高中数学总结归纳 概率问题中的数学思想

高考数学复习总结归纳点拨
概率问题中的数学思想


一、化归思想
1．运用公式
P(A)?P(A)?1
进行化归
例1 一枚硬币连掷3次，求至少出现一次正面的概率．
解：设
A
表示事件 “掷3次硬币，3次均出现反面”，根据题意，易知
P(A)?
1
，而
8P(A)?P(A)?1
，故
P(A)?1?P(A)?
7
．
8
点评：点评：含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较
繁琐 时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质
P(A)?1?P(A)
进一步求< br>解．
2．将一些复杂事件的概率化归为基本事件的概率
例2 一个口袋中装有大小相 同的２个白球和３个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸
出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．
解：记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球恰好颜色不同”为事件Ａ，而摸出一个
球得 白球的概率是
23
?0.4
，摸出一球得黑球的概率是
?0.6
，故 “有放回地摸两次，颜
55
色不同”是指“先白再黑”或“先黑再白”．

∴P(A)?0.4?0.6?0.6?0.4?0.48
．

二、分类讨论思想
例3 袋中装有白球和黑球各３个，从中任取２个，取到黑球的概率是多少？
分析：取到黑球包括两种情况：“一个黑球、一个白球”、“两个黑球”，因此，需分情况
讨论．
解：设“取到一个黑球、一个白球”为事件
A
，“取到两个黑球”为事件
B
，“取到黑
球”为事件
C
，则
P(C)?P(AUB)
．
由题意易知，从袋中任取2个球，共有
6?5?2?15
种可能结果，“取到一个 黑球、一
1

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个白球”有
3? 3?9
种可能结果，“取到两个黑球”有
3?2?2?3
种可能结果．
故
P(A)?
9331
?
，
P(B)??
．
155155
4
．
5
又事件
A
与事件
B
互斥，故
P(C)?P(A)?P(B)?
评注：分类讨论时，需注意做到不重不漏．

三、方程思想
例４ 为了调 查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮住这种动物
1200只，作标记后放回，经 过一星期后，又逮到这种动物1000只，其中有作过标记的100
只，按概率的方法估算，保护区内有 多少只这种动物？
解：设保护区内共有这种动物x只，每只动物被逮到的可能性是相同的．那么第 一次逮
1200
；第二次逮到的1000只中，有100只是第一次逮到
x
1 001
的，说明第一次逮到的占所有这种动物的比例为
?
。
100010
11200
故，解得
x?12000
．
?
10x
到的1200只占所有动物的比例为
按此方法估算，保护区内约有此种动物12000只．

四、数形结合思想
例5 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两
艘船停靠泊位的时 间分别是2小时与４小时，求有一艘船停靠泊位
时必须等待一段时间的概率．
分析：如图 所示，当甲比乙早到2小时内乙须等待，甲比乙晚
到４小时内甲须等待，所以有一艘船停靠泊位时必须等 待一段时间
的条件为
?2
≤
x?y
≤
4
．

解：以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时必须等待一< br>段时间的条件是
?2
≤
x?y
≤
4
，在平面直角坐标 系内，
(x，y)
的所有可能结果是边长为
24的正方形，而事件
A
“有一艘停靠泊位时必须等待一段时间”的所有可能结果为图中阴
11
24
2
??22
2
??20
2
67
22
影部分．由几何概型公式， 得
P(A)?
．
?
2
24288
2

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