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高中数学概率教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 19:28
tags:高中数学概率

高中数学选择题特例法-北京高中数学教材微盘

2020年9月20日发(作者:董祖诒)


高中数学新人教版必修3
第3章3.1 随机事件的概率
第3章 3.1.1 随机事件的概率
【学习目标】
知识与能力
1.(C层)了解随机 事件、必然事件、不可能事件的概念;正确
理解事件A出现的频率的意义。
2.(AB层)理 解并掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概
念;正确理解事件A出现的频数与频率的意义,能区分频 率与概率的
概念。
过程与方法
发现法教学,通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取 数据,归纳总
结试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,在探索中提高;
情感、态度、价值观
通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识,体会数学知识
与现实世界的联系。
【教学重点】
事件的分类;
【教学难点】
用概率的知识解释现实生活中的具体问题.
【教学过程设计】
一、创设情境 < /p>


日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如,你
明天什么时间起床 ?7:20在某公共汽车站候车的人有多少?你购买
本期福利彩票是否能中奖?等等。
二、学习新知
(一)基本概念:阅读课本P108,思考:
1、什么是必然事件?什么是不可能事件?什么是确定事件?什么
是随机事件?
2、你能分别举出现实中的生活加以说明吗?
3、什么是概率?如何才能获得随机事件发生的概率?
(二)探究活动:(抛硬币试验) < br>1、全班每人各取一枚同样的硬币,做10次掷硬币的试验,每人记录
下试验结果,填在下表中。
姓名

试验次数

正面朝上的次数

正面朝上的比例

思考:与其他同学的试验结果比较,你的结果和他们一致吗?为什么
会出现这样的情况?
2、每个小组把本组同学的试验结果统计一下,填在下表中。
组次

试验总次数

正面朝上的总次数

正面朝上的比例

思考:与其他小组的试验结果比较,各组的结果一致吗?为什么会出
现这样的情况?
3、让一个同学把全班同学的试验结果统计一下,填在下表中。
班级

试验总次数 正面朝上的总次数

正面朝上的比例

4、请把全班每个的试验中正面朝上的次数收集起来,并用条形图表


示。
观察:条形图有何特点?
(三)阅读课本P110,思考:
1、什么是频数和频率?两个概念有何区别?
2、频率的范围是什么?
3、人工抛硬币太费时,有无更佳方法呢?
(四)计算机模拟硬币试验
请同学们观察P111表3-1及掷硬币的频率图,能发现什么规律?
(五)历史上一些掷硬币的试验结果
请同学们观察P112表3-2,能发现什么规律? < br>(六)思考:事件A发生的频率f
n
(A)是不是不变的?事件A的概率
P(A )是不是不变的?它们之间有什么区别与联系?
三、例题分析
例1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是
随机事件?
(1)“抛一石块,下落”.
(2)“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”;
(3)“某人射击一次,中靶”;
(4)“如果
a

b
, 那么
a

b
>0”;
(5)“掷一枚硬币,出现正面”;
(6)“导体通电后,发热”;
(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任 取一张,


得到4号签”;
(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”;
(9)“没有水份,种子能发芽”;
(10)“在常温下,焊锡熔化”.
例2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数n
击中靶心次数m
击中靶心的频率
10
8
20
19

50
44

100
92

200
178

500
455

m

n

(1)填写表中击中靶心的频率;
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么? < br>分析:事件A出现的频数n
A
与试验次数n的比值即为事件A的频率,
当事件A 发生的频率f
n
(A)稳定在某个常数上时,这个常数即为事
件A的概率。
小结:概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该
事件的频率而得之。
四、巩固练习
P113 练习1,2, (AB层)3
五、课堂小结 概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理
解概率的意义是认识、理解现实生活 中有关概率的实例的关键,学习
过程中应有意识形成概率意识,并用这种意识来理解现实世界,主动参与对事件发生的概率的感受和探索。
六、课后作业


1.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( )
A.必然事件 B.随机事件
C.不可能事件 D.无法确定
2.下列说法正确的是( )
A.任一事件的概率总在(0.1)内
B.不可能事件的概率不一定为0
C.必然事件的概率一定为1 D.以上均不对
3、一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下:
时间范围
新生婴儿数
男婴数
男婴出生的频率
1年内
5544
2883

2年内
9607
4970

3年内
13520
6994

4年内
17190
8892

(1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第3位);
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少?
P124 B组3 (AB层)


第3章 3.1.2概率的意义
【学习目标】
知识与能力
1.正确理解概率的概念和意义,明确事件A发生的频率fn(A)
与事件A发生的概率P(A)的区别 与联系;
2.(AB层)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.
过程与方法 < /p>


通过对现实生活中的“掷币”,“游戏的公平性”,“彩票中奖”
等问题的探究, 感知应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻辑推
理的数学方法.
情感、态度、价值观
培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的科学意识.
【教学重点】
概率的定义以及和频率的区别与联系
【教学难点】
用概率的知识解释现实生活中的具体问题.
【教学过程设计】
一、复习引入
(一)什么是必然事件?什么是不可能事件?什么是确定事件?什么
是随机事件?
(二)什么是频数和频率?两个概念有何区别?频率的范围是什么?
(三)什么是概率?它与频率有何区别?
二、学习新知
(一)概率的正确理解 < br>1、思考:有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5,那么
连续两次抛掷一枚质地均匀 的硬币,一定是一次正面朝上,一次反面
朝上。你认为这种想法正确吗?
2、探究:
全班同学各取一枚同样的硬币,连续两次抛掷,观察它落地后朝向,


并记录结果。重复 上面的过程10次,将全班同学的试验结果汇总,
计算三种结果发生的频率。你有什么发现?
3、思考:如果某种彩票的中奖概率为11000,那么买1000张这种
彩票一定能中奖吗?(假设彩 票有足够多的张数?
(二)游戏的公平性
1、在一场乒乓球比赛前,要决定由谁先发球,你 注意到裁判是怎样
确定发球权的吗?为什么要这样做?
2、探究:青云中学高一年级有10个 班,要从中选2个班代表学校参
加某项活动。由于某种原因,一班必须参加,另外再从二至十班中选1个班。有人提议用如下方法:掷两个骰子得到的点数和是几,就选
几班,你认为此方法公平吗?
(三)决策中的概率思想
1、思考:如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点,你认为 这
枚骰子的质地均匀吗?为什么?
2、似然法与极大似然法:见课本P116
(四)天气预报的概率解释
1、思考:某地气象局预报说,明天本地降水概率为70%。你认 为下
面两个解释哪一个能代表气象局的观点?
(1)明天本地有70%的区域下雨,有30% 的区域不下雨;(2)明天
本地下雨的机会是70%。
2、生活中,我们经常听到这样的议论 :“天气预报说昨天降水概率
为90%,结果一点雨没下,天气预报也太不准确了。”学也概率后,


你能给出解释吗?
(五)试验与发现
阅读P117了解孟德尔如何经过 多年碗豆试验,最终发现遗传学规律。
你能作出简单的解释吗?
三、例题
例1 某 人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3
次环中9环,有4次中8环,有1次未中靶 ,试计算此人中靶的概率,
假设此人射击1次,试问中靶的概率约为多大?中10环的概率约为
多大?
例2 在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,
请用概率的知识解释其公平性。
小结:事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规
则都是公平的。
三、课堂小结
正确理解频率与概率的区别,利用概率知识正确理解现实生活中
的实际问题.
四、课堂练习
1.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格
并回答题。
每批粒数
发芽的粒数
发芽的频率
2
2

5
4

10
9

70
60
130
116

700 1500 2000 3000
282 639 1339 2715

(1)完成上面表格:


(2)该油菜子发芽的概率约是多少?
(AB层)P118 2,3


第3章 3.1.3 概率的基本性质
【学习目标】
知识与能力
(1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及
互斥事件、对立事件的概念;
(2)概率的几个基本性质:1)必然事件概率为1,不可能事件
概率为0,因此0≤P(A) ≤1;2)当事件A与B互斥时,满足加法公
式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件A与B为对立事件,则A∪B
为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)
(AB层)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区
别与联系.
过程与方法
通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养
学生的类化与归纳的数学思想。
情感、态度、价值观
通过数学活动,了解教学与实际生活的密切联系,感受数学知识
应用于现实世界的具体情境,从而激发学习 数学的情趣。
【教学重点】


概率的加法公式及其应用。
【教学难点】
事件的关系与运算。
【教学过程设计】
一、创设情境
(1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={ 3,1},{2,4}С{2,3,4,
5}等;
(2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件 如:C
1
={出现1点},C
2
={出
现2点},C
3={出现1点或2点},C
4
={出现的点数为偶数}……
师生共同讨论:观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现
事件的关系与运算吗?
二、基本概念
(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115;
(2)若A∩B为不可能事件,即A∩B=ф,那么称事件A与事件B互
斥;
(3)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事
件B互为对立事件;
(4)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);
若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+
P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).
三、例题分析
例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些


是对立事件?
事件A:命中环数大于7环;
事件B:命中环数为10环;
事件C:命中环数小于6环;
事件D:命中环数为6、7、8、9、10环. 分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区
别弄清楚,互斥事件是指不可能 同时发生的两事件,而对立事件是建
立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生。
例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,B为
“出现偶数点”,已知 P(A)=,P(B)=,求出“出现奇数点或偶数
点”.
分析:抛掷骰子,事件“出现奇数 点”和“出现偶数点”是彼此互斥
的,可用运用概率的加法公式求解.
例3 如果从不包括大 小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到
红心(事件A)的概率是,取到方块(事件B)的概率是 ,问:
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?
分析:事件C是事件A与事件B的并,且A与B 互斥,因此可用互斥
事件的概率和公式求解,事件C与事件D是对立事件,因此P(D)=1
— P(C).
例4 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取
一球,得到 红球的概率为,得到黑球或黄球的概率是
1
3
5
,得到黄球
121
4
1
4
1
2
1
2


或 绿球的概率也是
是多少?
5
,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各
12
分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解.
四、巩固练习
P121 练习1,4,5 P123习题3.1 A组1
(AB层)某射手在一 次射击训练中,射中10环、8环、7环的概率分
别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算 该射手在一次射击中:
(1)射中10环或9环的概率;
(2)少于7环的概率。
五、课堂小结:
概率的基本性质:
(1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;
(2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);
(3)若事件A与B为对立事件,则P(A)=1—P(B);
(4)互斥事件与对立事件的区别与联系:对立事件互斥事件的特殊
情形。
六、课后作业
1.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,观察正
品 件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再
判断它们是不是对立事件。
(1)恰好有1件次品恰好有2件次品;
(2)至少有1件次品和全是次品;


(3)至少有1件正品和至少有1件次品;
(4)至少有1件次品和全是正品;
2.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A为出现奇 数,事件B
为出现2点,已知P(A)=,P(B)=,求出现奇数点或2点的概
率之和。
(AB层)P124 B组1,2

1
2
1
6
高中数学新人教版必修3
第3章3.2 古典概型
3.2.1 古典概型
【学习目标】
知识与能力
会判断古典 概型,会用列举法计算一些随机事件所含的基
本事件数和试验中基本事件的总数;能够利用概率公式求解 一
些简单的古典概型的概率。
过程与方法
通过从实际问题中抽象出数学模型的过程 ,提升运用从具
体到抽象从特殊到一般的分析问题的能力和解决问题的能力。
情感态度与价值观
增加合作学习交流的机会,在体会概率意义的同时,感受
与他人合 作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲


而不舍的求学精神,在次过程中还可以 增加学习数学的学习兴
趣。
【教学重难点】
重点:古典概型的概念以及概率公式。
难点:如何判断一个试验是否是古典概型;分清在一个古典
概型中某随机事件包含的基本事件的 个数和试验中基本事件
的总数。
【教学过程】
(一)导入新课
师:好, 同学们,我们开始上课,大家看看我手里拿的是
什么?对,是5张扑克牌,在上课前大家想不想玩玩游戏 呢?,
好我们现在5人为一小组,一个人记录,另外4个人来抓袋子
里面的小球,抓到红桃的奖 励,抓到黑桃的惩罚,现在开始玩
起来吧。
师:好了,大家都玩完了,现在请同学把你们的记 录的数
据都拿出来看看吧,看看怎么样?有什么特点呢?
生:发现抓住红桃和黑桃的机会是一样的。
师:我听到有同学说了,可以把每种都找出来,在 加起来
就知道总的概率了,这中方法也可,但是大家想想如果我不是
5张,是50张,甚至50 0张,这样还行吗?有没有什么简便的
方法呢?好,今天我们就一起来学习一个简单快速计算的方法-< br>古典概型


(设计意图:采用学生生活中感兴趣的扑克牌,在联系课堂
要 学习的东西,把抽象的转化为实际能理解的,即增加学生学
习的兴趣,同时也降低了新知识的接受难度。 )
(二)探究新知
1.探索基本事件和古典概型的概念
师生活动:师生共同探讨两个概念的生成
如果把抽到红心记为事件B,那么事件B相当于抽到 红心1,
抽到红心2,抽到红心3,这三种情况,而抽到黑桃相当于,
抽到黑桃4,黑桃5,这 两种情况,因为是任意抽取的,可以
认为出现这五种情况是都相等的。
当出现抽到红心1.2.3这三种情形之一时,事件B就发生
了,于是P(B)=,
追问1:这里所说的抽到红心1.2.3就是我们这组事件中的
一个基本事件,那大家可以根据老师刚刚 的分析总结出基本事
件的概念吗?如果在一次实验中,每个基本事件发生的可能性
相同,又叫什 么呢?
生:在一次实验中可能出现的每一个基本结果称为基本事
件。
生:如果就像 我们上面抽到红心中,抽到红心即为一个基
本事件,如果在一次实验中,每个基本事件发生的可能性相同 ,
就叫等可能基本事件。
追问2:上面我们所说的抽红心事件他有什么样的特点呢?


生:
第一,所有的基本事件都是有限个
第二步,每个基本事件发生的概率都是相等的
师:回答非常正确,概括的也很正确,其实这就 是我们古
典概型的概念,我们就将满足上述条件的随机试验的概率模型
称为古典概型。
如果1次试验的等可能基本事件共有n个,那么每一个等
可能基本事件发生的概率都是 ,如果某个事件A包含了其中
M个等可能基本事件,那么事件A发生的概率P(A)=,
下面我们来做这样几道例题:(让学生说老师板书步骤)
例:一只口袋内装有大小相同的5只球,其中三只白球,2
只黑球,从中一次摸出2只球。
(1)共有多少个基本事件?
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少?
分析:可用枚举法找出所有的等可能基本事件
解析:(1)分别记白球为1.2.3号,黑球 为4.5号,从中摸
出2只球,有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示)
(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)
(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)
因此共有10个基本事件


(2)从(1)小题中可知,上述10个基本事件发生的可能性相
同,且只有3个基本事 件是摸到2只白球(记为事件),即(1,
2)(1,3)(2,3)故P(A)=,
(三)巩固提高
有五根细长的木棒,长度分别为 1,3,5,7,9,任取三
根,可以组合成三角形的概率。
师生活动:学生独立完成,同桌互相交流,教师适时纠正
答案。
(四)小结作业
小结:教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请
学生回答一下问题:
1.古典概型的特点是什么?
2.古典概型的计算公式是什么
作业:判断下列试验是否为古典概型?为什么?是古典概型
的请列举出其中的基本事件是什么?
(1)从所有整数中任取一个数。
(3)在 6 名优秀演讲优胜者中挑取一个人去参加市演讲比
赛,每个演讲者被选中的可能性相等。
2.掷两次骰子,求出现点数之和为奇数的概率。
四、板书设计
古典概型
一、概念


所有的基本事件都是有限个(有限性)
每个基本事件发生的概率都是相等的(等可能性)
我们就将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概
型。
二、课堂演练
例:一只口袋内装有大小相同的5只球,其中三只白球,2
只黑球,从中一次摸出2只球。
(1)共有多少个基本事件?
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少?
三、巩固提升
例1:例2:

高中数学新人教版必修3
第3章3.2 古典概型
3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生
【学习目标】
知识与能力
(1)了解随机数的概念,掌握用计算器或计算机产生随机数求随机
数的方法;
(2)能用模拟的方法估计概率。
过程与方法


(1)通过对现实生 活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解
决问题的方法,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑 推理能力;
(2)通过模拟试验,感知应用数学解决问题的方法,自觉养成动
手、动脑的良好习惯。
情感态度与价值观
通过模拟方法的设计体验数学的重要性和信息技术在数学中的
应用 ;通过动手模拟,动脑思考,体会做数学的乐趣;通过合作试验,培
养合作与交流的团队精神。
【重点与难点】
重点:随机数的产生;
难点:利用随机试验求概率.
【教学过程】
(一)引入情境:
历史上求掷一次硬币出现正面的概率时,需要重复 掷硬币,这样不断
地重复试验花费的时间太多,有没有其他方法可以代替试验呢?
我们可以用随机模拟试验,代替大量的重复试验,节省时间.
本节主要介绍随机数的产生,目 的是利用随机模拟试验代替复杂的动
手试验,以便求得随机事件的频率、概率.
(二)产生随机数的方法:
1.由试验(如摸球或抽签)产生随机数
例:产生1-25之间的随机整数.


(1)将25个大小形状相同的小球分别 标1,2,…,24,25,放入一个袋中,
充分搅拌
(2)从中摸出一个球,这个球上的数就是随机数
2.由计算器或计算机产生随机数
由于计算器或计算机产生的随机数是根据确定的算法产生的,具有周
期性(周期很长),具有类似随机 数的性质,但并不是真正的随机数,而
叫伪随机数
由计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法。
(三)利用计算器怎样产生随机数呢?
例1:产生1到25之间的取整数值的随机数.
解:具体操作如下:
第一步:MODE-→MODE-→MODE-→1-→0-→
第二步:25-→SHIFT-→RAN#-→+-→0.5-→=
第三步:以后每次按都会产生一个1到25的取整数值的随机数.
工作原理:第一步中连续按 MODE键三次,再按1是使计算器进入确定
小数位数模式,表示小数位数为0,即显示的计算结果是进 行四舍
五入后的整数;
第二步是把计算器中产生的0.000~0.999之间的一个随机数 扩大25
倍,使之产生0.000-24.975之间的随机数,加上后就得到
0.5~25. 475之间的随机数;再由第一步所进行的四舍五入取整,就可
随机得到1到25之间的随机整数。
小结:


利用伸缩、平移变换可产生任意区间内的整数值随机数
即要产生[M,N]的随机整数,操作如下:
第一步:ON→MODE→MODE→MODE→1→0→
第二步:N-M+1→SHIFT→RAN#→+→M-0.5→=
第三步:以后每次按都会产生一个M到N的取整数值的随机数.
温馨提示:
(1)第一步,第二步的操作顺序可以互换;
(2)如果已进行了一次随机整数的产生,再做类似的操作,第一步可省
略;
(3)将计算器的数位复原MODE→MODE→MODE→3→1
练习:设计用计算器模拟掷硬币的实验20次,统计出现正面的频数和
频率
解:(1)规定0表示反面朝上,1表示正面朝上
(2)用计算器产生随机数0,1,操作过程如下:
MODE→MODE→MODE→1→0→SHIFT→RAN#=
(3)以后每次按直到产生20随机数,并统计出1的个数n
(4)频率f=n20
用这个频率估计出来的概率精确度如何?误差大吗?
(四)用计算机怎样产生随机数呢? < br>每个具有统计功能的软件都有随机函数.以Excel软件为例,打开
Excel软件,执行下面 的步骤:


(1)在表格中选择一格如A1,在菜单下的后键入
按Enter键 就会产生0或1.
(2)选定A1这个格,按Ctrl+C复制这个格,然后选定A2~A1000要 粘贴
的格,按键.
(3)选定C1格,在菜单下后键入按
Enter键.
(4)选定D1这个格,在菜单下的后键入按Enter键.
同时还可以画频率折线图,它更直观地告诉我们:频率在概率附近波
动.
【例2】天 气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%.
这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少?
分析:试验的可能结果有哪些?
用下和不分别代表某天下雨和不下雨试验的结果有
(下,下,下)、(下,下,不)、(下,不,下)、(不,下,下)、
(不,不,下)、(不,下,不)、(下,不,不)、(不,不,不)
共计8个可能结果,它 们显然不是等可能的,不能用古典概型公式,只
好采取随机模拟的方法求频率,近似看作概率.
解:(1)设计概率模型
利用计算机(计算器)产生0~9之间的(整数值)随机数,约定用 0、1、
2、3表示下雨,4、5、6、7、8、9表示不下雨以体现下雨的概率是
40%。模 拟三天的下雨情况:连续产生三个随机数为一组,作为三天的
模拟结果.


(2)进行模拟试验
例如产生30组随机数,这就相当于做了30次试验.
(3)统计试验结果
在这组数中,如恰有两个数在0,1,2,3中,则表示三天中恰有两天 下
雨,统计出这样的试验次数,则30次统计试验中恰有两天下雨的频率
f=n30.
小结:
(1)随机模拟的方法得到的仅是30次试验中恰有2天下雨的频率或概
率的 近似值,而不是概率.在学过二项分布后,可以计算得到三天中恰
有两天下雨的概率0.288.
(2)对于满足有限性但不满足等可能性的概率问题我们可采取随
机模拟方法.
(3 )随机函数RANDBETWEEN(a,b)产生从整数a到整数b的取整数值的
随机数.
练习:
1.试设计一个用计算器或计算机模拟掷骰子的实验,估计出现一点的
概率.
解析:
(1).规定1表示出现1点,2表示出现2点,...,6表示出现6点
(2).用计算器或计算机产生N个1至6之间的随机数
(3).统计数字1的个数n,算出概率的近似值nN
(五)、课堂小结:


随机数具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可
以代替我们自己做大量重复 试验。通过本节课的学习,我们要熟练掌
握随机数产生的方法以及随机模拟试验的步骤:
(1)设计概率模型
(2)进行模拟试验
(3)统计试验结果



高中数学新人教版必修3
第3章 3.3.2 均匀随机数的产生
【学习目标】
知识与能力
(1)正确理解几何概型的概念;
(2)掌握几何概型的概率公式:
P(A)=
构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体积)
(3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型
是古 典概型还是几何概型;
(4)了解均匀随机数的概念;
(5)掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法;
(6)会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题.
过程与方法:


(1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,
学会应用数学知识来解决问题,体会数 学知识与现实世界的联系,培
养逻辑推理能力;
(2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成
动手、动脑的良好习惯。
情感态度与价值观:
本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习
惯。
【重点与难点】】
1、几何概型的概念、公式及应用;
2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应
用中.
【教学方法】
通过对本节知识的探究与学习,感知用图形解决概率问题的方
法,掌握数学思想与逻辑推理的数 学方法。
【教学用具】
课件及多媒体。
【教学过程设计】
1、创设情 境:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种
仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还 必须考虑有无限多个
试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8:00至9:00之
间 的任何一个时刻;往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中


的任何一点……这些试 验可能出现的结果都是无限多个。
2、基本概念:(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与 构
成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为
几何概率模型;
(2)几何概型的概率公式:
P(A)=
构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体积)
(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)
有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等.
3、 例题分析:
课本例题略
例1 判下列试验中事件A发生的概度是古典概型,
还是几何概型。
(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;
(2)如课本P132图3.3-1中的 (2)所示,图中有一个转盘,甲乙两
人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜, 求
甲获胜的概率。
分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性
和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件
的区域长度有关。
解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都
是等可能的,因此属于古典概型;
(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果,而且不难发现“指


针落在阴影 部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,
即与区域长度有关,因此属于几何概型.
例2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时
一班,求此人等车时间不多 于10分钟的概率.
分析:假设他在0~60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,
但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机
事件发生的概率.可以通过几何概 型的求概率公式得到事件发生的概
率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等
车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的
长度有关,而与该时间段的 位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到
站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公
式,得P( A)=
60?50
11
=,即此人等车时间不多于10分钟的概率为.
6 0
66
小结:在本例中,到站等车的时刻X是随机的,可以是0到60之间
的任何一刻 ,并且是等可能的,我们称X服从[0,60]上的均匀分布,
X为[0,60]上的均匀随机数. < br>练习:1.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min,求乘客到达
站台立即乘上车的概 率。
2.两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与
两端距离都大于2 m的概率.
1

11
2
1
2.记“灯与两端距离都大于2m”为事件A,则P(A)= =.
6
3
解:1.由几何概型知,所求事件A的概率为P(A)=


例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,
假设在海 域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?
分析:石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看 作是随机的而
40平方千米可看作构成事件的区域面积,有几何概型公式可以求得
概率。
解:记“钻到油层面”为事件
储藏石油的大陆架面积
40
==0.004.
所有海域的大陆架面积
10000
A,则P(A)=
答:钻到油层面的概率是0.004.
例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种 子,从中随机
取出10毫升,则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少?
分析:病种子 在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫克
种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验 的所有结果构成的
区域,可用“体积比”公式计算其概率。
解:取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则
P(A)=
取出的种子体积
10
==0.01.
所有种子的体积
1000
答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01.
例5 取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两
段的长都不小于1m的概率有多大? < br>分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]
内的任意数,并且每一个 实数被取到都是等可能的。因此在任意位置
剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上的均匀随 机数,其中


取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内,也
就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1,2]内的随机数个数与
[0,3]内个数之比 就是事件A发生的概率。
解法1:(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机
数a
1
=RAND.
(2)经过伸缩变换,a=a
1
*3.
(3)统计出[1,2]内随机数的个数N
1
和[0,3] 内随机数的个数N. < br>(4)计算频率f
n
(A)=
N
1
即为概率P(A)的近似值 .
N
解法2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这
里3 和0重合).转动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在
[1,2]范围内)的次数N
1
及试验总次数N,则f
n
(A)=
(A)的近似值.
小结:用 随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对
应的区域转化为随机数的范围。解法2用转盘 产生随机数,这种方法
可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数不可能很大;解法1用计
算机 产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结
果,同时可以在短时间内多次重复试验, 可以对试验结果的随机性和
规律性有更深刻的认识.
例6 在长为12cm的线段AB上任取 一点M,并以线段AM为边作正方
形,求这个正方形的面积介于36cm
2
与81cm
2
之间的概率.
分析:正方形的面积只与边长有关,此题可以 转化为在12cm长的线
N
1
即为概率P
N


段AB上 任取一点M,求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率.
解:(1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数a
1
=RAND.
(2)经过伸缩变换,a=a
1
*12得到[0,12]内的均匀随机数.
(3)统计试验总次数N和[6,9]内随机数个数N
1

(4)计算频率
N
1

N
记事件A={面积介于36cm
2
与81cm
2
之间} ={长度介于6cm与9cm之
间},则P(A)的近似值为f
n
(A)=
N
1

N
4、课堂小结:1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使 用几
何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件:每个事件发生的概
率只与构成该事件区 域的长度成比例;
2、均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算
器或计 算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是:
建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣 的量(如概率值、常数 )
有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量.
5、自我评价与课堂练习:
1.在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水 样放到显
微镜下观察,则发现草履虫的概率是( )
A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定
2.平面上画了一些彼此相 距2a的平行线,把一枚半径r意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率 .
3.某班有45个,现要选出1人去检查其他班的卫生,若每个人被选


到的 机会均等,则恰好选中学生甲主机会有多大?
4.如图3-18所示,曲线y=-x
2
+1与x轴、y轴围成一个区域A,直
线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形,向正方形中随机 地撒一把
芝麻,利用计算机来模拟这个试验,并统计出落在区域A内的芝麻数
与落在正方形中的 芝麻数。
6、评价标准:
1.C(提示:由于取水样的随机性,所
求事件A:“在 取出2ml的水样中有草履
虫”的概率等于水样的体积与总体积之

2
=0. 004)
500
M
2a r
o
2.解:把“硬币不与任一条 平行线相碰”
的事件记为事件A,为了确定硬币的位
置,由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂 线OM,垂足为M,如图所
示,这样线段OM长度(记作OM)的取值范围就是[o,a],只有当r< br><OM≤a时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A的概率就是P(A)
=
(r,a]的 长度
a?r
=
[0,a]的长度
a
3.提示:本题应用计算器产生 随机数进行模拟试验,请按照下面的
步骤独立完成。
(1)用1~45的45个数来替代45个人;
(2)用计算器产生1~45之间的随机数,并记录;
(3)整理数据并填入下表
试 验
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 1000 1050


次 数
1出现

的频

1出现

的频



(4)利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。

4.解:如下表,由 计算机产生两例0~1之间的随机数,它们分别表
示随机点(x,y)的坐标。如果一个点(x,y)满 足y≤-x
2
+1,就表示
这个点落在区域A内,在下表中最后一列相应地就填上1, 否则填0。
x
0.598895
0.512284
0.496841
0.112796
0.359600
0.101260

0.947386
0.117618
0.516465
0.596393

y
0.940794
0.118961
0.784417
0.690634
0.371441
0.650512

0.902127
0.305673
0.222907
0.969695
计数
0
1
0
1
1
1

0
1
1
0


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