高中概率总结

概率知识要点
例 1（2004 天津）从4名男生和2名女生中任3人参加演讲比赛.
(I)求所选3人都是男生的概率；
(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.
考点 2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算。
不可能同时发生的两个事件A、B叫 做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，
用概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B )计算。
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做相互独
立事件，它们同时发生的事件为AB。用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)计算。
高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进
行考查。
例 2.（2005 全国卷Ⅲ）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需
要 照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多
少；（Ⅱ ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率。
考点 3 考查对立事件概率计算。
必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。用概率的减法公式
P(A)=1-P(A)计算其概率。
高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。
例 3．(2005 福建卷文）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为
12
和
。
25
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；
考点 4 考查独立重复试验概率计算。
若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果， 则此试验叫做
n次独立重复试验。若在1次试验中事件A发生的概率为 P，则在n次独立重复试验中， 事
kkn?k
件A恰好发生k次的概率为Pn(k)=
P
。
n(A)?C
n
p(1?p)
高考结合实际应用问题考查n次独立重复试验中某事件 恰好发生k次的概率的计算方法
和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。
例 4．（2005 湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。假定
每盏灯能 否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿
命为2年以上的概率为 p2。从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的
灯泡，平时不换。
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第 二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当p1=0.8， p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结
果保留两个有效数字）
考点 5 考查随机变量概率分布与期望计算。
解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取 哪些值，然后按照相互独立事件同时发生
概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最 后根据分布列和期望、方差
公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知 识解决 实际

1

问题的能力。
例 5．（2005 湖 北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有
4次参加考试的机会，一旦某 次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一
直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照 考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，
0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照 考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年
内领到驾照的概率。
考点 6 考查随机变量概率分布列与其他知识点结合
1、考查随机变量概率分布列与函数结合。
例 6.（2005 湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率
分别是0 .4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览
的景点数与 没有游览的景点数之差的绝对值。
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f(x) ＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率。

2、考查随机变量概率分布列与数列结合。
例 7 甲乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中 与否是相互独立事件，规则如下：若射击一
次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方接替 射击。已知甲乙两人射击一次
击中的概率均为7，且第一次由甲开始射击。
（1）求前4次射击中，甲恰好射击3次的概率。
（2）若第n次由甲射击的概率为
a
n
，求数列{
a
n
}的通项公式；求lim
a
n
，并说明极n→∞
限值的实际意义。
3、考查随机变量概率分布列与线形规划结合。
例 8（2005 辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工
而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级对每种产品，
两道工序 的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品。
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加 工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产
出的甲、乙产品为一等品的概P(甲)、P(乙)； （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）
的条件 下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该 工厂有工人40名，可用资金
60万元。设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下 ，y为何值时，z=xEξ
+ yEη x最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
考查随机变量概率分布列性质 性质应用
考点 7 考查随机变量概率分布列性质应用。
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.，高
考常结合 应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查。
例 9(2004 年全国高考题)某同学 参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定：每题回
答正确得100分，回答不正确得0分。假 设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回
答正确与否相互之间没有影响.。
①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；
②求这名同学总得分不为负分(即ξ≥0)的概率。
一、用排列组合求概率
例1从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个三位数不

2

能被3整除的概率为（）
(A)1954 (B)355 (C)3854 (D)4160
二、互斥事件有一个发生的概率
例2某厂生产A产品,每盒10只进行包装,每盒产品都需要检验合格后才能出厂,规定以下,
从每盒10只中任意抽4只进行检验,如果次品数不超过1只,就认为合格,否则就认为不合格,
已经知 道某盒A产品中有2只次品
（1）求该盒产品被检验合格的概率
（2）若对该盒产品分别进行两次检验,求两次检验的结果不一致的概率

三、对立重复试验
例3一位学生每天骑自行车上学,从他家到学校有5个交通岗,假设他在交 通岗遇到红灯是相
互独立的,且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p，其余3个交通岗遇到红灯的概率 均为
1
。
2
(1) 若p=23，求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率;
(2) 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过518，求p的取值范围。
高考数学概率中的易错题辨析
一、概念理解不清致错
例1．抛掷一枚均匀的骰子，若事件A：“朝上一面为奇数”，事件B ：“朝上一面的点
数不超过3”，求P（A+B）
?
1,(当第n次掷出偶数)例2．某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列
{a
n
}
，使
a
n
?
?
，记
?
?1,(当第n次掷出奇数)
S
n
?a
1
?a
2
???a
n
求
S
i
?0(i?1,2,3,4)
且
S
8
?2
的概率。
二、有序与无序不分致错
例3．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中 选择题6个，判断
题4个，甲、乙依次各抽一题。
求：（1）甲抽到选择题，乙提到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？
例4．已知8支球队中有3支弱队 ，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4
支，求：A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率。
三、分步与分类不清致错
例5．某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，试问他恰在第3次打开房门的概
率？ < br>例5．某种射击比赛的规则是：开始时在距目标100m处射击，若命中记3分，同时停
止射击。 若第一次未命中，进行第二次射击，但目标已在150m远处，这时命中记2分，同
时停止射击；若第2 次仍未命中，还可以进行第3次射击，此时目标已在200m远处。若第
3次命中则记1分，同时停止射 击，若前3次都未命中，则记0分。已知身手甲在100m处
击中目标的概率为
1
，他 命中目标的概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立
2
的。求：射手甲得k分的概 率为P
k
，求P
3
，P
2
，P
1
，P0
的值。
四、考虑不周致错

3

例6．某运动员射击一次所得环数
x
的分布列如下：
x

7 8 9 10
P 0.2 0.2 0.2 0.2
现 进行两次射击，以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为
?
，求：
?
的分
布列。
五、混淆“互斥”与“独立”出错
例8．甲投篮命中概率为0.8， 乙投篮命中概率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2
次的概率是多少？
六.混淆有放回与不放回致错
例9．某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求：
（1）恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；
（2）恰好到第k次3只次品全部被测出的概率
f(k)
的最大值和最小值。

4