高中数学平面向量

专题讲座
高中数学“平面向量”
一、整体把握“平面向量”教学内容
（一）平面向量知识结构图

（二）重点难点分析

本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用．
课标要求：
平面向量（约12课时）
（1）平面向量的实际背景及基本概念
通过力和力的分析 等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
（2）向量的线性运算
①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。
②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
③了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示
①了解平面向量的基本定理及其意义。
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
（4）平面向量的数量积
①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
（5）向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问 题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能
力和解决实际问题的能力。
依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专 题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几
何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。
二、“平面向量”教与学的策略
（一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系
本专题的教学中，向量、向量 的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循 概念教
学的方法。
比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括 ，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通
过比较，对向量的概念进行辨 析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。


概念辨析：
本专题的内容中，学生的问题之一是：概念不清，符号表示混乱，针对 此问题，一方面教师在板书、表达等方面一定要准确和多方强调，另一方面，也
可设置一些判断题，帮助 学生辨析概念．
例1．下列命题中，真命题的序号为：______．
①是
A、
B
、
C
、
D
四点构成平行四边形的充要条件；
②－＝0；

③单位向量不一定都相等；
④若向量、满足||=||，则

= ±；
⑤的充要条件是，且；
⑥若，则或；
⑦若= 0，则或为零向量．
（二）在平面向量运算的教学中，运用模型和类比，降低难度，深化理解
向量是新定义的数学 概念，单纯看向量的运算，实际上是比较抽象的．在教学中若能恰当运用模型，运用类比，不仅可以降低难度，而 且对于学生认识
抽象的运算有很大的好处：
比如说：向量这个概念源于物理中的力、位移，那 么力的合成、位移的合成实际上就是向量加法的模型，依此为基础很容易理解并记忆平行四边形法则
和三 角形法则。
而向量的减法则可类比于数的减法定义：在实数运算中，减法是加法的逆运算，于是向量的 减法也可以看成是向量加法的逆运算；在实数运算中，减去
一个数，等于加上这个数的相反数，据此，引 出相反向量的概念。
再比如：实数运算中的乘法，实则是源于加法，向量运算中，我们也可以从向量加 法出发，问学生：=？从而引出实数与向量的乘积。
教学内容 教学方法
力的合成
备注
平行四边形法则
三角形法则

向量的加法
模型
位移的合成
减法是加法的逆运算
向量的减法
类比
减去一个数，等于加上这个数的
相反数
相反向量
类比辨
实数与向量的乘积
析拓展
类比
运算率
辨析
实数的运算率
分配率??
平面向量基本定理
平面向量的数量积
模型
模型
力的分解
做功的概念

数的乘法 平行向量
交换律、结合律、

在定义新的向量运算时，为了便于学生的理解和记忆 ，一方面要关注到运算定义的合理性，新定义的运算应该与我们日常的经验（向量的来源）不相悖
——合 情合理；另一方面，也要注意向量运算与实数运算的差异，抓住“结果是什么？”“遵循什么样的运算律？”等问 题，在类比和辨析中学习新知识。逐
渐渗透在集合上定义二元运算的准则．自然形成对于“逆运算”、“ 逆元”等概念的了解．最终拓展学生对于运算的认识．
作为一种检验，设计如下题目，考察学生对于抽象运算的理解：
例2．设
及任意实数
是已知平面
都有
上所有向量的集合，对于映射
，则称为平面
，记的象 为。若映射满足：对所有
上的线性变换。现有下列命题：

①设是平面上的线性变换，，则
；

②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；
③对，则是平面上的线性变换；
④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
（三）紧扣重点，恰当选择例题，深化数形结合
本专题的教学中 ，数形结合是重要的思想方法之一，理解向量线性运算的几何意义更是本专题的教学目标之一，但学生往往不能做 到恰当转化．数形结
合的关键是把握基本量的代数形式与几何特征之间的联系，一方面教学中要时刻注意 二者的联系和相互表达，学会“看图说话”，另一方面也可选择恰当的例
题，对某些几何特征量进行归纳 ，逐渐学会“由数到形”．
先以教学为例：每种运算都要注意从几何和代数两个方面进行解读，两者并 重。但要真正掌握、运用这种思想方法，还需对数和形的实质加以挖掘。
比如“向量的加法”教学中， 可从“位移的合成”引入三角形法则，这是向量加法的几何法则，将其代数化，就得到：
和形式化并不只 是一种简洁的表示，还可挖掘其内在的含义：如这个式子其实可以脱离图形而存在，进一步得到
。代数化
。
之外，也可通过一些训练，促成学生掌握“数形结合”。
例
3．D、E 、F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，且=，=，
给出下列命题：

①－； ②+；

③+； ④．

其中正确命题的个数是______________．

选题目的：“看图说话”——平面向量的线性运算。

例4．已知点
O
是平面上一定点，
A
、
B
、
C
是平面上不共线的三个点， 动点
P
满足：
轨迹一定通过的（ ）．
，，则点
P
的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：是什么？既然是向量，应从几个方面理解？大小、方向。

设，．不难知道：向量、分别是与向量、方向相同的
单位向量
，
设，． < br>解：如图，以、为邻边作平行四边形AMQN，则此四边形为菱形．根据向量加法的平行四边形法则，必有 ，根据菱形的对
角线平分对角，所以，为的平分线．
由题意:,即,且,所以,点位于射线上，即位于的平分线上．
所以，点的轨迹必过Δ
ABC
的内心．
选题目的：
①深化理解“向量”概念。
②培养“数形结合”的思维习惯。
数形结合是处理向量 问题的常用思想方法．数形结合的关键在于把握基本量的代数形式与几何特征之间的联系．如本题中由看到单位向 量；
③拓展延伸，见多识广。
熟练掌握向量加法的平行四边形法则与三角形法则，将平面几 何的图形关系与向量运算的几何意义有机结合，如本题中的菱形．可以思考，当两个向量
满足什么关系时 ，可构造矩形？
，O是△
ABC
的外心
，O是△
ABC
的什么心？重心
，O是△
ABC
的垂心
，O是△
ABC
的内心．
又比如在平行四边形
ABCD
中，
意味着矩形．
意味着菱形；也意 味着菱形；若，
已知
O
、
A
、
B
、
C是不共线的四点，若存在一组正实数
至少有_________个钝角
使得，则三个角中
例5 已知向量≠，||＝1，对任意实数
t
，恒有|－
t
||－|，则（ ）

A．⊥ B．⊥(－) C．⊥(－) D．(＋)⊥(－)
分析：利用向量减法的三角形法则，作出几何图形，观察|－
t
||－|的含义．
解：设，，则，在直线上任取一点，设，则，所
以，．
因为|－
t
||－|恒成立，所以，，所以，需且只需，即⊥(－)．
选题 目的：由数到形——实数与向量乘积的几何表示。
t
表示的就是与向量平行（共线）的向量．
例6.设,是不共线的两个向量,已知,
,,若、、三点共线，求实数的值．
分析：三点共线对应向量平行．
解：,所以,由已知,必存在实数,使.即 ．由于
,是不共线的两个向量，于是解得，
．

选题目的：三点共线与向量平行。运用向量共线的充要条件常可解决几何中的三点共线问题．
（四）从特殊到一般，强化平面向量基本定理的教学，突破难点
课标要求：通过本专题的学习 ，研究用向量处理问题的两种方法：“向量法”和“坐标法”．也即面对一个实际问题，要学会选择基底或者建立 平面直
角坐标系．本质上这两种方法是统一的，其依据都是“平面向量基本定理”，后者是前者的特例． 学生往往对于后者较为熟悉，在给定的坐标系中会处理问题，
但不善于自己选择基底．事实上，这种熟悉 ，对于很多学生来说：只是一种简单的模仿和运算，而对于平面向量基本定理并没有真正理解。但课标对于平面向
量基本定理的要求，只限于“了解”。因此，若学生程度较好，可在正交基底的基础上，引导学生选择其 它的基底解决问题，强化对于平面向量基本定理的教
学．
例7. 中，为直角，，，
AD
与
BC
相交于点
M
，设，
，
（Ⅰ）试用表示向量；
（Ⅱ）在线段
AC
上取一点E，在
BD上取一点F，使得
EF
过点
M
，设，，求证：．
分析：由于向 量
表示，注意到
互相垂直，所以建立直角坐标系，通过计算坐标的方法，可以解决问题；另外，
，所以只需求得求得点在
可看作是平面的一组基底，用它们
上的位置，这一点可直接利 用平面向量基本定理中分解的唯一性，运用两组三
点共线解决问题。

解1：（Ⅰ）以为原点，如图建立平面直角坐标系,设,,则,，
设，则根据在直线上，也在直线上，根据斜率公式，可得：
，

．
解之得：，所以．
（Ⅱ）由题可得，，由三点共线，可得：可证得．
解2：（Ⅰ）由三点共线可知，存在实数使得
；
由三点共线可知，存在实数使得
；
由平面向量基本定理知：
解之得， ．
（Ⅱ）若，，则，
又因为三点共线，所以，．
选题目的：
（1）类比，由特殊到一般。平面直角坐 标系是平面向量基本定理的特殊情况（正交基底），但在这种正交基底的情况下，向量的运算就转化为坐标运算，度量问题因此得到简化；（2）运用向量基本定理解题的基本方法。有了平面向量基本定理，平面上所有 的向量都可以用一组基底表示，从而使得向量的
“代数化”更为方便．

例8 如图， , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运
动, 且,则的取值范围是______；当时, 的取值范围是______.
分析：以为基底分解向量．
解：如图，作交于．则
，
由点的位置不难知道．
因此，，也即
的取值范围是

当
时，，所以，此时，的取值范围是．

选题目的：平面向量基本定理与向量的线性运算。
平面向量基本定理是引入向量坐标运算的理 论依据，而坐标运算的引入，为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质上是化“形”为“数”．
三、学生学习目标检测分析
（一）课程标准与高考对“平面向量”的要求
依据课标要求和考试说明的要求，将平面向量学习的主要检测内容与标准整理如下：
考试内容 要求层次
了
解 解
√




理
握

掌
平
面
平面向量 平面向量的相关概念

向量的线性
向
量
运算
向量加法与减法
向量的数乘
两个向量共线



√
√
√
平面向量的
基本定理及坐标表
示
平面向量的基本定理
平面向量的正交分解及其坐标表示
用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
用坐标表示的平面向量共线的条件







√



√
√
√
√


平面向量的
数量积
数量积
数量积的坐标表示
用数量积表示两个向量的夹角
用数量积判断两个平面向量的垂直关系



√
√
√

向量的应用 用向量方法解决简单的问题

√

总体而言，向量的运算是考察的重点，部分概念和应用则需要理解即可。
针对平面向量内容， 除进行综合测试外，在学习过程中可安排两次诊断性小测试：第一次在学习完线性运算或坐标运算后进行，重点考 察向量的线性运
算和向量的坐标运算，注重基础，控制难度，以低中档题为主．通过测试了解学生对于向 量有关概念、法则的理解和运用情况，反思教与学的情况．第二次测
试在本专题全部学习完之后进行，重 点考察向量的数量积和向量的应用，题目可略为综合，考察学生综合运用向量解决问题的能力．
命题不宜太难，但目的应该清晰，下面我们选择一些例题加以说明：
（二）典型题目的检测分析
例1. 如图，向量等于
A． B．
C． D．
本题以“看图说话”的形式，考察向量运算的三角形法则。看似容易，却并不死板 ，正确解答此题，则表明学生已从几
何意义的角度掌握三角形法则。可在第一次测验中使用。
例2. 若
O
是平行四边形
ABCD
的中心，，则＝（ ）
A． B． C． D．
此题由数到形，是对于向量运算的另一层次的考察，可与例1结合使用。
例3.如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（ ）
A． B．
C． D．
本题考察数量积的几何意义，解答此题时间的长短可反映学生对这一概念掌握的程度，可在课堂使用。
例4．一条从西向东的小河的河宽为3.5海里，水的流速为3海里小时，如果轮船
到达北岸， 轮船的速度应为__________．
分析：速度既有大小又有方向，可以用向量很好的表达，所以，本题可以看作是一道向量的应用问题．
希望用10分钟的时间从河的南岸垂直
解：用表示水速，表示船速，．由题可知：，，且所成的 角为，所以，
船的速度应该满足：，且与所成的角为．所以，轮船的速度应该为沿北偏西
的方向 海里／小时．

此题中，学生常犯的错误是回答时忽略方向。若大 小正确，反映学生已掌握向量加法，但忽略方向则表明学生对向量概念的应用还不是很到位．此题可
在第 二次测试时作为中档题使用。
例5．若非零向量满足，则（ ）
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
此题难度较大，综合考察学生对于向量运算的应用，可在第二次测试时作为难题选用。
互动对话
【参与人员】
梁丽平：人民大学附属中学
杨 杰：人民大学附属中学
崔 鹏：人民大学附属中学
【互动话题】
1．平面向量与三角函数
（1）运用向量方法证明三角函数与解三角形中的公式与定理；
（2）向量在其它三角问题中的应用
（3）部分三角问题的向量内涵。
2．平面向量与空间向量
从轴上向量到平面向量，再到空间向量，是由一维à二维à三维的演 化，学习过程中，如何抓住这一点，运用类比的方法递进学习？
3．平面向量与解析几何
（1）平面向量与解析几何的衔接点和共同特征；
（2）在解析几何中运用向量工具，完成包 括直线的“点向式”、“点法式”方程、点到直线距离、两条直线夹角公式等的推导，用向量方法贯穿解析
几何初步；
（3）读懂向量，别有洞天。
4．平面向量与其它知识
平面向量在平面几何中和不等式等方面的应用；
案例评析
【案例信息】

案例名称：《实数与向量的乘积》
授课教师：高德莲（人民大学附属中学）
评析教师：梁丽平（人民大学附属中学）
【课堂实录】
【案例评析】
一、引入开宗明义，简洁明快
向量源于生活 ，有许多学生熟悉的生活模型，如何将其抽象，形成数学的概念？如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅 速把握住本质，达成理
解？高德莲老师的这节课从一个侧面给了我们一定的启发．
实数与向量 的乘积，是在学生学习完向量的概念、向量的加减运算之后所学习的新的运算．是否一定还要从实例引入？事实上 ，在学习向量的加法时，
学生已经很自然的有了这样一些直观的认识，只需顺势而为，严格定义即可．因 此，高老师的这节课，就从一个引例出发，让学生先有这
样的概念，然后再追问应该如何给实数与向量的 乘积下定义．
这样引入，开宗明义，简洁明快，节约了课时，也通过这一概念的引入，促使学生将感性 认识转化为理性认识，摆脱自发性概念的粗糙、肤浅状态．加
深了学生对于数学严谨性的认识．
如何使得教学是有效的、高效的，常常需要创设一定的情境，设置一定的问题串，这个情境可以是生活中的实例 ，也可以是数学问题本身．情境设置的
原则应该是有利于激发学生的兴趣，激发学生主动学习，应该比较 快的引入正题，不应该为情境而情境．
二、根据学生的最近发展区设置问题链，探究中求新知
本节课是实数与向量的乘积的第一课时，主要介绍实数与向量的积的定义、运算律以及两向量共线定理，属于概 念课，创新的东西少，继承的东西多，
教材内容简单，为了避免学生被动接受，高老师层层设置问题，想 办设法引导学生主动地去探究、去发现、去主动获取知识．
本节课中，高老师共设计了三个问题：
问题1：你能给λ
a
这种运算下个定义吗？
问题2：实数与向量的积有怎样的运算规律？
问题3：已知向量
b
与
a
共线，
b
是否可以用λ
a
来表示，λ唯一吗？
第一个 问题，要求学生在直观认识的基础上，提炼出严谨的数学定义．这一问题，还加深了学生对于向量概念的认识．在 学生探究出定义后，回应引例，
使学生感受到定义的合理性和实用性．
第二个问题，学生可以 通过类比实数运算、得出运算律，并从形的方面给出证明或验证，这样不仅有效地将新知识纳入到他原有的认知结 构中，而且相
对于讲授法而言，可以让学生对于运算有更深刻地认识．
第三个问题，是由引例 中具体的向量共线，进一步抽象成一般的向量共线，从而提出问题三，经过学生讨论，归纳出定理及其本质． < br>这三个问题，均由引例引出，以问题链的形式，层层深入，引导学生探究新知，解决问题，再发现问题，使 学生在螺旋式的探究、解决、发现中体验科
学研究的方法及类比、归纳的思维方式，激发学生主动获取知 识的学习意识．
三个问题，都是学生能回答但不易完整、准确作答的，易于激发学生兴趣，通过具体问 题的解决，体验成功，增强学习数学的自信心．
总体来说，本节课非常注重概念的生成过程，教学设计 体现“关注学生的学习，倡导学生积极探索、合作交流”的教学理念．教师提出问题，引导学生
探究学习 ．教学中充分发挥学生学习的主动性和创造性，挖掘学生潜能，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造” 过程．

当然，任何教学设计都要考虑到学生的具体情况．本节课 中，在教师的三个问题引导下，几乎所有的学生都顺利地完成了该节内容的学习．如果学生的
程度再好一 些，这节课的步子是不是可以迈得再大一些．比如说，课题引入后，让学生自己考虑：定义一种新的运算，需要解 决哪几方面的问题？——定义、
法则、运算率．而鉴于向量集几何与代数一体的特性，当然有必要考虑其 运算的几何意义，于是，很自然的引入平行向量基本定理．这样的一节课，就把整个
课堂交给了学生，探 究的味道会更浓，学生自主的空间也会更大．
思考与活动
1.向量与三角是如何联系的？
2.向量是如何沟通代数与几何的？选一节课做出两个教学设计，分组讨论，并进行教学设计的交流与反 思。
3.设计一份平面向量的检测试题。在形成性评价和终结性评价上你还有哪些思考和困惑？介绍一 个你在某一方面的测试方案并谈谈命题思考。
参考资料
【相关资源】
1.中学数学教学中的向量(PDF)
2.中学数学教学中的向量（续1）(PDF)
3.中学数学教学中的向量（续2）(PDF)
4.中学数学教学中的向量（续3）(PDF)
5.从点到直线的距离公式的推导谈起(PDF)
6.关于“平面向量基本定理”的说课(PDF)
7.平面向量解题初探(PDF)
8.概念教学必须体现概念的形成过程“平面向量的概念”的教学与反思(PDF)
【参考文献】
1．周建华：“向量的加法和减法”教学设计，《中学数学月刊》2004年第3期．
2．刘 春燕：“平面向量的数量积”(第一课时)教学设计，《中小学数学（高中版）》2010年第03期.
3．齐民友：“中学数学教学中的向量”，《数学通报》2007年第4期。
4．齐民友：“中学数学教学中的向量（续1）”，《数学通报》2007年第5期。
5．齐民友：“中学数学教学中的向量（续2）”，《数学通报》2007年第6期。
6．齐民友：“中学数学教学中的向量（续3）”，《数学通报》2007年第7期。
课程简介
高中数学“平面向量”教学研究
【课程简介】

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几 何问题的有力工具。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着
极其丰富的实际背景。本课程从 以下三个方面对“平面向量”进行了阐述：
一、整体把握“平面向量”教学内容；
二、“平面向量”教与学的策略；
三、“平面向量”学生学习目标检测分析。
本课 程主要面向一线教师和教研员，部分优秀学生也可参照学习。课程第一部分从平面向量在整个学科知识体系中的地 位和作用出发，帮助学员深层次
理解“平面向量”；第二部分则从教学的难点和重点出发，针对教学中容 易出现的问题，针对学生学习中容易出现的错误，从教学设计到教学实施的各个环节，
有针对性地给出建 议；第三部分通过举例说明，目的在于帮助学员学会根据检测目标，有针对性的设计评价和检测方案。
【学习要求】
通过本课程的学习，达到以下目标：
1.了解平面向量的背景，了解 平面向量在整个学科知识体系中的地位和作用，了解平面向量与代数、几何、三角等的联系。
2.明确 平面向量教学的重点和难点，明确学生学习的困难所在，并能设计相应的教学方案把握重点、突破难点。
3.能根据课标要求有针对性的设计一套平面向量的检测试题（涉及概念、运算及应用）。
教师团队
【主讲教师】
梁丽平
北京市数学特级教师，市级学科带头人，校数学教研组组长，海淀区名师工作站导师。
多年从 事一线教学工作，多年担任海淀区兼职教研员，所教学生成绩突出：有高考状元、数学满分、IMO金牌。本人曾 在国家级刊物上发表过十余篇论文，编写新课标教材
《初等数论》（北师大版）；与他人合著北京市补充 教材《概率统计》；曾多次参与北京市高中毕业会考命题；参与北京市新课程数学教学指导意见的编写．
【互动教师】
杨杰
男，高级教师。北京市骨干教师，海淀区学科带头人，海淀区兼职教研员。多年高三教学经历。
崔鹏
男，硕士学位，毕业于清华大学，曾获海淀区青年教师基本功教学设计比赛、说课比赛、 解题比赛一等奖，教学成绩优异。