于
(2x?1)(x?1)
?
0
?(2x?1)(x?1)(3x?1)?(x?2)?0

(3x?1)(x?2)

∴原不等式解集为
(??,
11
)?(
,1)
?
( 2,
??
)

32
x
2
?6x?5
?
0
． 练习：1、解不等式
2
12?4x?x
x
2
?2x?2
?< br>x
． 2、解不等式
3?2x?x
2
答案：1、
{xx ??2，或1?x?5，或x?6}
． 2、
{x?1?x?2或x?3}
．
3、绝对值不等式
例3 解不等式
4
x
2
?
10
x?
3
?
3
．
分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去 绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义
?
a(a?0)

a?
?
?
?a(a?0)
3

二是根据绝对值的性质：
x?a??a?x?a,x.a?x?a
或
x??a
，
解答：去掉绝对值号得
?
3
?
4
x
2
?
10
x?
3
?
3
，
∴原不等式等价于不等式组
22
?
?
?3?4x?10x?3?
?
4x?10x?0
?
?
2
?

?
2
??
4x?10x?3?34x?10x?6?0
??
5
?
x?0或x?,
?
?
2x(2x?5)?0
?
2

?
??
2(x?3)(2x?1)?01
?
?
??x?3.
?
?
2
∴原不等式的解集为
?
x?
?
?< br>?
15
?x?0或?x?3
?
．
22
?
例 4解不等式
x
2
?
4
?x?
2

22??
?
x?4?0
?
x?4?0
解法一：原不等式
?< br>?

或
?
22
?
?
x?4?x?2
?
?
4?x?x?2
即
?
?
x?2或x??2
?< br>?2?x?2

或
?
?
?2?x?x
?
x? ?2或x?1
x?3
或
1?x?2
∴
2?
故原不等式的解集为
?
x1?x?3
?
．
2
解法二：原不等式等价于
?
(
x?
2)
?x?
4
?x?
2

2
?
?
x?4?x?2
即
?

2
?
?
x?4??(x?2)
?
?2?x?3
故
1
?x?
3
． ∴
?
x?1或x??2
?
4、含参数二次不等式
22
例5 设
m?R
，解关于
x
的不等式
mx?
2
mx?3
?
0
．
解：当
m?0
时，因
?3?0一定成立，故原不等式的解集为
R
．
当
m?0
时，原不等式化为
(mx?3)(mx?1)?0
；
当
m?0
时，解得
?
31
?x?
；
mm
4

当
m?0
时，解得
13
?x??
．
mm
∴当
m?0
时，原不等式的解集为
?
x?
?
?
31
?
?x?
?
；
mm
?
当
m?0
时，原不等式的解集为
?
x
?
?
13
?
?x??< br>?
．
mm
?
223
练习 解关于
x
的不等 式
x?
(
a?a
)
x?a?
0
．
2解：原不等式可化为
(
x?a
)(
x?a
)
?
0
．
(1)当
a?a
（即
a?1
或
a?0
）时，不等式的解集为：
xx?a或x?a
2
；
(2)当
a?a
（即
0?a?1
）时，不等式的解集为：
xx?a
2
或x? a
；
(3)当
a?a
（即
a?0
或1）时，不等式的解集 为：
xx?R且x?a
．
说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的 ，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本
题，为求不等式的解，需先求出方程的根
x1
?a
，
x
2
?a
2
，因此不等式的解就是< br>x
小于小根或
x
大于大根．但
a
与
a
两根的 大小不能确定，因此需要讨论
a?a
，
a?a
，
a?a
三种 情况．
5、无理不等式
例6 解关于
x
的不等式
2
ax ?a
2
?
1
?x
(
a?
0)
．
分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．
解：原不等式
2
2
??
2
??
2
??
222
?
2ax?a
2
?0,
?
2x?a
2
?0,
??(1)
?
1?x?0,
或
(2)
?

1?x ?0.
?
?
22
2ax?a?(1?x);
?
由
a ?0
，得：
a
?
x?,
?
a
?
2
?
?
x?,
(1)?
?
x?1,

(2)?
?
2

?
?
22
?
x? 1.
x?2(a?1)x?a?1?0;
?
?
22
由判别式
??
4(
a?
1)
?
4(
a?
1)
?8
a?
0
，
22
故不等式
x?
2(
a?
1)
x?a?
1
?
0
的解是
a?1?2a?x ?a?1?2a
．
5

当
0?a?2
时，
a
?a?
1
?
2
a?
1
，
a?1?2a?1
，
2
不等式组(1)的解是
a?1?2a?x?1
，不等式组(2)的解是
x?1
．
当
a?2
时，不等式组(1)无解，(2)的解是
x?
a
．
2
综上可知，当
0?a?2
时，原不等式的解集是
a?1?2a,? ?
；
当
a?2
时，原不等式的解集是
?
?
??
a
?
,??
?
．
?
2
?
练习： 解不等式
x
2
?3x?10?8?x
．
分析：无理不等式转化为有 理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，
可转化为
而
f(x) ?g(x)
f(x)?g(x)
或
f(x)?g(x)
，
f(x)?g(x)
等价于：
?
f(x)?0
?
f(x) ?0
?
或
?
g(x)?0
．
?
?
g(x )?0
?
f(x)?[g(x)]
2
?
解：原不等式等价于下面两个 不等式组：
?
8?x?0
①
?
2

x?3x?10?0
?
?
8?x?0
?
2
②
?
x?3x?10?0

?
22
?
x?3x?10 ?(8?x)
?
x?8
由①得
?
，∴
x?8
x?5或x??2
?
?
?
x?8
?
74
由②得 ∴
?
x?5或x??2

?x?8
，
13
?74
?
x?
13.
?
所以原不等式的解集为
?
x
?
?
74
?
?x?8或x?8
?

13
?
6

即为
?
xx?
?
?
74
?
?
．
13
?
说明：本题也可以转化为
f(x)?g(x)
型的不等式求解 ，注意：
?
f(x)?0
?
，
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
2
?
f(x)?[g(x)]
2
2
?
这里，设全集
U?
{
xx?
3
x?
10
?
0}
?
{
xx??
2
或x?
5}
，
A?
?
?
xx?3x?10?8?x
?
，
??
则所求不等式的解集为
A
的补集
A
，
?8?x?0
?
2
74
2
?x??
2
或
5?x?
由
x?3x?10?8?x?
?
x?3x?10?0
． < br>13
?
22
?
x?3x?10?(8?x)
即
A?< br>?
xx?2或5?x?
?
?
74
?
?
， < br>13
?
∴原不等式的解集是
?
74
?
A?
?
xx?
?
．
13
??
6、二次不等式与二次方程的关系
例7 已知不等式
ax?bx?c?
0
的解集是
2
?
x
?
?x?
?
?
(
?
?0)
．求不等式
cx
2
?bx?a?0
的解集．
2
解：(解法1)由题可 判断出
?
，
?
是方程
ax?bx?c?
0
的两根，
∴
?????
bc
，
????
．
aa
2
又
ax?bx?c?
0
的解集是
x??x??
，
??
说明
a?0
．
c
?0?c?0
，
a
ba
∴
cx
2
?bx?a?
0
?x
2< br>?x??
0
．
cc
而
??0
，
??0????0?
?
?
?
11
?
b
b
?< br>?????,
?
?
?
??
?
c
?
? ???
??
a

?
??
cc111
?
?< br>?
?
?
?
??(?)(?),
?
?
aa????
?
?
7

1111
ba
x??
0
，即
x
2
?(?? )x?(?)(?)?0
，
????
cc
11
即
(x?) (x?
)
?
0
．
??
11
又
0????
，∴
?
，
??< br>∴
x
2
?
∴
(x?
?
11
11?
)(x?
)
?
0
的解集为
?
x?x?
?
．
??
??
??
(解法2)由题意可判断出
?
，
?
是方程
ax
2
?bx?c?
0
的两根，
∴
????
c
．
a
又
ax
2< br>?bx?c?
0
的解集是
x??x??
，说明
a?0
．
??
c
?0?c?0
．
a
11
2
对 方程
cx
2
?bx?a?
0
两边同除以
x
得
a?()
2
?b?()?c?0
．
xx
1
2
令
t?
，该方程即为
at?bt?c?0
，它的两根为
t
1< br>??
，
t
2
??
，
x
而
??0< br>，
??0
????0?
∴
1
1
11
??，
??
．∴
x
1
?
，
x
2
?
，
?
?
x
1
x
2
2
∴方程cx?bx?a?
0
的两根为
1
1
，．
?
?
∵
0????
，∴
11
?
．
??
2
∴不等式
cx?bx?a?
0
的解集是
?
x
?
?
11
?
?x?
?
．
??
?
练习 1若不等式
x?ax?b
1
?
的解 为
(??，
)
?
(1
，??
)
，求
a、
b
的值．
3
x
2
?x?1x
2
? x?1
5
?
a?
?
?
2
答案：
?
．
3
?
b?
?
2
?
2
2不等式
ax?bx?
2
?
0
的解集为
x?1?x?2
，求
a
与
b
的值．
??
答案：∴
a?1
，
b??1
．
8

课后练习
一、填空与选择题
1、
(x?1)(1?2x)?0
的解集是 ；
2、
6x?5x?4
的解集为__________；
3、
?3x?x?1?0
的解集是 ；
15．若
f( x)?x?ax?
1
有负值，则
a
的取值范围
2
的取值范围 为 ；
2
?
?
?
x?2
??
x?5
?
?0
14、不等式组
?
与不等式
xx ?a?0
??
?
?
?
x?2
??
x?5
?
?0
同解，则
a
的取值范围是____；
2
4、
x?2x?1?0
的解集是 ；
5、
4x?x?5
的解集是 ；
6、已知
(ax?1)(x?1)?0
的解集是 ；
2
2
是 ( )
（A）
a
（C）
a
?2
或
a??2
（B）
?2?a?2

??2
（D）
1?a?3

2
{x|x?1或x?2}
，则实数
a
的值为 ；
7、不等式
ax?bx?2?0
的解集是
(1,2)
，则
2
16、二次函数
y?x?
(
a?
3)
x?
1
的图 象与
x
轴的
x
2
,且
x
1
?2
,
x
2
?2
,
两个交点的横坐标分别为
x
1
、
则
a
的取值范围是( )
（A）
a?1
或
a?5
（B）
a?
a?b
的值等于 ；
8、方程x?bx?2?0
有两个负根，则实数
b
的取
值范围是 ；
9、若
x
=1在不等式
kx?kx?2?0
的解集内，则k
的取值范围是 ；
10、已知集合
M?{x|x?4}< br>，
2
22
2
1
（C）
2
11
a??
或
a?5
（D）
??a?1

22
二、解答题：
17、已知集合
A ?{x|x?2x?8?0}
，
2
22
B?{x|x?a?0}

①当
AIB?
?
时，求
a
的取值范围；
②当
A?

N?{x|x
2
?2x?3?0}
，则集合
MIN
= ；
11、“
x?1
”是“
x?x
”的 条件（选
2
B
时，求
a
的取值范围；
填：“充分不必要、必要不充分或充要”）；
12、
x?
?
a?< br>2
2
?
?
1
?
?
x?1?0(a?1)的解为_____；
a
?
13、不等式
mx?mx?2?0
的解集为
R
，则实数
m
18、解关于
x
的不等式
( a?R)
x?ax?2a?0
；
22
9

19、关于
x
的不等式
mx?6mx?m?8?0
在R
上恒成立，求
m
的取值范围；


20、要在长为 800米，宽为600米的一快长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉（花卉的宽度相等），中间
种草 皮，要求草皮的面积不少于总面积的一半，求花卉宽度的范围。


21．对于集合
A?xx?2ax?4a?3?0
,
B?xx?22x?a?a?2?0
是否 存在实数
a
，使
AUB??
？若
存在，求出
a
的取 值，若不存在，试说明理由
2
?
2
?
?
22
?
10

课 后练习答案：1、
(0,)
；2、
?
?
6、
1
2< br>1?131?13
?
41
?
,)
；4、{1}；5、
R
；
,
?
；3、
(
66
32
??
1
；7、10；8、
[22,??)
；9、（-2,1）；10、
{x|? 1?x?2}
；
2
11、5．充分不必要；12、
?
?
1
?
,a
?
；13、
?
?8,0
?
；14、
a?2
；15、
A
； 16、
B
；
a
??
二、17、解：
A?(?2,4)
；
B?(??,a)

①当
AIB?
?
时，
a??2
； ②当
A?
18、解：
(x?2a)(x?a)?0

当
a?0
时，原不等式解集为
(?a,2a)
；
当
a?0
时，原不等式解集为
?
；
当
a?0
时，原不等式解集为
(2a,?a)
；
19、解：①当
m?0
时，
8?0?m?0
成立； ②当
m?0
，则
?
B
时，
a?4
。
?< br>m?0
?
??36m?4m(m?8)?32m(m?1)?0
2

?0?m?1
由①②可知，
0?m?1

20、解：设花卉的宽度为x米，则
2x?800
且
2x?600

?0?x?300

草皮面积为
S
1
?(800?2x)( 600?2x)??800?600

2
解之得
x?600或x?100
，
又
0?x?300
。
AUB??

2
?0?x?100
，即花卉宽度的范围是
?0?x?100
21、
Q
∴
A?B??
,即二次方程:
x?2ax?4a?3? 0
与
x
2
?22x?a
2
?a?2?0
均无实数解 ，
?
?
1
＝4a
2
?4(4a?3)?0

?
?

?1?a?3
，
??8?4(a?a?2)?0< br>?
22
故当
1?a?3
时，
AUB??

11