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高中数学概率_重问题探讨

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 19:17
tags:高中数学概率

高中数学生活常识大全-高中数学研修计划个人

2020年9月20日发(作者:霍裕平)



高中数学中古典概率应用上之易错处探究
一、基本概念
【问】 盒子中装有标号为1,2,3,4的卡片各两张,从盒子中任意抽取3张求抽
出的3张卡片上最大数字是 4的概率.
盒子中写着1,2,3,4的卡片各2张,就是说盒子中有8张卡片,
又因为每张卡片被抽的可能性相等,所以从盒中任意抽取的概率为C83
三张卡片最大数字是4的概率,首先要求3张卡片至少有一张是4的取法有几种,
那么
1.有一张是4的概率是C62*C21
2.有两张是4的概率是C61*C22
则有 M=C62*C21+C61*C22 N=C83
那么三张卡片上最大数字是4 的概率为P=MN=914
因为每张被抽的可能性相等,所以不用考虑被抽取的卡片标号是否相同。

【问】一个袋中装有大小相同的黑球,白球和红球,已知袋中共有10个球,从中< br>任取1个球,得到黑球的概率是25,从中任意摸出2个球,至少得到一个白球的概率
是23,求 :1)从中任意摸出两个球,得到的都是黑球的概率。2)袋中白球的个数
从第1句话可得 黑球数位10*25=4个
第2句话说至少有白的概率是23
得摸出2个球都不是白的概率是13
假设白球X个得 [(10-X)10]*[(9-X)9]=13
X=4 即白球有4个
者红球有2个

【问】乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜
4 局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.求甲以4比1
获胜的概率
4比1获胜说明一共进行了5局 前4局中要胜3局(所以C43) ,要败一局(因
为如果4局全胜就没有第5局了)。然后第5局胜(再乘以12)


2.“隔板法”
隔板法是插空法的一种特殊情况,它的使用非常广泛,能解决一大类组合问题 。下
面用一个具体的例子来说明它的使用的优越性。
例2 将9个相同的小球放到六个不同的盒子里,每个盒子至少放一个球,有多少种
不同放法。
解法一:先在盒子里各放一个球,再把剩下的3个球放到6个盒子里,分三类:
1
①3个球放到一个盒子里,有
C
6
种放法;
②3个球放到两个盒子里,球数分别为2,1,共
P
6
2
种放法;
第 1 页 共 8 页



3
③3个球放到3个 盒子里,每个盒子各一个球,共
C
6
种放法。根据分类计数原理,
12
共有
C
6
?P
6
2
?C
6
?56
种放法。
解法二(隔板法):把 6个盒子看做由平行的7个隔板组成的,每一个满足要求的
放法、相当于9个小球和7个隔板的一个排列,其中2个隔板在两头,任何2个隔板
之间至少有1个球 (既任何2个隔板不相邻),把两头的2个隔板拿掉,每一个满足要
求的放法还相当于再排成一列的9个 小球间8个空档中插入5个隔板,不同的放球方
5
法即插隔板的方法,共有
C
8
?56
种。
分析:对于用隔板法解决概率问题,一般都是将问题的思考角度进行转 化,使问题
从多向思维向单一思维转化,然后把问题的本质找出来进行剖析,问题自然就很好理
解了。上述解法2应用了对应的方法,转化为插空问题,计算比较简单,但不易理解,
等理解透彻后,就 会发现隔板法是非常好用的,是具有普适性的方法。但一定要注意
的是应用此法的前提是小球是完全相同 (不加区分),盒子是不同的,每个盒子至少放
一球。
例3 要从高一年级8个班中产生1 2学生代表,每个班至少产生一名代表,则代
表名额的分配的方案至少有多少种?
解:这个问 题如果用原始的方法来分析,是比较麻烦的额,但如果转化问题的角
度,用“隔板法”来理解,这个问题 就容易解决了。把12个名额看做12个相同小球,
7
8个班看做8个不同的盒子,用隔板法知 道名额分配方法共有
C
11
种。
3. 分组问题
分组问题时排列组合中的一个难点,主要有以下两种情况。
(1)非平均分组问题
在非平均分组问题中,不管是给出组名或不给出组名,其分组的方法相同。
例4 把12人分成如下三组,分别求出以下各种分组的方法数:
①分成甲、乙、丙三组,其中甲组7人、乙组3人、丙组2人。
②分成三组,其中一组7人、一组3人、一组2人。
解:①先从12人中任选7人为甲组,余 下5人中任选3人为乙组,剩下2人为丙
732
组,则共有
C
12
C
5
C
2
种不同的方法。
7
3
②先从12人中任选 7人为一组有
C
12
种选法,再从余下5人中任选3人有
C
5
种选
732
法,剩下的两人为一组,共有
C
12
C
5C
2
种不同的选法。
分析:在第一个问题中,学生很容易受到干扰,就是对于甲 、乙、丙三组,和分成
3
三组时否需要乘以
A
3
的问题。但是由于各 组的人数不同,这个问题属于非平均分组问
题,虽然第一小问给出了分组的名称,但是这个并不影响最后 的结果,它们的分组方
法都是一样的。
(2)平均分分组问题。
分析:上面的非平均分组问题中,是否给出组名对结果没有影响,但在平均分组问
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题中一定要注意问题是否给出了具体的组名,它们的结果是不同的。

【问】有一苹 果,两个人抛硬币来决定谁吃这个苹果,先抛到正面者吃。问先抛这吃
到苹果的概率是多少?
设先手者得到苹果的概率为p,第1次抛硬币得到苹果的概率为12,在第3次(3,5,7?)
以后 得到苹果的概率为p4(这是因为这种只有在第1次和第2次抛硬币都没有抛到正
面(概率为14=12 *12)的时候才有可能发生,而且此时先手者在此面临和开始相同
的局面)。所以可以列出等式p=1 2+p4,p=23。

【问】一副扑克牌54张,现分成3等份每份18张,问大小王出现 在同一份中的概率
是多少?(大意如此)
不妨记三份为A、B、C份。大小王之一肯定在某一 份中,不妨假定在A份中,概率为
13。然后A份只有17张牌中可能含有另一张王,而B份、C份则各 有18张牌可能含
有另一张王,因此A份中含有另一张王的概率是17(17+18+18)=1753 。

4. 圆排列与重复组合问题
(1)圆排列
定义1:从
n
个不同的元素中任取
m(m?n)
个,按照一定的顺序排成圆形,叫做一
个圆排列。
定义2:从
n
个不同的元素中取出
m(m?n)
个元素 的所有圆排列的个数,叫做圆排
m
列数,用符号
R
n
表示。
例6 5个朋友坐在圆桌周围时,席位排列方法有几种?
解:设5个人分别为a,b,c, d,e,把他们排成一排时,排列的数目是5!,排成
圆形时,像下图那样只是转了一个地方的排法被看 做是一样的,所以根据乘法原理得:
5

R
5
?5?5!

5!
?24

5
答:席位的排列方法有24种。
所以
R
5
5
?
n
命题1: n个不同的元素的圆排列数
R
n
?(n?1)!

例7 有6名同学做成一圆圈做游戏,有多少种做法?
6
解: 据命题一,
R
6
?(6?1)!?120
种。
答:共有120种。
第 3 页 共 8 页



A
B
E
A< br>D
E
C
E
D
C
D
C
B
B< br>A
C
D
B
C
B
E
A
A
D< br>E

mm
命题2:从
n
个元素中取出
m(m?n)< br>个元素的圆排列数
R
n
?C
n
?(m?1)!
。 < br>m
证明:从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数为
C
n
种,而将这
m
个元素排成圆
形由命题1共有
(m?1) !
种方法,于是由乘法原理得
mm

R
n
?C
n
?(m?1)!
.
(2)重复组合
定义3:从
n
个不同的元素中任取
m
个元素,元素可以重复选取,不 管怎样的顺序
并成一组,叫做重复组合。
定义4:从
n
个不同的元素中取出
m
个元素的所有重复组合的个数,叫做重复组合
m
数,用符号
Hn
表示。
例8 有5个数1,2,3,4,5,同一个数允许选用任意次,求从中选出3个的重
复组合数。
3
解:如果从5个中选出3个时,选的都是不同的数,那么很明显组合数为
C
5
,但
是同一个数允许选用任意次,因此像(1,1,1),(1,2,1),(4,4,5),?的组合
也应在算内,所以要想办法,把问题转化成选取的全是不同元素的问题,为了把上述
(1,1, 1),(1,2,1),(4,4,5)改成全是不同的数,先把这些数按从小到大的顺
序排列起来得到 (1,1,1),(1,2,1),(4,4,5)。然后第一个数不 变,在第二个
数上加1,在第三 个数上加2,这就变成:(1,2,3),(1,2,4),(4,6,7)。
一般地
(a, b,c)?(a,b?1,c?2)
,可以证明左右两边是一一对应的(左右各有一组
互相对应 ,一组不能和两组以上对应)。这样,
a,b,c
中即使有相同的元素,在上述的
一一 对应中,也能够改变成没有相同的元素组,所以从整体上来说,结果就成了从1,
2,3,4,5,6, 7的7个数中选取3个不同的元素的组合问题了,即
7?6?5
33
?C
7
??35

H
5
1?2?3
第 4 页 共 8 页



答:从1,2,3,4,5中选取3个数的重复组合数为35。
命题3:从n个不同的元素中选取出m个元素的重复组合数为
mm

H
n
?C
n?m?1

例9 从3,5,7,11这4 个质数中任取两个相乘,同一个数允许重复使用,可以
得到多少个不相同的乘积?
32
解:根据命题3有:
H
4
?C
4?2?1
?10
个。
答:可以得到10个不相等的乘积。
分析:圆排列和重复组合问题时高考中的难点,学生在平 时的理解过程中往往也存
在很多的理解上的问题,主要是因为他们在平时的训练当中已经习惯性的接受了 全排
列和不重复组合的很多的例题,导致了思维的本能反应而导致错误,老师在讲解这两
个知识 点的时候最好能够重新给学生建立相应的知识体系,在讲完这一个知识点以后
再与前两个知识点进行相应 的对照理解和学习,这样可能更好的促进教学,学生也能
够很好的接受。

5.连排与间隔排
(1)排列中的“连排”问题(我们称要求某些元素必须排在一起的排列问 题为“连
排”问题):
例10 某班有学生38人,其中男生24人,女生14人,现将他 们排成一排,女生
必须排在一起的排法有多少种?
我们称要求某些元素必须排在一起的排列问题为“连排”问题。
解:由于14名学生必须排在 一起,所以我们可以将14名学生看成1个“人”,把
25
38人的排列问题看成24+1=2 5人的问题,共有
P
25
种,再考虑到14名学生之间的排法
14
2 514
P
14
,因此女生必须排在一起的排法种数为
P
25
P
14
种。
1k
一般地,在
n
个不同的元素中,某
k
个元素排在一起的排法种数有
P
n
n
?
?
k< br>k
?
?
1
P
k
种。
例11 某班有38 名同学,其中第一组的12名同学必须排在一起且第一组中的5
名女同学又必须排在一起的排列方法有多 少种?
解:将第一组的12名同学看成一个“人”。将38名同学的排列问题看成27人的排
27
列的问题,共有排法
P
27
种,再考虑到12名同学的排列方法,依照例 1,可知第一组的
852785
12名同学要求5名女生排在一起的排法共有
P
种。因此总的排法种数有
PP
8527
P
8
P
5
种。
命题4:一般地,
n
个不同元素的排列中,某
k
个元素必须排 在一起的且在这
k

1k?l?1k
元素中的某
l
个元素有 必须排在一起的排法共有
P
n
n
?
?
k
k
?
?
1
P
k?l?1
P
k
种。
分析:“ 连排”问题的类型很多,不可能一一例举,处理“连排”问题的基本方法,
就是将要求排列在一起的元素 看成一个整体,将它作为一个元素放到问题中去处理,
之后再考虑这个整体的内部排列。

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(2)“间隔排”问题
我们称要求某些元素中的任何两个都不能排列在一起的排列问题为“间隔排”问题。
例12 某班有59名同学,其中第一小组有14名,现将他们排成一排且要求第一
小组的任何两名同学都不排在 一起的排法有多少种?
45
解:首先将不要求间隔的同学先排列有
P
45< br>种排法,然后再将要求间隔排的同学插
14
入已排的45位同学的46个空档(包括两头 )中去,有
P
46
种插入方法,所以总的排法
1445
种数共有P
46
P
45
种。
命题5:一般地,在n个不同元素的排列中 ,某
k(k?
n?kk
素不排列在一起的排法有
P
n?k
P
n?k?1
种。
n?1
)
个元素中的任何两个元
2
例13 现有数字1,2,3,4,5,6,用它们(不重复)可组成多少个各位上奇偶
相间的六位数?
3
解:首先将1,3,5先排共有
P
3
种排法,再将2,4,6插入已排的 1,3,5的空
档中去,考虑到奇偶数字要相间排列,故只有两大插法。在2,4,6之间还要考虑顺< br>333
序关系,所以插法共有
2P
3
种,故可组成
2P
3
P
3
个奇偶相间的六位数。
分析:处理“间隔排”问题的基本方法是将 不要求间排的元素先排,之后再考虑将
要求间隔排的元素插入已排元素的空档中间去。
2.3.6 重复计算或者漏计算
求解排列组合问题时,常有遗漏或重复的情况,导致 解答错误,下面将求解排列组
合问题时几类常见的错误进行分析,以引起注意。
(1)对一些数学概念的意义把握不准,出现遗漏或重复。
例14 数2310有多少个正约数?
错解:因为
2310?2?3?5?7?11
,所 以从这5个质数中分别取1个,取2个,取3
个,取4个,取5个的积都是2310的正约数,故正约数 有
12345

C
5
?C
5
?C
5< br>?C
5
?C
5
?31
(个)
分析:上述解法其实有遗 漏,原因对正约数的概念掌握不深入,所谓的正约数是指:
若有一个正约数
c
(此处的 整数指正整数),使得整数
a

b
之间适合
a?bc
,则称
b

整除
a
,记作
b

a
,这时
a
称为
b
的倍数,
b
称为
a
的约数,因为 1︱2310,所以1也
是2310的一个正约数,所以正确的解答为
12345

C
5
?C
5
?C
5
?C
5
?C< br>5
?1?32
(个)
(2)对题意要求或约束条件考虑不周,出现遗漏或重复或者不符题意的解答。

例16 由1,2,3,4,5五个数字可以组成多少个不同的和?
错解:由五个数字中每次两个,三个,四个或五个数字相加,故不同的和有
2345

C
5
?C
5
?C
5
?C
5
?26
(个)
第 6 页 共 8 页



分析:上述的解法其实有重复,出现重复的原因在与,从直觉认为从1,2,3,4,
5中任取 两个相加或者三个相加,得到的结果都是不同的结果和,其实不然,如1+4=5,
2+3=5,其和 是相等的,其他的还有1+5=2+4=1+2+3,1+2+4=2+5=3+4,
1+3+4=1+ 2+5=3+5,1+2+3+4=2+3+5=1+4+5. 这种相等的和总共有9种,应去掉,故正确
的解答为
2345

C
5
?C
5
?C
5
?C
5
?9?17
(种 )
【简单解释方差的作用】
那么是不是说三个人的操作是完全等同的呢?不
是。上面的 讨论是仅就一次操作而言,如果上述情况多次重复,结果就不一样了。假设
同样的情况重复n次,三个人 每一次都把前面的获利再投入,则甲每次都稳定的获得30%
的收益,总成绩为1.3n,平均每次收益 30%;乙有时获得10%的收益有时获得50%收益,
假设重复次数足够多,则得到两种获利的次数各 接近n2,总收益为1.1n2×1.5n2,平
均每次收益为(1.1×1.5)12-1=28.5 %;丙的总收益为1.18n2×1.42n2,平均每次收益为
(1.18×1.42)12-1=2 9.4%;可见,甲比乙平均每次多1.5%的收益,比丙平均每次多0.6%
的收益。所以,分散持股 ,仓位越平均成绩最好。
【最优出资问题】
现在考虑更一般的问题,如果输赢的概率分别为p 和q,
p+q=1;赢了获利比例为压1赢a,输了则压1赔b,问该如何下注。比如,在一个袋子里< br>装上4个红球,6个绿球,摸出红球赢,摸出绿球输。输赢比例可以人为设定,如赢了压
1赚0. 25,输了,压1赔0.1。则在此例中,p=4(4+6)=0.4, q=0.6, a=0.25, b=0.1。
类似前面的计算方法,
f=(1+ax)p(1-bx)q
f’=ap(1+ax)p-1(1-bx)q-bq(1+ax)p(1-bx)q-1=0
x=(ap-bq)ab
对前面的公式,做一下变换:x=pb-qa
可见,输时 亏损多少对决定合理仓位最多有多大比例有重要影响。比如,亏损比例达到
1,则公式中第一项等于p, 而p的最大值等于1,所以,不管赢的把握p有多大,不管
赢时的获利率a有多高都不允许满仓杀入。所 以,在a,b,p,q四个数中,以b对仓位的
上线影响最大,所以,在决定下注时当然最值得关注。


你的领导在你毫无准备的情况下分配给你一项任务,但你如果接下这个任务将严重 影响
你手头正在进行的工作,问你会怎么办?
首先我要做的是权衡领导交付的任务和 自己的本职工作谁更重要,领导比我更有原
则性,领导交付的任务一般都是非常重要和紧急的任务,我会 在尽量不影响自己本职工
作的基础上抽时间完成领导交付的任务,如果因为为了完成领导交付的任务致使 自己的
本职工作受到影响,我会加班完成本职工作,然后向直接领导自己的上级作出相关解释。
如果领导交付的任务不是很重要和很紧急的任务,我会先完成自己的本质工作,然后再
去做领导交付的任 务。服从领导是很重要的,但是服从原则更重要。

你最大的长处和弱点分别是什么?这些长处和弱点对你在企业的业绩会有什么样的
影响?
从长处来说,我相信我最大的优点是我有一个高度理性的头脑,能够从混乱中整理出头
第 7 页 共 8 页



绪来。我最大的弱点是,对那些没有秩序感的人,可能缺 乏足够的耐心。我相信我的组
织才能可以帮助企业更快地实现目标,而且有时候,我处理复杂问题的能力 也能影响我
的同事。

你是否曾经得到过低于自己预期的成绩?如果得到过,你是怎样处理这件事情的?
所有的 非理科生都感到,他对我们的知识基础有着非常不切实际的期望。由于他的偏见,
这些非理科生大多都表 现不好。尽管我表现还算不错,但我还是和其他学生一道向系领
导发出了一份声明,建议校方审查一下他 的教学方式。

在与朋友的交往中,最重要的是,彼此之间有互相依赖的感觉。我们都很忙 ,并不能经
常会面,但在我可以称为亲密朋友的几个人中,我们都知道,大家随时可以互相依赖。

我知道竞争是始终存在的,对我来说最重要的是意识到竞争,清楚我们在为什么而竞争。当我处在竞争环境中时,我首先要确保自己头脑清醒,理解所处的危险处境。一旦我了
解了竞争形势 和规则,就会全身心地投入到竞争中去。

我将向客户解释,我们的企业向来以产品质量和优 质服务为荣。然后我将向客户保证,
我会尽一切努力来改善这种状况。接下来我会听他(她)抱怨,并查 找问题的根源,做
出必要的改进来满足客户。

我在想他的情景问答都是围绕着考 量我是否有远见和忠诚展开的。然后他揪住我对服务
的理解不放,他说:
“我不明白花旗和服务的关系,你解释一下“
“你认为的服务是什么内涵?“
之后质疑我对职业生涯的定义:
“告诉我,为什么你要做成的银行家得和社区联系起来呢?“
“为什么你不选择去酒店而跑来我们银行?“
然后就是例排的面试经典问题。这些就见招拆招了。
总体而言他很和蔼,所以面试的感觉挺好。
最后阶段,他开始介绍他自己,一个为花旗服务了 15年的人,在印度,新加坡,
东京和台湾服务,他说,他的很多同事跳槽,去了其他银行,但是目前他 自己发展 得
最好,他从来不需要简历,因为他只为一家公司工作。
第 8 页 共 8 页

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