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高中数学概率大题(经典一)课件

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 19:04
tags:高中数学概率

高中数学选修4-6 PDF下载-高中数学学科作业设计

2020年9月20日发(作者:缪鉴)



高中数学概率大题(经典一)
一.解答题(共10小题)
1.在一次运动会上,某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛.
(1)如果随机抽派5名队员上场比赛,将主力队员参加比赛的人数记为X,求随机变量X
的数学期望;
(2)若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤,不宜同时上场;替补队员中有2名队
员身 材相对矮小,也不宜同时上场;那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队
员,教练员有多少 种组队方案?
2.某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数 分
钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表:
1 2 3 4 5
办理业务所需的时间
(分)
0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
频率
从第一个顾客开始办理业务时计时.
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
3.某单位 举办2010年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖.盒中装有9张大小相同的
精美卡片,卡片上分 别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案;抽奖规则是:参
加者从盒中抽取卡片两张,若 抽到两张都是“海宝”卡即可获奖,否则,均为不获奖.卡片用
后放回盒子,下一位参加者继续重复进行 .
(1)有三人参加抽奖,要使至少一人获奖的概率不低于,则“海宝”卡至少多少张?
(2)现有甲乙丙丁四人依次抽奖,用ξ表示获奖的人数,求ξ的分布列及Eξ的值.
4.一袋中有m(m∈N)个红球,3个黑球和2个白球,现从中任取2个球.
(1)当m=4时,求取出的2个球颜色相同的概率;
(2)当m=3时,设ξ表示取出的2个球中黑球的个数,求ξ的概率分布及数学期望;
(3)如果取出的2个球颜色不相同的概率小于,求m的最小值.
5.某商场为促销设计了一 个抽奖模型,一定数额的消费可以获得一张抽奖券,每张抽奖券
可以从一个装有大小相同的4个白球和2 个红球的口袋中一次性摸出3个球,至少摸到一个
红球则中奖.
(Ⅰ)求一次抽奖中奖的概率;
(Ⅱ)若每次中奖可获得10元的奖金,一位顾客获得两张抽 奖券,求两次抽奖所得的奖金
额之和X(元)的概率分布和期望E(X).
6.将一枚硬币连 续抛掷15次,每次抛掷互不影响.记正面向上的次数为奇数的概率为P
1

正面向上 的次数为偶数的概率为P
2

(Ⅰ)若该硬币均匀,试求P
1
与P
2

(Ⅱ)若该硬币 有暇疵,且每次正面向上的概率为,试比较P
1
与P
2
的大小.
*
7.某地位于甲、乙两条河流的交汇处,根据统计资料预测,今年汛期甲河流发生洪水的概
率为 0.25,乙河流发生洪水的概率为0.18(假设两河流发生洪水与否互不影响).现有一台
大型设备 正在该地工作,为了保护设备,施工部门提出以下三种方案:
第1页(共9页)



方案1:运走设备,此时需花费4000元;
方案2:建一保护围 墙,需花费1000元,但围墙只能抵御一个河流发生的洪水,当两河流
同时发生洪水时,设备仍将受损 ,损失约56000元;
方案3:不采取措施,此时,当两河流都发生洪水时损失达60000元,只 有一条河流发生洪
水时,损失为10000元.
(1)试求方案3中损失费ξ(随机变量)的分布列;
(2)试比较哪一种方案好.
8.2009年10月1日,为庆祝中华人们共和国成立60周年,来自北京大学和清华大学的共
计6 名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这
三个岗位服务,且 运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是.
(1)求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人;
(2)求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率;
(3)设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数,求ζ分布列及期望.
9.在1,2,3,…9这9个自然数中,任取3个不同的数.
(1)求这3个数中至少有1个是偶数的概率;
(2)求这3个数和为18的概率;
(3)设ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的
数1,2 和2,3,此时ξ的值是2).求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.
10.某单位组织4个部门 的职工旅游,规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中
任选一个,假设各部门选择每个景区是 等可能的.
(Ⅰ)求3个景区都有部门选择的概率;
(Ⅱ)求恰有2个景区有部门选择的概率.
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参考答案与试题解析

一.解答题(共10小题)
1.(2016?南通模拟)在一次运动会上,某单位派出了有6 名主力队员和5名替补队员组成
的代表队参加比赛.
(1)如果随机抽派5名队员上场比赛, 将主力队员参加比赛的人数记为X,求随机变量X
的数学期望;
(2)若主力队员中有2名队 员在练习比赛中受轻伤,不宜同时上场;替补队员中有2名队
员身材相对矮小,也不宜同时上场;那么为 了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队
员,教练员有多少种组队方案?
【解答】解:(1)由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5,
∵当X=0时,表示主力队员参加比赛的人数为0,以此类推,
∴P(X=0)=;
P(X=1)=;
P(X=2)=;
P(X=3)=;
P(X=4)=;
P(X=5)=.
∴随机变量X的概率分布如下表:

E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×
=≈2.73
(2)由题意知
第3页(共9页)



①上场队员有3名主力,方案有:( C
6
﹣C
4
)(C
5
﹣C
2
)=144( 种)
421
②上场队员有4名主力,方案有:(C
6
﹣C
4
)C
5
=45(种)
53041
③上场队员有5名主力,方案有:(C< br>6
﹣C
4
)C
5
=C
4
C
2
=2(种)
教练员组队方案共有144+45+2=191种.

2.(20 12?陕西)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,
且都是整数分钟, 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表:
1 2 3 4 5
办理业务所需的时间
(分)
0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
频率
从第一个顾客开始办理业务时计时.
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
【解答】解:设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布如下:
Y 1 2 3 4 5
P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形:
①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;
②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;
③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.
所以 P(A)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22
(2)X所有可能的取值为:0,1,2.
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1
分钟 ,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以P(X=1)=0.1×0.9+0.4=0.49;
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以P(X=2)=0.1×0.1=0.01;
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.5 0.49 0.01
EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.

3.(2012 ?海安县校级模拟)某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖.盒
中装有9张大小 相同的精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)
图案;抽奖规则是:参加 者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖,否则,
均为不获奖.卡片用后放回盒子, 下一位参加者继续重复进行.
(1)有三人参加抽奖,要使至少一人获奖的概率不低于,则“海宝”卡至少多少张?
(2)现有甲乙丙丁四人依次抽奖,用ξ表示获奖的人数,求ξ的分布列及Eξ的值.
【解答】解:(1)记至少一人获奖事件为A,则都不获奖的事件,
设“海宝”卡n张,
则任一人获奖的概率,
3122
第4页(共9页)



∴,由题意:,
∴n≥7.至少7张“海宝”卡,
(2)ξ~的分布列为;



4.(2011?江苏模拟)一 袋中有m(m∈N)个红球,3个黑球和2个白球,现从中任取2
个球.
(1)当m=4时,求取出的2个球颜色相同的概率;
(2)当m=3时,设ξ表示取出的2个球中黑球的个数,求ξ的概率分布及数学期望;
(3)如果取出的2个球颜色不相同的概率小于,求m的最小值.
【解答】解:(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,
∵试验发生包含的事件是从9个球中任取2个,共有C
9
=36种结果,
2 22
满足条件的事件是取出的2个球的颜色相同,包括三种情况,共有C
4
+C
3
+C
2

=10
设“取出的2个球颜色相同”为事件A,
∴P(A)==.
2
*

(2)由题意知黑球的个数可能是0,1,2
P(ξ=0)=
P(ξ=1)=,P(ξ=2)=
∴ξ的分布列是
∴Eξ=0×+1×+2×=.
(3)由题意知本题是一个等可能事件的概率,
事件发生所包含的事件数C
x
+
5

111111
满足条件的事件是C
x
C
3
+C
x
C
2
+C
3
C
2

设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B,则
P(B)=
∴x﹣6x+2>0,
∴x>3+或x<3﹣

2
2
<,

第5页(共9页)



x的最小值为6.


5.(2010?鼓楼区校级模拟)某商场为促销 设计了一个抽奖模型,一定数额的消费可以获得
一张抽奖券,每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个 白球和2个红球的口袋中一次性摸
出3个球,至少摸到一个红球则中奖.
(Ⅰ)求一次抽奖中奖的概率;
(Ⅱ)若每次中奖可获得10元的奖金,一位顾客获得两张抽 奖券,求两次抽奖所得的奖金
额之和X(元)的概率分布和期望E(X).
【解答】解:(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,
3
试验发生的所有事件是从6个球中取三个,共有C
6
种结果,
1 221
而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球,共有C
2
C
4+C
2
C
4

设“一次抽奖中奖”为事件A,

即一次抽奖中奖的概率为;
(2)X可取0,10,20,
P(X=0)=(0.2)=0.04,
1
P(X=10)=C
2
×0.8×0.2=0.32,
2
P(X=20)=(0.8)=0.64,
2
∴X的概率分布列为
∴E(X)=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16.

6.( 2010?盐城三模)将一枚硬币连续抛掷15次,每次抛掷互不影响.记正面向上的次数为
奇数的概率 为P
1
,正面向上的次数为偶数的概率为P
2

(Ⅰ)若该硬币均匀,试求P
1
与P
2

(Ⅱ)若该硬币 有暇疵,且每次正面向上的概率为
【解答】解:(Ⅰ)抛硬币一次正面向上的概率为,
,试比较P
1
与P
2
的大小.
∴正面向上的次数为奇数次 的概率为P
1
=P
15
(1)+P
15
(3)+…+P15
(15)
=
第6页(共9页)




5
(Ⅱ)∵P
1
=C
15
p(1﹣p)+C< br>15
p(1﹣p)+…+C
15
p,
1
P
2
=C
15
p(1﹣p)+C
15
p(1﹣p)+…+C
15
p(1﹣p)
14141
则P
2
﹣P
1
=C
1 5
p(1﹣p)﹣C
15
p(1﹣p)+C
15
p(1﹣p)+…+ C
15
p(1﹣p)﹣
1515
C
15
p
15
=[(1﹣p)﹣p]
15
=(1﹣2p),
而,
∴1﹣2p>0,
∴P
2
>P
1


7.(2010?南通模拟)某地位于甲、乙两条河流的交汇处,根据统计资料预测,今年汛期甲
河流发 生洪水的概率为0.25,乙河流发生洪水的概率为0.18(假设两河流发生洪水与否互不
影响).现 有一台大型设备正在该地工作,为了保护设备,施工部门提出以下三种方案:
方案1:运走设备,此时需花费4000元;
方案2:建一保护围墙,需花费1000元,但 围墙只能抵御一个河流发生的洪水,当两河流
同时发生洪水时,设备仍将受损,损失约56000元;
方案3:不采取措施,此时,当两河流都发生洪水时损失达60000元,只有一条河流发生洪
水时,损失为10000元.
(1)试求方案3中损失费ξ(随机变量)的分布列;
(2)试比较哪一种方案好.
【解答】解:(1)在方案3中,记“甲河流发生洪水”为事件A,“乙河流发生洪水”为事件B,
则P(A)=0.25,P(B)=0.18,
所以,有且只有一条河流发生洪水的概率为P (A?+?B)=P(A)?P()+P()?P(B)
=0.34,
两河流同时发生洪水的概率为P(A?B)=0.045,
都不发生洪水的概率为P(?)=0.75×0.82=0.615,
设损失费为随机变量ξ,则ξ的分布列为:
ξ
10000 60000 0
P 0.34 0.045 0.615
(2)对方案1来说,花费4000元;
对方案2来说,建围墙需花费1000元,它只能抵御一条河流的洪水,
但当两河流都发生洪 水时,损失约56000元,而两河流同时发生洪水的概率为P=0.25×
0.18=0.045.
所以,该方案中可能的花费为:1000+56000×0.045=3520(元).
对于 方案来说,损失费的数学期望为:Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100(元),
比较可知,方案2最好,方案1次之,方案3最差.

8.(2010?海安县校 级模拟)2009年10月1日,为庆祝中华人们共和国成立60周年,来自
北京大学和清华大学的共计 6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉
第7页(共9页)



水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务,且运送矿泉水岗位至少有一名北京 大学志愿者的
概率是.
(1)求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人;
(2)求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率;
(3)设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数,求ζ分布列及期望.
【 解答】解:(1)记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A,则A的对
立事件为“ 没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”
设有北京大学志愿者x个,1≤x<6,那么P(A)= ,解得x=2,即来自北京
大学的志愿者有2人,来自清华大学志愿者4人;
(2)记“清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人”为事件E,
那么P(E)=,
所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是
(3)ξ的所有可能值为0,1,2,
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,

所以ξ的分布列为

Eξ=

9.(2010?苏州模拟)在1,2,3,…9这9个自然数中,任取3个不同的数.
(1)求这3个数中至少有1个是偶数的概率;
(2)求这3个数和为18的概率;
(3)设ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的
数1,2 和2,3,此时ξ的值是2).求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.
【解答】解:(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,
试验发生所包含的事件数C
9

满足条件的事件3个数中至少有1个是偶数,包含三种情况一个偶数,两个偶数,三个偶数,
这三种情况是互斥的,根据等可能和互斥事件的概率公式得到

(2)记“这3个数之和为18”为事件B,
考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8,
分别为459,567,468,369,279,378,189七种情况,
第8页(共9页)

3



∴;
(3)随机变量ξ的取值为0,1,2,
P(ξ=0)=
P(ξ=1)=
P(ξ=2)=



∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望为.

10.(2005? 湖南)某单位组织4个部门的职工旅游,规定每个部门只能在韶山、衡山、张家
界3个景区中任选一个, 假设各部门选择每个景区是等可能的.
(Ⅰ)求3个景区都有部门选择的概率;
(Ⅱ)求恰有2个景区有部门选择的概率.
4
【解答】解:某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为3.
由于是任意选择,这些结果出现的可能性都相等.
(I)从4个部门中任选2个作为1组,
另外2个部门各作为1组,共3组,共有C
4
=6种分法,
每组选择不同的景区,共有3!种选法,
2
∴3个景区都有部门选择可能出现的结果数为C
4
?3!
记“3个景区都有部门选择”为事件A
1

∴事件A
1
的概率为
P(A
1
)==.
2
2
(II)先从3个景区任意选定2个,共有C
3
=3种选法,
再让4个部门来选择这2个景区,分两种情况:
第一种情况,从4个部门中任取1个作为1组 ,另外3个部门作为1组,共2组,每组选择
1
2个不同的景区,共有C
4
? 2!种不同选法.
第二种情况,从4个部门中任选2个部门到1个景区,另外2个部门在另1个景区, 共有
2
C
4
种不同选法,
12
∴恰有2个景区有部门选择 可能的结果为3(C
4
?2!+C
4
).
∴P(A
2
)==.
第9页(共9页)

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