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高中数学经典的解题技巧和方法等差数列、等比数列

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 20:09
tags:高中数学技巧

有高中数学公式app吗-高中数学书上的名人

2020年9月20日发(作者:毛周)


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高中数学经典的解题技巧和方法(等差数列、等比数列)
跟踪训练题
一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,总分36分)
1.已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
2
=1,a
3
=3, 则S
4
=( )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)6
2.设数列{x
n
}满足log
2
x
n+1
=1+log
2
x
n
,且x
1
+x
2
+x
3< br>+…+x
10
=10,则x
11
+x
12
+x
13
+…+x
20
的值为( )
(A)10×2
11

(C)11×2
11



(B)10×2
10
(D)11×2
10
3.已知正 数组成的等差数列{a
n
},前20项和为100,则a
7
·a
14
的最大值是( )
(A)25 (B)50 (C)100 (D)不存在
5
a?a?2a
1
aaS
{a}
4.已知
n
为等比数列,
S
n
是它的前
n
项和。若
23
, 且
4
与2
7
的等差中项为
4
,则
5
=( )
A.35 B.33 C.31 D.29
5. 设
?
a
n
?
是任意等比数列,它的前n
项和,前
2n
项和与前
3n
项和分别为
X,Y,Z< br>,则下列等式中恒成立
Y
?
Y?X
?
?Z
?
Z?X
?

的是( )
A、
X?Z?2Y

C、
Y?XZ

2


B、
D、

Y
?
Y?X
?
?X
?
Z?X
?

6.(2010·潍坊模拟)已知数列{a
n
}是公差为d的等差数列,S
n
是其前n项和,且有S
9
8
=S
7
,则下列说 法
不正确的是



B.d<0
D.a
8
=0
( )
A.S
9
10

C.S
7
与S
8
均为S
n
的最大值
二、填空题(本大题共3个小题,每小题6分,总分18分)
7.将正偶数划分为数组:(2 ),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20),…,则第n组各数的和是 .
(用含n的式子表示)
8.已知数列{a
n
}满足:a
4n-3
=1,a
4n-1
=0,a
2n
=a
n
,n∈N< br>*
,则a
2 009
=_______;a
2 014
=_______.
9.已知等差数列{a
n
}的前n项和为Sn
,a
4
=15,S
5
=55,则过点P(3,a
3< br>),Q(10,a
10
)的直线的斜率为_______.
1


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三、解答题(10、11题每小题15分,12题16分,总分46分)
?
10?
a
n
?
?
n?1
?
??
?
n?N
?
?
?
a
?
?
11
?
10 .数列
n
的通项试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的
项数;若没有 ,说明理由
11.在等比数列{a
n
}中,前n项和为S
n
,若S
m
,S
m+2
,S
m+1
成等差数列,则a
m,a
m+2
,a
m+1
成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题;
(2)判断逆命题是否为真?并给出证明.
12. 已知数列
n
{a
n
}
a
3
中,前n项和为
S
n
n?2
?
S?S?2a?2
a?5
n?1nn

1
,并且(
n?N
),
(1)求
a
2
,的值;
(2)设
b
n
?
a
n
?
?
2
n
,若实数
?
使得 数列
{b
n
}
为等差数列,求
?
的值。
{1
1
}
T?
n
T
b?b
5
(3)在 (2)的条件下,设数列
nn?1
的前n项和为
n
,求证:
参考答案
一、选择题
1. 【解析】选C.S
4
==2×(1+3)=8.
2. 【解析】选B.∵log
2
x
n+1
-log
2x
n
=1,∴{x
n
}为等比数列,其公比q=2,
又∵x< br>1
+x
2
+…+x
10
=10,∴x
11
+ x
12
+…+x
20
=q
10
(x
1
+x
2
+…+x
10
)=2
10
×10.
3. 【解 析】选A.∵S
20
=×20=100,∴a
1
+a
20
= 10,
∵a
1
+a
20
=a
7
+a
14
,∴a
7
+a
14
=10. ∵a
n
>0,∴a
7
·a
14
≤(
4. 【解析】选
C

)
2
=25.

a2
?a
3
?2a
1
?a
1
?a
4?2a
1
?a
4
?2
,又
a
4
?2a
7
?2?
51
a
7
?
4

4

2


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15
16[1?()]
1
a
4
2
2
S
5
??31
a
1
?
3
??16
a
7
4
1
3
1
1
1
q
q???
q?
1 ?
a28
4
8
2

2
所以,,
?

5. 【解析】选 D,设等比数列
?
a
n
?
的公比 为
q
(q?0)
,由题意,
X?a
1
?a
2
?L


?a
n

Y?a
1
?a
2
?L?a
n
?a
n?1
?a
n?2
?L?a< br>2n
Z?a
1
?a
2
?L?a
n
?a
n?1
?a
n?2
?L?a
2n
?a
2n?1
? a
2n?2
?L?a
3n
Y?XZ?X
?q
?q
?
X

Y
,所以
Y(Y?X)?X(Z?X)
,故D正确。
6. 【解析】选A 由题意知d<0,a
8
=0,所以
二、填空题 a
10
?a
9
?a
8
?0.?S
10
?S
9
?a
10
?S
9
.

7. 【解析 】前
n?1
组共有偶数的个数为
1?2?3?L?(n?1)?
n(n?1)
.
2
故第
n
组共有
n
个偶数,且第一
n( n?1)n(n?1)
2
?1项,即2?[?1]?n?n?2
2n
??22
个偶数是正偶数数列的第,
n(n
2
?n?2)?
所以第 n组各数的和为
n(n?1)
?2?n
3
?n.
3
2
答案:
n?n.


8. 【解析】依题意,得a
2 009
=a
4×503-3
=1,a
2 014
=a
2×1 007
=a
1 007
=a
4×252-1
=0. 答案:1 0
9. 【解析】∵a
4
=15,S
5
=55. ∴55==5a
3
,∴a
3
=11. ∴公差d=a
4
-a
3
=15-11=4.
a
10
=a
4
+6d=15+24=39. ∴P(3,11),Q(10,39) k
PQ
=
三、解答题
=4.答案:4
?
10
?
Q
a
n?1
? a
n
?
?
n?2
?
??
?
11
?
10. 【解析】方法1:
∴当n<9时,

n?9

n? 1
?
10
??
10
?
9?n
?
?
n?1
?
??
?
??
?
?
11
??
11
?
11

nn
a
n?1
?a
n?0?a
n?1
?a
n



a
n ?1
?a
n
?0?a
n?1
?a
n
当n>9时,< br>a
n?1
?a
n
?0?a
n?1
?a
n
3


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a
1
?a
2
?L?a
9
?a
10
?a
11
?a
12
?L

9
?
10?
10?
??
a
a
?
a
?
?
11
?
,其项数为9或10 ∴数列
n
中最大项为
9
或< br>10
.其值为
?
10
?
方法2
Q
a
n
?
?
n?1
?
??
?
n?N
?
?
,
?
11
?
nn?1
?
?
10
??
10
?
?
?
n?1
?
??
?
?
n?2
?
??
a?a
?
n
?
n?9,< br>??
11
??
11
?
n?1
?
?
?
?
?
?
nn?1
a?a
?
n?10.
n? 1
?
n
?
10
??
10
?
?
?< br>?
?
n?1
?
??
?
?
n?1
?< br>?
?
11
??
11
?
?
?
Q
n?N,?n?9或10.

n

9
?
10
?< br>10?
??
a
a
?
a
?
?
11?
,其项数为9或10 ∴数列
n
中最大项为
9

10
.其值为

11. 【解析】(1)在等比数列{a
n
}中,前n项和为S
n
, 若a
m
,a
m+2
,a
m+1
成等差数列,则S
m
,S
m+2
,S
m+1

等差数列.
(2)设数 列{a
n
}的首项为a
1
,公比为q.由题意知:2a
m+2
=a
m
+a
m+1
, 即 2a
1
q
m+1=a
1
q
m-1
+a
1
q
m
.
∵a
1
≠0,q≠0,∴2q
2
-q-1=0,

4


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12. 【解析】(1)由

S
n?1
?S
n< br>?2a
n
?2
n?2


n?N
)得
1?2
?
a?2a?2?10?8?18

a?5
n?N
21
1
() ∵∴

?
S
n?1
?S
n
?2a
n
?2
n?2
an?1
?2a
n
?2
n?2

a
3
?2a
2
?2
2?2
?36?16?52
(2)由条件b
1
?
a
1
?
?
5?
?
?< br>22


b
2
?
a
2
?
?
18?
?
?
2
4

2
a
3
?
?
52?
?
?
8

2
3
2b
2
?b
1
?b
3

b
3
?

{b
n
}
2?
即 为等差数列∴
18?
?
5?
?
52?
?
??
428
解得
?
?0


b
n
?
a
n
59
b?< br>b?
12
2

b
2
?b
1
?2

2

2
n

{b
n
}
即数列是公差为
d?2
,首项为
b
1
?
5
2
的等差数列
(3)由(2)得
b
n
?
54n?1
?(n?1)?2?
22

n?N
?


1411
???
b
n
?b
n?1
(4n?1)(4n?5)4n?14n?5

111
111111111
????
(?)?(?)??? (?)??
T
bbb
2
b
3
b
n
b
n?1
=
599134n?14n?5
=
54n?55

n
=
12

T
n
?
1
5

5


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