高中数学复习课 论文-长沙中职高中数学重点
平面向量的数量积及平面向量的应用
1.定义及运算律.
两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义
源于物理学中
“力所做的功”.
设a及b是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0
°≤θ≤180°,我们把
|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b若a=(x1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),则a·b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
. 其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a·b=b·a，(λ·a)·b=λ(a·b)，
(a±b)·c=a·c±b·c.
2.平面向量数量积的重要性质.
①|a|=
a?a
=
|a|?|a|cos??|a|
2
;
cosθ=
取等号.
②设a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),则:|a|=
22
x
1
?y
1
(a?b)
;|a·b|≤|a|·|b|,当且仅当a,b共线时
|a|
?|b|
;cosθ=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
2
x
1
?
2
y
1
?
2
x
2
?
2
y
2
;|x
1x
2
+y
1
y
2
|≤
2222
x
1
?y
1
?x
2
?y
2
3.两向量垂直的充要条件
若a,b均为非零向量,则:a⊥b
?
a·b=0.
若a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),则a⊥b
?
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0.
4.向量的模及三角不等式
|a|
2
=a·a或|a|=
a?a
;|a·b|≤|a|·|b|;|a|
2
-|b|
2
=(
a+b)·(a-b);|a±b|=
a
2
?b
2
?2|a|?|b
|?cos?
(θ为a,b夹角);||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
5.三角不等式的推广形式
|a
1
+a
2
+…
+a
n
|≤|a
1
|+|a
2
|+…+|a
n|.
1 10
小练习一
【例1】 计算下列各题:
(1)已知等边三角
形ABC边长为1,且
BC
=a,
CA
=b,
AB
=c,求
a·b+b·c+c·a;
(2)已知a、b、c是空间中两两垂直的向量,且|a|=1,|b|=
2,|c|=3,求r=a+b+c的长度以及它和a,b,c的
夹角;
(3)已知(a+3
b)与(7a-5b)垂直,且(a-4b)与(7a-2b)垂直,求a、b的夹角;
(4)已知|
a|=2,|b|=5,a,b的夹角是
2
π,p=3a-b,q=λa+17b,问系数λ取
向值时，p⊥q.
3
【解前点津】 (1)利用x
2
=x·x,通过对(
a+b+c)
2
的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用
两向量垂直的
充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于λ的方程，解
之即得.
【规范解答】 (1)∵(a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
-2(a·b+b·c+c·a)=3-2(a·b+b·c+c·a)=0
?
a·b+b·c+c·a=
3
.
2
(2)cos
?
r,a
?
=
r?a
,∵|r|=
r
2
且
|r|?|a|
r
2
=(a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
-2(a·b+b·c+c·a)=14-2(a·
b+b·c+c·a)=14.
∴|r|=
14
?
cos
?
r,a
?
=
(a?b?c)?a
14?|a|
?
|a|
2
14|a|
|b|
2
14|b|
?
14
;
14
14
;
7
cos
?
r,b
?
=
(a?b?c)?b14?|b|
??
cos
?
r,c
?
=
(a
?b?c)?c
14?|c|
?
|c|
2
14|c|
?3
.
14
(3)由条件:(a+3b)·(7a-5b)=7|a|
2
-15|b|
2
+16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|
2
+8|b|
2
-30a·b=0
?
|a|
2
=|b|
2
=2a·b
?
(|a|·|b|)
2
=
4(a·b)
2
?
由cos
?
a,b
?
=
由cos
?
a,b
?
=-
1
?
得:
?
a,b
?
=;
2
3
1
2
得:
?
a,b
?
=
?
.
2
3
a?b1
??
.
|a|?|b|2
(4)令
p·q=0得:(3a-b)·(λa+17b)=0
?
3λ|a|
2
-17
|b|
2
+(51-λ)a·b=0 ①
2 10
将|a|=2,|b|=5,a·b=|a|·|b|·cos
2
?
代入①
得3λ·4-17×25+(51-λ)·(-5)=0解之:λ=40.
3
【解后归纳】
综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是
计算的一项基本功.
【例2】 在△ABC中,
AB
=(2,3),
AC
=(1,k)
,且△ABC的一个内角为直角，求k的值.
【解前点津】
因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论.
【规范解答】
①当∠A=90°时,因为
AB
·
AC
=0,
∴2×1+3·k=0,∴k=-
2
.
3
②当∠B=90°时,<
br>BC
=
AC
-
AB
=(1-2,k-3)=(-1,k-3)
∵
AB
·
BC
=0,∴2×(-1)+3×(k-3)=0
?
k=
11
.
3
③当∠C=90°时,∵
AC
·
BC
=0,∴-1+k·(k-3)=0,k
2
-3k-1=0
?<
br>k=
3?3
∴k的取值为:-
2
,
11
或.
3
3
2
【例4】
已知平行四边形以a=(2,1),b=(1,-3)为两邻边.
(1)求它的边长和内角;
(2)求它的两对角线的长和夹角.
【解前点津】 利用内积的有关运算性质.
3?3
.
2
【规范解答】 (1)|a|=
2
2
?1
2
?5
,|b|=
1
2
?(?3)
2
?10
?
cosα=
(2?1?1?3)
a?b2
???
,
|a||b|10
5?10
∴α=π-arccos
2
.
10
(2)|a+b|=
(a?b)
2
?a
2
?b
2
?2ab?5?10?2(?1)?13
,
|a-b|=
a
2?b
2
?2ab?5?10?2?(?1)?17
.
1
(a?
b)?
2
cosβ=
1
(a?b)?
2
1
(a?b
)
2
?
1
(a?b)
2
a
2
?b
2
?
13?17
5?105221
.
??
221
13?17
【解后归纳】
本题综合运用了向量的有关运算性质，也可利用余弦定理求解.
小练习二
一、基础夯实
3 10
1.已知|a|=1,|b|=
2
,且(a-b)与a垂直,则a与b的夹角是 ( )
A.60°
B.30° C.135° D.45°
2.已知|a|=2,|b|=1,a
与b之间的夹角为
?
,则向量m=a-4b的模为 ( )
3
A.2 B.2
3
C.6 D.12
3.a,b是两个非零向量,(a+b)
2
=a
2
+b
2<
br>是a⊥b的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|
2
-4a·b等于 (
)
A.23 B.57 C.63 D.83
5.已知a=(λ,2),b=(-3,5)且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是 (
)
A.λ>
10
B.λ≥
10
C.λ<
10
D.λ≤
10
3333
6.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量，则b等于 (
)
34
??
43
??
43
??
34
?<
br>A.
?
?
,
?
或
?
,
?
B
?
,
?
或
?
?,?
?
?55
??
55
??
55
??
55
?
3
4
??
43
??
34
??
34
?
C
?
?
,?
?
或
?
?,
?
D
?
,?
?
或
?
?,
?
?55
??
55
??
55
??
55
?
7
.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为 ( )
6513
A.
5
B.
?
5
C. D.
513
55
8.已知A(3,2),B(-1,-1),若点
P(x,-
A.-
1
)在线段AB中垂线上,则x为 ( )
2
77
B. C.2 D.-2
44
3?
,则k的值为 ( )
4
9.已知a=(3,0),b=(k,5),且a与b的夹角为
A.-4
B.4 C.5 D.-5
10.已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足条件:x·a=9与x·b=-4的向量x为
( )
A.(2,3) B.(2,-3) C.(-2,3)
D.(-2,-3)
二、思维激活
11.已知向量a、b的夹角为
?
,
|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|= .
3
12.已
知a⊥b、c与a,b的夹角均为60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)
2
= .
13.已知a=(1,2),b=(1,1),c=b-ka,若c⊥a,则c=
.
14.已知点A(1,0),B(3,1),C(2,0),且a=
BC
,b=<
br>CA
,则a与b的夹角为 .
三、能力提高
15.设
A、B、C、D是平面内任意四点,求
AB
·
CD
+
BC
·
AD
+
CA
·
BD
值.
4 10
16.设
OA
=(3,1),
OB
=(-1,2),
O C
⊥
OB
,
BC
∥
OA
,O是原点，求满足
OD
+
OA
=
OC
时的
OD
坐标.
1 7.已知两单位向量a与b的夹角为120°,若c=2a-b,d=3b-a,试求:c与d的夹角.
18.已知a=(
3
,-1),b=
?
?
的最小值. 2
?
1
3
?
?
,且存在实数k和t,使得x=a+(t
2
-3)·b, y=-ka+t·b,且x⊥y,试求
k?t
,
?
t
?
22
?
平面向量的数量积及平面向量的应用
解答
1.D ∵a·(a-b)=a
2
-a·b=0,∴a·b=1=1 ·
2
cosθ,∴cosθ=
1
.
2
2.B |m|=
m
2
=
a
2
?16b
2
?8a?b?2< br>2
?16?8?2?1cos??20?16cos?
3.C 展开得:a
2
+b
2
+2a·b=a
2
+b
2
?
a·b =0.
4.D 原式=3(4
2
+3
2
)-4·(-20+18)=83.
5.A ∵a·b=10-3λ,|a|=
4??
2
,|b|=
34
,∴由c osα=
10?3?
34?4??
2
?
?23
.
3
<0得λ>
10
.
3
?
x?
3
?
x??
3
?
??
5
或
?
5
. 6.D 设b=(x,y),则x
2
+y
2
=1且4x+3y=0解方程组 得
??
?
y??
4
?
y?
4
??
55
??
7.C ∵a·b=2×(-4)+3×7=13,|a|=
13
,|b|=
65
,∴13=
13?65
·cosθ,∴|a|·cosθ=< br>13
?
65
65
.
5
1
?
8.C 由条件知AB中点为M
?
?
1,
?
,令
MP
·AB
=0得:(x-1,-1)·(-4,-3)=-4(x-1)+(-1)·(-3)=0,x =2.
?
2
?
9.D 作内积:a·b=3k=3·
k
2
?25
cos
10.B 设x=( m,n),则由条件得
?
3?
?
k<0且
k
2
?2 5
=-
2
k
?
k=-5.
4
?
3m?n ?9
?
m?2
?
?
,故x=(2,-3).
m?2n?? 4n??3
??
11.由已知条件得:a·b=1,故原式=
(a?b)
2< br>?(a?b)
2
?(4?1?2)?(4?1?2)?21
.
12. 由条件得:c·a=3×1×cos60°=
3
,c·b=3×2·cos60°=3. 2
222
?
原式=a+4b+c+2a·c+4a·b-4b·c=1+16+9 +3-12=17.
13.∵c=(1-k,1-2k),∴由c·a=0得1·(1-k)+2(1 -2k)=0得k=
3
21
?
?
c=
?
?
,?
?
.
5
?
55
?
14.由条件a=(-1, -1),b=(-1,0)
?
|a|=
2
,|b|=1,由a·b=
2
cosθ得:(-1·(-1)+(-1)·0=
2
cosθ
?
cosθ=
2
?
θ=45°.
2
5 10
15.∵
AB
=
AD
-
BD
,BC
=
BD
-
CD
,
CA
=
CD-
AD
,
∴原式=(
AD
-
BD
)·
CD
+(
BD
-
CD
)·
AD
+(
CD
-
AD
)·
BD
=
AD
·
CD
-
BD
·
CD
+
AD
·
BD
-<
br>AD
·
CD
+
BD
·
CD
-
AD<
br>·
BD
=0.
16.设
OC
=(x,y),由
OC
⊥
OB
得:-x+2y=0,又
BC
=
OC
-OB
=(x+1,y-2),而
BC
∥
OA
?
3(y-
2)-(x+1)=0解关
于x,y的方程组得x=14,y=7.
∴
OC
=(14,7)
?
OD
=
OC
-
OA
=(11,6
).
17.∵a、b是两单位向量,∴|a|=|b|=1,且a,b夹角为120°.
∴a·b=|a|·|b|·cos120°=-
1
,
2
∵|c|
2
=c·c=(2a-b)·(2a-b)=4a·a-4a·b+b·b=4|a|
2
-4a·b+|b|
2
=7,
∴|c|=
7
.
∵|d|
2
=d·d=(3b-a)·(3b-a)=9b·b-6a·b+a·a=13,
∴|d|=
13
.
∵c·d=(2a-b)·(3b-a)=6a·b-3
b·b-2a·a+a·b=-
∴cosθ=-
1791
17
??
(
θ为c、d夹角).
182
27?13
17
,
2
∴θ=π-arccos
1791
.
182
2
2
3
?
?
1
?
?
?
?
?2
,|b|=
??
?
??
?
2
?
?
2?
2
18.∵|a|=
3?(?1)
?1
,
3
∵a·b=
3?
1
?1??0
,故a⊥b,
2
2
t
3
?3t
∵x·y=0,∴［a+(t-3)·b］·［-ka+tb］
=0化简得:k=.
4
2
7
k?t
2
117
∴<
br>?(t
2
?4t?3)?(t?2)
2
?
≥-.
4
4444
2
7
当且仅当t=-2时,
k?t
有最小值-.
4
t
小练习三
一选择题
6 10
1．已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若
PA?P
B?PC?
的位置关系是
（ ）
A、点P在△ABC内部
B、点P在△ABC外部
C、点P在直线AB上
D、点P在AC边上
2．已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则△ABC的形状为
（ ）
A、正三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形
D、等腰锐角三角形
AB
，则点P与△ABC
3．当两人提起重量为|G|的旅行包
时，夹角为
?
，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则
?
的值为（ ）
A、30
0
B、60
0
C、90
0
D、120
0
二、填空题
5．一艘船
以5kmh的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30
0
角，则水流速
度为
kmh。
6．两个粒子a，b从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以
粒子源为原点，它们的位移分别为S
a
=（3，-4），S
b
=（4，
3），（1）此时粒子b相对于粒子a的位移 ；
（2）求S在S
a
方向上的投影 。
三、解答题
7．如图，点P是线段AB上的一点，且AP︰PB=
m
︰
n
，点O
是直线AB外一点，设
OA?
a
，
OB?
b
，试用
m,n,
a
,
b
的运算式表示向量
OP
．
A
a
O
P
b
B
高三数学平面向量综合练习题
一、选择题
1、设平面向量
a
=(
－2，1)，
b
=(λ，－1)，若
a
与
b
的夹角为钝角，
则λ的取值范围是
1
,2)?(2,??)
B、(2，+∞)
2
11
C、(
?
，+∞)
D、(－∞，
?
)
22
A、
(?
2、设
a
=(x
1
，y
1
)，
b
=(x
2
，y<
br>2
)，则下列为
a
与
b
共线的充要条件的有
①存在
一个实数λ，使
a
=λ
③
b
或
b
=λ
a<
br>；②|
a
·
b
|=|
a
|·|
b
|
；
x
1
y
1
?
；④(
a
+
b<
br>)(
a
－
b
)
x
2
y
2
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
7 10
3、若函数y=2s
in(x+θ)的图象按向量(
A、
?
6
，2)平移后，它的一条对称轴是x
=
?
4
，则θ的一个可能的值是
5
?
??
?
B、
C、 D、
12
12
36
AB?AC?BA?BC
，则ΔABC必约
4、ΔABC中，若
A、直角三角形
B、钝角三角形
C、锐角三角形 D、等腰三角形
5、已知ΔABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足
PA?PB?PC?
系是
A、P在ΔABC内部 B、P在ΔABC外部
C、P在直线AB上
D、P在ΔABC的AC边的一个三等分点上
6、在边长为1的正三角形ABC中，
BC
二、填空题
1、已知
a
=(cosθ，sinθ)，
b
=(
AB
，则点P与ΔABC的关<
br>?a
，
AB?c
，
CA?b
，则
a?b?b?c?c
?a
=
A、1.5 B、－1.5
C、0.5 D、－0.5
3
，－1)，则|2
a
－
b
|的最大值为____________
x
2
?y
2<
br>?1
上一点，F
1
、F
2
是椭圆的两焦点，若∠F
1
PF
2
为钝角，则x的取值范围为2、已知P(x，y)是椭圆
4
_
_______________
3、设
m
=(a,b)，
n
=(c,d)，规定两向量m, n之间
的一个运算“
×
”为
m
×
2)，
n
=(ac－bd
，ad+bc)，若已知
p
=(1，
p
×
q
=(－4，－3
)，则
q
=____________
4、将圆x
2
+y
2
=2按
a
=(2，1)平移后，与直线x+y+λ=0相切，则实数λ的值为___
_________
三、解答题
1、已知平面内三向量
a
、
b<
br>、
c
的模为1，它们相互之间的夹角为120
0
。
（1）求
证：
(a?b)?c
；（2）
|ka?b?c|?1
，求k的取值范围。 <
br>2、设两个向量
e
1
、
e
2
满足|
e
1
|=2，|
e
2
|=1，
e
1
与
e<
br>2
的夹角为60
0
，若向量
m?2
?
e
1<
br>?7e
2
与向量
n?e
1
?
?
e
2
的夹角为钝角，求实数
?
的取值范围。
OA?OB
，
OB
?OC
，
OC?OA
。3、△ABC内接于以o为圆心，l为半径的圆，且
3
OA?4OB?5OC?o
，求：
x
2
4、抛物线
y??
与过点M(1，0)的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点，若
OA?OB
=0，求直线l
的
2
方程。
5、设
a
=(m，n)，
b
=(p，
q)，定义向量间运算“*”为：
a
*
b
=(mp－nq，mq+np)。
（1）计算|
a
|、|
b
| 及 |
a
*
b
|；（2）设
c
=(1，0)，计算cos<
a
*
b，
a
>及cos<
b
，
c
>；
（3）根据（1）、（2）的结果，你能得到什么结论？
6、已知
a
=(c
osα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，0<α<β<π。
（1）求证
：
a
+
b
与
a
－
b
垂直；
（2
）若k
a
+
b
与
a
－k
b
的长度相等，求
β－α的值（k为非零的常数）
7、已知A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)。
（1）若
AC?BC??1
，求sin2α的值；（2）若
|OA?OC|?13，
8 10
且α∈(0，π)，求
OB
与
OC
的夹角。
8、已知
a
=(2，2)，
b
与
a
的夹角为
3<
br>?
，且
a
·
b
=－2。
4
（1）求向量<
br>b
；（2）若
t
=(1，0)，且
b
⊥
t
，
c
=(cosA，2cos
2
C依次成等差数列，求|
b
+
c
|的取值范围。
C
)，其中A、C是△ABC的内角，若A、B、
2
9、已知向量
a
、
b
、
c
、
d
及实数x、y，且|
a
|=|
b
|=1，
c
=
a
+(x
2
－3)
b
，
d
=－y
a
+x
b
，
a
⊥
b
，若
c
⊥
d，且|
c
|≤
10
。
（1）求y关于x的函数关系y=f(x)及定义域；
（2）求函数f(x)的单调区间。
10、平面向量
OA
=(1，7)，
OB
=(5，1)，
O
P
=(2，1)，点M为直线OP上一动点。
（1）当
MA?MB
取最小值
时，求
OM
的坐标；（2）当点M满足（1）中的条件和结论时，求∠AMB的余弦。
11、已知P(x，y)，A(－1，0)，向量
PA
与
m
=(1，1)共
线。
（1）求y是x的函数；（2）是否在直线y=2x和直线y=3x上分别存在一点B、C，使得
满足∠BPC为锐角时x
取值集合为{x| x<－
12、已知
a?e
17
或x>
7
}？若存在，求出这样的B、C的坐标；若不存在，说明理由。 ?e
2
，
b?4e
1
?3e
2
，其中
e
1
=(1，0)，
e
2
=(0，1)。
则称n个向量<
br>a
1
，
?k
2
a
2
?????k
n
a
n
?o
成立，
（1）计算
a
·
b
，|
a
+
b
|的值；
（2）如果存在n个不全为零的实数k1
，k
2
，…，k
n
，使
k
1
a1
，否则为“不线性相关”，依此定义，三个向量
a
1
=(－1，1)，
a
2
=(2，1)，
a
3
=(3，2)
a
2
，…，
a
n
“线性相关”
是否为“线性相关”的，请说明你的判断
根据；
（3）平面上任意三个互不共线的向量
a
1
，
a
2
，
a
3
一定是线性相关的吗？为什么？
参考答案
选择题1－5 ACADDB
填空题 1. 4 ，2
(?
2626
,)
33
，3 （－2，1）， 4
－1或－5，
解答题1：k>0 或k<－2
2：
(?7,?
14
2
)?(?
14
2
,?
1
2
)
3：
OA?OB
＝0，
OB?OC
＝－0.8，
OC?OA
＝－0.6
4：y=2x-2
5：
|
a
|=
m
2
?n
2
|
b
|=
p
2
?q
2
|
a*
b
|=
(m
2
?n
2
)(p
2?q
2
)
cos<
a
*
b
，
a
>=
cos<
b
，
c
>=
p
p?q
22
9 10
6:
?
?
?
?
?
7:
sin2α
2
5
?
=
?
;
9
6
8(1) (-1,0);(0,-1)
(2)
[
25
,)
22
9: y=x-3x
x?[?
3
6,6]
增区间
(??,?1];[1,??)
减区间
[?1,1]
417
17
10：（1）（4，2）（2）
?
11：（1）y=x+1 (2)存在 B(2,4);C(-1,-3)或
B(?
12 （1）
a
·
b
＝1，|
a
+
b
|＝
91841123
,?),C(,)
772828
29
（2）线性相关
10 10
淘宝网 高中数学妙招-如何学好高中数学和地理
高中数学书上的隐形公式-高中数学教师资格证和初中数学教师资格证
高中数学竞赛 冬今营-高中数学双参数方程
高中数学次方的常用公式表-高中数学文科选修1-2目录
高中数学函数即表示-吉林省高中数学学业考试科目
高中数学课怎么分课时-有哪些关于初高中数学软件
高中数学b版必修五测试题-高中数学集合教学视频全套
香港高中数学试卷-与高中数学有关的课外定律
-
上一篇：高中数学涂色问题常用技巧 ()
下一篇：高中数学平面向量