高中数学必修三统计概率大题.

必修三统计概率
一．解答题（共26小题）
1．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份
2 3 4 5 6 7
年份代号t
1
2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
人均纯收入y
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ） 利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均
纯收入的变化情况，并 预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式
分别为 ：=，=﹣．

2．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为 样本，得到这M名学生参加社区服务的
次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方 图如图：
分组 频数 频率
10 0.25
[10，15）
24 n
[15，20）
m p
[20，25）
2 0.05
[25，30）
M 1
合计
（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值； < br>（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人 数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社 区服务次数在区间[25，
30）内的概率．


3．某校100名学生期 中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，
80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学 生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩
在[ 50，90）之外的人数．
分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x：y 1：1 2：1 3：4 4：5







4．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接 受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：
学历 35岁以下 35～50岁 50岁以上
80 30 20
本科
x 20 y
研究生
（ Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体 ，从
中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中 按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10
人，再从这N个人中 随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值．

5．为调查某地 区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别 男 女
是否需要志愿
40 30
需要
160 270
不需要
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由． 附：

2
P（k＞k）
0.0
k 3.841
0.010
6.635
0.001
10.828




6．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50 名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制
频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]
（1）求频率分布图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率 ．


7．某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：
观众年龄 支持A 支持B 支持C
200 400 800
20岁以下
100 400
20岁以上（含20岁）
100
（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．
（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在2 0岁以
下的概率．

8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与 18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，
14），第二组[14，15），…，第 五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； < br>（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]， 求事件“|m﹣n|＞1”的概率．

9．某工厂生产的产品A的直径均位于 区间[110，118]内（单位：mm）．若生产一件产品A的直径位于区间[110，112]，
[ 112，114]，[114，116]，[116，118]内该厂可获利分别为10，20，30，10（单 位：元），现从该厂生产的产品A中随
机100件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求a的值，并估计该厂生产一件A产品的平均利润；
（Ⅱ）现用分层抽样法从直径位于区间[112，116）内的产品中随机抽取一个容量为5的样 本，再从样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114，116 ）内的概率．


10．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[1 60，180），[180，200），[200，200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为 ，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层 抽样的方法抽取
11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？


12．已知某校在一次考试中，5名学生的数学和地理成绩如表：
1 2 3 4 5
学生的编号i
80 75 70 65 60
数学成绩x
70 66 68 64 62
地理成绩y
（1）根据上表，利用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=x+（其中=0.36）；
（2）利用（1）中的线性回归方程，试估计数学90分的同学的地理成绩（四舍五入到整数）；
（3）若从五人中选2人参加数学竞赛，其中1、2号不同时参加的概率是多少？


13．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：
3 4 5 6 7
天数t（天）
2.5 3 4 4.5 6
繁殖个数y（千个）
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，预测t=8时，细菌繁殖个数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．

14．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：
组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）现用分 层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其
中恰有1人的分数不低于90分的概率？

15． 20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值 ；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．

16．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满 分100分）的茎叶图如图，
其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．
（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
2

17．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50 岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），
第2组[30，35），第3组[35，40），第4组 [40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄
的频率分布表．
区间 [25，30） [30，35） [35，40） [40，45） [45，50]
25 a b
人数
（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的 第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，
3组的人数分别是多少？
（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．

18．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据 这50位市民对两部门的评分（评分越高表
明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：

（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．


19．某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：

一年级 二年级 三年级
A B C
男同学
X Y Z
女同学
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；
（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．


20．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采 用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运
动员组队参加比赛．
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号， 编号分别为A
1
，A
2
，A
3
，A
4
，A
5
，A
6
，现从这6名运动员中随机抽取2人参
加双打比赛．
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件“编号为A
5
和A
6
的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．

21．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

参加书法社团 未参加书法社团
8 5
参加演讲社团
2 30
未参加演讲社团
（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A
1
，A
2
，A
3
，A
4
，A
5
，3名女同学B
1
，B
2
，
B
3
．现从这5名男同学和3名女同学中各随机 选1人，求A
1
被选中且B
1
未被选中的概率．


22．对一批共50件的某电器进行分类检测，其重量（克）统计如下：
质量段 [80，85） [85，90） [90，95） [95，100]
5 a 15 b
件数
规定重量在82克及以下的为“A”型，重量在85克及以上的为“B”型，已知该批电 器有“A“型2件
（Ⅰ）从该批电器中任选1件，求其为“B“型的概率；
（Ⅱ）从重量在[80，85）的5件电器中，任选2件，求其中恰有1件为“A”型的概率．

23．如图所示茎叶图记录了 甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，
假设这个数字 具有随机性，并在图中以a表示．
（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；
（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（Ⅲ）当a=2时，分别从甲、乙两组同学 中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分
的概率．


24．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户， 得到用户对产品的满意度评分
如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶 图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不
要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件 C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所< br>给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．


2 5．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克米）如下表所 示：
A B C D E
1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
身高
19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
体重指标
（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率 （Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23. 9）中的概率．

26．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百 分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，
70），[70，80），[80， 90），[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；
（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学 生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．
2

2015年11月17日必修三统计概率

参考答案与试题解析


一．解答题（共26小题）
1．（20 14?黑龙江）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份
2 3 4 5 6 7
年份代号t
1
2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
人均纯收入y
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况， 并预测该地区
2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和 纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，
代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性 回归方程．
（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居 民家庭人均纯收入，这是一个
估计值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴=
=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．
=0.5t+2.3；
==0.5，
∴y关于t的线性回归方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0. 5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t=9代入
=0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
【点评】本题考查线性回归 分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个
题目做对的必备 条件，本题是一个基础题．

2．（2014?高州市模拟）对某校高三年级学生参加社区 服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名
学生参加社区服务的次数．根据此数据作出 了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：
分组 频数 频率
10 0.25
[10，15）
24 n
[15，20）
m p
[20，25）
2 0.05
[25，30）
M 1
合计
=0.5t+2.3，得：

（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务 次数在区间[25，
30）内的概率．

【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；频率分布直方图．
【专题】计算题；图表型．
【分析】（I）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式 子中的字母的
值．
（II）根据该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0 .25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间
内的人数为60人．
（III）这个 样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间[20，25）内的人为a
1
，a
2
，a
3
，
a
4
，在区间[25， 30）内的人为b
1
，b
2
，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．
【解答】解：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，
∴M=40．
∵频数之和为40，
∴10+24+m+2=40，m=4.．
，
∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，
∴
（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，
∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．
（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，
设在区间[20 ，25）内的人为a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，在区间[25，30）内的人为b
1
，b
2
．
则任选2人共有 （a
1
，a
2
），（a
1
，a
3
），（a
1
，a
4
），（a
1
，b
1
），（a1
，b
2
），（a
2
，a
3
），（a
2
，a
4
），（a
2
，b
1
），（a
2< br>，b
2
），（a
3
，
a
4
），（a
3
，b
1
），（a
3
，b
2
），（a
4< br>，b
1
），（a
4
，b
2
），（b
1
，b
2
）15种情况，
而两人都在[25，30）内只能是（b
1
，b
2
）一种，
∴所求概率为．
【点评】本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的 概率，考查频率，频数和样本容量之间
的关系，本题是一个基础题．

3．（20 12?广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，6 0），[60，
70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表 所示，求数学成绩
在[50，90）之外的人数．
分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x：y 1：1 2：1 3：4 4：5

【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0 .03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；
（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0. 05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；
（3）按表 中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在
[50，90）之外的人数．
【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0. 04）=1，解得a=0.005；

（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0 .05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；

（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，
数学成绩在[60，7 0）的人数为：
数学成绩在[70，80）的人数为：
数学成绩在[80，90）的人数为：< br>，
，
，
所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．
【点 评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且< br>能根据所给的数据建立恰当的方程求解．

4．（2014?烟台三模）某公司有一 批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人
数分布）如下表：
学历 35岁以下 35～50岁 50岁以上
80 30 20
本科
x 20 y
研究生
（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人 员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从
中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的 概率；
（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下 48人，50岁以上10
人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x ，y的值．
【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题． 【分析】（I）用分层抽样得到学历为本科的人数，后面的问题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5 个人中容
易抽取2个，事件数可以列举出，满足条件的事件是至少有1人的学历为研究生，从列举出的事 件中看出结果．
（II）根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，表示出年龄为50岁以上的概 率，利用解方程思想解出x，y的值．
【解答】解：（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，
设抽取学历为本科的人数为m
∴解得m=3
∴抽取了学历为研究生2人，学历为本 科的3，分别记作S
1
、S
2
；B
1
、B
2
、B
3

从中任取2人的所有基本事件共10个：（S
1< br>，B
1
）、（S
1
，B
2
）、（S
1
，B
3
）、
（S
2
，B
1
）、（S
2
，B
2
）、（S
2
，B
3
）、（S
1，S
2
）、（B
1
，B
2
）、（B
2
，B
3
）、（B
1
，B
3
）
其中至少有1人的学 历为研究生的基本事件有7个：（S
1
，B
1
）、（S
1
， B
2
）、（S
1
，B
3
）、
（S
2，B
1
）、（S
2
，B
2
）、（S
2
，B
3
）、（S
1
，S
2
）
∴从中任取1人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为
（Ⅱ）解：依题意得：，

解得N=78
∴35～50岁中被抽取的人数为78﹣48﹣10=20
∴，解得x=40，y=5


∴x=40，y=5
【点评】本 题考查分层抽样方法，考查古典概型的概率及其概率公式，考查利用列举法列举出试验包含的所有事件，
列举法是解决古典概型的首选方法．

5．（2010?河北）为调查某地区老人是否需要 志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结
果如下：
性别 男 女
是否需要志愿
40 30
需要
160 270
不需要
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由． 附：

2
0.010 0.001
P（k＞k）
0.0
k 3.841 6.635 10.828
【考点】简单随机抽样；独立性检验．
【专题】计算题．
【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70 位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老
年人中需要帮助的老年人的比例的估算值． （2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进 行比较，
看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
（3）从样本数据老年 人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年
人分成男 、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，

∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为

（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，
．
．
∵9.967＞6.635，
∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．

（3）由（2） 的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老
年 人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两
层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
【点评】本题主要考查统计学知识，考 查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算
能力．
6．（2015?安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这5 0名职工对该部门
的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50] ，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]
（1）求频率分布图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40，60]的 受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．

【考点】频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；
（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；
（3）求出评 分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古 典概
型公式解答．
【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2 +0.028）×10=1，解得a=0.006；
（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访 职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工
对该部门评 分不低于80的概率的估计值为0.4；
（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.0 06×10=3（人），记为A
1
，A
2
，A
3
；
受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B
1
，B< br>2
．
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
分别 是{A
1
，A
2
}，{A
1
，A
3
}，{ A
1
，B
1
}，{A
1
，B
2
}，{A< br>2
，A
3
}，{A
2
，B
1
}，{A
2
，B
2
}，{A
3
，B
1
}，{A
3
，B
2
}，{B
1
，
B
2
}，
又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B
1
，B
2
}，
故所求的概率为P=．
【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求 参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足
条件的事件，并求概率．

7 ．（2015?宿州一模）某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：

观众年龄 支持A 支持B 支持C
200 400 800
20岁以下
100 400
20岁以上（含20岁）
100
（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．
（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在2 0岁以
下的概率．
【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．
（2）计算出这6人中任意选取2人的情况总数，及满足恰有1人在20岁以下的情况数，代入古典概率 概率计算公式，
可得答案．
【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，
∴=，
解得n=40；

（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，
年龄在20岁以下的有4 人，分别记为1，2，3，4，年龄在20岁以上（含20岁）的有2人，记为a，b，
则这6人中任意选取2人，共有=15种不同情况，
分别为：（1，2），（1，3），（1 ，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a ），（3，b），
（4，a），（4，b），（a，b），
其中恰好有1人在20岁以下的事件有：
（1，a），（1，b），（2，a），（2，b） ，（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8种．
故恰有1人在20岁以下的概率P=．
【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的 步骤，是解
答的关键．

8．（2015?日照二模）某班50名学生在一次百米 测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分
成五组；第一组[13，14）， 第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； < br>（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]， 求事件“|m﹣n|＞1”的概率．

【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出绩大 于或等于14秒且小于16秒的频率；利用频
数等于频率乘以样本容量求出该班在这次百米测试中成绩良 好的人数．
（2）按照（1）的方法求出成绩在[13，14）及在[17，18]的人数；通过列举 得到m，n都在[13，14）间或都在[17，18]
间或一个在[13，14）间一个在[17，1 8]间的方法数，三种情况的和为总基本事件的个数；分布在两段的情况数是事件“|m
﹣n|＞1”包 含的基本事件数；利用古典概型的概率公式求出事件“|m﹣n|＞1”的概率．
【解答】解：（1） 由直方图知，成绩在[14，16）内的人数为：50×0.16+50×0.38=27（人），
所以该班成绩良好的人数为27人、

（2）由直方图知，成绩在[13，14）的人数为50×0.06=3人，
设为为x，y，z；成绩在[17，18]的人数为50×0.08=4人，设为A、B、C、D．
若m，n∈[13，14）时，有xy，xz，yz共3种情况；
若m，n∈[17，18]时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况；
若m，n分别在[13，14）和[17，18]内时，
A B C D
x xA xB xC xD
y yA yB yC yD
z zA zB zC zD
有12种情况、
所以，基本事件总数为3+6+12=21种，事件“|m﹣n|＞1”所包 含的基本事件个数有12种、
∴（12分）
【点评】本题考查频率分布直方图中的频率等于 纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量、考查列举法求完
成事件的方法数、考查古典概型的概 率公式．

9．（2014?岳阳二模）某工厂生产的产品A的直径均位于区间[110， 118]内（单位：mm）．若生产一件产品A的直径位
于区间[110，112]，[112，114 ]，[114，116]，[116，118]内该厂可获利分别为10，20，30，10（单位：元），现从 该厂
生产的产品A中随机100件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求a的值，并估计该厂生产一件A产品的平均利润；
（Ⅱ）现用分层抽样法从直径位于区间[112，116）内的产品中随机抽取一个容量为5的样 本，再从样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114，116 ）内的概率．

【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（I）利用所有小矩形的面积之和为1求得a值；根 据频数=频率×样本容量求得各组的频数，代入平均数公式
计算；
（II）根据频率分布直方 图求得直径位于区间[112，114）和[114，116）的频率之比，可得在两组中应取的产品数，
利用写出所有基本事件的方法求符合条件的基本事件个数比；
【解答】解：（I）由频率分布 直方图得：2×（0.050+0.150+a+0.075）=1?a=0.225，
直径位于区间 [110，112）的频数为100×2×0.050=10，位于区间[112，114）的频数为100×2 ×0.150=30，
位于区间[114，116）的频数为100×2×0.225=45，位于区 间[116，118）的频数为100×2×0.075=15，
∴生产一件A产品的平均利润为=22（元）；
（II）由频率分布直方图得：直径位于区间 [112，114）和[114，116）的频率之比为2：3，
∴应从直径位于区间[112，114）的产品中抽取2件产品，记为A、B，
从直径位于区 间[114，116）的产品中抽取3件产品，记为a、b、c，从中随机抽取两件，所有可能的取法有，（A， B），
（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c）
，（a ，b），（a，c），（b，c）10种，两件产品都不在区间[114，116）的取法只有（A，B）一种，
∴两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114，116）内的取法有9种．
∴所求概率为P=．
【点评】本题考查了分层抽样方法，考查了古典概型的概率计算，读懂频 率分布直方图是解答本题的关键．

10．（2015?广东）某城市10 0户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，200），[ 220.240），
[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直 方图如图．

（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280 ，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取
11户居民，则月平均用电量在[220.240）的 用户中应抽取多少户？
【考点】频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析 】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0. 0025）×20=1，解方程可得；
（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数 在[220，240）内，设中位数为a，解方程
（0.002+0.0095++0.011）×20 +0.0125×（a﹣220）=0.5可得；
（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．
【 解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.00 5+0.0025）×20=1，
解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；
（2）月平均用电量的众数是=230，
∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0 095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，
∴月平均用电量的中位数为224；
（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，
月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，
∴抽取比例为=，
∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户
【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．

11．（2013?广东模拟）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
2
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
P（k＞k）
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.83

x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
（Ⅰ）画出散点图；
（Ⅱ）求回归直线方程；
（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
【考点】两个变量的线性相关．
【专题】计算题；作图题．
【分析】本题考查的知识点是散点图及回归直线方程的求法，
（1）根据表中数据描点即可得到散点图．

（2）由表中数据，我们不难求出 x，y的平均数，及x
i
的累加值，及x
i
y
i
的累加值， 代入回归直线系数计算公式，即
可求出回归直线方程．
（3）将预报值10万元代入回归直线方程，解方程即可求出相应的销售额．
【解答】解：（Ⅰ）根据表中所列数据可得散点图如下：
2


（Ⅱ）=5，
=50
又已知，．
于是可得：=
=50﹣6.5×6=17.5
因此，所求回归直线方程为：=6.5x+17.5
（Ⅲ）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
=6.5×10+17.5=82.5（万元）
即这种产品的销售收入大约为82.5万元
【点评】用二分法求回归直线方程的步骤和公式要求大家熟练掌握，线性回归方程必过样本中心点
个系数之间的纽带，希望大学注意．

12．（2015?兴国县一模）已知某校在一次考试中，5名学生的数学和地理成绩如表：
1 2 3 4 5
学生的编号i
80 75 70 65 60
数学成绩x
70 66 68 64 62
地理成绩y
（1）根据上表，利用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=x+（其中=0.36）；
．是两
（2）利用（1）中的线性回归方程，试估计数学90分的同学的地理成绩（四舍五入到整数） ；
（3）若从五人中选2人参加数学竞赛，其中1、2号不同时参加的概率是多少？
【考点】线性回归方程；古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）求出样本中心，代入回归直线方程，即可求出，然后求解线性回归方程=x+；
（2）利用（1）中的线性回归方程，代入x=90，求出y的值，即可得到这个同学的地理成绩．
（3）求出所有基本事件的总数，找出1、2号不同时参加的数目，即可求解概率．

【解答】解：（1）=（80+75+70+65+60）=70
=（70+66+68+64+62）=66
∴=﹣=40.8
∴y关于x的线性回归方程为=0.36+40.8
（2）若x=90
则y=0.36×90+40.8≈73
即数学9（0分）的同学的地理成绩估计为7（3分）
（3）五人中选两人的不同选法有（1 ，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5 ），（4，
5）共10种不同选法．
其中1、2号不同时参加的有九种，
∴两个不同时参加的概率P=
【点评】本题考查回归直线方程的求法，古典概型的应用，基本知识的考查．

1 3．（2015?江西一模）为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：
3 4 5 6 7
天数t（天）
2.5 3 4 4.5 6
繁殖个数y（千个）
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，预测t=8时，细菌繁殖个数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．
【考点】线性回归方程．
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由表中数据计算得，=5，=4，
a=﹣0.25，可得回归方程；
（Ⅱ）将t=8代入（Ⅰ）的回归方程中得细菌繁殖个数．
【解答】解：（Ⅰ）由表中数据计 算得，=5，=4，
）=8.5，=10，求出b=0.85，
）=8.5，=10，
所以b=0.85，a=﹣0.25．
所以，回归方程为y=0.85t﹣0.25．…（8分）
（Ⅱ）将t=8代入（Ⅰ）的回归方程中得y=0.85×8﹣0.25=6.55．
故预测t=8时，细菌繁殖个数为6.55千个．…（12分）
【点评】本题的考点是线性回 归方程，主要考查回归直线方程的求解，解题的关键是求出回归直线方程的系数．

14． （2014秋?湖北校级期中）某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如 下：
组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）现用分 层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其
中恰有1人的分数不低于90分的概率？

【考点】分层抽样方法；频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；
（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；
（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题 意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005 ．…（3分）
（Ⅱ）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0. 35，[70，80]的频率为0.30，
[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频 率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：
55×0.05+65×0 .35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5
…（6分）
（Ⅲ）由直方图，得：
第3组人数为0.3×100=30，
第4组人数为0.2×100=20人，
第5组人数为0.1×100=10人．
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：
第3组：
第4组：
第5组：
人，
人，
=1人．
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．…（9分）
设第3组的3位同学为A
1
，A
2
，A
3
，第4组的2位同学为B
1
，B
2
，第5组的1位同学为C
1
，则从六位同学中抽两位
同学有15种 可能如下：
（A
1
，A
2
），（A
1
，A
3
），（A
1
，A
3
），（A
2
，A
3
），（A
1
，B
1
），（（A
1
，B
2< br>），（A
2
，B
1
），（A
2
，B
2
），（A
3
，B
1
），（A
3
，B
2
） ，
（A
1
，C
1
），（A
2
，C
1
），（A
3
，C
1
），（B
1
，C
1
） ，（B
2
，C
1
），
其中恰有1人的分数不低于9（0分）的情形 有：（A
1
，C
1
），（A
2
，C
1
）， （A
3
，C
1
），（B
1
，C
1
），（B
2
，C
1
），共5种．…
（13分）
所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为…（14分）

【点评】本题主要考查频率分布直方图，平均数的求法和古典概率．

15．（2014?重庆）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．

【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；
（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和 [60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应
区间内的人 数，从而求出所求．
（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件 个数，根据古典概率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+ 6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．
（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，
成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．
（Ⅲ）记成绩落 在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70） 的学生
任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个 ，
其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，
故所求概率为P=．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．
16．（2015?菏泽一模）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的 成绩（满分100
分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．
（1）求x和y的值；
2
（2）计算甲班7位学生成绩的方差s；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．

【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可．
（2）根据所给的茎 叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公
式，求 出这组数据的方差．
（3）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生 中随机抽取两名学生，甲班没有一名
学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所 有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，
先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学 生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得
答案．
【解答】解：（1）∵甲班学生的平均分是85，
∴，

∴x=5，
∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；
（2）甲班7位学生成绩的方差为s=
2
=40；
（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），
（B，C），（B，D），（B，E），
（C，D），（C，E），
（D，E）
其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C ），（B，D），（B，E）．
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
甲班至少有一名学生”为事件M，则．
． 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学 生，甲校至少有一名学生的概率为
【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识， 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处
理能力、运算求解能力和应用意识．

17．（2015?湖南一模）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之 间．按年龄分组：
第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[4 0，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图
所示．下表是年龄的频率分布表．
区间 [25，30） [30，35） [35，40） [40，45） [45，50]
25 a b
人数
（1）求正整数a，b，N的值；
（2）现要从 年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？
（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．

【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
【专题】图表型；概率与统计．
【分析】（1）根据小矩形的高=
（2）计算分层抽 样的抽取比例为
，故频数比等于高之比，由此可得a、b的值；
=，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数；
（3）利用列举法写出从6人中随机抽 取2人的所有基本事件，分别计算总个数与恰有1人在第3组的个数，根据古典
概型概率公式计算．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，[25，30）与[30，35）两组的人数相同，
∴a=25人．

且
总人数
人．
人．
（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150 名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为
第2组的人数为
第3组的人数为
，
，
，
∴第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．
（3）由（2）可设第1组的1人为A，第2 组的1人为B，第3组的4人分别为C
1
，C
2
，C
3
，C
4
，则从6人中抽取2
人的所有可能结果为：
（A，B），（A，C
1
），（A，C
2
），（A，C
3
），（A，C
4
），（B，C
1
），（B，C
2
），（B，C
3
），（B ，C
4
），（C
1
，C
2
），（C
1
，C
3
），
（C
1
，C
4
），（C
2
，C
3
），（C
2
，C
4
），（C
3
，C
4
），共有15种．
其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：（A，C
1
），（A，C
2
），（A，C
3
），（A，C
4
） ，（B，C
1
），（B，C
2
），（B，C
3
），
（B，C
4
），共有8种．
所以恰有1人年龄在第3组的概率为．
【点评 】本题考查了频率分布直方图及古典概型的概率计算，解答此类题的关键是读懂频率分布直方图的数据含义，小矩形的高=．

18．（2014?黑龙江）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况 ，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评
分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎 叶图如图：

（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．
【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；众数、中位数、平均数．

【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，
（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．
【解答】解：（Ⅰ ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．
50位市民对乙部门 的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是
所以该市的市民对乙 部门的评分的中位数的估计值是67．
（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，
=67，v
故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，
（Ⅲ ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门< br>的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价 较低、评
价差异较大．
【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．

19．（2014?天津）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z ，其年级情况如表：

一年级 二年级 三年级
A B C
男同学
X Y Z
女同学
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；
（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个．
（Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率．
【解答】解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A ，Y）、（A，Z）、
（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y） 、（C，Z）、（X，Y）、
（X，Z ）、（Y，Z），共计15个结果．
（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，
则事件M包 含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，
故事件M发生的概率为 =．
【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含 的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型
问题的一种重要的解题方法，属于基础题．

20．（2015?天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，1 8，先采用分层抽取的方法从这三个协会
中抽取6名运动员组队参加比赛．
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号， 编号分别为A
1
，A
2
，A
3
，A
4
，A
5
，A
6
，现从这6名运动员中随机抽取2人参
加双打比赛．
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件“编号为A
5
和A
6
的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；
（Ⅱ）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；
（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为=，

27×=3，9×=1，18×=2，
∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；
（Ⅱ）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：
（A
1
，A2
），（A
1
，A
3
），（A
1
，A
4
），（A
1
，A
5
），（A
1
，A
6< br>），
（A
2
，A
3
），（A
2
，A
4
），（A
2
，A
5
），（A
2
，A
6
），（A
3
，A
4
），
（A
3
，A5
），（A
3
，A
6
），（A
4
，A
5
），（A
4
，A
6
）），（A
5
，A
6
），
共15种；
（ii）设A为事件“编号为A
5
和A
6
的两名运动员中至少有1人被抽到”，
则事件A包含：（A
1
，A
5
），（A
1
，A
6
），（A
2
，A
5
），（A
2
，A
6
），
（A
3
，A5
），（A
3
，A
6
），（A
4
，A
5
），（A
4
，A
6
）），（A
5
，A
6
）共9个基本事件，
∴事件A发生的概率P==
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．

21．（ 2015?山东）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

参加书法社团 未参加书法社团
8 5
参加演讲社团
2 30
未参加演讲社团
（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A
1
，A
2
，A
3
，A
4
，A
5
，3名女同学B
1
，B
2
，
B
3
．现从这5名男同学和3名女同学中各随机 选1人，求A
1
被选中且B
1
未被选中的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）先判 断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，
从而 根据古典概型的概率计算公式计算即可；
（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中 各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原
理求解，再求出“A
1
被选中， 而B
1
未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；
从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；
通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；
这是一个古典概型，∴P（A）=；
（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；
∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15； 设“A
1
被选中，而B
1
未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事 件数为2；
这是一个古典概型，∴．
【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．

22．（2015?漳州一模）对一批共50件的某电器进行分类检测，其重量（克）统计如下：
质量段 [80，85） [85，90） [90，95） [95，100]
5 a 15 b
件数
规定重量在82克及以下的为“A”型，重量在85克及以上的为“B”型， 已知该批电器有“A“型2件
（Ⅰ）从该批电器中任选1件，求其为“B“型的概率；
（Ⅱ）从重量在[80，85）的5件电器中，任选2件，求其中恰有1件为“A”型的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由表格可知，“B”型的件数为50﹣5，即得所求的概率．
（Ⅱ）把5件电 器行编号，写出任选2件的所有不同选法种数，查出恰有1件为“A”型的选法种数，然后直接利用古典
概型概率计算公式，从而求得所求事件的概率．

【解答】解：（Ⅰ）设“从该批电器中 任选1件，其为“B”型”为事件A
1
，
则P（A
1
）==
． 所以从该批电器中任选1件，求其为”B”型的概率为
（Ⅱ）设“从重量在[80，85） 的5件电器中，任选2件电器，求其中恰有1件为“A”型”为事件A
2
，
记这5件电器分别为a，b，c，d，e，其中“A”型为a，b．
从中任选2件，所有可能 的情况为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种．
其中恰有1件为”A”型的情况有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6种．
所以P（A
2
）==．
所以从重量在[80，85）的5件电器中，任选2件电器，其中恰有1件为“A”型的概率为．
【点评】本题主要考查用列举法求基本事件及事件发生的概率，属于基础题．

2 3．（2014?德阳模拟）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中 有一个数
字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．
（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；
（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（Ⅲ）当a=2时，分别从甲、乙两组同学 中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分
的概率．

【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；等可能事件的概率．
【专题】计算题；图表型；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）直接由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等列式求解a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ） 中求得的结果可得，当a=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，然后由古典概率模型概率计
算公式求概率；
（Ⅲ）用枚举法列出所有可能的成绩结果，查出两名同学的数学成绩之差的绝对值不超 过2分的情况数，然后由古典
概率模型概率计算公式求概率．
【解答】解：（Ⅰ）由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等，得
解得a=1；
（Ⅱ）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，
a的取值有：0，1，2，…，9共有10种可能．
由（Ⅰ）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
∴当a=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．
∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P（A）=；
，
（Ⅲ）设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过（2分）”为事件B，
当a=2时，分 别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是：
（88， 90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90 ），
（92，91），（92，92）．
∴事件B的结果有7种，它们是：（88，90） ，（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），
（92，91），（92，92）．
∴两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过（2分）的概率P（B）=．
【点评】本题考查了茎叶图，考查了等可能事件的概率及古典概型概率计算公式，是基础的计算题．

24．（2015?黑龙江）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A， B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产
品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用 户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不
要求计算出具体值 ，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评 价结果相互独立，根据所
给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．

【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；
（Ⅱ）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．
【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较
集中，B地区 用户满意度评分比较分散；
（Ⅱ）记C
A1
表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，
记C
A2
表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，
记C
B1
表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，
记C
B2
表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，
则C
A1< br>与C
B1
独立，C
A2
与C
B2
独立，C
B 1
与C
B2
互斥，
则C=C
A1
C
B1
∪C
A2
C
B2
，
P（C）=P（C
A1
CB1
）+P（C
A2
C
B2
）=P（C
A1
） P（C
B1
）+P（C
A2
）P（C
B2
），
由 所给的数据C
A1
，C
A2
，C
B1
，C
B2，发生的频率为
所以P（C
A1
）=
所以P（C）=×
，P（C
A2
）=
+×
，P（C
B1
）=
，，，
，
，
，P（C
B2
）=
=0.48．
【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．

25．（2013?山东）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米 ）以及体重指标（单位：千克米）
如下表所示：
A B C D E
1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
身高
19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
体重指标
（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率 （Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23. 9）中的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【 分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身 高都在
1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．
（Ⅱ）写出从该小 组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体
重 指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．
【解答】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．
由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．
2
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
（A，B），（A， C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E） 共10个．
由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：
（C，D）（C，E），（D，E）共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=． 【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于列举基本事件时做到不重不漏，是基础题．

26．（2015?开封模拟）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成 绩（百分制，均为整数）分成[40，
50），[50，60），[60，70），[70，80），[ 80，90），[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的
信息，回答 下列问题．
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；
（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学 生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．

【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【 分析】（I）利用所有小矩形的面积之和为1，求得分数在[70，80）内的频率，再根据小矩形的高=求得小 矩形
的高，补全频率分布直方图；
（II）根据中位数的左、右两边的小矩形的面积之和相等 ，求从左数频率之和等于0.5的横坐标的值；
（III）利用组合数公式计算从从第1组和第6组所 有人数中任取2人的取法种数，再计算从第1组与第6组各抽取1
人的取法种数，代入古典概型概率公式 计算．

【解答】解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为1﹣（0.010+0. 015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，
∴小矩形的高为0.030，补全频率分布直方图如图：

（Ⅱ）由频率频率分布直方图知前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4，
∴中位数在第四组，设中位数为70+x，则0.4+0.030×x=0.5?x=
∴数据的中位数为 70+=，
，
（Ⅲ）第1组有60×0.1=6人（设为1，2，3，4，5，6）
第6组有60×0.05=3人（设为A，B，C）
从9人中任取2人有=36种方法；
=18种， 其中抽取2人成绩之差的绝对值大于10的抽法是从第1组与第6组各抽取1人，抽法由< br>∴抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率为．
【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数 据的中位数、频数，考查了古典概型的概率计算，在频率分布直方图中
频率=小矩形的面积=小矩形的高 ×组距=．