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(完整版)高中数学基本不等式题型总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 19:01
tags:高中数学不等式

高中数学教学学术主张-高中数学例题辅导书

2020年9月20日发(作者:金广藏)


专题 基本不等式 编者:高成龙
专题 基本不等式
【一】基础知识
基本不等式:
a?b?2ab
?
a?0,b?0
?

(1)基本不等式成立的条件: ;
(2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号.
2.几个重要的不等式
?
a?b
?
(1)
ab?
4
2
(2)
a+b?2
?
a,b?R
?

ab
?
a?0,b?0
?

【二】例题分析
【模块1】“1”的巧妙替换
【例1】已知
x?0,y?0
,且
x?y?



【变式1】已知
x?0,y?0
,且
x?y?



【变式2】(2013年天津)设
a?b?2,b?0
, 则




【例2】(2012河西)已知正实数
a,b
满足






【变式】已知正实数
a,b
满足






第1页

3
41
,则
?
的最小值为 .
xy
4
3
4x
,则
?
的最小值为 .
xy
4
1|a|
的最小值为 .
?
2|a|b
21
??1
,则
a?2b
的最小值为 .
ab
21
??1
,则
a?2b?ab
的最小值为 .
ab


专题 基本不等式 编者:高成龙
【例3】已 知
x?0,y?0
,且
2x?8y?xy?0
,则
x?y
的 最小值为 .





【例4】已知正数
x,y
满足
x?2y?1
,则







【例5】已知
a?0,b?0
,若不等式










22
【例6】(2013年 天津市第二次六校联考)已知直线
2ax?by?1
?
a,b?0
?
与圆
x?y?1
相交于
A,B
两点,
O

x?8y
的最小值为 .
xy
21m
总能成立,则实数
m
的最大值为 .
??
ab2a?b
坐标原点,且△
AOB
为直角三角形,则














12
?
的最小值为 .
a
2
b
2
第2页


专题 基本不等式 编者:高成龙
22
【例7】(2012年南开二模)若直线
2 ax?by?2?0
?
a?0,b?0
?
始终平分圆
x?y?2x? 4y?1?0
的周长,则
11
?
的最小值为 .
ab





【例8】设
e1
,e
2
分别为具有公共焦点
F
1
,F
2的椭圆和双曲线的离心率,
P
为两曲线的一个公共点,且满足
uuuruuuur
2
的最小值为
PF
1
?PF
2
?0
,则
4e
1
2
?e
2






【例9】已知
x?0, y?0,lg2?lg4?lg2
,则
xy
11
?
的最小值是( )
xy
A.6 B.5 C.
3?22
D.
42






4
x?1
【例10】已知函数
f
?
x
?
?
x
,若
x
1
?0,x
2
?0
,且
f
?x
1
?
?f
?
x
2
?
?1
, 则
f
?
x
1
?x
2
?
的最小值为 .
4?1















第3页


专题 基本不等式 编者:高成龙
【模块二】“和”与“积”混合型
22
【例1】(2012年天津)设
m, n?R
,若直线
l:mx?ny?1?0

x
轴相交于点A,与y轴 相交于B,且
l
与圆
x?y?4
相交所得弦的长为
2
O
为坐标原点,则
?AOB
面积的最小值为 .








【例2】设
x, y?R

a?1,b?1
,若
a
x
?b
y
?2

a?2b?8
,则









22
【例3】若实数
x,y
满足
x?y?xy?1
,则
x?y
的最大值为 .
11
?
的最大值为_______.
xy









【例4】(2013年南开一模)已 知正实数
a,b
满足
a?b?2ab?1
,则
a?b
的最小 值为 .











第4页


专题 基本不等式 编者:高成龙
【例5】设
m,n?R
,若直线
?
m?1
?
x?
?
n?1
?y?2?0
与圆
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?1
相切,则
m?n
的取值范围是( )
(A)
?
1?3,1?3
?
(B)
??,1?3
?
?
?
1?3,??

22< br>??
(C)
?
2?22,2?2
?
??
??
??
2
?
?
(D)
?
??,2? 22
?
?
?
2?22,??
?













【例6】已知
x?1,y?1
,且









【例7】(2015天津)已知
a?0,b?0,ab?8,
则当
a
的值为 时
log
2
a?log
2
?
2b
?
取得最大值.







【例8】(2011年天津)已知
log
2
a?log
2
b?1
,则
3?9
的最小值为 .








第5页

ab
11
lnx,,lny
成等比数列,则
xy
的最小值为 .
44


专题 基本不等式 编者:高成龙

【例9】下列说法正确的是( )
A.函数
y?x?
2
x
的最小值为
22

B.函数
y?sinx?
2
sinx
(0?x?
?
)
的最小值为
22

C.函数
y?x?
2
x
的最小值为
22

D.函数
y?lgx?
2
lgx
的最小值为
22








【例10】设
x ,y?R,且x?y?5,则3
x
?3
y
的最小值是(
A.10 B.
63
C.
46
D.
183


第6页

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