高中数学：随机事件的概率 (18)

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3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
内容要求 1.了解随机事件，必然事件，不可能事件的概念(易错点).2.正确理 解
概率的含义，理解频率与概率的区别与联系(难点).3.会初步列举出重复试验的结
果(重 点).

知识点1 必然事件、不可能事件与随机事件
S下，一定不会发生的
?
确定
?
不可能事件：在条件
事件，叫做相对于条件S的不可能事件.
?

事件

?
必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，事

件

?
?
叫做相对于条件S的必然事件.
?
随机事件：在条件S下，可 能发生也可能不发生的事
?
件，叫做相对于条件S的随机事件.
【预习评价】

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下列事件是确定事件的是( )
A.2022年世界杯足球赛期间不下雨
B.没有水，种子发芽
C.对任意x∈R，有x＋1>2x
D.抛掷一枚硬币，正面朝上
解析 A，C，D是随机事件，B是不可能事件，即是确定事件.
★★答案★★ B
知识点2 频率与概率
1.频率与频数
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否
出现，称n次试验中事件A出现的次数n
A
为事件A出现的频数，称事件A出现
n< br>A
的比例f
n
(A)＝
n
为事件A出现的频率.
2.概率：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量.
3.与频率的联系：对于给定的随机 事件A，事件A发生的频率f
n
(A)随着试验次数
的增加稳定于概率P(A)，因此 可以用频率f
n
(A)来估计概率P(A).
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机事件的频率和概率不可能相等.( )
(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化.( )
(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能.( )
提示 (1)× 二者可能相等.
(2)× 频率会发生变化，是变量，而概率是不变的，是客观存在的.
(3)× 频率和概率都能反映随机事件发生的可能性的大小.

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题型一 事件的判断
【例1】 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现.
解 (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件.
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件.
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不
可能事件.
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件.
(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件.
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能
事件.
规律方法 判断一个事件是哪类事件的方法
判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因 为三种事件都是相对于一定条
件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随 机事
件，一定不发生的是不可能事件.

ruize
【训练1】 下列事件不是随机事件的是( )
A.东边日出西边雨
B.下雪不冷化雪冷
C.清明时节雨纷纷
D.梅子黄时日日晴
解析 B是必然事件，其余都是随机事件.
★★答案★★ B

【例2】 下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果.
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集.
解 (1)一次试 验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4
个：(正，反)，(正，正)，(反，反 )，(反，正).
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试< br>验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}.
【迁移1】 在例2(2)中，从集合A中任取2个元素组成A的子集，有哪些？
解 试验结果有6个：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}.
【迁移2】 在例2(2)中集合A换为A＝{a，b，c，d，e}，其它条件不变，则结
果如何？
解 试验结果有10个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，
e}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，c，e}，{c，d，e}，{b，d，e}.
规律方法 不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.
(2)根 据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状
图、列表等方法解决.
【训练2】 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试
验的条件和结果.
(1)从中任取1球；
(2)从中任取2球.

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解 (1)条件为：从袋中任取1球.结果为：红、白、黄、黑4种.
(2)条件为：从袋中 任取2球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，
结果为：(红，白)，(红，黄)， (红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种.
题型三 用频率估计概率
【例3】 某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些
灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
频数
频率
[0，
900)
48

[900，
1 100)
121

[1 100， [1 300， [1 500， [1 700，
[1 900，
1 300)
208

1 500)
223

1 700)
193

1 900)
165

＋∞)
42

(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.
解 (1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600.
600
所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是
1 000
＝0.6，
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
规律方法 利用频率估计概率
n
A
(1)①根据频率的计算公式f
n
(A)＝
n
求出频率值；②用频率的稳定值作为概率的
近似值.
(2)注意事项：试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会出现规律性，
即在某个常数附近摆动 ，并且这个常数就是概率.
【训练3】 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
击中靶心次数m
m
击中靶心的频率
n

(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解 (1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
10
8

20
19

50
44

100
92

200
178

500
455

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(2)由于频率稳 定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约
是0.89.

课堂达标
1.下列事件中是随机事件的是( )
A.长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形
B.长度为2,3,4的三条线段可以构成一直角三角形
C.方程x
2
＋2x＋3＝0有两个不相等的实根
D.函数y＝log
a
x(a>0且a≠1)在定义域上为增函数
解析 A是必然事件，B，C是不可能事件，D是随机事件.
★★答案★★ D
2.下列说法正确的是( )
A.任一事件的概率总在(0,1)内
B.不可能事件的概率不一定为0
C.必然事件的概率一定为1
D.以上均不对
解析 任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为
1.
★★答案★★ C
3.从5个男生、2个女生中任选派3人，则下列事件中是必然事件的是( )
A.3个都是男生

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B.至少有1个男生
C.3个都是女生
D.至少有1个女生
解析 由于只有2个女生，而要选派3人，故至少有1个男生.选B.
★★答案★★ B
4.某人 将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面
朝上”这一事件，则A的( )
4
A.概率为
5

C.频率为8
4
B.频率为
5

D.概率接近于8
m
解析 做 n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为
n
.如果多
次进行试验，事 件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事
84
件A的概率，故
10
＝
5
为事件A的频率.
★★答案★★ B
5.做抛掷红、蓝两枚 骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现
的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.写 出：
(1)这个试验的所有结果；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)事件“出现的点数之和大于8”的所有结果；
(4)事件“出现的点数相同”的所有结果.
解 (1)这个试验的所有结果为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).
(2)这个试验的结果的个数为36.
(3)事件“出现的点数之和大于8”的所有结果为( 3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，

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(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,5).
(4)事件“出现的点数 相同”的所有结果为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6).
课堂小结
1.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判< br>断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能
事件).
2.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情
况下，随机事 件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算
事件发生的频率去估算概率.
3.写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依
次”“顺序”“放回 ”“不放回”等.

基础过关
1.下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②从 标有1,2,3,4的4张号签中取一
张，得到4号签；③在标准大气压下，水在1 ℃结冰，其中是必然事件的有( )
A.① B.② C.③ D.①②
解析 ①是必然事件；②是随机事件；③是不可能事件.故选A.
★★答案★★ A
2.100件 产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件：至少有1件正品；至少
有3件是次品；6件都是次品； 有2件次品、4件正品.以上四个事件中，随机事
件的个数是( )

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A.3
C.2
B.4
D.1
解析 100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件，在这个试验中：至< br>少有1件产品是正品为必然事件；至少有3件次品，有2件次品、4件正品为随
机事件；6件都是 次品为不可能事件，所以随机事件的个数是2.
★★答案★★ C
3.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
击中靶心次数m
10
8
20
19
50
44
100
92
200
178
500
455
估计这个射手射击一次击中靶心的概率是________.
解析 频率依次为0.80,0 .95,0.88,0.92,0.89,0.91.因此，估计射手射击一次击中靶
心的概率是0.9 0.
★★答案★★ 0.90
4.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了1 0次，那么可能共进行了
________次试验.
n
A
10
解析 由f
n
(A)＝
n
得0.02＝
n
，解得n＝500.
★★答案★★ 500
5.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：
g)：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据 频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量在
497.5～501.5 g之间的概率约为________.
5
解析 易知袋装白糖质量在497.5～501.5 g之间的袋数为5，故其频率为
20
＝
0.25，即其概率约为0.25.
★★答案★★ 0.25
6.某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中 ，无放回地取两个小球，
每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实
数对(x，y).

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(1)写出这个试验的所有结果；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.
解 (1)当x＝1时，y＝2, 3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x
＝4时，y＝1,2,3. 因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，
(2, 4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).
(2)记“第 一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}.
7.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513条鱼苗，根
据概率的统计定义解答下列问题：
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
(2)30 000个鱼卵大约能孵化多少条鱼苗？
(3)要孵化5 000条鱼苗，大约需准备多少个鱼卵(精确到百位)?
8 513
解 (1)这种鱼卵的孵化频率为
10 000
＝0.851 3，把它近似作为孵化的概率.
(2)设能孵化x条鱼苗，则
x
30 000
＝0.851 3.
所以x＝25 539，
即30 000个鱼卵大约能孵化25 539条鱼苗.
(3)设大约需准备y个鱼卵，则
5 000
y
＝0.851 3，所以y≈5 900，
即大约需准备5 900个鱼卵.
能力提升
8.给出下列3种说法：
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做 7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率
3
是
7；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
其中正确说法的个数是( )
A.0
C.2
B.1
D.3

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解析 由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确.
★★答案★★ A
9.在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项 活动：①
至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生.若要使①为必
然事 件，②为不可能事件，③为随机事件，则x＝( )
A.5
C.3或4
B.6
D.5或6
解析 依题意知，10名同学中，男生人数少于5人，但不少于3人，故x＝3或
4.
★★答案★★ C
10.容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计
算样 本数据落在[6,10)内的频数为________，估计数据落在[2,10)内的概率约为
___ _____.

解析 数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，数据 落在[2,10)内的频率为
(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率约为 0.4.
★★答案★★ 64 0.4
11.某制造商今年3月份生产了一批乒乓球，随机 抽取100个进行检查，测得每
个乒乓球的直径(单位：mm)，将数据分组如下：
分组
[39.95,39.97)
频数
10
频率
0.10

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[39.97,39.99)
[39.99,40.01)
[40.01,40.03)
合计
20
50
20
100
0.20
0.50
0.20
1.00
若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，则这批乒乓球的
直径误差不超过0.03 mm的概率是________.
解析 标准尺寸是40.00 mm，并且误差不超过0.03 mm，即直径需落在
[39.97,40.0 3)范围内.由频率分布表知，所求频率为0.20＋0.50＋0.20＝0.90，所以
直径误差不 超过0.03 mm的概率约为0.90.
★★答案★★ 0.90
12.用一台自动机床 加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径(单位：厘米)
检验，结果如下：
直径
d∈(6.88,6.89]
d∈(6.89,6.90]
d∈(6.90,6.91]
d∈(6.91,6.92]
d∈(6.92,6.93]
个数
1
2
10
17
17
直径
d∈(6.93,6.94]
d∈(6.94,6.95]
d∈(6.95,6.96]
d∈(6.96,6.97]
d∈(6.97,6.98]
个数
26
15
8
2
2
从这100个螺母中任意取一个，检验其直径的大小，求下列事件的频率：
(1)事件A：螺母的直径在(6.93,6.95]范围内；
(2)事件B：螺母的直径在(6.91,6.95]范围内；
(3)事件C：螺母的直径大于6.96.
解 (1)螺母的直径在(6.93,6.95]范围内的频数为n
A
＝26＋15＝41，
41
所以事件A的频率为
100
＝0.41.
(2)螺母的直径在 (6.91,6.95]范围内的频数为n
B
＝17＋17＋26＋15＝75，
75
所以事件B的频率为
100
＝0.75.
(3)螺母的直径大于6.96的频数为n
C
＝2＋2＝4，
4
所以事件C的频率为
100
＝0.04.

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13.(选做题)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根 据男女学生人数比例，
使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成
7组：[20，30)，[30，40)，…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2 )已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内
的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人
数相等.试估计 总体中男生和女生人数的比例.
解 (1)由频率分布直方图知，分数小于70的频率为1－(0.0 4＋0.02)×10＝0.4，
故从总体400名学生中随机抽取1人，估计其分数小于70的概率为 0.4.
(2)由频率分布直方图知分数在50～90之间的人数为100×[(0.01＋0.02 ＋0.04＋
0.02)×10]＝90(人)，又分数小于40的学生有5人，所以估计总体中分数在 区间
400
[40，50)内的人数为(100－90－5)×
100
＝20 (人).
(3)由频率分布直方图知分数不小于70的共60人，由已知男女各占30人，从而
603
样本中男生有60人，女生有40人，故估计总体中男生与女生的比例为
40
＝
2
.