人教版高中数学知识点总结专题8之概率

专题八之概率
【知识概要】
一、古典概型
●1．随机事件
（1）必然事件：在一定条件下必然发生的事件。
（2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生事件的事件。
（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
●2．频率与概率
（1）频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，
称n次试验中事件A出现的次 数
n
A
为事件A出现的频数，称事件A出现的比例
f
n
?< br>A
?
?
n
A
为事件A出现的频率。
n
（2）概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发
生的频率
f
n
(A)
稳定在某个常数上，把这个常数记作
P(A)
，称为事件A的概率，
简称为A的概率。
●3．概率的性质与计算
（1）随机事件A的 概率为：
P
?
A
?
?
A包含的基本事件的个数

基本事件的总数
（2）概率的基本性质：
0?P(A)?1
；必然事 件的概率为1，不可能事件的概
率为0。
●4．基本方法：寻找一次试验等可能的结 果数的基本方法——枚举法，用枚
举法来寻找试验的结果数时注意合理地分类。
二、几何概型
●1．几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面
积或体积等)成比例，则这样的概率模型叫几何概型。
●2．几何概型计算：在几何概型中，事件A的概率为：

P
?
A
?
?
构成事件A的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的长度（面积或体积）
●3．基本方法
（1）适当地选择角度；
（2）将基本事件转化为与之对应的区域；
（3）将事件A转化为与之对应的区域；
（4）一般如果所设及的问题是一个单变量，可能测 度是长度，角度等，如
果涉及两个变化量的随机试验，可设这两个变量
x,y
(如约会 问题)，利用平面直
角坐标系研究
(x,y)
组成的点集。
三、互斥事件及其概率
●1．基本概念

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（1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。

一般地，如果事件
A
1
,A
2
,,A
n< br>中的任何两个都是互斥事件，那么就说
A
1
,A
2
,,An
彼此互斥。
（2）对立事件：如果两个互斥事件中必有一个发生，那么这两个事件叫对
立事件。
●2．有关计算：若事件A与事件B互斥，则
P(A?B)?P(A)?P(B)
; 特别地，若事
件A与事件B互为对立事件，则
P(A)?1?P(B)
；如果事件A
1
,A
2
,,A
n
中的任何两
个都是互斥事 件，则
P(A
1
?A
2
??A
n
)?P(A
1
)?P(A
2
)??P(A
n
)
。
四、随机变量
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次
试验会出现哪一 个结果.
它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值 ，可以按一定次序一一列出，
这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数 .则
?
?a
?
?b
也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，< br>f(x)
是连续函数或单调
函数，则
f(
?
)
也是随 机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为：
x
1
,x
2
,?,x
i
,?

ξ取每一个 值
x
1
(
i?
1,2,
?
)
的概率
P(
?
?x
i
)?p
i
，则表称为随机变量ξ的概率分布 ，
简称ξ的分布列.
?

x
1

p
1

P
x
2

p
2

…
…
x
i

p
i

…
…
有性质①
p
1
?0,i?1,2,?
； ②
p
1
?p
2
???p
i
???1
. < br>注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.
例如：
?
?[0,5]
即
?
可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重
kn?k复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：
P(ξ?k)?C
k
[其中
n
pq

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k?0,1,?,n,q?1?p
]
于是得到随机变量ξ的概率 分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，
kn?k
记作
?
～B（n ·p），其中n，p为参数，并记
C
k
?b(k;n?p)
.
n
pq
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n次独立重复试验 .关键是看某一事件是否是进行n次独
立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变 量就不服从二
项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小， 而每次抽
取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其
分布列 .
4. 几何分布：“
?
?k
”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次 发生，如果把
k次试验时事件A发生记为
A
k
，事A不发生记为
A< br>k
,P(A
k
)?q
，那么
P(ξ?k)?P(A
1
A
2
?A
k?1
A
k
)
.根据相互独立事 件的概率乘法分式：
的概率分布
…
…
k?1
P(ξ?k)?P( A
1
)P(A
2
)?P(A
k?1
)P(A
k)
?
qp(k
?
1,2,3,
?
)
于是得到随 机变量ξ
列.
?

P
1
q
2
qp
3
q
2
p

…
…
k
q
k?1
p

我们称ξ服从几何分布，并记
g (k,p)?q
k?1
p
，其中
q?1?p.k?1,2,3?

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取
n(1?n?N )
件，则其中的次品数ξ
P(ξ?k)?
kk
C
M
?CN
n
?
?
M
n
C
N
是一离散型随机变 量，分布列为
M件次品中取k件，从N-M
?(0?k?M,0?n?k?N?M)
. 〔分子是从
件正品中取n-k件的取法数，如果规定
m
＜
r
时
C
m
r
?0
，则k的范围可以写为k=0，
1，…，n.〕
⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n
件（1≤n≤a +b），则次品数ξ的分布列为
P(ξ?k)?
n?k
C
k
a
?C
b
C
a?
n
b
k
?
0,1,
?
,n.
.
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、 b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从
超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数
?
的分布列可如下求得：把
a?b
个产
kn?k
品编号，则抽取n 次共有
(a?b)
n
个可能结果，等可能：
(η?k)
含
C
k
个结果，
n
ab

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