高中数学概率专题

随机事件的概率
一 知识点
1．随机事件的概念
在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；
（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；
（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
2．随机事件的概率
事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时
就把这 个常数叫做事件A的概率,记作P（A）。
由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3 概率与频率的关系
概率是固定的，频率是不固定的，随着试验次数的增加，频率接近于概率。
4．事件间的关系
（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件；
（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；
5．事件间的运算
（1）并事件（和事件）
若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件。
注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：
P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）；且有P（A+）=P（A）+P（）=1。
（2）交事件（积事件）
若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件。
6.互斥事件与对立事件的区别与联系:
互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同 时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）
事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B 发生；（3）事件A与事件B同时不发生.
对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括 两种情形；（1）事件A发生且B不
发生；（2）事件B发生事件A不发生.
对立事件是互斥事件的特殊情形。
二 题型讲解
题型一：随机事件概率
1．下面 事件：①在标准大气压下，水加热到80C时会沸腾；②掷一枚硬币，出现反面；③实数的绝对值不小于零。是不可能事件的有（ ）
A．②； B．①； C．①② ； D．③
2．某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示
年降水量（单位：mm） ［100，150） ［150，200） ［200，250） ［250，300）
概率 0.12 0.25 0.16 0.14
则年降水量在［150，300］（mm）范围内的概率为（ ）
A．0.41 B．0.45 C．0.55 D．0.67
3．下列叙述错误的是（ ）
0

A．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般 会越来越接近概率
B．若随机事件A发生的概率为，则
C．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同
4．下 列说法：（1）频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；（2）做次随机试验，事件发生的频率就是事件的概率；（3）百分率是频率，但不是概率；（4）频率是不能脱离具体的次试验的
实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；（5）频率是概率的近似值，概率是频率的 稳定值．其
中正确的是（ ）
A．（1）（4）（5） B．（2）（4）（5） C．（1）（3）（4） D．（1）（3）（5）
5．下面语句可成为事件的是（ ）
A．抛一只钢笔 B．中靶 C．这是一本书吗 D．数学测试，某同学两次都是优秀
6．若在同等条件下进行次重复试验得到某个事件A发生的频率
渐增大，有（ ）
A．
C．
与某个常数相等 B．
与某个常数的差的绝对值逐渐减小 D．
与某个常数的差逐渐减小
与某个常数的附近摆动并趋于稳定
，则随着的逐
题型二：互斥与对立事件
1.下列说法中正确的是（ ）
A．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B．事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
2.如果事件A、B互斥，那么（ ）
A．A+B是必然事件B．+是必然事件C．与一定互斥D．与一定不互斥
3.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
古典概型
一 知识点
一）古典概型
（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的 基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能
性相等；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=；
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为 一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组
成.如果一次试验中可能出现的结果有n个 ,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么
每一基本事件的概率都是。如 果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=。

二 题型讲解
题型一 古典概型
类型1 骰子硬币型
1.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3 ，则（ ）
A． P1=P22.将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
3.同时掷两颗骰子，下列命题正确的个数是（ ）
①“两颗点数都是6”比“两颗点数都是4”的可能性小；
②“两颗点数相同的概率”是；
③“两颗点数都是6”的概率最大；
④“两颗点数之和为奇数”的概率与“两颗点数之和为偶数”的概率相等。
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
4．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率（ ）
A． 1 B． C． D．
5．某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪从连中的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某小组有成员3人， 每人在一个星期中参加一天劳动，如果劳动日期可随机安排，则3人在不同的3天参加劳动
的概率为（ ）
A． B． C． D．
类型二 数字型
1．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话
的概率为（ ）
A． 910 B． 310 C． 18 D． 110

2．从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率（ ）
A． 12 B． 13 C． 23 D． 1

3.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这两位数大于40的概率是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45

4.有5张卡片，上面分别写有0，1，2，3，4中的1个数.求：
①从中任取2张卡片，2张卡片上的数字之和等于4的概率；
②从中任取2次卡片，每次取1 张.第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次.两次取出的卡片上的数字之和
恰好等于4的概率．

几何概型
一 知识点
一）几何概型
1．随机数的概念
随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。
2．随机数的产生方法
（1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；
（2）在Scilab语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b之间的随机数。
3．几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何
概率模型；
4．几何概型的概率公式：
P（A）=。
5
．
几种常见的几何概型
（1）设线段l是线段L的一部分,向线段L上任 投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比,而与
线段l在线段l上的相对位置无关,则点落在线段l上的概率为：
P=l的长度L的长度
（2）设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点,若落在区域g上的点数与区域g的面积成
正比,而与区域g在区域G上的相对位置无关,则点落在区域g上概率为：
P=g的面积G的面积
（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积
成正比,而与区域v在区域v上的相对位置无关,则点落在区域V上的概率为：
P=v的体积V的体积


二 题型讲解
题型一几何概型
类型一 长度型
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1.在长为10 cm的线段
AB
上任取一点
P
，并以线段
AP
为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm与49 cm之间的
概率为（ ）
A． B． C． D．
至 和下午至2.一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨
，则该船在一 昼夜内可以进港的概率是（ ）

A． B． C． D．
3.在区间中任意取一个数，则它与之和大于的概率是（ ）
A． B． C． D．
类型二 面积型
1.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为
x
，转盘乙得到的数为
y
，构成数对（
x
，
y
），则所有数对
（
x
，
y
）中满足
xy
＝4的概率为（ ）
A． B． C． D．

1 1
2 2

乙
甲

4 4 3
3

2.两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则求两人会面的概率为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（ ）
A． B． C． D．





4.一只海豚在水池中游弋，水池为长，宽的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过的概率