高中数学考试技巧

高中数学考试技巧
第1讲 五种策略搞定所有选择题
[题型解读] 选择题是高考试题的三大题型之一，该题型的基本特点：绝大部分选择题属于低
中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体
现和应用，选 择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，
且每一道题几乎都有两种 或两种以上的解法．正是因为选择题具有上述特点，所以该题型能
有效地检测学生的思维层次及考查学生 的观察、分析、判断、推理、基本运算、信息迁移等
能力．选择题也在尝试创新，在“形成适当梯度”“ 用学过的知识解决没有见过的问题”“活
用方法和应变能力”“知识的交汇”等四个维度上不断出现新颖 题，这些新颖题成为高考试
卷中一道靓丽的风景线．

方法一 直接法
直 接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，
直接得到结果 ，即“小题大做”，选择正确答案，这种解法叫直接法．直接法是解答选择题
最基本的方法，绝大多数选 择题都适宜用直接法解决．它的一般步骤是：计算推理、分析比
较、对照选择．直接法又分定性分析法、 定量分析法和定性、定量综合分析法．
例1 若△ABC的内角A，B，C所对边a，b，c满足(a ＋b)
2
－c
2
＝4，且C＝60°，则ab的值
为( )
4
A.
3
C．1
答案 A
解析 由(a＋b)
2
－c
2
＝4，得a
2
＋b
2
＋2ab－c2
＝4，
a
2
＋b
2
－c
2
4－2 ab
1
由C＝60°，得cosC＝＝＝
.
2ab2ab2
4
解得ab＝
.
3
m
拓展训练1 已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni等于( )
1＋i
A．1＋2i
C．2＋i
答案 C

B．8－43
2
D.
3
B．1－2i
D．2－i

m
解析 由
＝1－ni，得m＝(1＋i)(1－ni)＝(1＋n)＋(1－n)i，
1＋i
??
?
m＝1＋n，
?
m＝2，
根据复数相等的条件得
?
∴
?

0＝1－n，n＝1.
??
??
∴m＋ni＝2＋i，故选C.
方法二 特例法
特例检验(也称特例法或特殊值法)，是用特殊值(或特殊图形、特殊位置) 代替题设普遍条件，
得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数 值、特
殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．
|lgx|，0?
?
例2 已知函数f(x)＝
?1
若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的
－x＋6，x> 10，
?
?
2
取值范围是( )
A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)
答案 C
解析 方法一 不妨设01
如取f(a)＝f(b)＝f(c)＝，
2
则易得a＝10
?
1
2


，b＝10，c＝11，从而abc＝11，故选C.
1
2
方法二 不妨设a，b再根据图象易得10实际上a，b，c中较小的两个数互为倒数．
故abc的取值范围是(10,12)．
cosB
→
cosC
→→
拓展训练2 已知O是锐角△ABC的外接 圆圆心，∠A＝60°，·AB＋·AC＝2m·AO，
sinCsinB
则m的值为( )
A.
3

2
B.2
1
D.
2
C．1
答案 A
解析 如图，当△ABC为正三角形时，A＝B＝C＝60°，取D为BC的中点，

→
2
→
AO
＝
AD
，则有
3
1
→
1
→→
AB
＋
AC
＝2m·AO，
3 3
∴
∴
1
→→
2
→
(AB
＋AC
)＝2m×AD
，
3
3
1
→
4
→
·2A D
＝
mAD
，
3
3
3
，故选A.
2
∴m＝
方法三 排除法
数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合 题目要求的选项，找到符合题意的正确结
论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提 供的信息或通过特例，对于错误
的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．
例3 设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
cc
①>；②a
c
c
；③log
b
(a－c)>log
a
(b－c)．
ab
其中所有正确结论的序号是( )
A．①B．①②C．②③D．①②③
答案 D
11
解析 ∵a>b>1，∴<.
ab
cc
又c<0，∴
>
，
ab
故结论①正确；
函数y＝x
c
(c<0)为减函数，又a>b，∴a
c
c
，故结论②正确；
根据对数函数的单调性，log
b
(a－c)>log
b
(b－c)>log
a
(b－c)，故③正确．
∴正确结论的序号是①②③.
拓展训练3 方程ax
2
＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( )
A．0C．a≤1
答案 C
1
解析 当a＝0时，x＝－
，故排除A、D.
2
当a＝1时，x＝－1，排除B.
B．a<1
D．0

方法四 数形结合法
根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，
习惯上也叫数形结合法．有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图
象或 几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论，
图形化策略是以 数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．
例4 设方程10
x
＝|lg(－x) |的两个根分别为x
1
、x
2
，则( )
A．x
1
x
2
<0
C．x
1
x
2
>1
答案 D
解析 构造函数y＝10
x
与y＝|lg(－x)|，
并作出它们的图象，如图所示， < br>因为x
1
，x
2
是10
x
＝|lg(－x)|的两个 根，
则两个函数图象交点的横坐标分别为x
1
，x
2
，
不妨设x
2
<－1，－11
<0，
则10
1
＝－lg(－x
1
)，10
因此10
因为10
x
2
x
xx
2
B．x
1
x
2
＝1
D．01
x
2
<1
＝lg(－x
2
)，
－10
1
＝lg(x
1
x
2
)，
－10
1
<0，
xx
2
所以lg(x
1
x
2
)<0，即01
x
2
<1，故选D.
4
拓展训练4 已知函数f(x)＝与g(x)＝x
3
＋t，若f(x)与g (x)的交点在直线y＝x的两侧，则实数
x
t的取值范围是( )
A．(－6,0]
C．(4，＋∞)
答案 B
解析 根据题意 可得函数图象，g(x)在点A(2,2)处的取值大于2，在点B(－
2，－2)处的取值小于－2， 可得g(2)＝2
3
＋t＝8＋t>2，g(－2)＝(－2)
3
＋t
＝－8＋t<－2，解得t∈(－6,6)，故选B.
方法五 估算法
由于选择题提供了 唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计
算，只需对其数值特点和取值界 限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估
算法的关键是确定结果所在的大致范围，否 则“估算”就没有意义，估算法往往可以减少运

B．(－6,6)
D．(－4,4)

算量，但是加强了思维的层次．
x≤0，
?
?
例5 若D为不等式组
?
y≥0，
?
?
y－x≤2

表示 的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x
＋y＝a扫过D中的那部分区域的面积为( )
37
A.B．1C.D．2
44
答案 C
解析 如图知所求区域 的面积是△OAB的面积减去Rt△CDB的面积，所求的面积比1大，比
1
S
△OAB
＝
×2×2＝2小，故选C.
2

拓展训练5 (20 13·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方
体的正视图的面积不可 能等于( )
A．1B.2C.
答案 C
解析 由俯视图知正方体的底面水平放 置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一
2－1
边长最小为1，最大为2，面积范围 应为[1，2]，不可能等于
.
2
2－12＋1
D.
22

ππ
1．已知函数f(x)对任意的实数x，满足f(x)＝f(π－ x)，且当x∈(－，)时，f(x)＝x＋sinx，则( )
22
A．f(1)C．f(3)答案 D
解析 由f(x)＝f(π－x)，
π
可知函数f(x)的对称轴为x＝
.
2
ππ
当x∈(－，
)时，f(x)＝x＋sinx，
22

B．f(2)D．f(3)

故f′(x)＝1＋cosx>0，
ππ
所以函数f(x)在(－，
)上单调递增，
22
π3π
在(，
)上单调递减．
22
πππ
因为|3－
|>|1－|>|2－|，
222
所以f(3)2.设全集U＝R，A＝{x|2
x(x
的集合为( )
A．{x|x≥1}
C．{x|0答案 B
解析 A＝{x|2
x(x
－
2)
<1}＝{x|0B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|x<1}．
由题图知阴影部分是由A中元素且排除B中元素组成，
得1≤x<2.故选B.
3．函数f(x)＝
A．[－
(0≤x≤2π)的值域是( )
3－2cosx－2sinx
B．[－1,0]
D．[－
3
，0]
3
sinx－1
B．{x|1≤x<2}
D．{x|x≤1}
－
2)
<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示
2
，0 ]
2
C．[－2，－1]
答案 B
解析 令sinx＝0，cosx＝1，
则f(x)＝＝－1，排除A，D；
3－2×1－2×0
0－1
令sinx＝1，cosx＝0，
则f(x)＝＝0，排除C，故选B.
3－2×0－2×1
1－1
?
f?x?，f?x?≤K，
?
4．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定 的正数K，定义函数f
K
(x)＝
?
?
?
K，f?x?>K ，

取函数f(x)＝2
－
|x|1
.当K＝时，函数f
K
(x)的单调递增区间为( )
2
B．(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
A．(－∞，0)
C．(－∞，－1)
答案 C
1
解析 当K＝
时，
2
f
K
(x)＝f
1
2
?
(x)＝
?< br>1
?
2
，2
1
2
－
|x|
，2－
|x|
≤
，
2
1
－
|x|
>
，
2



即f
1
2
?
?2
?
，|x|≥1，
(x)＝
?
1
?
2
，|x|<1，
|x|
1


1
f(x)的图象如图．
2
由图象可知，所求单调递增区间为(－∞，－1)．
5．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x
2
有公共点，则b的取值范围是( )
A．[1－22，1＋22]
C．[－1,1＋22]
答案 D
解析 y＝3－4x－x
2
变形为(x－2)
2
＋(y－3)
2
＝4(0≤x≤4,1≤y≤3)，表
B．[1－2，3]
D．[1－22，3]
示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．
若 直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x
2
有公共点，只需直线y＝x＋b在
图中两直 线之间(包括图中两条直线)，y＝x＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝x＋b的距离
|2－3＋b |
为2，即＝2，解得b＝1－22或b＝1＋22(舍去)，所以b的取值范围为1－22≤b≤3.
2
故选D.
x
2
y
2
6．已知椭圆
2< br>＋
2
＝1(a>b>0)的右焦点为F
1
，左焦点为F
2，若椭圆上存在一点P，满足以椭
ab

圆短轴为直径的圆与线段PF
1
相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率为( )
A.
5225
B.C.D.
3329
答案 A
解析 如图所示，设线段PF
1
与圆切于点M，
则|OM|＝b，|OF
1
|＝c，
故|MF
1
|＝c
2
－b
2
，
所以|PF
1
|＝2|MF
1
|
＝2c
2
－b
2
.
又O为F
1
F
2
的中点，M为PF
1
的中点，
所以|PF
2
|＝2|OM|＝2b.
由椭圆的定义，得2
即即
c
2
－b
2
＝a－b.
2c
2
－ a
2
＝a－a
2
－c
2
，
1－e
2
，
1－e
2
.
c
2
－b
2
＋2b＝2a，
也就是2e
2
－1＝1－
两边平方，整理得3e
2
－3＝－2
再次平方，整理得9e4
－14e
2
＋5＝0，
5
解得e
2
＝或e
2
＝1(舍去)，
9
故e＝
5
.故选A.
3
m－34－2m
πθ< br>7．已知sinθ＝，cosθ＝(<θ<π)，则tan等于( )
2
m＋5m＋5
2
m－3
A.
9－m
1
C.
3
答案 D
θ
解析 利用同角正 弦、余弦的平方和为1求m的值，再根据半角公式求tan
，但运算较复杂，
2
试根据 答案的数值特征分析．由于受条件sin
2
θ＋cos
2
θ＝1的制约，m为 一个确定的值，进而
m－3
B.
|9－m|
D．5

θππθπθ
推知tan也为一个确定的值，又
<θ<π， 因而<<
，故tan
>1.
224222
8．(2013·课标全国Ⅰ)设 △A
n
B
n
C
n
的三边长分别为a
n
，b
n
，c
n
，△A
n
B
n
C
n的面积为S
n
，n＝1,2,3，….
c
n
＋a
nb
n
＋a
n
若b
1
>c
1
，b
1
＋c
1
＝2a
1
，a
n
＋
1
＝a
n
，b
n
＋
1
＝，c
n
＋
1
＝，则( )
22
A．{S
n
}为递减数列
B．{S
n
}为递增数列
C．{S
2n
－
1}为递增数列，{S
2n
}为递减数列
D．{S
2n
－
1
}为递减数列，{S
2n
}为递增数列
答案 B
4a
1
2a
1
解析 因为b
1
>c
1，不妨设b
1
＝，c
1
＝；
33
故S
1＝
3a
1
a
1
a
1
5a
1
1 5
2
···
＝
a
；
226612
1
24
a
1
＋a
1
a
＋a
33
11
75
a
2
＝a
1
，b
2
＝＝
a
1，c
2
＝＝
a
1
，
2626
S
2< br>＝
3a
1
a
1
2a
1
a
1
6
···
＝
a
2
.
22336
1
7a
＋a
6
11
13
显然S
2
>S
1< br>；a
3
＝a
1
，b
3
＝＝
a
1，
212
5
a
＋a
1
6
1
11c
3
＝＝
a
1
，
212
S
3
＝
3a
1
a
1
5a
1
7a
1
1 05
2
···
＝
a
，显然S
3
>S
2.
22121224
1
所以，可知{S
n
}为递增数列． < br>9．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e
x
关于y轴对称 ，则f(x)等于
( )
A．e
x1
B．e
x1
C．e
＋－－
x
＋
1
－
x
－
1
D．e
答案 D
解析 依题意，f(x)向右平移一个单位长度之后得到的函数是y＝e
－
x
，于是f(x)相当于y＝e
－
x
向左平移一个单位的结果，所以 f(x)＝e
－
x
－
1
.
x
2
y
2
10．已知双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的两条渐近线 与抛物线y
2
＝2px(p>0)的准线分别交于A，
ab
B两点，O为坐标 原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p等于( )

3
A．1B.C．2D．3
2
答案 C
cb
解析 由
＝2(c为半焦距)，则＝3，
aa
即双曲线两条渐近线的倾斜角分别为60°和120°，
3p
2
所以△AOB面积为，
4
3p
2
所以＝3，所以p＝2为所求．
4
11．(20 14·浙江)已知函数f(x)＝x
3
＋ax
2
＋bx＋c，且0A．c≤3
C．6答案 C
B．3D．c>9
?
?
－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，
解析 由题意得
?

?
?
－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，< br>??
?
3a－b－7＝0，
?
a＝6，
化简得
?解得
?

??
?
4a－b－13＝0，
?
b＝ 11，
所以f(－1)＝c－6，
所以012．已知圆C
1
：(x－2)
2
＋(y－3)
2
＝1， 圆C
2
：(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝9，M，N分别是 圆C
1
，C
2
上
的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN| 的最小值为( )
A．52－4B.17－1C．6－22D.17
答案 A
解析 作圆C
1
关于x轴的对称圆C′
1
：(x－2)
2< br>＋(y＋3)
2
＝1，
则|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|，
由图可知当C
2
、M、P、N′、C′
1
在同一直线上时，
|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|取得最小值，
即为|C′
1
C
2
|－1－3＝52－4.
1
?
|x
－
1|
13．函数f(x)＝
?
?
2
?
＋2cosπx(－2≤x≤4)的所有零点之和等于( )
A．2B．4C．6D．8

答案 C
1
?
|x
－
1|
解析 由f(x)＝
?
?
2
?
＋2cosπx＝0，
1
?
|x
－
1|
得
?
?
2
?
＝－2 cosπx，
1
?
|x
－
1|
令g(x)＝
?< br>?
2
?
(－2≤x≤4)，
h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)，
?
?
1
?
x
－
1
， 1≤x≤4，
?
1
?
|x
－
1|
?
2
?
又因 为g(x)＝
?
＝
?

?
2
?
x1
?
?
2
－
， －2 ≤x<1.
1
?
|x
－
1|
在同一坐标系中分别作出函数g (x)＝
?
?
2
?
(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cosπx( －2≤x≤4)的图象
(如图)，


1
?
|x
－
1|
由图象可知，函数g(x)＝
?
?
2
?
关于 x＝1对称，
又x＝1也是函数h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的对称轴，
1
?
|x
－
1|
所以函数g(x)＝
?
?
2
?
(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的交点也关于x＝1对称， 且
两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.
14．设函数f(x)的定义域为R，x< br>0
(x
0
≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x
0
)
B．－x
0
是f(－x)的极小值点
C．－x
0
是－f(x)的极小值点
D．－x
0
是－f(－x)的极小值点
答案 D
解析 －f(－ x)是f(x)的图象关于原点作变换，(x
0
，f(x
0
))是极大值点， 那么(－x
0
，－f(－x
0
))就
是极小值点．

15．在抛物线y＝2x
2
上有一点P，它到A(1,3) 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐
标是( )
A．(－2,1)
C．(2,1)
答案 B
解析 如图所示，直线l为抛物线y＝2x
2
的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN
1
⊥l，由抛物线的
定义知，|PF |＝|PN|，
∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN
1
|，
当且仅当A、P、N三点共线时取等号．
∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，
则可排除A、C、D，故选B.

B．(1,2)
D．(－1,2)