(完整版)高中数学基本不等式题型总结

专题 基本不等式 编者：高成龙
专题 基本不等式
【一】基础知识
基本不等式：
a?b?2ab
?
a?0,b?0
?

（1）基本不等式成立的条件： ；
（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号.
2.几个重要的不等式
?
a?b
?
（1）
ab?
4
2
（2）
a+b?2
?
a,b?R
?
；
ab
?
a?0,b?0
?
；
【二】例题分析
【模块1】“1”的巧妙替换
【例1】已知
x?0,y?0
，且
x?y?



【变式1】已知
x?0,y?0
，且
x?y?



【变式2】（2013年天津）设
a?b?2,b?0
， 则




【例2】（2012河西）已知正实数
a,b
满足






【变式】已知正实数
a,b
满足






第1页

3
41
，则
?
的最小值为 .
xy
4
3
4x
，则
?
的最小值为 .
xy
4
1|a|
的最小值为 .
?
2|a|b
21
??1
，则
a?2b
的最小值为 .
ab
21
??1
，则
a?2b?ab
的最小值为 .
ab

专题 基本不等式 编者：高成龙
【例3】已 知
x?0,y?0
，且
2x?8y?xy?0
，则
x?y
的 最小值为 .





【例4】已知正数
x,y
满足
x?2y?1
，则







【例5】已知
a?0,b?0
，若不等式










22
【例6】（2013年 天津市第二次六校联考）已知直线
2ax?by?1
?
a,b?0
?
与圆
x?y?1
相交于
A,B
两点，
O
为
x?8y
的最小值为 .
xy
21m
总能成立，则实数
m
的最大值为 .
??
ab2a?b
坐标原点，且△
AOB
为直角三角形，则














12
?
的最小值为 .
a
2
b
2
第2页

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22
【例7】（2012年南开二模）若直线
2 ax?by?2?0
?
a?0,b?0
?
始终平分圆
x?y?2x? 4y?1?0
的周长，则
11
?
的最小值为 .
ab





【例8】设
e1
,e
2
分别为具有公共焦点
F
1
,F
2的椭圆和双曲线的离心率，
P
为两曲线的一个公共点，且满足
uuuruuuur
2
的最小值为
PF
1
?PF
2
?0
，则
4e
1
2
?e
2






【例9】已知
x?0, y?0,lg2?lg4?lg2
，则
xy
11
?
的最小值是（ ）
xy
A．6 B．5 C．
3?22
D．
42






4
x?1
【例10】已知函数
f
?
x
?
?
x
，若
x
1
?0,x
2
?0
，且
f
?x
1
?
?f
?
x
2
?
?1
， 则
f
?
x
1
?x
2
?
的最小值为 .
4?1















第3页

专题 基本不等式 编者：高成龙
【模块二】“和”与“积”混合型
22
【例1】（2012年天津）设
m, n?R
,若直线
l:mx?ny?1?0
与
x
轴相交于点A,与y轴 相交于B，且
l
与圆
x?y?4
相交所得弦的长为
2
，O
为坐标原点，则
?AOB
面积的最小值为 .








【例2】设
x, y?R
，
a?1,b?1
，若
a
x
?b
y
?2
，
a?2b?8
，则









22
【例3】若实数
x,y
满足
x?y?xy?1
，则
x?y
的最大值为 .
11
?
的最大值为_______.
xy









【例4】（2013年南开一模）已 知正实数
a,b
满足
a?b?2ab?1
，则
a?b
的最小 值为 .











第4页

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【例5】设
m,n?R
，若直线
?
m?1
?
x?
?
n?1
?y?2?0
与圆
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?1
相切，则
m?n
的取值范围是（ ）
（A）
?
1?3,1?3
?
（B）
??,1?3
?
?
?
1?3,??

22< br>??
（C）
?
2?22,2?2
?
??
??
??
2
?
?
（D）
?
??,2? 22
?
?
?
2?22,??
?













【例6】已知
x?1,y?1
，且









【例7】（2015天津）已知
a?0,b?0,ab?8,
则当
a
的值为 时
log
2
a?log
2
?
2b
?
取得最大值.







【例8】（2011年天津）已知
log
2
a?log
2
b?1
，则
3?9
的最小值为 .








第5页

ab
11
lnx,,lny
成等比数列，则
xy
的最小值为 .
44

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【例9】下列说法正确的是（ ）
A．函数
y?x?
2
x
的最小值为
22

B．函数
y?sinx?
2
sinx
(0?x?
?
)
的最小值为
22

C．函数
y?x?
2
x
的最小值为
22

D．函数
y?lgx?
2
lgx
的最小值为
22








【例10】设
x ,y?R,且x?y?5,则3
x
?3
y
的最小值是（
A．10 B．
63
C．
46
D．
183


第6页

）