高中数学完整讲义——概率_随机事件的概率1.事件及样本空间

高中数学讲义

板块一.事件及样本空间
知识内容
版块一：事件及样本空间

1．必然现象与随机现象
必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；
随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．
2．试验：我们把观察随机现 象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称
为试验的结果．
一次试验是指事件的条件实现一次．
在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；
在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；
在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．
通常用大写英文字母
A，B，C，
来表示随机事件，简称为事件．
3．基本 事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事
件．它包含 所有可能发生的基本结果．
所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用
?
表示．

版块二：随机事件的概率计算
1．如果事件
A，B
同时发生，我们记作AB
，简记为
AB
；
2．一般地，对于两个事件
A，B
，如果有
P(AB)?P(A)P(B)
，就称事件
A
与
B
相互独立，简称
A
与
B
独
立．当事件
A
与
B
独立时，事件
A
与
B
，
A
与
B
，
A
与
B
都是相互独立的．
3．概率的统计定义
m< br>一般地，在
n
次重复进行的试验中，事件
A
发生的频率，当
n
很大时，总是在某个常数附近摆动，
n
随着
n
的增加，摆动幅度越来 越小，这时就把这个常数叫做事件
A
的概率，记为
P(A)
．
从概 率的定义中，我们可以看出随机事件的概率
P(A)
满足：
0≤P(A)≤1
．
当
A
是必然事件时，
P(A)?1
，当
A
是不 可能事件时，
P(A)?0
．
4．互斥事件与事件的并
互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．
B
都发生 ）所构成的事件
C
，称为事由事件
A
和事件
B
至少有一个发 生（即
A
发生，或
B
发生，或
A，
件
A
与
B
的并（或和），记作
C?AB
．
若
C?AB
， 则若
C
发生，则
A
、
B
中至少有一个发生，事件
A B
是由事件
A
或
B
所包含的基本事
件组成的集合．
5．互斥事件的概率加法公式：
若
A
、
B
是互斥事件，有
P(AB)?P(A)?P(B)

A
2
，，A
n
两两互斥（彼此互斥）若事件
A
1
，
，有
P(A
1
事件“
A
1
A
2
A
n
)?P(A
1
)?P(A
2
)??P(A
n
)
．
A
2
A
n
”发生是指事件
A
1
，A
2
，，A
n
中至少有一个发生．
6．互为对立事件

思维的发掘 能力的飞跃

1

高中数学讲义

不能同时发生且 必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件
A
的对立事件记作
A
．
有
P(A)?1?P(A)
．
<教师备案>
1．概率中的“事 件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所
有可能发生的基 本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机
事件的特例，需要 根据情况作出判断．
2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫 做概率的统计定义．在
实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．
随机事件的频率是指事 件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近
摆，且随着试验次数的增 加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成
频率在理论上的期望值，它 从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提
下可近似地看作这个事件的概 率．
3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．

主要方法：
解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：
求概率的步骤是：
?
等可能事件
?
?
互斥事件
第一步，确定事件性质
?
，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．
独立事件
?
?
?
n次独立重复试验
?
和事件
第二步，判断事件的运算
?
，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用 相加或相乘事件．
积事件
?
m
?
等可能事件: P(A)?
?
n
?
?
第三步，运用公式
?
互斥事件：P(A? B)?P(A)?P(B)
求解
?
独立事件：P(A?B)?P(A)?P(B)
?
kkn? k
?
?
n次独立重复试验:P
n
(k)?C
n
p( 1?p)
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．

解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）：
⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率；
⑵ 互斥事件有一个发生的概率；
⑶ 相互独立事件同时发生的概率；
⑷
n
次独立重复试验中恰好发生
k
次的概率；
⑸
n
次独立重复试验中在第
k
次才首次发生的概率；
⑹ 对立事件的概率．
另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰 好有一个发生”，“都发生”，
“不都发生”，“都不发生”，“第
k
次才发生”等．


典例分析


题型一 事件及样本空间

【例1】 (2010安徽)
甲罐中有
5
个红球，
2
个白 球和
3
个黑球．乙罐中有
4
个红球，
3
个白球和
3
个黑球．先从甲罐
中随机取出一球放入乙罐，分别以
A
1
，
A
2
和
A
3
，表示由甲罐取出的球是红球．白球和黑球的
2

思维的发掘 能力的飞跃

高中数学讲义 < br>事件；再从乙罐中随机取出一球，以
B
表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中 正
确的是 __ __（写出所有正确结论的编号）．
2
；
5
5
②
P
?
B|A
1?
?
；
11
③事件
B
与事件
A
1
相互独立；
①
P
?
B
?
?
④
A
1
，
A
2
，
A
3
两两互斥的事件；
⑤
P
?B
?
的值不能确定，因为它与
A
1
，
A
2，
A
3
中究竟哪一个发生有关．


【例2】 下列事件：
①同学甲竞选班长成功；
②两队球赛，强队胜利了；
③一所学校共有
998
名学生，至少有三名学生的生日相同；
④若集合
A，
B?C
，则
A?C
；
B，C
，满足
A?B，
⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在
2
张签上都写 上“死”字，再让画师抽“生死签”，
画师抽到死签；
⑥从
1，3，5，9
中任选两数相加，其和为偶数；
其中属于随机事件的有（ ）
A．
2
个 B．
3
个 C．
4
个 D．
5
个


【例3】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：
⑴六月天下雪；
⑵同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过
12
”；
⑶太阳从西边升起；
⑷当
x≥100
时，事件“
lgx≥2
”；
⑸数列
{a
n
}
是单调递增数列时，事件“
a
2008
?a2009
”；
⑹骑车通过
10
个十字路口，均遇红灯．
【例4】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：
⑴在标准大气压下且温度低于
0C
时，冰融化；
⑵今天晚上下雨；
⑶没有水分，种子发芽；
⑷技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现；
⑸买彩票中一等奖；
⑹若平面
?
平面
?
?m
，< br>n∥
?
，
n∥
?
，则
m∥n
．


【例5】 将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．
⑴写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数；
⑵“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件；
⑶“两次点数之和为
6
”这一事件包含了几个基本事件；
⑷“两次点数之差为
1
”这一事件包含了几个基本事件．


【例6】 一个口袋中有完全相同的
2
个白球，
3
个黑球，
4
个红球，从中任取
2
球，观察球的颜色．
⑴写出这个试验的基本事件空间；

思维的发掘 能力的飞跃

3

高中数学讲义

⑵求这个试验的基本事件总数；
⑶“至少有
1
个白球”这一事件包含哪几个基本事件；


【例7】 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为
x
，转盘②得到的数为
y
，结果为
(x，y)
．
1
4
2
3
1
2
3
4

⑴写出这个试验的基本事件空间；
⑵求这个试验的基本事件总数；
⑶“
x ?y?5
”这一事件包含哪几个基本事件？“
x?3
且
y?1
”呢？
⑷“
xy?4
”这一事件包含哪几个基本事件？“
x?y
”呢？

【例8】 在天气预报中，如果预报“明天的降水概率为
85%
”，这是指（ ）
A．明天该地区约有
85%
的地区降水，其它
15%
的地区不降水
B．明天该地区约有
85%
的时间降水，其它时间不降水
C．气象台的专家 中，有
85%
的人认为会降水，另外
15%
的专家认为不会降水
D．明天该地区降水的可能性为
85%



【例9】 同时掷两枚骰子，点数之和在
2~12
点间的事件是 事件，点数之和为
12
点的事件是
事件，点数之和小于
2
或大于
12
的事件是 事件，点数之差为
6
点的事件是 事
件．




4

思维的发掘 能力的飞跃