高中数学必修3知识点总结：第三章_概率

第三章 概 率

一、随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（ 5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件
n
A
A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=
n
为 事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次
数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳 定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
n
A
（6）频率与 概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值
n
，它具 有一定的稳定性，
总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把 这个常数叫做随机事件
的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验 的前提下可以近似地作为这
个事件的概率
二、概率的基本性质
1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A
∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是 指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同
的情形：（1）事件A发生且事件B 不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事
件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，< br>对立事件互斥事件的特殊情形。
三、古典概型及随机数的产生

1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式
P（A）
=
A包含的基本事件数
总的基本事件个数

四、几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个 事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型
为几何概率模型 ；
构成事件A的区域长度（面积或体积）
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=< br>试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
；
几何概型的特点 ：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
练习题一
一、选择题
1. 给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
②“当x为某一实数时可使
x?0
”是不可能事件 ③“明天广州要下雨”是必然事件
2
④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，
其中正确命题的个数是 （ ）
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 某人在比赛（没有“和”局）中赢的概率为0.6，那么他输的概率是 ( )
A．0.4 B. 0.6 C. 0.36 D. 0.16
3. 下列说法一定正确的是 （ ）
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．一枚硬币掷一次得到正面的概率是
1
，那么掷两次一定会出现一次正面的情况
2
C．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
4．某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，每个同学被抽到的概率是
是 （ ）
A．4个人中必有一个被抽到 B. 每个人被抽到的可能性 是
C．由于抽到与不被抽到有两种情况，不被抽到的概率为
1
，其中解释正确的
4
1

4
1
D．以上说话都不正确
4
5．投掷两粒均匀的骰子，则出现两个5点的概率为 （ ）
A．
11
1
5
B. C. D.
6
361812
6．从{a,b,c, d,e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a,b,c}的子集的概率是（ ）

A．
7、同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（ ）
3211
B. C. D.
5548

A.至少有1枚正面和最多有1枚正面 B.最多1枚正面和恰有2枚正面
C.至多1枚正面和至少有2枚正面 D.至少有2枚正面和恰有1枚正面

8.、某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任 意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的
概率是___________
9、掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是_____________
10、从含有两件 正品a,b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有
一件是次品 的概率 .
（1）每次取出不放回； （2）每次取出后放回。
11、(10分) 2．袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个 ．有放回地
抽取3次，求：
(1)、3个全是红球的概率． (2)、3个颜色全相同的概率．
(3)、3个颜色不全相同的概率． (4)、3个颜色全不相同的概率．

12．（本题满分15分）
某校从参加高一 年级期中考试的学生中随机抽取
60
名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段
?< br>40,50
?
，
?
50,60
?
?
?
90,100
?
后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(Ⅰ)求分数在
?
70,80
?
内的频率，并补全
这个频率分布直方图；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为
?
60,80
?
的学生中抽取一个容量为
6
的样本，
将该样本看成一个总体，从中任取
2
人，
求至多有
1
人在分数段
?
70,80
?
的概率.
解析：（Ⅰ）分数在
?
70,80
?
内的频率为：
第13题图
1?(0.010?0.015?0.015?0.025?0.005)?10

?1?0.7?0.3
，故
0.3
?0.03
，
10
如图所示： -----------------------6分
（求频率3分，作图3分）
（Ⅱ）由题意，
?
60,70
?
分数段的人数为：
0.15?60?9

人； ----------------8分
?
70,80
?
分数段的人数为：
0.3?60?18
人； ----------------10分
∵在
?
60,80
?
的 学生中抽取一个容量为
6
的样本，
∴
?
60,70
?分数段抽取2人，分别记为
m,n
；
?
70,80
?
分 数段抽取4人，分别记为
a,b,c,d
；
设从样本中任取
2
人， 至多有1人在分数段
?
70,80
?
为事件
A
，则基本事件 空间包含的基本事件有：
(m,n)
、
(m,a)
、
(m,b)< br>、
(m,c)
、
(m,d)
、……、
(c,d)
共1 5种，
则事件
A
包含的基本事件有：
(m,n)
、
(m ,a)
、
(m,b)
、
(m,c)
、
(m,d)
、
(n,a)
、
(n,b)
、
(n,c)
、
(n,d )
共9种，-----15分
∴
P(A)?
93
?
．
155