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高中数学涂色问题常用技巧 ()

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 20:11
tags:高中数学技巧

高中数学频-苏教 高中数学

2020年9月20日发(作者:周萌萌)


高中数学涂色问题常用技巧
王忠全
涂色问题是一个复杂而有趣的问题,高考 中不时出现,处理涂色问题
常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理;常用的数
学思想是等价转换,即化归思想;常见问题有:区域涂色、点涂色和
线段涂色、面涂色;常考虑的问题是 颜色是否要用完。
例1、 用四种颜色给如下区域涂色,要求一空涂一色,邻空不同色,
有多少种涂法?




解析:按题意,颜色要用完,1有4种涂法;2有3种涂法;3有2
种涂 法;涂1,2,3只用了三种颜色,4必须涂第四种颜色,有1种
涂法,共有
A
44
=24种涂法。
例2、给如下区域涂色,有四种颜色供选择,要求一空涂一色,邻
空不同色,有多少种涂法?




解析:颜色可供选择,可理解为颜色可用完和不用完两种,分类处理,

1

3 4
2

1

3 4
2


至少要用三色涂空,才能满足要求。
法1:
1) 恰用三色:
C
4
3
?3?2?1?2
=48种涂法;
2) 恰用四色:同例1,有24种涂法。
共有24+48=72种涂法。
法2:1有4种涂法;2有3种涂法;3有2种涂法;4有3种涂法;
共72种涂法。
评析:由上述解法知,颜色用完和可供选择是两回事,做题时一定要
区分。
一、 区域涂色问题
(一)、圆形区域涂色:处理圆形区域涂色大致有三种方法:间空涂
色法;公式法。
例3、用四种颜色给如下区域涂色,用四种颜色给如下区域涂色,要
求一空涂一色,邻空不同色,有多少 种涂法?
一、 间空涂色法;
法1、用空分类
选择1,3


1
2
4
3

5
1
1
1)1,3同色,则1,3有
C
4
种方法 ,2有
C
3
种方法,4不
可能与1,3同色,但可与2同色,分两类:4与2
同色,只用了两种颜色,5有2种方法; 4与2不同色,则4有2种
方法,5有2种涂法,此时,共有
4?3(2?2?2)?72种方法。
1
2)1,3不同色,则1,3有
A
4
2
种 方法,2有
C
2
种方法,4与1


同色,5有3种方法;4与 2不同色,则4有2种涂法,5有2种涂
法,共有
12?2?(2?2?3)
=168 种方法,综上所述,共有72+168=240种
涂法。
法2:公式法
共有3
5
+3
?
(-1)
5
=240种方法。 < br>定理:用m种颜色(可选择)填圆形区域的n个空,一空涂一色,邻
空不同色的涂法有
( m?1)
n
?(?1)
n
?(m?1)
种。
证明:如图,设有a
n
种不同涂法。



1 n

2 …
3






1 2 3 … .. n
不妨把之剪开,化为矩形区域,共有
m(m?1)
n?1
种涂法,但区域 1、n不
能涂同色,把1、n捆绑成一个空,有a
n-1
种涂法,则
a
n
?m(m?1)
n?1
?a
n?1

a
n
??a
n?1
?m?(m?1)
n?1
a
n< br>a
n?1
m
???
(m?1)
n
(m?1)
n
m?1

a
1m
n?1
???
m?1
( m?1)
n?1
m?1
a
n
m
,则b?

2
m?1
(m?1)
n
2
?m(m?1)
,设
b< br>n
?
其中
a
2
?A
m
1
?
b
n
?r
?
,则r=1,
m?1
11
可知,数列{b
n
?1}是以b
2
?1?为首项

?为公比的 等比数列


m?1m?1

b
n
?r??


1
?
1
?
b
n
??
?
?
?
m?1
?
m?1
?
a
n
?
?< br>m?1
?
n
n?2
?1

n?2

?1]?
?
?1
??
m?1
?
?
?
m?1
?
nn
11
??
?[
?
?
?
m? 1
?
m?1
?
这个公式适用于颜色可选择性问题和最低保底颜色问题,不适用 于
“恰用色”问题。
例4(2003江苏)四种不同颜色涂在如图所示的六个区域,且相邻两
个区域不同色的涂法共有 种。






解析:依题意,四种颜色都要用上,属于恰用色,同时,填这六个空
最少 要4种颜色,属于保低色,可用公式。把左图等价转化为右图.
先涂1:有4种方法;余下3色涂5个 空(圆形)有(3-1)
5
+(-1)
5
(3-1)
=30种涂法,由分步计数原理,共有120种涂法.
若用间空涂色,可这样考虑:
1)涂1,有4种方法,余下3种颜色;
1
2)2、4同色,有
C
3
种涂法;此时,3有2种涂法;5与3同色时,6



6

2 5
1

3 4


6
2 5
1

3 4
有1种涂法(颜色要用完);5 与3不同色时,5有1种涂法,此时6
有1种涂法,共有
3?2?(1?1)?12
种 涂法;


2、4不同色,有
A
3
2
=6种涂法;此时 3有1种涂法;若5与3同色,6
有1种涂法;5与3不同色,6有2种涂法(与4,或3同色)共有< br>6?1?(1?1?2
)=18种涂法;
综上所述,由分步计数原理,共有120种涂 法评析:分类讨论,种类
繁多,要做到不重不漏,必须小必应对,任何方法都不是万能的,关
键 是要熟练掌握。
变式:(2003全国)一个行政区分为5个区域,用4种颜色给地图涂
色, 要求邻居空不同色的不同涂色方法有 种。





二、点涂色问题
用等价转化思想把点涂色问题转化为区域涂色问题,是做题的关键。
例5、用4种颜色给四面体的四个顶点涂色,要求邻点不同色的涂法

共有多少种?

P





A B
C

1


3 1 5

4





4

1
2
3
解析;一脚把点P踩到ABC平面,问题等价转化为给下图涂色。


共有
4?(?1)
3
?2?(3?1)
3
?24< br>种,即
A
4
4
种涂法。
变式:用5种颜色给四面体的四个顶点涂色,要求邻点不同色的涂法
共有多少种?





P





A B
C
1
(3
3
?3)
=120种 答案:
C
5
4
?
A
4
4
,或
C
5
三、线段涂色
用等价转化思想把点涂色问题转化为区域涂色问题。
例5、 用6种颜色给四面体的6条棱涂色,要求邻棱不同色的涂法共
有多少种?





P

4





1 2
5 1 2

3




3

4


A B
5 6
6
C


解析:把图转化为: 1)恰用3色,则1、6;2、5;3、4分别同色,有
C
6
3
A
3
3
?120
种涂法;
2)恰用4色,则1、6;2、5;3、4有两对 分别同色,如1、6;2、
5同色,3、4有
A
4
2
种涂法,两同色 组有
A
2
2
种涂法,共有
C
6
4
C
3
2
A
4
2
A
2
2

涂法 < /p>


3)恰用5色,则1、6;2、5;3、4有1对分别同色,如1、6;则3、
1
A
4
4
种涂法 4,2、5有
A
4
4
种涂 法,共有
C
6
4
C
3
4)恰用6色,有
A
6
6
种涂法;
综上所述:共有4080种涂法。
评析,若你很难转化为区域问题,就不要转化,按线段的相对性
可做。
四、面涂色问题
同上面说过的方法类似,能转则转,否则用面的相对性求解。
例7、用6种颜色(可选择)给正方体的6个面涂色,要求邻不同色,
有多少种不同的涂法?







D` C`

A` B` 6

5 4
1
2 3

D C


A B
解析:图转化为
1)恰用3色,有
A
4
3
=24种;
2)恰用4色,有
C
3
2
A
4
4
=72种
共有96种。
五、恰用色与可选色的联系


设保底色为涂法数为a< br>m
,恰用色涂法数为a
n
,则可选色涂法数
B
n
= a
m
+a
m+1
+…+a
n

例8、用4种颜色给如下区域涂色,颜色必须用完,相邻区域不同色,
有多少种涂法




解析:按要求涂色,最少要3种颜色(保底色),用3色涂之,1有3
种;2有2种;3有1 种;4与1同色时,5有2种,4与2同色时,
5有2种,共有
C
4
3
(3?2?1?2?2)?96
种涂法;
4色可选时,有
4?3?2?3?3?216
种;
那么,恰用四色有216-96=120种。
法2:1、4或2、4同色,有
4?3?2?1?2?48
种;
1、4,(2、4)不同色,有
4?3?2?1?3?72

共有120种。
总之,涂色问题比较复杂,做题时,分类要清楚,可用空分类,也可
用色分类,在做题上掌握斯技巧;注意等价转化,末两空捆绑等方法,;
注意颜色用完与可选的区别。





1 3 4 5


2

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