高中数学奥赛难度-高中数学选修2-1知识点免费
高中数学概率选择题(精华版)
一.选择题(共25小题)
1.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或
正奇数时,m※n
=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则
在此定义下,集合M={(
a,b)|a※b=12,a∈N
*
,b∈N
*
}中的元素个数是(
)
A.10个 B.15个 C.16个 D.18个
2.设集合A={x|x>2},若m=lne
e
(e为自然对数底),则(
)
A.?∈A B.m?A C.m∈A D.A?{x|x>m}
3.
从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取
1张,则抽得的第一张卡
片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A. B. C. D.
4.从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1
张,则抽到在2张卡
片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. B. C. D.
5.有5
支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5
支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔
,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
( )
A. B. C.
D.
6.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑
色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此
点取自黑色部分的概率
是( )
A. B. C. D.
7.已知随机变量ξi
满足P(ξ
i
=1)=p
i
,P(ξ
i
=0
)=1﹣p
i
,i=1,2.若0<p
1
<p
2
<,则( )
A.E(ξ
1
)<E(ξ
2
),D(
ξ
1
)<D(ξ
2
) B.E(ξ
1
)<E(ξ
2
),D(ξ
1
)>D(ξ
2
)
C.E(ξ
1
)>E(ξ
2
),D(ξ
1
)<D(ξ
2
)
D.E(ξ
1
)>E(ξ
2
),D(ξ
1
)>D(ξ
2
)
8.同时掷两个质地均匀的骰子,向上点数之积为12的概率是(
)
A. B. C. D.
9.如图,点E是边长为2的正方形ABCD
的CD边中点,若向正方形ABCD内随
机投掷一点,则所投点落在△ABE内的概率为(
)
A. B. C. D.
10.如图,圆O内有一个内接三
角形ABC,且直径AB=2,∠ABC=45°,在圆O
内随机撒一粒黄豆,则它落在三角形ABC内
(阴影部分)的概率是( )
A. B. C. D.
11
.甲抛掷均匀硬币2017次,乙抛掷均匀硬币2016次,下列四个随机事件的概
率是0.5的是(
)
①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多;
②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少;
③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多;
④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多.
A.①② B.①③
C.②③ D.②④
12.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,若使得至少有一次正面向上
的概率大
于或等于
A.4
,则n的最小值为( )
C.6
D.7
B.5
13.在区间[﹣π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得
函数f(x)=x
2
+2ax
﹣b
2
+π有零点的概率为(
)
A. B. C. D.
14.从数字1,2,3,4,5这五个数中
,随机抽取2个不同的数,则这2个数的
和为偶数的概率是( )
A. B.
C. D.
15.现有三张卡片,正面分别标有数字1,2,3,背面完全相同,将卡片洗匀
,
背面向上放置,甲、乙二人轮流抽取卡片,每人每次抽一张,抽取后不放回,甲
先抽.若二人
约定,先抽到标有偶数的卡片者获胜,则甲获胜的概率是( )
A. B. C.
D.
16.某班级为了进行户外拓展游戏,组成红、蓝、黄3个小队.甲、乙两位同学
各自等可能地选择其中一个小队,则他们选到同一小队的概率为( )
A. B. C.
D.
17.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球
成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p
(p
≠0),发球次数为X,若X的数学期望EX>1.75,则p的取值范围是( )
A.(0,) B.(,1) C.(0,) D.(,1)
18.甲、乙两名同学
参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次击中目标
得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射
击的命中率分别为和P,且甲、
乙两人各射击一次得分之和为2的概率为
则P值为(
)
A. B. C. D.
.假设甲、乙两人射击互不影响,
19.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p,且各引擎是否有故障
是独立的 ,已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2
引擎飞机要2个引擎全部正常运行 ,飞机也可成功飞行,要使4引擎飞机比2
引擎飞机更安全,则P的取值范围是( )
A.(,1) B.(,1) C.(0,) D.(0,)
20.某种电路开关闭 合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红
灯的概率为,两次闭合后都出现红灯的概率为 ,则在第一次闭合后出现红灯
的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )
A. B. C. D.
21.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(3,p),若P(ξ≥1) =,则P(η≥2)的
值为( )
A. B. C. D.
22.设M、N为两个随机事件,给出以下命题:
(1)若M、N为互斥事件,且< br>(2)若
(3)若
(4)若
(5)若
,
,
,
,
,
,
,
,
,,则;
,则M、N为相互独立事件;
,则M、N为相互独立事件;
,则M、N为相互独立事件;
,则M、N为相互独立事件;
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
23.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为
,则n的最小值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
24.余江人热情好客,凡逢 喜事,一定要摆上酒宴,请亲朋好友、同事高邻来助
兴庆贺.欢度佳节,迎亲嫁女,乔迁新居,学业有成 ,仕途风顺,添丁加口,朋
友相聚,都要以酒示意,借酒表达内心的欢喜.而凡有酒宴,一定要划拳,划 拳
是余江酒文化的特色.余江人划拳注重礼节,形式多样;讲究规矩,蕴含着浓厚
的传统文化和淳朴的民俗特色.在礼节上,讲究“尊老尚贤敬远客”一般是东道主
自己或委托桌上一位
酒量好的划拳高手来“做关”,﹣﹣就是依次陪桌上会划拳的
划一年数十二拳(也有半年数六拳).十二
拳之后晚辈还要敬长辈一杯酒.
再一次家族宴上,小明先陪他的叔叔猜拳12下,最后他还要
敬他叔叔一杯,规
则如下:前两拳只有小明猜赢叔叔,叔叔才会喝下这杯敬酒,且小明也要陪喝,
如果第一拳小明没猜到,则小明喝下第一杯酒,继续猜第二拳,没猜到继续喝第
二杯,但第三拳不管谁
赢双方同饮自己杯中酒,假设小明每拳赢叔叔的概率为,
问在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率是多少(
)
(猜拳只是一种娱乐,喝酒千万不要过量!)
A. B.
C. D.
25.现有A,B两门选修课供甲、乙、丙三人随机选择,每人必须且只能选其中
一门,则甲乙两人都选A选修课的概率是( )
A. B. C. D.
2017年11月17日Leg****dary的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共25小题)
<
br>1.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或
正奇数时,m
※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则
在此定义下,集合M=
{(a,b)|a※b=12,a∈N
*
,b∈N
*
}中的元素个数是(
)
A.10个 B.15个 C.16个 D.18个
【解答】解:a※b=12,a、b∈N
*
,
若a和b一奇一偶,
则ab=12,满足此条件的有1×12=3×4,故点(a,b)有4
个;
若a和
b同奇偶,则a+b=12,满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6
组,故点(a,b)有2×6﹣1=11个,
所以满足条件的个数为4+11=15个.
故选B
2.设集合A={x|x>2},若m=lne
e
(e为自然对数底),则(
)
A.?∈A B.m?A C.m∈A D.A?{x|x>m}
【解答】解:∵m=elne=e,
∴m∈A,
故选:C.
3.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中
随机抽取1张,放回后再随机抽取
1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(
)
A. B. C. D.
【解答】解:从分别写有1,2,3,4,5
的5张卡片中随机抽取1张,放回后再
随机抽取1张,
基本事件总数n=5×5=25,
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有:
(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5
,
3),(5,4),
共有m=10个基本事件,
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=
故选:D.
4.从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1
张
,则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. B. C. D.
=.
【解答】解:从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,
共
有=36种不同情况,
且这些情况是等可能发生的,
抽到在2
张卡片上的数奇偶性不同的情况有
故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=
故选:C.<
br>
5.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.
从这5
支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
(
)
A. B. C. D.
【解答】解:有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,
基本事件总数n==10,
=4,
=20种,
=,
取出的2支彩笔中含
有红色彩笔包含的基本事件个数m=
∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p==.
故选:C.
6.如图,正方形ABCD内的图
形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑
色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方
形内随机取一点,则此
点取自黑色部分的概率是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,
则正方形的边长为2,
则黑色部分的面积S=,
则对应概率P=
故选:B
=,
7
.已知随机变量ξ
i
满足P(ξ
i
=1)=p
i
,P(ξ<
br>i
=0)=1﹣p
i
,i=1,2.若0<p
1
<p
2
<,则( )
A.E(ξ
1
)<E(ξ
2
)
,D(ξ
1
)<D(ξ
2
) B.E(ξ
1
)<E(ξ2
),D(ξ
1
)>D(ξ
2
)
C.E(ξ
1
)>E(ξ
2
),D(ξ
1
)<D(ξ
2
) D.E(ξ
1
)>E(ξ
2
),D(ξ
1
)>D(ξ
2
)
【解答】解:∵随机变量ξ
i
满足P(ξ
i
=1)=p
i
,P(ξ
i
=0)=1﹣p
i
,i=
1,2,…,
0<p
1
<p
2
<,
∴<1﹣p
2
<1﹣p
1
<1,
E(ξ
1
)=1×p
1
+0×(1﹣p
1
)=p
1
,
E(ξ
2
)=1×p
2
+0×(1﹣p
2
)
=p
2
,
D(ξ
1
)=(1﹣p
1
)<
br>2
p
1
+(0﹣p
1
)
2
(1﹣p
1
)=,
D(ξ
2
)=(1﹣p
2
)
2
p
2
+(0﹣p
2
)
2
(1﹣p<
br>2
)=
D(ξ
1
)﹣D(ξ
2
)=p
1﹣p
1
2
﹣(
,
)=(p
2
﹣p<
br>1
)(p
1
+p
2
﹣1)<0,
∴E(ξ
1
)<E(ξ
2
),D(ξ
1
)<D(ξ
2
).
故选:A.
8.同时掷两个质地均匀的骰子,向上点数之积为12的概率是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:同时掷两个质地均匀的骰子,共有6×6=36种不同的结果,
其中向
上点数之积为12的基本事件有(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)共4
个,
∴P==.
故选B.
9.如图,点E是边
长为2的正方形ABCD的CD边中点,若向正方形ABCD内随
机投掷一点,则所投点落在△ABE内
的概率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:由题意,正方形ABCD的面积为4,
∵E是CD的中点,∴△ABE
的面积为
∴所投点落在△ABE内的概率为P=
故选:D.
.
.
10.如图,圆O内有一个内接三角形AB
C,且直径AB=2,∠ABC=45°,在圆O
内随机撒一粒黄豆,则它落在三角形ABC内(阴影部
分)的概率是( )
A. B. C. D.
【解答】解:圆O的直径AB=2,半径为1,
所以圆的面积为S
圆
=π?1
2
=π;
△ABC的面积为S
△
ABC
=?2?1=1,
在圆O内随机撒一粒黄豆,它落在△ABC内(阴影部分)的概率是
P==.
故选:D.
11.甲抛掷均匀硬
币2017次,乙抛掷均匀硬币2016次,下列四个随机事件的概
率是0.5的是( )
①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多;
②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少;
③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多;
④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多.
A.①② B.①③ C.②③
D.②④
【解答】解:根据题意,甲抛掷均匀硬币2017次,乙抛掷均匀硬币2016次,
每次抛掷时出现正面的概率都是0.5,出现反面的概率也都是0.5,
在①中,∵
甲比乙多抛掷一次硬币,∴甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多的概
率为0.5,故①正确;
在②中,∵甲比乙多抛掷一次硬币,∴甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少的概
率不是0.5,
故②错误;
在③中,∵甲抛掷均匀硬币2017次,∴甲抛出反面次数比甲抛
出正面次数多的
概率是0.5,故③正确;
在④中,∵乙抛掷均匀硬币2016次,
∴乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多的概率为
④错误.
故选:B.
12.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,若使
得至少有一次正面向上的概率大
于或等于
A.4
,则n的最小值为( )
C.6 D.7
≥,∴n≥4,
,故
B.5
【解答】解:由题意,1﹣
∴n的最小值为4,
故选A.
13.在区间[﹣π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)
=x
2
+2ax
﹣b
2
+π有零点的概率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:由题意知本题是一个几何概型,
<
br>∵a,b使得函数f(x)=x
2
+2ax﹣b
2
+π有零点,
∴△≥0
∴a
2
+b
2
≥π
试验发生时包含的所有事件是Ω={(a,b)|﹣π≤a≤π,﹣π≤b≤π}
∴S=(2π)
2
=4π
2
,
而满足条件的事件是{(a,b)|a
2
+b
2
≥π},
∴s=4π
2
﹣π
2
=3π
2
,
由几何概型公式得到P=,
故选B.
14.从数字1,2,3,4,5这五个数中,随机抽取2个不同的数,则这2个数的
和为偶
数的概率是( )
A. B. C. D.
【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,
∵从五个数中随机抽取2个不同的数有C
5
2
种不同的结果,
而这2个数的和为偶数包括2、4,1、3,1、5,3、5,四种取法,
由古典概型公式得到P=
故选B.
15.现有三张卡
片,正面分别标有数字1,2,3,背面完全相同,将卡片洗匀,
背面向上放置,甲、乙二人轮流抽取卡
片,每人每次抽一张,抽取后不放回,甲
先抽.若二人约定,先抽到标有偶数的卡片者获胜,则甲获胜的
概率是( )
A. B. C. D.
【解答】解:将1,2,3三个数字排序,则偶数2可能排在任意一个位置,
其中2排在第一位或第三位为甲获胜,2排在第二位为乙获胜,
故甲获胜的概率为.
故选C.
16.某班
级为了进行户外拓展游戏,组成红、蓝、黄3个小队.甲、乙两位同学
各自等可能地选择其中一个小队,
则他们选到同一小队的概率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:甲,乙两位同学各自等可能地选择其中一个小队,
情况有3×3=9种
甲,乙两位同学选到同一小队的情况有3种
故概率为=.
故选:A.
==,
17.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球
成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p
(p
≠0),发球次数为X,若X的数学期望EX>1.75,则p的取值范围是( )
A.(0,) B.(,1) C.(0,) D.(,1)
【解答】解:根据题意
,学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p,即P(X=1)
=p,
发球次数为2即二次发球成功的概率P(X=2)=p(1﹣p),
发球次数为3的概率P(X=3)=(1﹣p)
2
,
则Ex=p+
2p(1﹣p)+3(1﹣p)
2
=p
2
﹣3p+3,
依题意有EX>1.75,则p
2
﹣3p+3>1.75,
解可得,p>或p<,
结合p的实际意义,可得0<p<,即p∈(0,)
故选C.
18.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中
任何一人每射击一次击中目标
得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和P,且甲
、
乙两人各射击一次得分之和为2的概率为
则P值为( )
A. B.
C. D.
【解答】解:设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”
为
事件B,
则“甲射击一次,未击中目标”为事件,“乙射击一次,未击中目标”为事件,
则P(A)=,P()=1﹣=,P(B)=P,P()=1﹣P,
依题意得:×(1﹣p)+×p=
解可得,p=,
故选C.
,
.假设甲、乙两人射击互不影响,
19.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p,且各引擎是否有故障
是独立的,已知4引擎
飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2
引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机也可成
功飞行,要使4引擎飞机比2
引擎飞机更安全,则P的取值范围是( )
A.(,1) B.(,1) C.(0,) D.(0,)
【解答】解:每一架飞
机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p,不出现故障的概
率是p,
且各引擎是否有故障是独立的,
4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;
4引擎飞机可以正常工
作的概率是C
4
3
p
3
(1﹣p)+p
4
,
2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机也可成功飞行,
2引擎飞机可以正常工作的概率是p
2
要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全,
依题意得到C
4
3
p
3
(1﹣p)+p
4
>p
2
,
化简得3p
2
﹣4p+1<0,
解得<p<1.
故选B
20.某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已
知开关第一次闭合后出现红
灯的概率为,两次闭合后都出现红灯的概率为,则在第一次闭合后出现红灯<
br>的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A,“第二次闭合出现红灯”
为事件B,
则由题意可得P(A)=,P(AB)=,
则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是:
P(BA)=
故选:C.
==.
21.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(3,p),若P(ξ≥1)=
,则P(η≥2)的
值为( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵变量ξ~B(2,p),且P(ξ≥1)=,
∴P(ξ≥1)=1﹣
P(ξ<1)=1﹣C
2
0
?(1﹣p)
2
=,
∴p=,
∴P(η≥2)=1﹣P(η=0)﹣P(η=1)=1﹣C
3
0
(
﹣﹣=,
)
0
( )
3
﹣??=1
故选:C.
22.设M、N为两个随机事件,给出以下命题:
(1)若M、N为互斥事件,且<
br>(2)若
(3)若
(4)若
(5)若
,
,
,
,
,
,
,
,
,,则;
,则M、N为相互独立事件;
,则M、N为相互独立事件;
,则M、N为相互独立事件;
,则M、N为相互独立事件;
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
,,
【解答】解:在(1)中,若M、N为互斥事件,且
则P(M∪N)=
=,故(1)正确;
在(2)中,若,,,
则由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件,故(2)正确;
在(3)中,若,,,
则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N
为相互独立事件,
故(3)正确;
在(4)中,若,,,
,故(4)错误;
当M、N为相互独立事件时,P(MN)=
(5)若,,,
则由对立事件概
率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件,
故(5)正确.
故选:D.
23.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件
“至少有一次正面向上”的概率为
,则n的最小值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
【解答】解:将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,
事件
“至少有一次正面向上”的概率为
∴p=1﹣()
n
∴()
n
≤.<
br>
,
,
∴n的最小值为4.
故选:A.
24.余江人热情好客,凡逢喜事,一定要摆上酒
宴,请亲朋好友、同事高邻来助
兴庆贺.欢度佳节,迎亲嫁女,乔迁新居,学业有成,仕途风顺,添丁加
口,朋
友相聚,都要以酒示意,借酒表达内心的欢喜.而凡有酒宴,一定要划拳,划拳
是余江酒
文化的特色.余江人划拳注重礼节,形式多样;讲究规矩,蕴含着浓厚
的传统文化和淳朴
的民俗特色.在礼节上,讲究“尊老尚贤敬远客”一般是东道主
自己或委托桌上一位酒量好的划拳高手来
“做关”,﹣﹣就是依次陪桌上会划拳的
划一年数十二拳(也有半年数六拳).十二拳之后晚辈还要敬长
辈一杯酒.
再一次家族宴上,小明先陪他的叔叔猜拳12下,最后他还要敬他叔叔一杯,规<
br>则如下:前两拳只有小明猜赢叔叔,叔叔才会喝下这杯敬酒,且小明也要陪喝,
如果第一拳小明没
猜到,则小明喝下第一杯酒,继续猜第二拳,没猜到继续喝第
二杯,但第三拳不管谁赢双方同饮自己杯中
酒,假设小明每拳赢叔叔的概率为,
问在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率是多少( )
(猜拳只是一种娱乐,喝酒千万不要过量!)
A. B. C.
D.
【解答】解:在敬酒这环节小明喝酒三杯的情况是第一拳小明没有猜到且第二拳
小明也没有猜到,
∴在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率是:
p=(1﹣)(1﹣)=.
故选:A.
2
5.现有A,B两门选修课供甲、乙、丙三人随机选择,每人必须且只能选其中
一门,则甲乙两人都选A
选修课的概率是( )
A. B. C. D.
【解答】解:所选结果
共有2
3
=8种,甲乙两人都选A选修课,丙有2种选择,
故甲乙两人都选A选修课的概率是=,
故选A.
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