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高数学-频率与概率
-教案
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高中数学 频率与概率 教案
教学分析
概率是描述随机事件发生可能性大小的量度,它已渗透到人们的日常生活
中,例如:彩票的中奖率,产品的合格率,天气预报、台风预报等都离不开概
率.概率的准确含
义是什么呢?我们用什么样的方法获取随机事件的概率,从
而激发学生学习概率的兴趣?本节课通过学生
亲自动手试验,让学生体会随机
事件发生的随机性和随机性中的规律性,通过试验,观察随机事件发生的
频
率,可以发现随着试验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概
率的定义.在这
个过程中,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方
法,是新课标理念的具体实施.
三维目标
1.通过获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,正确理解事件
A
出现的
频率的意义;真正做到在探索中学习,在探索中提高.
2.通过数学活动
,即自己动手、动脑和亲身试验来理解概率的概念,明确
事件
A
发生的频率
f
n
(
A
)与事件
A
发生的概率
P
(
A
)的区别与联系,体会数学知
识与现实世界的联系.
重点难点
教学重点:1.理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.
2.正确理解概率的意义.
教学难点:1.对概率含义的正确理解.
2.理解频率与概率的关系.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.日常生活中,有
些问题是很难给予准确无误的回答的.例如,掷一
次硬币,正面是否朝上?7:20在某公共汽车站候车
的人有多少?你购买本期
福利彩票中奖的可能性有多大?等等.尽管没有确切的答案,但其结果却呈现<
br>某种规律性,这就是下面我们将要学习的随机事件的概率.教师板书课题:随
机事件的概率.
思路2.1名数学家=10个师
在第二次世界大战中,美国曾经宣布:一名优秀数学家的作用
超过10个师
的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.
1943年以前,在大西洋上英美运输
船队常常受到德国潜艇的袭击,当时,
英美两国限于实力,无力增派更多的护航舰,一时间,德军的“潜
艇战”搞得
盟军焦头烂额.
为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家,数学家们运用
概率论
分析后发现,舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件,从数学角度来看这一问题,
它具有一定
的规律性.一定数量的船(为100艘)编队规模越小,编次就越多(为
每次20艘,就要有5个编次)
,编次越多,与敌人相遇的概率就越大.
美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集合,再
集体通过危
险海域,然后各自驶向预定港口.结果奇迹出现了:盟军舰队遭袭被击沉的概
率由原
来的25%降为1%,大大减少了损失,保证了物资的及时供应.
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在自然界和实
际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从结果能否预
知的角度来看,可以分为两大类:一类现象的
结果总是确定的,即在一定的条
件下,它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定性现象;另一类
现象
的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现哪种结果是无法预先确定的,
这类现象称为
随机现象.随机现象是我们研究概率的基础,为此我们学习随机
事件的概率.
推进新课
新知探究
提出问题
1.什么是必然事件?请举例说明.
2.什么是不可能事件?请举例说明.
3.什么是确定事件?请举例说明.
4.什么是随机事件?请举例说明.
5.什么是事件
A
的频数与频率?什么是事件
A
的概率?
6.频率与概率的区别与联系有哪些?
活动:学生积极思考,教师引导学生考虑问题的思路,
结合实际的情形分
析研究.(1)导体通电时发热;抛一块石头,石头会落回地面;“如果
a<
br>>
b
,
那么
a
-
b
>0”;这三个事件是一
定要发生的.但注意到有一定的条件.(2)在
常温下,锡熔化;在标准大气压下且温度低于0 ℃时,
冰融化;“没有水,种
子能发芽”.这三个事件是一定不发生的.但注意到有一定的条件.(3)抛一块
石头,石头会落回地面;“如果
a
>
b
,那么
a
-
b
>0”;在标准大气压下且温
度低于0 ℃时,冰融化;“没有水,种子能发芽”.
这四个事件在一定的条件
下是一定要发生的或一定不发生的,是确定的,不是模棱两可的.(4)掷一枚
硬
币,出现正面;某人射击一次,中靶;从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签
中任取
一张,得到4号签;“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”.这四个事
件在一定的条件下或者发生或者不
发生,是模棱两可的.(5)做抛掷一枚硬币的
试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试
验,突破学生理解的
难点:“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”.通过试验,观察随机
事件发生的频率,可以发现随着试验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,
然后再给出概率的定义.
在这个过程中,重视了掌握知识的过程,体现了试
验、观察、探究、归纳和总结的思想方法,也体现了新
课标的理念.
具体如下:
第一步
每个人各取一枚硬币,做10次掷硬币试验,记录正面向上的次数
和比例,填在下表中:
姓名
试验次数
正面朝上总次数
正面朝上的比例
思考
试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗?为什么?
第二步
由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表.
组次
试验总次数
正面朝上总次数
正面朝上的比例
思考
与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗?为什么?
通过学生的试验,比较他们的试
验结果,让他们发现每个人试验的结果、
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组与组之间试验的结果不完全相同,从而说明试验结果的随机性,但
组与组之
间的差别会比学生与学生之间的差别小,小组的结果一般会比学生的结果更接
近0.5
.
第三步 用横轴为试验结果,仅取两个值:1(正面)和0(反面),纵轴为试
验结果出现
的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什
么?
第四步
把全班试验结果收集起来,也用条形图表示.
思考
这个条形图有什么特点?
引导
学生在每组试验结果的基础上统计全班的试验结果,一般情况下,班
级的结果应比多数小组的结果更接近
0.5,从而让学生体会随着试验次数的增
加,频率会稳定在0.5附近.并把试验结果用条形图表示,
这样既直观易懂,
又可以与前面《统计》的内容相呼应,达到温故而知新的目的.
第五步
请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.
思考
如果同学们重复一次上面的试验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致
吗?为什么?
引导学生寻找掷硬币出现正面朝上的规律,并让学生叙述出现正面朝上的
规律性:随着试验次数的增加,
正面朝上的频率稳定在0.5附近.由特殊事件
转到一般事件,得出下面一般化的结论:随机事件
A
在每次试验中是否发生是
不能预知的,但是在大量重复试验后,随着次数的增加,事件A
发生的频率会
逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上,从而得出频率、概率的定义,
以及它们
的关系.一般情况下重复一次上面的试验,全班汇总结果与这一次汇总结果是
不一致的
,这更说明随机事件的随机性.
进一步总结事件的频数与频率,概括出概率的概念.(6)通过(5)
的概括和
总结写出频率与概率的区别与联系.
讨论结果:1.必然事件:在条件
S<
br>下,一定会发生的事件,叫相对于条件
S
的必然事件(certain
event),简称必然事件.
2.不可能事件:在条件
S
下,一定不会发生的事件
,叫相对于条件
S
的不
可能事件(impossible
event),简称不可能事件.
3.确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件
S
的确定事件.
4
.随机事件:在条件
S
下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件
S
的随
机事件(random event),简称随机事件;确定事件和随机事件统称为事
件,用
A
,
B
,
C
,…表示.
5.频数与频率:在相同的条件S
下重复
n
次试验,观察某一事件
A
是否出
现,称n
次试验中事件
A
出现的次数
n
A
为事件
A<
br>出现的频数(frequency);称
事件
A
出现的比例
f
n
(
A
)=为事件
A
出现的频率(relative freque
ncy);对于
给定的随机事件
A
,如果随着试验次数的增加,事件
A
发生的频率
f
n
(
A
)稳定在
某个常数上,把这个常数记
作
P
(
A
),称为事件
A
的概率(probability
).
6.频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数
n
A与试验总次数
n
的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且
随着试
验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机
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n
A
n
n
A
n
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事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量
重复试验的前提下
可以近似地作为这个事件的概率.
频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率
.在
实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.
频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复试验得到事件
的频率会不同. 概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币
是质地均匀的,则掷硬币出
现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次试验无
关.
应用示例
思路1
例1
判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事
件.
(1)“在标准大气压下,水在100 ℃沸腾”;
(2)“技术发达后,不需要任何能量的‘永动机’将会出现”;
(3)“一个射击运动员每次射击都击中”;
(4)“太阳从东方升起”;
(5)“北京2月3日下雪”;
(6)“同性电荷相互排斥”;
(7)“某路口单位时间内发生交通事故的次数”;
(8)“购买一张彩票中奖”;
(9)“在一个三角形中,大边对的角小,小边对的角大”;
(10)“冰水混合物的温度是1 ℃”.
分析:学生针对有关概念,思考讨论,教师及时指
点,为后续学习打下基
础.根据自然界的规律和日常生活的经验积累,根据定义,可判断事件
(
1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可能事件;事件(3)(5)(7)(8)是随<
br>机事件.
答案:事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可能事件
;事件
(3)(5)(7)(8)是随机事件.
点评:紧扣各类事件的定义,结合实际来判断.
例2
某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数
n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数
m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
m
n
(1)填写表中击中靶心的频率;
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少? <
br>分析:学生回顾所学概念,教师引导学生思考问题的思路,指出事件
A
出
现的频
数
n
A
与试验次数
n
的比值即为事件
A
的频率,当
事件
A
发生的频率
f
n
(
A
)
稳定在某个
常数上时,这个常数即为事件
A
的概率.
解:(1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89,所以这个射手射击一次,击中靶心的概率
约是0.89.
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点评:概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件
的频率而得之.
变式训练
一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下:
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5 544
9 607
13 520
17 190
男婴数
2
883
4 970
6 994
8 892
男婴出生的频
率
(1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第3位).
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少?
答案:(1)0.520 0.517
0.517 0.517
(2)由表中的已知数据及公式
f
n
(
A
)=即可求出相应的频率,而各个频率
均稳定在常数0.518上,所以这一地区男婴出生的概
率约是0.518.
思路2
例1 做掷一枚骰子的试验,观察试验结果.
(1)试验可能出现的结果有几种?分别把它们写出.
(2)做60次试验,每种结果出现的频数、频率各是多少?
分析:学生先思考或讨论,教师
提示学生注意结果的可能情况,因为每一
枚骰子有六个面,每个面上的点数分别是1,2,3,4,5,
6,所以应出现六种结
果,试验结果可列表求之.
解:(1)试验可能出现的结果有六种,分别是出现1点、2点、3点、4
点、5点、6点.
(2)根据试验结果列表后求出频数、频率,表略.
例2 某人进行打靶练习,共射击10
次,其中有2次中10环,有3次中9
环,有4次中8环,有1次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设
此人射击1
次,试问中靶的概率约为多少?中10环的概率约为多少?
分析:学生先思考或讨
论,教师提示学生注意结果的可能情况,中靶的频
9
数为9,试验次数为10,所以中靶的频率
为=0.9.所以中靶的概率约为0.9.
10
解:此人中靶的概率约为0.9;此人射击1
次,中靶的概率为0.9;中10
环的概率约为0.2.
知能训练
1.指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件.
(1)某地1月1日刮西北风;
(2)当
x
是实数时,
x
2
≥0;
(3)手电筒的电池没电,灯泡发亮;
(4)一个电影院某天的上座率超过50%.
答案:(1)随机事件;(2)必然事件;(3)不可能事件;(4)随机事件.
2.大量重复做掷两枚硬币的试验,汇总试验结果,你会发现什么规律?
解:随机事件在每次
试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验
后,随着次数的增加,事件发生的频率会逐渐稳定在
区间[0,1]中的某个常数
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n
A
n
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上,从而获取随机事件的概率.
点评:让学生再一次体会了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法.
拓展提升
1.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是(
).
A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法
确定
答案:B
提示:正面向上恰有5次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随
机事件.
2.下列说法正确的是( ).
A.任一事件的概率总在(0,1)内
B.不可能事件的概率不一定为
0
C.必然事件的概率一定为1 D.以上均不对
答案:C
提示:任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为0,必然事件的
概率为1.
3.下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答
问题.
每批1 2 3
2
5
10
70
130
310
700
粒数
500
000
000
发芽
1 1 2
的粒2
4
9
60
116
282
639
339
806
715
数
发芽
的频
率
(1)完成上面表格;
(2)该油菜籽发芽的概率约是多少?
解:(1)填入表中
的数据依次为
1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,
0.903,0.905.(2)该油菜籽发芽
的概率约为0.897.
4.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表所示.
投篮次数
48
60
75
100
100
50
100
进球次数
m
36
48
60
83
80
40
76
进球频率
m
n
(1)计算表中进球的频率;
(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少?
解:(1)填入表中的数据依次为0.7
5,0.8,0.8,0.83,0.8,0.8,0.76.(2)由
于上述频率接近0.80,因此
,进球的概率约为0.80.
课堂小结
本节研究的是那些在
相同条件下,可以进行大量重复试验的随机事件,它
们都具有频率稳定性,即随机事件
A
在每次试验中是否发生是不能预知的,但
是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件
A
发生的频率逐渐稳定在区
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间[0,1]内的某个常数上(即事件
A
的概率)
,这个常数越接近于1,事件
A
发生
的概率就越大,也就是事件
A
发
生的可能性就越大.反之,概率越接近于0,
事件
A
发生的可能性就越小.因此说,概
率就是用来度量某事件发生的可能性
大小的量.
作业
完成课本本节练习.
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