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高中数学放缩法技巧全总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 19:59
tags:高中数学技巧

高中数学校本教材课题有哪些-河南高中数学理科教材

2020年9月20日发(作者:阚凤岗)


.
2010高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式,因其思维跨 度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜
能与后继 学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观 察所给数
列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
一、裂项放缩
例1.(1)求
n
?
4kk?1
2
2
?1
的值; (2)求证:
?
k
k?1
n
1
2
?
5
.
3
解析:(1)因为
(2)因为
1
2
4n
2
?1
1
?
211
,所以
n
212n

??
?1??
?
2
(2n?1)(2n?1)2n?12n?12n?12n?1
k?1
4k?1
4
n
1111
?25

1
?
,所以
?
1
?1?2
?< br>?
1
?
?
????
?
?1??
2
? ??2?
??
2n?12n?1
?
33
?
35
k? 1
k
1
4n
2
?1n
2
?
2n?12n? 1
?
n
2
?
4
奇巧积累:(1)
1
?4
?
22
n4n
211
1
?
(2)
1
?
1

???
?2
?
?
?
12
4n?1
?
2n?12n?1
?
C
n?1
C
n
(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)
4
2
(3)
T
r?1
r
?C
n
?1n!11111
??????(r?2)

rr
r!(n?r)!
n
r!r(r?1)r?1r
n
(4)
(1?
1
)
n
?1?1?
1
?
n2 ?1
115
????

3?2n(n?1)2
1
?n?2?n

n?2
1
?
111
?
2

??
? ?
?
n
?
n?1n
(2n?1)?2(2n?3)?2
?< br>2n?12n?3
?
2
(5)
111
(6)
?
n
?
nn
2(2?1)2?12
n
(7)
2(n?1?n)?
1
?2(n?n?1)
(8)
n
(9)
111
?
111
?
11
??

?
?
?
?
,?
?
?
?
k(n?1 ?k)
?
n?1?kk
?
n?1n(n?1?k)k?1
?
nn?1?k
?
n11
(11)
??
1
(n ?1)!n!(n?1)!
?2(2n?1?2n?1)?
n
22
2n?1? 2n?1
?
n?
2
11
?n?
22
(10)

(11)
2
n
2
n
2
n
2
n?1
11

?
n?
n
?
n
?
n?1
?
n
(n?2)< br>n2nnn?1
(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)(2?2)(2?1)(2?1)2 ?12?1
?
1
n?n
2
?
??
1111

?
??
?
?
n(n?1)(n?1)
?
n(n?1 )
?
?
n(n?1)
?
n?1?n?1
(12)
1
n
3

1
?
n?1?n?1
?
1
?
?
??
?
?
n?1
?
2n
?
n?1
11

?
n?1n?1
n
(13)
2
n?1< br>?2?2
n
?(3?1)?2
n
?3?3(2
n
?1 )?2
n
?2
n
?1?
2
?
3
12
n

?
2
n
?13
(14)
k?211
(15)
??
k!?(k?1)!?(k?2)! (k?1)!(k?2)!
1
?n?n?1(n?2)

n(n?1)
(15)
i
2
?1?j
2
?1
i
2
?j
2
?
i?j
(i?j)(i
2
?1?j
2
?1)
?
i?j
i
2
?1?j
2
?1
?1


171
例2.(1)求证:
1?
1
?
1
????? (n?2)

222
62(2n?1)
35(2n?1)
(2)求证:
1
?
1
?
1
???
1
?1
?
1

2
41636
4n
24n
(3)求证:
1
?
1?3
?
1?3?5
???
1? 3?5???(2n?1)
?
22?42?4?62?4?6???2n
2n?1?1

精选


.
(4) 求证:2(n?1?1)?1?
1
?
1
???
1
?2(2n? 1?1)

23n
解析:(1)因为
111
?
11
?
,所以
???
??
(2n?1)
2
(2n?1)(2n?1)2
?
2n?12n?1
?
?
(2i?1)
i?1
n
1< br>2
111111

?1?(?)?1?(?)
232n?1232n?1
(2)< br>1
?
1
?
1
???
1
?
1
(1?
1
???
1
)?
1
(1?1?
1
)

222
41636
4n
4
2n
4n
(3)先运用分式放缩法证明出
1?3?5???(2n?1)
?
2?4?6???2 n
2
n?1?n
1
2n?1
,再结合
1
n?2?n?2?n
进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先
1
n
?2(n?1?n)?
,所以容易经过裂项得到
1

n
22
2n?1?2n?1
2
n?
1 1
?n?
22
2(n?1?1)?1?
1
2
?
1< br>3
???
再证
1
n
而由均值不等式知道这是显然成立的,所以
?2(2n?1?2n?1)??
1?
1
2
?
1
3
???
1
n
?2(2n?1?1)

例3.求证:
6n1115
?1?????
2
?

(n?1)(2n?1)49n3
1
??
1
??
2
?2?
?
?
2
1
4n?1
2n?12n?1
?n
2
?
n?
4
14
解析:一方面:因为
1
,所以
?
k
k?1
n
1< br>2
11
?
25

?
11
?1?2
?
?????
?
?1??
2n?12n?1
?
33
?
35
11n

另一方面:
1?
1?
1
???
1
?1?
1
?
1
???? 1??
49n
2
2?33?4n(n?1)n?1n?1

n?3
时,
n
n?1
?
6n111
6n
,当
n?1
时,
?1?????
2
,
(n?1)(2n? 1)49n
(n?1)(2n?1)

n?2
时,
6n111
?1?????
2
,所以综上有
(n?1)(2n?1)49
n
6n1115
?1?????
2
?

(n?1)(2n?1)49n3
例4.(2008年全国一卷) 设函数
f(x) ?x?xlnx
.数列
?
a
n
?
满足
0?a
1
?1
.
a
n?1
?f(a
n
)
.设< br>b?(a
1
,1)
,整数
k

a
1
?b
.证
a
1
lnb
明:
a
k?1
?b< br>.
解析:由数学归纳法可以证明
?
a
n
?< br>是递增数列,故存在正整数
m?k
,使
a
m
?b
,则
a
k?1
?a
k
?b
,否则若
a
m
?b(m?k)
,则由
0?a
1
?a
m
?b?1

a
m
lna
m
?a
1
lna
m
?a
1
lnb?0
,
a
k?1
?a
k
? a
k
lna
k
?a
1
?
?
a
m< br>lna
m
,因为
?
a
m
lna
m
? k(a
1
lnb)
,
m?1m?1
kk
于是
a< br>k?1
?a
1
?k|a
1
lnb|?a
1
? (b?a
1
)?b

例5.已知
n,m?N
?
,x ??1,S
m
?1
m
?2
m
?3
m
??? n
m
,求证:
n
m?1
?(m?1)S
n
?(n ?1)
m?1
?1
.
解析:首先可以证明:
(1?x)
n
?1?nx

n
m?1
?n
m?1
?(n?1)
m?1
?(n?1)
m?1
?(n?2)
m?1
???1
m?1
?0?[km?1
?(k?1)
m?1
]
所以要证
?
k?1
n

n
m?1
?(m?1)S< br>n
?(n?1)
m?1
?1
只要证:
精选


.
?
[k
m?1
?(k?1)
m?1]?(m?1)
?
k
m
?(n?1)
m?1
?1?(n ?1)
m?1
?n
m?1
?n
m?1
?(n?1)
m?1
???2
m?1
?
1m?1
?
?
[(k?1 )
m?1
?k
m?1
]

k?1k?1 k?1
nnn
只要证
?
[k
m?1
?(k?1)
m ?1
]?(m?1)
?
k
m
?
?
[(k?1)m?1
?k
m?1
]
,即等价于
k?1k?1k?1
nnn
k
m?1
?(k?1)
m?1
?(m?1)k
m?(k?1)
m?1
?k
m
,即等价于
1?
m?1?(1?
1
)
m?1
,1?
m?1
?(1?
1
)
m?1

kkkk
而正是成立的,所以原命题成立.
例 6.已知
a
n
?4
n
?2
n
,
T?
n
2
n
,求证:
T?T?T???T?
3
.
1 23n
2
a
1
?a
2
???a
n
nn解析:
T?4
1
?4
2
?4
3
???4
n
?(2
1
?2
2
???2
n
)?
4( 1?4)
?
2(1?2)
?
4
(4
n
?1)?2( 1?2
n
)

n
1?41?23
所以
2
n
2
n
3?2
n
32
n
T
n
??< br>n?1
?
n?1
?
n?1
??
4
n
4442
4?3?2
n?1
?222?(2
n
)
2
?3?2
n
?1
(4?1)?2(1?2
n
)
??2?2< br>n?1
??2
n?1
3
3333
2
n

?
32
n
3
?
11
?

???
n
?
n?1
?
nn
2(2?2?1)(2?1)2< br>?
2?12?1
?
11111
?
3

从而
T?T?T???T?
3
?
?
n?1
?
1?? ????
n
?
?
123n
2
?
3372?12?1
?
2
例7.已知
x
1
?1
,
x?
?
n(n?2k?1,k?Z)
,求证:
?
n
?
n?1( n?2k,k?Z)
1
4
x
2
?x
3
1
?
1
4
x
4
?x
5
???
1
14
x
2n
x
2n?1
?
?2(n?1?1)(n?N* )
11
4

2
,因为
2n
证明:
4< br>x
2n
x
2n?1
?
4
(2n?1)(2n?1)< br>1
4
4
4n
2
?1
?
2
2n
?
4n
2
?
2
1
2?n
?

2n?n?n?1
,所以
所以
4
x
2n
x
2n?1
?
n?n?1
?2(n?1?n)

1
x
2
?x
3
?
1
4
x
4
?x
5
???
1
4
x
2n
x
2n?1
?2( n?1?1)(n?N*)




二、函数放缩
n
例8.求证:
ln2
?
ln3
?
ln4
???
ln3
?3
n
?
5n?6
(n?N
*
)
.
2343
n
6
解析:先构造函数有
lnx?x?1?
lnx
?1?
1
,从而
ln2
?
ln3
?
ln4
???
ln3
n
?3
n
?1?(
1
?
1
???
1
)
nn
xx
234
3
23
3
因为
11
2
?
3
???
1
?
11
??
11 1111
?
11
?
1
?
?
?
?
?
?
?????
?
???
?
n
?
n
???
nn
32?13
?
23
??
456789
? ?
2
?

?
?
?
3
n?1
5< br>?
33
??
99
?
3
n?1
?
5n

??
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
2?3
n?1
?
3
n
?
?
?
66
?
69
??
1827
?
??< br>n
所以
ln2
?
ln3
?
ln4
???ln3
?3
n
?1?
5n
?3
n
?
5 n?6

23466
3
n
???
2
ln2ln3l nn2n?n?1
例9.求证:(1)
?
?2,?????(n?2)

2(n?1)
2
?
3
?
n
?
解析:构造函数
?
lnn
2
lnx
,得到
lnn
?
2
f(x)?
?
nn
x
2
,再进行裂项
l nn
?1?
1
?1?
1
,求和后可以得到答案
n(n?1)
n
2
n
2
精选


.
函数构造形式:
lnx?x?1
,
lnn
?
? n
?
?1(
?
?2)

例10.求证:
1
?
1
???
1
23n?1
?ln(n?1)?1?
11???

2n
n?1
解析:提示:
ln(n?1)?ln
n?1
?
n
???
2
?ln
n?1
?ln
n
???ln2

nn?11n
函数构造形式:
lnx?x,lnx?1?
1

x
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数
f(x)?
1
,
x
y
首先:
S
ABCF
1
1
,从而,
1

?i?
?
?lnx|
n
?
?
n?i
?lnn?ln(n?i)
nx
x
n?i
n?i
n
O
n
n
E
F
A
n-in
D
C
B
x

i?1
有,
1
?lnn?ln(n?1)
,
所以有
1
?ln2
,
1
?ln3?ln2
,…,
1
?lnn?ln(n?1)
,
1
?ln(n?1)?lnn
,相加后可以得到:
1
?
1
???
1
?ln(n?1)

3< br>n?1
n
23n?1
2
另一方面
S
ABDE
1
1
,从而有
1

?i?
?
?lnx|
n
?
?
n?i
?lnn?ln(n?i)
n?i
n?i
x
n?i
x
n
n

i?1
有,
1
?lnn?ln(n?1)
,
n?1
所以有
ln(n?1)?1?
1
???
1
,所以综上有
1
?
1
???
1
?ln(n?1)?1?
1
???
1

2n
23 n?12n
例11.求证:
(1?
1
)(1?
1
)???( 1?
1
)?e

1
(1?)(1?
2!3!n!
9
.
11
)???(1?
2n
)?e
81
3
解析:构造函数后即可证明
例12.求证:
(1?1?2)?(1?2?3)???[1? n(n?1)]?e
2n?3

解析:,叠加之后就可以得到答案
3
n(n?1)?1
(加强命题)
31?ln(1?x)3
(x? 0)??(x?0)
x?1xx?1
???
ln[n(n?1)?1]?2?
函数构造形式:
ln(x?1)?2?
例13.证明:
ln2ln3ln4
3
?
4
?
5

lnnn(n?1)
?(n?N*,n?1)
n?14
解析:构造函数
f(x)?ln(x?1)?(x?1)?1(x?1)
,求导,可以得到:

f
'
(x)?
12?x
,令
?1?
x?1x?1
f
'
(x)?0

1?x?2
,令
f
'
(x)?0

x?2
,
所以
f(x)?f(2)?0
,所以
ln(x?1)?x?2
,令
x ?n
2
?
1
有,
lnn
2
?n
2
?1

所以
lnn
n?1
?
n?1
,所以
ln2
3
2
?
ln3ln4lnnn(n?1 )

?????(n?N*,n?1)
45n?14
例14. 已知
a?1,a?(1?
1
)a?
1
.
证明a
n
?e
2
.
1n?1n
2n
n?n2
解析:
a
n?1
?(1?
,
1111
)a
n
?
n
?(1??
n
)a
n
n(n?1)n(n?1)
22
lna
n?1
?ln(1?
然后两边取自然对数,可以得到
< br>11
?
n
)?lna
n
n(n?1)
2
然后 运用
ln(1?x)?x
和裂项可以得到答案)
精选


.
放缩思路:
a
n?1
?(1?
11
?)a
n
?
n
2
?n2
n
lna
n?1
?ln(1?
11
?
n
)?lna
n
?
n?n2
2
?lna
n
?
11
?
n
n?n2
2n?1
i?1
。于是
lna
n?1
?lna
n
?
11
?
n?n2
n2


?
i?1< br>n?1
(lna
i?1
?lna
i
)?
?
1 11
(
2
?
i
)?lna
n
?lna
1< br>?1??
n
i?i2

lna
n
?lna
1
?2?a
n
?e
2
.

2
n
?n(n?1)(n?2)
来放缩:
a
n?1
?(1?
11
)a
n
??
n(n?1)n(n?1)
a< br>n?1
?1?(1?

1
1?()
n?1
11
2
?2??
n
?2.
1
n
2
1?
2注:题目所给条件
ln(1?x)?x

x?0
)为一有用结论,可以起 到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论
1
)(a
n
?1) ?
n(n?1)

ln(a
n?1
?1)?ln(a
n?1)?ln(1?
n?1

n?1

11
11?ln(a
n
?1)?ln(a
2
?1)?1??1
)?.?
?
[ln(a
i?1
?1)?ln(a
i
?1)]?
?
i(i?1)n
n(n?1)n(n?1)
i?2i?2

ln(a
n
?1)?1?ln3?a
n
?3e?1?e
2
.

例15.(2008年厦门市质检) 已知函数
f(x)
是在< br>(0,??)
上处处可导的函数,若
x?f'(x)?f(x)

x? 0
上恒成立.
(I)求证:函数
g(x)?
f(x)
在 (0,??)
x
上是增函数;
(II)当
x
1
?0,x
2
?0时,证明:f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
1
?x
2
)

(III)已知不等式
ln(1?x)?x在x??1且x?0
时恒成立,
求证:
1
2
2
ln2
2
?
111n
ln3
2
?
2
ln4
2
???ln(n?1)
2
?
22
2(n?1)(n?2)
34(n?1)
(n?N
*
).

解析:(I)
(II)因为
g'(x)?
,所以函数上是增函数
f'(x)x?f(x)
f(x)
?0
g(x)?在(0,??)
2
x
x
g(x)?
上是增函数,所以
f(x)
在(0,??)
x
x
1

?f(x
1
?x
2
)
x
1
?x
2

f(x
1
)
?
f(x
1
?x
2
)
?f(x)?
1
x
1
x
1
?x
2
f(x
2
)f(x
1
?x
2
)x
2

? ?f(x
2
)??f(x
1
?x
2
)
x
2
x
1
?x
2
x
1
?x
2
两式相加后可以得到
f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
1< br>?x
2
)

(3)
f(x
1
)
x
1
?

f(x
1< br>?x
2
???x
n
)
x
1
?f(x
1
)??f(x
1
?x
2
???x
n
)
x
1
?x
2
???x
n
x
1
?x
2
???x
n
f(x
2
)
f(x
1
?x2
???x
n
)
x
2
……
??f(x
2
)??f(x
1
?x
2
???x
n
)
x
2
x
1
?x
2
???x
n
x
1
?x
2
???x
n
f(x
n
)f(x
1< br>?x
2
???x
n
)x
n
??f(x
n
)??f(x
1
?x
2
???x
n
)
x
n
x
1
?x
2
???x
n
x
1
?x
2
???x
n
相加后可以得到:

f(x
1
)?f(x
2
)???f(x
n
)?f(x
1
?x
2
???x
n
)

所以
x
1
lnx
1
?x
2
ln x
2
?x
3
lnx
3
???x
n
lnx< br>n
?(x
1
?x
2
???x
n
)ln(x< br>1
?x
2
???x
n
)


?
1111
2222
?
?
?
?
2
2
ln2?
3
2
ln3?
4
2
ln4 ???
(n?1)
2
ln(n?1)
?
?
?
??< br>
?
1111
??
111
?

?< br>?
2
2
?
3
2
?
4
2
?? ?
(n?1)
2
?
?
?ln
?
?
2
2
?
3
2
???
(n?1)
2
?
?????
?
111
?
?
111
?

?
??
?
?
?????ln????
?
?
2
2
3
2
(n?1)n
?
(n?1)
2
?
?
??
?
2?13?2
x
n
?
1
(1?n)
2
,有
1
??
11
?
n

?
?

?
?
??
?
?
??
2(n?1)(n?2)
?
n?1
??
2n?2
?
精选


.
所以
1
2
2
ln22
?
111n
ln3
2
?
2
ln4
2
???ln(n?1)
2
?
22
2(n?1)(n?2)
3 4(n?1)
?
ln(n?1)
2
ln41
?

?
1
??ln4
?
?
?
(n?1)(n?2)(n?1)(n ?2)
?
n?1n?2
?
(n?N
*
).

(方法二)
ln(n?1)
2
(n?1)
2
所以
1
2
2
ln2
2
?
1111
?
nln4

?
1
ln3
2
?
2
ln4< br>2
???ln(n?1)
2
?ln4
?
?
?
?
22
34(n?1)
?
2n?2
?
2(n?2)
1111n
ln2
2
?
2
ln3
2
?
2< br>ln4
2
???ln(n?1)
2
?
22
2(n?1 )(n?2)
234(n?1)
(n?N
*
).

ln4?1?
1
,所以
n?1

例16.(2008 年福州市质检)已知函数
f(x)?xlnx.

a?0,b?0,证明:f(a)? (a?b)ln2?
解析:设函数
g(x)?

?f(x)?xlnx,
f(x)?f(k?x),(k?0)

f(a?b)?f(b).


?g(x)?xlnx?(k?x)ln(k ?x),
?0?x?k.
?g
?
(x)?lnx?1?ln(k?x)?1? ln
x
,
k?x
x2x?kk
令g
?
(x)?0, 则有?1??0??x?k.
k?xk?x2
k
g(x)在[,k
2
∴函数







)上单调递增,在
k
上单调递减.
(0,]
2

g(x)
的最小值为
k
,即总有
g(x)
g()
2
k
?g().

2

g(
k
)?f(
k< br>)?f(k?
k
)?kln
k
?k(lnk?ln2)?f(k)?k ln2,

2222
?g(x)?f(k)?kln2,


f(x)?f(k?x)?f(k)?kln2.


x?a,k?x?b,

k?a?b.

?f(a)?f(b)?f(a?b)?(a?b)ln2.


?f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).


三、分式放缩
姐妹不等式:
b
?
b?m
(b ?a?0,m?0)

b
?
b?m
(a?b?0,m?0)

aa?m
aa?m
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看
b
,若
b
小,则不等号是小于号,反之.
例19. 姐妹 不等式:
(1?1)(1?
1
)(1?
1
)?(1?
35< br>1111
(1?)(1?)(1?)?(1?)?
2462n
1
2n? 1
1
2n?1
1
)?2n?1

2n?1
也可以表示成为

1?3?5???(2n?1)
2? 4?6??2n
?
?2n?1
2?4?6???2n
1?3?5???(2n ?1)
aa?m
解析: 利用假分数的一个性质
b
?
b?m
(b?a?0,m?0)
可得

2
?
4
?
6
?
135
2n?
3
?
5
?
7
?
2n?1
?
1
?
3
?
5
?
2n?1
2462n
246
2n?1

?(2n?1)
2n
?
(
2
?
4
?
6
?
135
111
2n
2
) ?2n?1.

)?2n?1

(1?1)(1?)(1?)?(1?
352n?1
2n?1
例20.证明:
(1?1)(1?
11 1
)(1?)?(1?)?
3
3n?1.

473n?2
解析: 运用两次次分式放缩:
精选


.
2583n?13693n
(加1)
??????.?????
1473n?22583n?1

2
?
5
?
8
???
3n?1
?
4
.
7
?
10
????
3n?1
(加2)
1473n?23693n
相乘,可以得到:
3n?1
?
47103n?11473n?2
?
258
< br>???????(3n?1)
?
?????
?
?.?????
3n?2
?
2583n?12583n?1
?
147
2
所 以有
(1?1)(1?
1
)(1?
1
)?(1?
1
)?
3
3n?1.

473n?2
四、分类放缩
例21.求证:
1?
1
?
1
???
23
1n
?

2?1
2
n
解析:
1?
1
?
1
???
23
11111111
?1??(?)?(< br>3
?
3
?
3
?
3
)???

244
2?12222
n
(
1111n1n

?? ??)???(1?)?
2
2
n
2
n
2
n
2
n
2
2
n
例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系
xoy
中,

?
B
n
?
满足
OA?OB?
1
,直线< br>nn
n
y
轴正半轴上的点列
?
A
?
与曲线< br>y?
n
2x

x
≥0)上的点
A
n
B
n

x
轴上的截距为
a
n
.点
B
n
的横坐标为
b
n
,
n?N
?
.
(1 )证明
a
n
>
a
n?1
>4,
n?N
?< br>; (2)证明有
n
0
?N
?
,使得对
?n?n0
都有
b
2
?
b
3
???
b
n
?
b
n?1
<
n?2008
.
b
1
b
2
b
n?1
b
n
解析:(1) 依题设有:
A
?
0,
1
?
,Bb,2b,b ?0
,由
OB?
1
得:
?
n
?
n
n
?
n
?
nn
n
?
n
?
??< br>
b
n
2
?2b
n
?
,又 直线
A
n
B
n

11
,?b
n
? ?1?1,n?N
*
22
nn

1
??
1
?
2b
n
?
?
?
?
0?
?
?b
n
?0
?
n
??
n
??

a
n
?
x
轴上的截距为
a
n
满足

Q2n
2
b
n
?1?n
2
b
n
2
?0,b
n
?2?
1

nb
n
2
?
a
n
?0
?
?
?
b
n
1?n2b
n
?a
n
?
b
n
1?n2b
n
b
n
12
??
2
??b
n
?2?2b< br>n
?4
?a
n
?
1
2
?1?1?2?21
2
?1

2
nn
1?2nb
n
nb
n
nb
n
1?n2b
n
?
1
,有
a
n
?a
n?1
?4,n?N
*

?0
n?1
??
显然,对于
1
n
(2)证明:设
c
n
?1?
,则
b
n?1
,n? N
*
b
n
1
2
c
n
?
1
?1?
n
2
?
n?1
?
?1
1
?1?1< br>n
2
?
11
?
?n
2
?
2
?
?
?
n
?
n?1
?
2
?
??< br>1
?1?1

n
2
11
?1??1
2
2
n
?
n?1
?
??
1
?1?1
??< br>2
2n?1
n
2n?1112n?1
??
????
2 22
?
n?1
?
2
1
?1
?
n?1
?
?
2
2
1
?1
?
2
?
n?1
?
??
n
2
n
2
??
Q
?
2n?1
??
n?2
?
?2
?
n?1
?
?n?0,?c
n
?
2
1
,n?N
*

n?2

S
n
?c
1
?c
2
?L ?c
n
,n?N
*
,则当
n?2
k
?2?1k?N
*
时,
??
1111
?
11
??
11< br>??
11
S
n
???
L
?
k
?k
?
?
?
?
?
?
2
?
L?
3
?
?
?
k?1
?
L
?
k
342?122
??
2?12
?
34
??
2?1< br>精选
?

?
?


.
?2?
1k?1

2
1
k?1
1
?2? ?L?2??
2
2
2
3
2
k
2
所以,取< br>n
0
?2
4009
?2
,对
?n?n
0都有:
?
b
n?1
?
?
b
2
??< br>b
3
?
4017?1
??
????
1??1???? 1??S?S??2008

nn
?
b
??
b
?< br>0
??
b
n
?
2
1
?
2
? ??
?
故有
b
2
?
b
3
???
b
n
?
b
n?1
<
n?2008
成立。
b
1
b
2
b
n?1
b
n
例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数
f
(
x
)
?x< br>2
?bx?c
(
b?
1,
c?R
)
,若f(x)
的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若
数列
{
b
n
}
满足
b?
f(n)
(n?N
*
),记数列
{b
n
}
的前
n
项和为
T
n
,问是否存在正常数
A
,使得对于任意正整数
n
都有
Tn
?A
?并证
n
3
n
明你的结论。
解析:首先求出
f(x)?x
2
?2x
,∵
b?
f(n)< br>?
n
2
?2n
?
1

n
33
nnn

T
n
?b
1
?b
2
?b
3
???b
n
?1?
1
?
1
???
1< br>,∵
1
?
1
?2?
1
?
1
,
1
?
1
?
1
?
1
?4?
1
?< br>1
,…
23n
82
3442
5678
1111,故当
n?2
k
时,
k
k?1
????2??
T??1
,
n
k?1k?1kk
2?12?2222
2
?
因此,对任何常数A,设
m
是不小于A的最小正整数,
则当
n?2
2m?2
时,必有
T?
2m?2
?1?m?A
.
n
2
故不存在常数
A
使
T
n
?A
对所有< br>n?2
的正整数恒成立.
例24.(2008年中学教学参考)设不等式组
?
x?0,
?
?
y?0,
?
y??nx?3n
?
1
表示的平面区域为
D
n
,设
D
n
内整数 坐标点的个数为
a
n
.设
S
n
?
1
an?1
?
1
a
n?2
???
1
a
2n
,

n?2
时,求证:
1
?
1
?
1
???
1
?
7n?11
.
a
1
a
2
a
3
a
2
n
36
解析:容易得到a
n
?3n
,所以,要证
11117n?11
只要证
S
n
??????
2
a
1
a
2
a
3
a
2
n
36
?1?
1117n?11
,因为
????
n
?
23212
S
2
n
?1?
1111111111
?(?)?(???)???(
n?1
?
n?1
???
n

23456782?12?22
?1?
1377n?11
,所以原命题得证.
?T
2
1
?T
2
2
???T
2
n ?1
??(n?1)?
221212
五、迭代放缩
例25. 已知
x
n?1
?
x
n
?4
n
, x
1
?1
,求证:当
n?2
时,
?
|x
i
?2|?2?2
1?n

x
n
?1
i?1
解析:通过迭代的方法得到
x?2?
1
,然后相加就可以得到结论
n
2
n?1
1
例26. 设
S?
sin 1!
?
sin2!
???
sinn!
,求证:对任意的正整数
k
,若
k

n
恒有:|
S
n+k
S
n
|<

n
n
12n
222
解析:
|S
n?k
?S
n
|?|
sin(n?1)!si n(n?2)!sin(n?k)

????|
n?1n?2
222
n?k

?|
sin(n?1)!
|?|
sin(n?2)!
|???|
sin(n?k )
|?
1
?
1
???
1

n?1n?2n?kn?1n?2n?k
222222
精选


.

?
1111111

(?2
???
k
)?
n
?(1?
k
)?
n n
2
2
22222
11

?
2
n
n
01n

2
n
?(1?1)
n
?C
n
?C
n
???C
n
?n
所以
|S
n?k
?S
n
|?
六、借助数列递推关系
例27.求证:
1
?
1?3
?
1?3?5
???
1?3?5???(2n?1)
?2n?2?1

22?42?4?62?4?6???2n
解析: 设
a?
1?3?5???(2n?1)

n
2?4?6???2n
a
n
?1
?
2n?1
a
n
?2(n?1) a
n?1
?2na
n
?a
n
,从而
2(n?1)
a
n
?2(n?1)a
n?1
?2na
n
,相加后 就可以得到
a
1
?a
2
???a
n
?2(n?1 )a
n?1
?2a
1
?2(n?1)?
1
2n?3
?1?(2n?2)?
1
2n?2
?1

所以
1
?
1?3
?
1?3?5
???
1?3?5???(2n?1)
?2n?2?1

22?42?4?62?4?6???2n
例28. 求证:
1
?
1?3
?
1?3?5
???
1?3?5???(2n?1)
?2n?1?1

22?42?4?62?4?6???2n
解析: 设
a?
1?3?5???(2n?1)

n
2?4?6???2n
a
n
?1
?
2n?1
,从而
a
n
?[2(n?1)?1]a
n?1
?(2n?1)a
n
?a
n?1
2(n?1)
a
n
?1
?[2(n?1)?1]a
n?1< br>?(2n?1)a
n
,相加后就可以得到
a
1
?a
2
???a
n
?(2n?1)a
n?1
?3a
1
? (2n?1)?
1
2n?1
?

3
?2n?1?1
2
例29. 若
a
1< br>?1,a
n?1
?a
n
?n?1
,求证:
解析:

111
?????2(n?1?1)
a
1
a2
a
n
1
a
n?1
?a
n?2
?a< br>n
a
n?2
?a
n?1
?n?2?a
n
?a
n?1
?1?

所以就有
1
a
1
?

111
?????a
n?1
?a
n
?a
2
?a
1
?2a
n?1
a
n
?a
2
?2n?1?2
a
2
a
n
a
1
七、分类讨论
例30.已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
?2a
n
?(?1)
n
,n?1.证明:对任意的整数
m?4
,有
1117

?????
a
4
a
5
a
m
8
解析:容易得到
a
n
?
2
n?2
,
2?(?1)
n?1
.
3
??
由于通项中含有
(?1)
,很难直接放缩,考虑分项讨论:

n
n
?3

n
为奇数时
1
a
n
n?2
?

131132
n?2
?2
n?1
?(
n?2< br>?
n?1
)??
2n?3n?1n?2
a
n?1
2< br>2?12?1
2
2?2?2?1

?
3
?
2
2
?2
2n?3
n?1
2
?
311(减项放缩),于是
?(
n?2
?
n?1
)
2
22
①当
m?
11111

111
?(?)???(?)
??? ??
a
4
a
5
a
6
a
m?1
a< br>m
a
4
a
5
a
m
7
??(
3
?
4
???
m?2
)????(1?
m?4
)? ??.

22
2
224288
222
4

m
为偶数时
②当
m?4

m
为奇数时
1
a
4
?
11
????
1
?
1
???
1
?
1
a
5
a
m
a
4
a
5
a
m
a
m?1
(添项放缩)由①知
11117
由 ①②得证。
??????.
a
4
a
5
a
m
a
m?1
8
精选


.
八、线性规划型放缩
例31. 设函数
f(x)?
2x?1
.若对一切
x?R

?3?af(x)?b?3
,求
a?b
的最大值。
2
x?2
解析:由
1?(x?2)
2
(x?1)
2
(f(x)?)(f(1)?1)?
22(x
2< br>?2)
2

1
(f(x)?)(f(1)?1)?0
2


1< br>??f(x)?1
2
由此再由
f(x)
的单调性可以知道
f( x)
的最小值为
1
,最大值为
1

?
2
因 此对一切
x?R

?3?af(x)?b?3
的充要条件是,
??3??
1
a?b?3

?
2
?
?
?3?a?b?3
?

a

b
满足约束条件
?
a?b??
3
?
a? b?3
?
?
1
?
?a?b??3
?
2
?< br>1
?
?a?b?3
?2

由线性规划得,
a?b
的最大值为5.
九、均值不等式放缩
例32.设
S
n
?1?2?2?3???n(n?1).
求证
n(n?1)
?S
2
n
?
(n?1)
2

.
2
解析: 此数列的通项为
a
k
?k(k?1),k?1,2,?,n.

k?k?11

1

?k?k(k?1)??k?
??
k?S?
?
(k?)
22
2
nn
n
k?1k?1

n(n?1)
2
?S
n
?
n(n? 1)n(n?1)

??.
222
2
注:①应注意把握放缩的“度” :上述不等式右边放缩用的是均值不等式
(n?1)(n?3)(n?1)
2
,就放过 “度”了!
S
n
?
?
(k?1)??
22
k?1
n
ab?
a?b
2
,若放成
k(k?1)?k?1
则得
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里


n
11
???
a
1< br>a
n
?
n
a
1
?a
n
?
a
1
???a
n
?
n
2
a
1
2???a
n
n
其中,
n?2,3
等的各式及其变式公式均可供选用。
1
1
11< br>,若
4
,且
f(x)
在[0,1]上的最小值为,求证:
f( 1)?f(2)???f(n)?n??.

f(1)?
bx
n?1
2
2
1?a?2
2
5
111

?1?(x?0)? f(1)???f(n)?(1?)
2?2
1?4
x
2?2
x
例33.已知函数
f(x)?
x
解析:
f(x)?
4
1?4
x
?1?

?(1?
1111111

)???(1?)?n?(1????)?n?? .
42
2?2
2
2?2
n
2
n?1
2n?1
2
??1
例34.已知
a,b
为正数,且
11< br>ab
,试证:对每一个
n?N
?

(a?b)
n?a
n
?b
n
?2
2n
?2
n?1
.
解析: 由
1
?
1
?1

ab?a?b
, 又
(a?b)(
1
?
1
)?2?
a
?
b< br>?4
,故
ab?a?b?4
,而
abba
ab
n0n 1n?1rn?rrnn
(a?b)?C
n
a?C
n
ab???C< br>n
ab???C
n
b


f(n)?(a?b)< br>n
?a
n
?b
n
,则
1n?1rn?rrn?1in?i
,倒序相加得
f(n)
=
C
n
ab???C< br>n
ab???C
n
ab
n?1
,因为
C
n< br>?C
n
1rn?1
2f(n)
=
C
n
(a< br>n?1
b?ab
n?1
)???C
n
(a
n?rb
r
?a
r
b
n?r
)???C
n
( ab
n?1
?a
n?1
b)

n

a< br>n?1
b?ab
n?1
???a
n?r
b
r
?a
r
b
n?r
???ab
n?1
?a
n?1b?2a
n
b
n
?2?4
2
?2
n?1


2f
1rn?1
(n)
=
(
C
n
???C
n
???C
n
)(
a
r
b
n?r
?a
n?r
b
r
)
?
(2
n?
2)(
a
r
b
n?r
?a
n?r
b
r
)
?(2
n
?2)?
2
n?1
,所以< br>f(n)
?(2
n
?2)?
2
n
,即对
精选


.
每一个
n?N
?

(a?b)
n
?a
n
?b
n
?2
2n
?2
n?1.
例35.求证
C?C?C???C?n?2
1
n
2
n
3
n
n
n
n?1
2
(n? 1,n?N)

2n?1
解析: 不等式左
C
?
C
?
C
?
?
?
C
1
n
2
n
3
n
n
n
?
2?1?1?2?2???2
n
?n? 1?2?2???2
n
2n?1
=
n?2
n?1
2

原结论成立.
例36.已知
f(x)?e?e
解析:
f(x
1
)?f(x
2
)?(e
x
1
?
x?x
,求证:
f(1)?f(2)?f(3)???f(n)?(e

n?1
?1)

n
2
11e
x
1
e
x
2
1

x
2
x
1
?x
2
)?(e?)?e??
x
1
?
x
1
x
2
?e
x
1
?x
2
?1
x
1
x< br>2
x
2
eeeee?e
n?1
n
2
经过倒序相乘,就可以得到
f(1)?f(2)?f(3)???f(n)?(e?1)

例37.已知
f(x)?x?
1
,求证:
f( 1)?f(2)?f(3)???f(2n)?2
n
(n?1)
n

x
解析:
11k2n?1?k1

(k?)(2n?1 ?k?)?k(2n?1?k)????2(2n?1?k)?2
k2n?1?k2n?1?kkk(2 n?1?k)
其中:
k?1,2,3,?,2n
,因为
k?2n ?k(1?k)?2n?(k?1)(2n?k)?0?k(2n?1?k)?2n

所以
(k?
1
)(2n?1?k?
k
1
)?2n?2

2n?1?k
从而
[f(1)?f(2)?f(3)???f(2n )]
2
?(2n?2)
2n
,所以
f(1)?f(2)?f(3)? ??f(2n)?2
n
(n?1)
n
.
例3 8.若
k?7
,求证:
S?
1
?
1
?
n< br>n
113
????
.
n?1n?2nk?12
解析:
2S?(
1
?
n
n
1111111
)?(? )?(?)???(?)

nk?1n?1nk?2n?2nk?3nk?1n
xy< br>11114
,当且仅当
x?y
时取到等号.
2
,所以(x?y)(?)?4
,所以
??
xyxyx?y
xy
因为当
x?0,y?0
时,
x?y?2xy,
1
?
1
?
所以
2S?
n
所以
44444n(k?1)

??????
n?nk?1n?1?nk?2 n?2?nk?3n?nk?1n?nk?1
2(k?1)2(k?1)43
S
n???2??
1
k?1k?12
1?k?
n
所以
Sn
?
11113

??????
nn?1n?2nk?12
例39.已知< br>f
(
x
)
?a
(
x?x
1
)(x?x
2
)
,求证:
a
2
.
f(0)?f(1)?
16
2
解析:
f(0 )?f(1)?a
2
[x(1?x)][x(1?x)]?
a
.
1122
16
例40.已知函数
f
(< br>x
)=
x
2
-(-1)
k
·2ln
x
(
k
∈N*)
.k
是奇数,
n
∈N*时,
求证: [
f’
(
x
)]
n
-2
n
-1
·
f’
(
x
n
)≥2
n
(2
n
-2).
解析: 由已知得
f
?
(x)?2x?
2
(x?0)

x
(1)当
n
=1时,左式=
(2x?
2
)?(2x?
2
)?0
右式=0.∴不等式成立.
xx
(2)
n?2
, 左式=
[f
?
(x)]n
?2
n?1
?f
?
(x
n
)?(2x?2
)
n
?2
n?1
?(2x
n
?
2< br>)

n
x
x

?2
n
(C
1
x
n?2
?C
2
x
n?4???C
n?2
1
?C
n?1
1
).

nnnn
x
n?4
x
n?2
精选


.

S?C
1
x
n?2
?C
2
x
n?4
?L?C
n?2
1
?C
n?1
1

nnnn
x
n?4
x
n?2
由倒序相加法得:

2S?C
1
(x
n? 2
?
1
)?C
2
(x
n?4
?
1
)???C
n?1
(
1
?x
n?2
)

nnn
n?2n?4n?2
xxx
12n?1

?2(C
n
?C
n
???C
n
)?2(2
n
?2)

所以
S?(2
n
?2).

所以
[f
?
(x)]
n
?2
n?1
?f
?
(x
n
)?2
n
(2
n
?2)成立.
综上,当
k
是奇数,
n
?
N
时,命题成立
?
例41. (2007年东北三校)已知函数
f(x)?a
x
?x(a?1)

(1)求函数
f(x)
的最小值,并求最小值小于0时的
a
取值范围;
2
1'2'n?1'
(2)令
S(n)?C
n
f(1)?C
n
f(2)???C
n
f(n?1)
求证:< br>S(n)?(2
n
?2)?f
'
(
n
)
< br>12n?1
(2)S(n)?C
n
(alna?1)?C
n
( a
2
lna?1)???C
n
(a
n?1
lna?1)(1)由f
'
(x)?a
x
lna?1,f
'
(x)? 0,即:a
x
lna?1,?a
x
?
同理:f
'
( x)?0,有x??log
a
lna,
1
122n?1n?112n?1,又a?1?x??log
a
lna
?(C
n
a?C
n
a???C
n
a)lna?(C
n
?C
n
???C
n
)
lna

所以f
'
(x)在(??,?log
a
lna)上递减,在(?log
a
lna,??)上递增;
1?l nlna
所以f(x)
min
?f(?log
a
lna)?
lna
1?lnlna1
若f(x)
min
?0,即?0,则lnlna?? 1,?lna?
lnae
1
1
12n?1
?[C
n
(a?a
n?1
)?C
n
(a
2
?a
n?2
)???C
n
(a
n?1
?a)]lna?(2
n
?2)
2
n
2

?a(2
n
?2)lna?(2
n
?2)
n
?(2?2)(alna?1)?(2
n
?2)f
'
(),
2
所以不等式成立。
n
n
2
?a的取值 范围是1?a?e
e
★例42. (2008年江西高考试题)已知函数
解析:对任意 给定的
a?0
,
x?0
,由
f
?
x
??
11ax
,
x?
?
0,??
?
.对任意正数
a
,证明:
1?
??
ax?8
1?x1?a
f?
x
?
?2

11
f(x)???
1?x1 ?a
1
8
1?
ax
,

若令
b?
8
,则
abx?8
① ,而
ax
f
?
x
?
?
111
??
1?x1?a1?b
② < br>(一)、先证
f
?
x
?
?1
;因为
11
1
1

1

1
?
?
?< br>1?x
1?x
1?b
1?b
1?a
1?a
又由
2?a?b?x?22a?2bx?4
4
2abx?8
,得
a?b?x?6

所以
fx?
??
111111
?????
1?x1?a1?b
1?x1?a1?b
?
3?2(a?b?x) ?(ab?ax?bx)

(1?x)(1?a)(1?b)
?
9?(a?b ?x)?(ab?ax?bx)
1?(a?b?x)?(ab?ax?bx)?abx
??1< br>.
(1?x)(1?a)(1?b)
(1?x)(1?a)(1?b)
(二) 、再证
f
?
x
?
?2
;由①、②式中关于
x,a, b
的对称性,不妨设
x?a?b
.则
0?b?2

(ⅰ)、 当
a?b?7
,则
a?5
,所以
x?a?5
,因为
1
?1

1?b
112
,此时
fx?
1
?
1
?
1
?2

???1
??
1?x1?a1?b
1?x1?a1?5
(ⅱ)、当
a?b?7
③,由①得 ,
因为
1
1?b
x ?
8

1
?
ab
1?x
ab

ab?8
?1?
bb
2
b
所以
??[1?]
2
2
1?b4(1?b)2(1?b)
1b

?1?
2(1?b)
1?b
精选


.
同理得
1a

?1?
2(1?a)
1?a
,于是
1
?
abab
?

f
?
x
?< br>?2?
?
??2
?
2
?
ab?8
?
?
1?a1?b
?
今证明
a
?
b
?2
1?a1?b
bab
ab
⑦, 因为
a

??2
ab?8
1?a1?b(1?a)(1?b)
只要证
abab
,即
ab?8?(1?a)(1?b)
,也即
a?b?7
,据③,此为显然.
?
(1?a)(1?b)ab?8
因此⑦得证.故由⑥得
f(x)?2

综上所述,对任何正数
a,x,皆有
1?f
?
x
?
?2

例43.求证:
1?
1
?
1
???
1
n?1n?2
?2

3n?1
解析:一方面:
(法二)
1
1111
?
11
?
12
??????
?
??
???1
n?1n?23n?12
?
34
?
24111
?
?
11
??
11
?
1
??

?
1
?????
?
?
??
????
?
?
?
?
??
?
n?1n?23n?1 2
?
?
n?13n?1
??
n?23n
??
3n? 1n?1
?
?
?
?
?

1
?
4n ?24n?24n?2
?
?
?
????
?
2
?(3n?1)(n?1)3n(n?2)(n?1)(3n?1)
?
?
??
(2n?1)
2
111

?
??
?
2n?1?
?
?
?????1
22
?
2
?
(2 n?1)
2
?n
2
(2n?1)
2
?(n?1)
2
(2n?1)?n
?
(2n?1)
?
另一方 面:
1
?
1
???
1
n?1n?23n?1
?2n?12n?2

??2
n?1n?1
十、二项放缩
01n
01

2
n
?(1?1)n
?C
n
,
2
n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?n?1
,
2

2
n
?C
0
?C
1
?C
2
?n?n?2

2
n
?n(n?1)(n?2)

nnn
2
例44. 已知
a?1,a?(1?
1n?1
解析:
a?(1?
n?1
2
11
)a
n
?
n
.
证明
a
n
?e

n?n2
2
11
1

)a
n
??
a
n?1
?1?(1?)(a
n
?1)?
n(n?1)n(n?1)
n(n?1)
n?1n?1
11

11
ln(a
n?1
?1)?ln(a
n
?1)?ln(1?)?.
?
?
[ln(a
i?1
?1)?ln(a
i
?1)]?
?
?l n(a
n
?1)?ln(a
2
?1)?1??1
n(n?1)n(n ?1)
i(i?1)n
i?2i?2

ln(a
n
?1)? 1?ln3?a
n
?3e?1?e
2
.

例45.设
1
,求证:数列
{a
n
}
单调递增且
a
n
a
n
?(1?)
n
n
?4.

解析: 引入一个结论:若
b?a?0

b
n?1
?a
n? 1
?(n?1)b
n
(b?a)
(证略)
整理上式得
a< br>n?1
?b
n
[(
n?
1)
a?nb
].< br>(
?


a?1?
1
,b?1?
1
代入(
?
)式得
(1?
1
)
n?1
?
( 1?
1
)
n
.

n?1n
n?1
n

{
a
n
}
单调递增。

a?1,b?1?< br>1
代入(
2n
?
)式得
1?(1?
1
n11
)??(1?)
2n
?4.

2n22n
1
,又因为数列
(1?)
n
?4
n
此式对一切正整数
n都成立,即对一切偶数有
1
(1?)
n
?4

n{
a
n
}
单调递增,所以对一切正整数
n

注:①上述不等式可加强为
2?(1?
1
)
n
?3.
简证如 下:
n
利用二项展开式进行部分放缩:
a?(1?
1< br>)
n
?1?C
1
?
1
?C
2
?1
???C
n
1
.

nnnn
2n
n
只取前两项有
a?1?C
1
?
1
?2.
对通项作如下放缩:
nn
n
n
nn
精选


.
11nn?1n?k?1111

????????.
nk!1?2?22
k?1
n
k
k!nn
n?1
故有
a?1?1?
1
?
1
???
1
?2?
1< br>?
1?(12)
?3.

n
2
2
2
21?12
2
n?1
k
C
n
②上述数列
{
a
n
}
的极限存在,为无理数
e
;同时是下述试题的背景:
ii
;已知
i,m,n
是正整数,且
1?i?m?n.
(1)证明
n
i
A
m
(2)证明
(1
?m
)
?
(1
?n
).
(01年全国卷理科第20题)
?m
i
A
n
nm
简析 对第(2)问:用1n
代替
n
得数列
{b
n
}:b
n
? (1?n)
是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法:数列
{(1?n)}
递减,< br>1
n
1
n

1?i?m?n,

(1?m)
m
1
?(1?n)
n
,

(1?m)
1< br>n
?(1?n)
m

当然,本题每小题的证 明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”
概率 模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。
例46.已知a
+
b
=1,
a
>0,
b
>0,求证:
a
n
?b
n
?2
1?n.

解析: 因为
a
+
b
=1,
a
>0,
b
>0,可认为
a,
从而

?
1
??
1
?
a
n< br>?b
n
?
?
?d
?
?
?
?d
?
?2
1?n
?
2
??
2
?
nn
1
成等差数列,设
11
,b
a??d,b??d

2
22
8
例47.设
n?1,n?N
, 求证
(
2
)
n
?
.
3(n?1)(n?2)
1
,展开得 解析: 观察
(
2
)
n
的结构,注意到
3
n
()?(1?)
n
3
22
111nn(n?1)(n?1)(n?2)?6

1
1
2 3
(1?)
n
?1?C
n
??C
n
?
2< br>?C
n
?
3
???1???
22288
22

(1?
1
)
n
?
(n?1)(n?2)
,得证.
28
例48.求证:
ln3?ln2
?ln(1?
1
)?
ln2
.
n2nn
解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)
例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数
y?f(x),x?N
*
,y?N
*
,满足:
① 对任意
a,b?N
*
,a?b
,都有
af(a)?bf(b)?af (b)?bf(a)

②对任意
n?N
*
都有
f[f(n)]?3n
.
(I)试证明:
f(x)

N
上的单调增函数;
(II)求
f(1)?f(6)?f(28)

(III)令
a< br>n
?f(3
n
),n?N
*
,试证明:.
*
n1111

??
L
??

4n?2a
1
a
2
a
n
4
解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.
(1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为
af(a)?bf(b)?af(b)?bf(a)
,所以可以得到
(a?b)f(a)?(a?b)f(b)?0
,
也就是
(a ?b)(f(a)?f(b))?0
,不妨设
a?b
,所以,可以得到
f(a )?f(b)
,也就是说
f(x)

N
上的单调增函数.
(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由(1)可知
(a?b)(f(a)?f(b))?0
,令
b?1 ,a?f(1)
,则可以得到
*
(f(x)?1)(f(f(1))?f(1))? 0
,又
f(f(1))?3
,所以由不等式可以得到
1?f(1)?3
,又
f(1)?N*
,所以可以得到
f(1)?2

接下来要运用迭代的思想:
因为
f(1)?2
,所以
f(2)? f[f(1)]?3
,
f(3)?f[f(2)]?6
,
f(6)?f[f( 3)]?9


f(9)?f[f(6)]?18
,
f(18)?f[f(9)]?27
,
f(27)?f[f(18)]?54
,
f(54)?f[f(27)]?81

精选


.
在此比较有技巧的方法就是:

81?54?27?54?27
,所以可以判断
f(28)?55

当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地 列出来,然后就可以得到结论.
所以,综合①②③有
f(1)?f(6)?f(28)
=
55?9?2?66

(3)在解决
{a
n
}
的通项公式时也会遇到困难.

f[f(3
n
)]?3
n?1
,f(3
n ?1
)?f{f[f(3
n
)]}?3f(3
n
),?a
n ?1
?3a
n
,所以数列
a
n
?f(3
n
),n?N
*
的方程为
a
n
?2?3
n
,从而11111
?????(1?
n
)
,
a
1
a
2
a
n
43
01
一方面
1
(1?
1
)?
1
,另一方面
3
n
?(1?2)
n
?C
n
?2
0
?C
n?2
1
?2n?1

43
n
4
所以< br>1
(1?
1
)?
1
(1?
1
)?
1
?
2n
?
n
,所以,综上有
43
n
42 n?142n?14n?2
n1111

??
L
??
.
4n?2a
1
a
2
a
n
4
例49. 已知函数
fx
的定义域为[0,1],且满足下列条件:
① 对于任意
x?
[0,1],总有
f
?
x
?
?3
,且
f< br>?
1
?
?4

② 若
x
1
?0, x
2
?0,x
1
?x
2
?1,
则有
f?
x
1
?x
2
?
?f
?
x
1
?
?f(x
2
)?3.

(Ⅰ)求
f
0的值;
(Ⅱ)求证:
fx
≤4;
(Ⅲ)当
x?(
1
,
时,试证明:
1
](n?1,2,3, ???)
3
n
3
n?1
f(x)?3x?3
.
解析: (Ⅰ)解:令
x
1
?x
2
?0

f
?
x
?
?3
, ∴
f(0)?3
由 ①对于任意
x?
[0,1],总有
又由②得
f(0)?2f(0)?3,
f(0)?3;


f(0)?3.

(Ⅱ)解:任取
x
1
,x
2
?[0,1],
且设
x
1
?x
2
,

f(x
2
)?f[x
1
?(x
2
?x
1
)]?f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)?3,

因为
x
2
?x
1
?0
,所以< br>f(x
2
?x
1
)?3
,即
f(x
2
?x
1
)?3?0,


f(x
1
)?f(x
2
)
.
∴当
x?
[0,1]时,
f(x)?f(1)?4
.
(Ⅲ)证明 :先用数学归纳法证明:
f(
1
)?
1
?3(n?N*)

3
n?1
3
n?1
(1) 当n=1时,
f(
1< br>)?f(1)?4?1?3?
1
?3
,不等式成立;
3
0
3
0
(2) 假设当n=k时,
f(

11
)??3(k?N*)
3
k?1
3
k?1

f(
1
)?f[
1
?(
1
?
1
)]?f(
1
)?f(
1
?
1
)?3

k?1kkkkkk
3333333

?f(
1
)?f(
1
)?f(
1
)?6

kkk
333

3f(
1
)?f(
1
)? 6?
1
?9.

kk?1k?1
333
即当n=k+1时,不等式成立
精选


.
由(1)、(2)可知,不等式
f(
1
)?1
?3
对一切正整数都成立.
n?1n?1
33
于是,当x?(
1
,
1
](n?1,2,3,???)
时,
3x ?3?3?
1
?3?
1
?3?f(
1
)

nn?1
nn?1n?1
33
333

x?
[0,1],
f
?
x
?
单调递增

f(
1
)?f(
1
)
所以,
f(x)?f(
1
)?3x?3.

nn?1
n?1
33
3
例50. 已知:
a
1?a
2
?L?a
n
?1,a
i
?0

(i?1,2?n)

求证:
a
1
2
a< br>1
?a
2
?
22
2
a
n
a
n
a
2
1

?1
?
L
???
a< br>2
?a
3
a
n?1
?a
n
a
n?a
1
2
解析:构造对偶式:令
A?
< br>B?
22
2
a
n
a
n
a
1
2
a
2

?1
?????
a
1
?a
2
a
2
?a
3
a
n?1
?a
n
a
n
?a
1
22
2
a
3
a
na
2
a
1
2

?????
a
1
?a
2
a
2
?a
3
a
n?1
?a
n
a
n
?a
1
a
1
?a
2
a< br>2
?a
3
a
n?1
?a
n
a
n?a
1

(
a
1
?
a
2
)?(
a
2
?
a
3
)???(
a
n?1
?
a
n
)?(
a
n
?
a
1
)?0,?
A
?
B

22

?
a
i
?a
j
222222
22

A?B?
a
1
?a
2
?
a
2
?a
3
???
a
n?1
?a
n
?
a
n
?a
1< br>
a
i
?a
j
?
1

i,j?1,2?n)

(a
i
?a
j
)
2
22222
2
a
2
?a
3
a
n
a
n
?a
1
2

11
a
1
2< br>?a
2
?1
?a
n
?A?(A?B)?()?????
22a
1
?a
2
a
2
?a
3
a
n?1
?a
n
a
n
?a
1

?
1
?
(a?a)?(a?a)???(a?a)?(a?a)
?
?
1< br>
1223n?1nn1
42
十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指,定义在
?
a,b
?< br>上的可积函数
f
?
x
?
?
?
?
?< br>0
,则
b
f
?
x
?
dx?
?
?
?
0
.
?
a
例51.求证:
?
e
?e
?
.
?
解析:
?
e
?e
?
?
ln
?
?
lne< br>,∵
ln
?
?
lne
?
?
lnx
?
?
?
d
?
lnx
?
?
?
1?ln x
dx

??
?
e
?
??
?
e
?
ex
?
?
e
x
2
?
x
?
e
x?
?
e,
?
?
时,
1?lnx< br>?0

x
2
?
?
e
1?lnx

dx?0
2
x

ln
?
?
lne

?
e
?e
?
.
?
e
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和.
例52. 求证:
1?
1
?
1
?L?
1
? 2
23n
x
?
n?1?1

?
n?1,n?N?
.
?
解析: 考虑函数
fx?
1
在区间
?
i,i?1
?
?
i?1,2,3,L,n
?
上的定积分 .
??
如图,显然
1
?
1
?1?
i?1
1
dx
-①
?
ii
i
x

i
求 和,
?
i?1
nn
n?1
1
i?1
11
d x

?
?
?
dx
?
?
i
1
i
i?1
x
x
?
?2
?
?
?
2 x
?
1
n?1
?
n?1?1
.
?
精选


.
例53. 已知
n?N,n?4
.求证:
1
?
1
?
1
?
L
?
1
?
7
.
n?1n?2n?32n10
解析:考虑函数
f
?< br>x
?
?
1
在区间
?
i?1i
?
?< br>i?1,2,3,L,n
?
上的定积分.
,
?
1?x
?
nn
?
?

1
n?i
?
11
?
n
1?
i
n
?
?
i
n
i?1< br>n
1
dx
-②
1?x
n
i
n
i? 1
n
1
1
1
1
dx
?
?
dx?< br>?
ln1?x
?
??
??
0
0
1?x
1?x

1
n
11
?
?
n?i
?
?
i?1
i?1
n
n
1?
i
n
?
?
?
i?1
?ln2?
7
.
10
例54. (2003年全国高考江苏卷)设
a?0
,如图,已知直线
l:y?ax< br>及曲线
C

y?x
2

C
上的点
Q
1
的横坐标为
a
1

0?a
1
?a
).

C
上的点
Q
?
n?1
?
作直线平 行于
x
轴,交直线
l
于点
P
n?1
,再从点
P
n?1
作直线平行于
n
坐标构成数列
?
a
n< br>?
.
(Ⅰ)试求
a
n?1

a
n
的关系,并求
y
轴,交曲线
C
于点
Q
n?1
.Q
?
n?1,2,L,n
?
的横
n
?
a
n
?
的通项公式;
(Ⅱ)当
a?1,a?
1
时,证明
n
1

1(a
k
?a
k?1
)a
k?2
?
?
2
32
k?1
n
1
(Ⅲ)当
a?1
时,证明
?
(a
k
?a
k?1
)a
k?2
?
.
k?1
3
解析:
a
n
a
1
2
n?1
?a()
a
(过程略).
2
证明(II):由
a ?1

a
n?1
?a
n
,∵
a?
1
,∴
a?
1
,a?
1
.
1
23
2416
∵当
k?1
时,
a
k?2
?a
3
?
1

16

n
(a?a)a?
1
n
(a?a)?
1
(a?a)?
1
.
?
k
?
kk?1k?2k?11n?1
k?1
16
k?1
1632
证明(Ⅲ):由
a?1

a
k?1
?a
k
2.
2

(a
k
?a
k?1
)a
k? 2
?(a
k
?a
k?1
)a
k
恰表示阴影部分面积 ,
?1
显然
(a?a)a
2
?
a
x
2
dx

kk?1k?1
?
a
k
k?1

?
(a
k?1
n
k
n
a
1
n
1
3
1.
2
a
?a
k?1
)a
k?2
?
?
(a
k
?a
k?1
)a
k
2
?1
?
?
?
x
2
dx
?
?
0
xdx< br>?a
1
?
a
33
k?1
k?1
k
k ?1
奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如:

1
??
i?1
1
dx
?2i?1?i

??
?
i
xi

1
i
n?i
?< br>?
i
n
?1
n
i
???
i?1
?< br>;
1
dx
?ln
?
1?
?
?ln
?
1?
?
n
?
1?x
?
n
??

sin
?
i
?sin
?
i?1
?
1?si n
2
?
i?1
?
k
k?1
sin
?
i
1
1?x
2
sin
?
i?1
dx?
?
i
?
?
i?1


(a?a)a
2?
a
x
2
dx?
1
a
3
?a
3
.
?
kk?1
?
kk?1k?1
?
a
3
精选


.
十二、部分放缩(尾式放缩)
例55.求证:
解析:

1114
?????

n?1
3?13?2?1
3?2?1
7
1111111111

??????????????
3 ?13?2?1
3?2
n?1
?1
47
3?2
n?1
?1
28
3?2
2
3?2
n?1
1

1 11
4
47484
??????
1
84847283
1?< br>2
例56. 设
a?1?
1
?
1
???
1
,a?2.
求证:
a
n
?2.

n
a
n
a
2
a
3
解析:
a?1?
1
?
1
???
1
?1?
1
?1
???
1
.

n
n
a
2
2
3
2
n
2
2
a
3
a

k
2
?k?k?k(k?1),k?2
(只将其中一个
k
变成
k

?
?1
,进行部分放缩)
1111
, < br>???
k
2
k(k?1)k?1k
于是
a?1?
1< br>?
1
???
1
?1?(1?
1
)?(
1?
1
)???(
1
?
1
)
?2?
1< br>?2.

n
n
223n?1n
2
2
3
2
n
2
2
例57.设数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
?a
n
?na
n
?1
?
n?N
?
?
,当
a
1
?3
时证明对所有
n?1,

(i)a
n
?n?2

(ii)
1111
?????
1?a
1
1?a
2
1?a
n
2 解析:
(i)
用数学归纳法:当
n?1
时显然成立,假设当
n?k
时成立即
a
k
?k?2
,则当
n?k?1

a
k?1
?a
k
(a
k
?k)?1?a
k
(k?2?k)?1?(k?2)?2?1?k?3
,成立。
(ii)
利用上述部分放缩的结论
a
k?1
?
2
ak
?
1
来放缩通项,可得
a
k?1
?1?2(a
k
?1)?
a
k
?1???2
k?1
(a
1?1)?2
k?1
?4?2
k?1
?
11
?
k ?1
.

a
k
?1
2

?
i ?1
n
1
?
?
1?a
i
i?1
n
1
1?()
n
111

2
???.
1
2< br>2
i?1
4
1?
2
注:上述证明
(i)
用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩:
a
k?1
?(k?2 )(k?2?k)?1?k?3
;证明
(ii)
就直接
使用了部分放缩的结论
a
k?1
?2a
k
?1

十三、三角不等式的放缩
例58.求证:
|sinx|?|x|(x?R)
.
解析:(i)当
x?0
时,
|sinx|?|x|

(ii)当
0?x?
?
时,构造单位圆,如图所示:
2
因为三角形
AOB
的面积小于扇形
OAB
的面积
所以可以得到
sinx?x?|sinx|?|x|


x?
?

|sinx|?|x|

2
所以当
x?0

sinx?x

|sinx|?|x|

(iii)当
x?0
时,
?x?0
,由(ii)可知:
|sinx|?|x|

所以综上有
|sinx|?|x|(x?R)


十四、使用加强命题法证明不等式
(i)同侧加强
对所证不 等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明
f(x)?A
,只要证明< br>f(x)?A?B(B?0)
,其中
B
通过
寻找分析,归纳完成.
精选
O
T
B
y
P
A
x


. 例59.求证:对一切
n(n?N*)
,都有
?
k
k?1
n
1
k
?3
.
解析:
1
kk
?1
k
3
?
1
k(k
2
?1)
?
??
1111

?
??
?
?
??
(k? 1)k(k?1)
?
(k?1)kk(k?1)
?
k?1?k?1
? ?
1111
?
11
?
k?1?k?1

?
??
?
???
??
?
?
(k?1)k
?
k ?1?k?1
2
k(k?1)kk?1k?1
??
??
?
从 而
1
?
11
?
2k
??
??
?
2
k
?
k?1k?1
?
11

?
k?1k? 1
?
k
k?1
n
1
k
?1?


??????????1????3
2
132435k?1k?1kk?1
当然本题还可以使用其他方法,如:


1
kk
?
1
?
kk?1
?
111
?
11k?k? 1
?
11
?

?
??
?
????
?
?
?
1
k?k?k?1
?
kk
??
k? 1
k
2
?
?
k(k?1)
?
k?k?1
1
?

?
1
?2?
?
?
?
k
??
k?1
所以
?
k
k?1
n
1
k
?1?
?
k?2
n
1
kk
?1?2(1 ?
1
)?3
.
k
(ii)异侧加强(数学归纳法)
(iii)双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特 殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.
其基本原理 为:
欲证明
A?f(x)?B
,只要证明:
A?C?f(x )?B?C(C?0,A?B)
.
例60.已知数列
{a
n
}
满足:
a?1,a?a?
1
,求证:
2n?1?a
n
?3n?2(n?2).

1n?1n
a
n
解析:
?
1
?
,从而
a
n
2
?a
n?1
2
?2
,所以有
2
?
a
n
?< br>?
a??a?2
k?1
?
n?1
a
?
n?1
??
2
2
2

a
n
2
?(a
n
2
?a
n?1
2
)?(a
n?1
2
?a
n?2
2
)???(a
2
2
?a
1
2
)?a
1
2
?2(n?1)?1?2n?1
,所以a
n
?2n?1


a
n
2< br>?
1
?
,所以
a
n
2
?a
n?1< br>2
?3
,所以有
2
?
?
?
a??a?3< br>k?1
?
n?1
a
?
n?1
??

a
n
2
?(a
n
2
?a
n?1
2
)?(a
n?1
2
?a
n?2
2
)???(a2
2
?a
1
2
)?a
1
2
?3(n? 1)?1?3n?2
所以
a
n
?3n?2

所以综上有
2n?1?a
n
?3n?2(n?2).

引申:已知数 列
{a
n
}
满足:
a?1,a?a?
1
,求证:
1n?1n
a
n
解析:由上可知
a
n
?2n?1< br>,又
从而
2n?1?
2n?1?2n?3
2
?
a
k?1
n
1
k
?2n?1
.

,所以
1
?
a
n
1
2n?1
?
2
2n?1?2n?3
?2n?1?2n?3
?
a
k?1
n
1
k
?1?3?1?5?3???2n?1?2n?3?2n?1(n?2)

n
1
又当
n?1
时,
1
?1
,所以综上有
?2n?1
.
?
a
1
k?1
a
k
同题引申: ( 2008年浙江高考试题)已知数列
?
a
n
?
,
a
n
?0
,
a
1
?0
,
a
n?1
2
?a
n?1
?1?a
n
2
(n?N
?
)< br>.

S
n
?a
1
?a
2
???a
n
,
1
T
n
??
1?a
1
.求证 :当
n?N
?
时.
11
???
(1?a
1
)(1?a
2
)(1?a
1
)(1?a
2
)?(1?a< br>n
)
(1)
a
n
?a
n?1
; (2)
S
n
?n?2
; ★(3)
T
n
?3
.
精选


.
解析:(1)
a
n?1
2
?a
n
2
?1?a
n?1
,猜想
a
n
?1
,下面用数学归纳法证明:
(i)当
n?1
时,
a
1
?1
,结论成立;
(ii)假设当
n?k(k?1)
时,
a
k
?1
,则
n?k?1(k?1)
时,
a
k?1
2
?a
k?1
?1?a
k
2

从而
a
k?1
2
?a
k?1
?2?a
n?1
?1
,所以
0?ak?1
?1

所以综上有
0?a
n
?1
,故
a
n?1
2
?a
n
2
?0?a
n?1
?a
n

(2)因为
an?1
2
?a
n
2
?1?a
n?1

a
2
2
?a
1
2
?1?a
2
,
a
3
2
?a
2
2
?1?a
3
,…,
a
n?1
2
?a
n
2
?1?a
n?1
, 相加后可以得到:
222
a
n?1
?a
1
?n?(a2
?a
3
???a
n?1
)?S
n?1
?n? a
n?1
,所以
S
n
?n?1?a
n
?n?2< br>,所以
S
n
?n?2

2
( 3)因为
a
n?1
2
?a
n?1
?1?a
n
2
?2a
n
,从而
a?1?
2a
n
,有
1
?
a
n?1
,所以有
n?1
a
n?1
1?a
n?1
2a
n

aaaa
1
?
n?1
?
n
?
3
?
n?
n
1
?1
,从而
(1?a
3
)?( 1?a
n
)(1?a
n?1
)2a
n
2a
n?1< br>2a
2
2a
2
aa
?1
,所以
11
?
n?
n
1
?1
??
n
(1?a
1)(1?a
2
)(1?a
3
)?(1?a
n
)(1?a
n?1
)
2a
2
1?a
2
2
n?1
aa
,所以
11
?
n21
n
??
n
n
(1?a
1
)(1?a
2
)(1?a
3
)?(1? a
n
)
2a
2
1?a
2
2
?2
T
n
?1?
aa
a
111112
?
3
?4
???
n
n
?1???
2
???
n?2??1?1?3

2?2
1?a
2
2
2
1?a
2
2
222
5?1
3a
n
,
n?1,2, L

2a
n
?1
所以综上有
T
n
?3
.
例61.(2008年陕西 省高考试题)已知数列
{a
n
}
的首项
a
1
?3
,
a
n?1
5
?
(1)证明:对任意 的
x?0
,
a≥
1
?
1
?
2
?x
?
,
n?1,2,L
;
n
?
2
?
n
1?x(1?x)
?
3
?
2
(2)证明:
a?a?
L
?a?
n
.
12n
n?1
解析:(1)依题,容易得到
a?
n< br>3
n
2
2
?
2,L
,
?1?
n< br>,要证
x?0
,
a
n

1
?
12
?
?x
?
,
n?1,
n
?
n
2?33
1?x(1?x)
?
3
?
2221

?
即证
1?
2
?
1
?
1
?
?x?1 ?1
?
??
n
?
n2
?
n2
1?x
(1?x)
?
33(1?x)
2
?
1?x
3(1?x)< br>n
1
所以即证明
2
2?3
n
2
即证
2
?
2?3

?
n
?1?0
,设
t??
(t)??
n
?t
2
?2t?
n
?1?0( 0?t?1)
n2
1?x
1?x
3(1?x)3
33
从而< br>?
(1)?0
,即
?
2?3
n
?2?
2?1?0
,这是显然成立的.
nn
33
所以综上有对任意的
x?0
,
(法二)
1
1?x
a
n

11
?
2
?
,
n?1,2,L

??x
?
2
?
n
1?x (1?x)
?
3
?
?
1
?
2
?
2
?

?x
?
?
1
?
1
2
?
?1?1?x
?
2
?
n
?
n
(1?x)
?
3
?
1?x(1?x)
?
3
?

2
,
21
?
1
?
1
≤a
n
11
?
1
?
??
???a
???(1?x)
?< br>n
?
?a
n
2
?
2
?
a
n
?
1?x
1?x(1?x)
?
a
n
?
?< br>1?x
a
n
(1?x)
?
原不等式成立.
精选


.
(2)由(1)知,对任意的
x
a
1
?a
2
?
L
?a
n

?0
, 有
11
?
2
?
11
?
211
?
2
??
??x
?
???x
?
?
L
???x
?

2
?
2
?
22
?
n
1?x(1?x)
?
3
?
1?x(1?x)
?
31?x(1 ?x)
?
3
??
?
n1
?
222
?

??
2
?
L
?
n
?nx
?
2
?
1?x(1?x)
?
333
?
?

2
?
1
?

1?
n
??
1
?222
?
3
?
3
?
1
?
1
?
x?
?
?
2
?
L
?
n
?
??
?
1?
?
n
?
333
?
?
1
?
n
?
3
n
?
n
?
1?
?
?
3
?

nn
2
n
2
a
1
?a
2
?
L
?a
n

??
1
n?1
1
?
1
?
1?
?
1?
n< br>?
n?1?
n
3
n
?
3
?

?
原不等式成立.
十四、经典题目方法探究
探 究1.(2008年福建省高考)已知函数
f(x)?ln(1?x)?x
.若
f(x )
在区间
[0,n](n?N*)
上的最小值为
b
n
,令< br>a
n
?ln(1?n)?b
n
.求
证:
a
1
?
a
1
?a
3
???
a
1
?a< br>3
?a
5
???a
2n?1
?2a?1?1
. n
a
2
a
2
?a
4
a
2
?a
4
?a
6
???a
2n
证明:首先:可以得到
a
n
?n
n
.先证明
1?3?5???(2n?1)
?
2?4?6???2n
2
1

2n?1
(方法一)
?
1?3?5???(2n?1)
?
?
1?3
?
3?5
???
(2n?1)(2n?1)
?
1
?
1

?
2?4?6???2n
?
2
2
4
2
(2n)
2
2n?12n?1
??
所以
1?3? 5???(2n?1)
?
2?4?6???2n
22?1
1

2n?1
344?152n2n?12n?1
(方法二)因为< br>1
?
1?1
?
2
,
3
?
3?1?
4
,?,
2n?1
?
2n?1?1
?
2n< br>,相乘得:
1
,从而
1?3?5???(2n?1)
?
1 ?3?5???(2n?1)
?
?
?
?
2?4?6???2n
?
2?4?6???2n
2n?1
??
2
1
.
2n?1
(方法三)设
A
=
1?3?5???(2n? 1)
,
B
=
2?4?6???2n
,因为
A
<B
,所以
A
2
<
AB
,
2?4?6???2n
3?5?7???(2n?1)
1
所以?
1?3?5???(2n?1)
?
?
1
,从而
1?3 ?5???(2n?1)
?
.
?
2?4?6???2n
?
2?4?6???2n
2n?1
2n?1
??
2
下面 介绍几种方法证明
a
1
?
a
1
?a
3
?? ?
a
1
?a
3
?a
5
???a
2n?1< br>?2a?1?1

n
a
2
a
2
?a
4
a
2
?a
4
?a
6
???a
2n
(方法一)因为
2n?1?
2n?1?2n?1
,所以2
1
2n?1
?2n?1?2n?1
,所以有

1
2
?
n
1?31?3?5???(2n?1)

????
?
2k?1?2n?1?1
2?42?4?6???2n
k?1 (方法二)
n?2?n?

n?2 n?1
,可以得到
1
2n?1
2
,因为
n?2?n
?2n?1?2n?1
1
?
n?2
2
n?2?n
,所以
1
?n?2?n
n?2
,所以有
n

11 ?31?3?5???(2n?1)
?????
?
2k?1?2n?1?1
2 2?42?4?6???2n
k?1
(方法三)设
a
n
?
1?3?5???(2n?1)2n?1
,a
n?1
?a
n
2?4?6???2n2n?2
所以
2(n?1)a
n?1
?a
n?1
?(2n?1)a
n
?a
n?1
,从而
a< br>n?1
?[2(n?1)?1]a
n?1
?(2n?1)a
n
,从而
a
n
?(2n?1)a
n
?(2n?1)a
n?1< br>
精选


.
a
1
?a
2
? a
3
???a
n
?(2n?1)a
n
?(2n?1)an?1
?(2n?1)a
n?1
?(2n?3)a
n?2
??? 5a
2
?3a
1
?(2n?1)a
n
?
3
?2n?1?1

2
1
2k?1
?2n?1?1
3

a
n
?
2
1
,所以
2n?1
a
1
?a
2
?a
3
???a
n
?2n?1?
(方法四)运用数学归纳法证明:
(i)当
n?1
时,左边=
1
,右边=
3
?
k?1
n

显然不等式成立;
3?1?
2
3?1
?
1
3?1
2
(ii)假设
n?k(k?1)
时,

1
31
5
1
2k?1
1
2k?3
?
i?1
k
1
2i?1
?2k?1?1
,则
n?k?1
时, 1
2k?3
1
2k?3?2k?1
2
?????
12k?3
?2k?1?1?
,所以要证明
k?1
i?1
?
1
2i?1
?2k?3?1
,只要
证明
2k?1??2k?3?
1
2k?3
,这是成立的.
?2k?3?2k?1?
这就是说当
n?k?1
时,不等式也成立,所以,综上有

a
1
a
1
?a
3
a?a?a???a< br>2n?1
????
135
?2a
n
?1?1
a
2
a
2
?a
4
a
2
?a
4
?a
6
???a
2n
探究2.(2008年全国二卷)设函数< br>f(x)?
sinx
.如果对任何
x

0
,都有f(x)

ax
,求
2?cosx
a
的取值范围.
解析:因为
f(x)?
sinx
,所以
cosx (2?cosx)?sin
2
x1?2cosx

f'(x)??
2 ?cosx
(cosx?2)
2
(cosx?2)
2

g(x)?f(x)?ax
,则
因为
|cosx|?1
,所以
(i)当
g'(x)?f'(x)?a?
,
g(0)?0

1?2c osxcosx?2?cosx?2?1?223
?a??a???a
(cosx?2)
2
(cosx?2)
2
cosx?2(cosx?2)
2
231< br>?

?
??
?
?1,
?
2
cosx ?2(cosx?2)3
??
a?
1
时,
g'(x)?0
恒成立,即
g(x)?g(0)?0
,所以当
1
时,
a?
33
f(x)

ax
恒成立.
(ii)当
a?0
时,
f(
?
)?
1
?0?a?(
?
)
,因此当
a?0
时,不符合题意.
222
(iii)当
0?a?
1
时,令
h(x)?sinx?3ax
,则< br>h
?
(x)?cosx?3a
故当
x?
?
0,arc cos3a
?
时,
h
?
(x)?0
.
3
因此
h(x)

?
0,
arccos3a)
时,
h (x)?h(0)?0
,
arccos3a
?
上单调增加.故当
x?(0,

sinx?3ax
.于是,当
x?(0,arccos3a)
时,
所以综上有
a
的取值范围是
?
1
?

?
3
,??
?
??
f(x)?
sin
x
sin
x

??ax
2?cosx3
变式:若
0?
x
i
?arccos3
a
,其中
i?1,2,3,?,n


0?a?
1
,
x
1
?
x
2?
x
3
???
x
n
?arccos3
a
,求证:
3
xx
xx
3a
tan
1
?tan< br>2
?tan
3
???tan
n
?arccos3a
.
22222
精选


.
证明:容易得到
tan
x
i
sinx
i
sinx
i

??
2c osx
i
?12
由上面那个题目知道
sinx
i
?3ax< br>i

就可以知道
tan
xx
x
1
x
3a
?tan
2
?tan
3
???tan
n
?ar ccos3a

22222
★同型衍变:(2006年全国一卷)已知函数
f(x)?
1?x
e
?ax
.若对任意
x
∈(0,1) 恒有
f
(
x
) >1, 求
a
的取值范围.
1?x
ax
2
?2?a
?ax
. 解析:函数
f
(
x
)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为
?
f(x)?e
2
(1?x)
(ⅰ) 当0<
a
≤2时,
f
(
x
) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意
x
∈(0, 1) 恒有
f
(
x
) >
f
(0) =1, 因而这时
a
满足要求.
(ⅱ) 当
a
>2时,
f
(
x
) 在区间 (-
a?2
,
a
a?2
)为减函数, 故在区间(0,
a
a?2
)
a
内任取一点, 比如取
x?
1
a?2
, 就有
x
0
∈(0, 1)
0
2
a

f
(
x
0
) <
f
(0) =1, 因而这时
a
不满足要求.
(ⅲ) 当
a
≤0时, 对于任意
x
∈(0, 1) 恒有

f( x)?
1?x
e
?ax

1?x
?1
, 这时
a
满足要求.
1?x
1?x
综上可知, 所求
a
的取值范围为
a
≤2.









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本文更新与2020-09-20 19:59,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/405818.html

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