高中数学向量的有关概念

向量的有关概念

教学任务
理解有关向量的概念，掌握向量加减法作图。2、掌握实数与向
知识与技能目标
量的 运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件3、了解
平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概 念，掌握平面向量
教
的坐标运算。

学
学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中，理解有关向量

目
的概念，掌握向量加减法作图。2、掌握实数与向量的运算法则

标
过程与方法目标 及运算律，理解两个向量共线的充要条件3、了解平面向量基本

定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
4、培养学生的观察、分析、归 纳、抽象的思维能力
情感,态度与价值
观目标
在探究活动中，培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。
重点
理解有关向 量的概念，掌握向量加减法作图。掌握实数与向量的运算法则及运算律，
理解两个向量共线的充要条件
难点
了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力
教学流程说明
活动流程图 活动内容和目的
活动1 课前热身－练习 重温概念领会新知
活动2 概念性质－反思
深刻理解定义，理解平面向量的坐标的概
念，掌握向量加减法作图
活动3 提高探究－实践 掌握平面向量的坐标运算
活动4 归纳小结－感知 让学生在合作交流的过程总结知识和方法
活动5 巩固提高－作业 巩固教学、个体发展、全面提高
教学过程设计
问题与情境
设计
意图
活动1课前热身（资源如下）
向量：既有大小又有
重温
1、基本概念
方向的量，向量的长度
概念
向量的定义____________________、
（模）——向量的大小，
领会
向量的模____________________、
零向量____________________、
记作
a
或
AB

新知
同方向单位向量____________________、
平行向量（共线向量）
相反向量____________________、
——方向相同或相反的
平行向量____________________、
非零向量，规定零向量与

相等向量______________________________ 任意向量平行。
向量的表示：__________________________ 相等向量——长度相
2、加法与减法的代数运算 等且方向相同的向量，若
若
r
a
=（
x
r
（
x
rr
1
,y
1
）,
b
=
2
,y
2
）则
a
?< br>b
=（ ）
向量
a
与
b
?
相等，则记
向量加法与减法的几何表示：___________________
向量加 法有如下规律：____________；____________；____________；
作
a?b
。
____________
零向量——长度为零
3 、实数与向量的积：实数
?
与向量
a
的积是一个向量。
的向量记作
?
0
，零向量的
(1)︱
?
a
︱=︱
?< br>︱·︱
a
︱;
方向是任意的。
(2) 当_________时，
?
a
与
a
的方向相同；当_________时，
?
a
与
相反向量——长度相
a
的方向相反；当_________时，
?
a
=
r
0
．
等且方向相反的向量。
( 3)若
a
=（
x
1
,y
1
），则
?
·
a
=（ ）．
单位相量——长度等
两个向量共线的充要条件：
1单位长度的向量。
(1) 向量
r

b
与非零向量
a
共线的充要条件是_______ ________________
二、向量的表示方法
(2) 若
a
=（
x
rr

1
,y
1
）,
b
=（
x
2
,y
2
）则
a
∥
b
?
_______________ __．
1、字母表示法：如
a
，
4、平面向量基本定理：
若e< br>1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的
AB

任一向量
a
，有且只有一对实数
?
1
，
?
2
，使得
a
=
?
1
e
1
+
?
2
e
2
．
5、向量的模（绝对值）：
2、几 何表示法：用一
条有向线段表示向量，用
1）
a
=（
x
1< br>,y
1
），则
a
r
?
______________ __
有向线段的长度表示向
2）若=(x,y
uuur
11
),b =(x
2
,y
2
),则在坐标系上对应的点
A,B
有
AB
量的大小，用箭头所指的
（ ）；
u
AB
uur
＝
?
_______________________;
方向表示向量的方向。
6、向量的夹角：___________________________

3、代数表示法 （x、
y）
已知两个非零向量
a
与
r
b
，作
OA
=
a
OB
=
r
,
b
,则∠AOB=
?

（
0
0
?
?
?180
0
）叫
做向量
a
与
r
b
的夹角。

活动2概念性质
培
1、基本概念
养学
向量的定义、向量的模、零向量、同方向单位向量、相反向量、平
生用
行向量、相等向量。 < br>2、加法与减法的代数运算
自己
(1)
u
A
uuuuruuu uuruuuuu

的语
1
A
2
?A
2
A
3
?L?A
uuruuuuur
n?1
A?AA
言来
(2)若
a
=（
x,y
r
n1n
．
?
r
11
）,
b
=（
x
2
,y
2
）则
a
b
=（
x
1
?x
2,y
1
?y
2
）．
描述、

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
理解
以向量
AB
=
a
、
AD
=
b
为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线
有关
的向量
AC
=
a< br>+
b
,
BD
=
b
－
a
,
D B
=
a
－
b
且有︱
a
︱－︱
b
︱
概念
≤︱
a
?
b
︱≤︱
a
︱+︱b
︱．
公式。
向量加法有如下规律：
a
＋
b
=
b
＋
a
(交换律);
a
+(
b
+c)=(
a
+
注意
b
)+c （结合律）;
定义
中的

a
+0=
a

a
＋(－
a
)=0. < br>重点、
3、实数与向量的积：实数
?
与向量
a
的积是一个向量 。
核心。
(1)︱
?
a
︱=︱
?
︱·︱
a
︱;

(2) 当
?
＞0时，
?
a
与
a
的方向相同；当
?
＜0时，
?
a
与
a
的方

向相反；当
?
=0时，
?
a
=
r
0< br>．

(3)若
a
=（
x

1
,y
1
），则
?
·
a
=（
?
x
1
,
?
y
1
）．
两个向量平行的充要条件：


(1) 向量b与非零向量
a
平行的充要条件是有且仅有一个实数
?
，

使得
b
=
?
a
．

(2) 若
a
=（
x
1
,y
1
）,
b
= （
x
2
,y
2
）则
a
∥
b
?x< br>1
y
2
?x
2
y
1
?0
．

平面向量基本定理：
若e
1
、e
2
是同一平面 内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的
任一向量
a
，有且只有一对实数
?
1
，
?
2
，使得
a
=
?
1e
1
+
?
2
e
2
．

活动3提高探究

资源1、

下列说法正确的是

（ B ）
A．方向相同或相反的向量是平行向量

B．零向量的长度为0

C．长度相等的向量叫相等向量

D．共线向量是在同一条直线上的向量

E、和量
u
AB
uur

与
u
CD
uur

是共线向量，则A、B、C、D在同一直线上；

概
F、和量
u
a
r
与
u
b
r
平行,则
r
a,< br>u
b
r
的方向相同或相反

；
念辨

析

G、
?ABC中,必有AB?BC?CA?0
；


H、若△ABC中，必有
AB?BC?CA?
?
0








如图所示，
?A BC和?A
?
B
?
C
?
是在各边的
1
3< br>处相交的

两个正三角形,?ABC的边长为a
，图中列出了长度均为
a
3
的若干个
向量，则
（1）与向量
GH
相等的向量是__________；

（2）与和量
GH
共线的向量有__________；
（3）与和量
EA
平行的向量是____________.
资源2、
??
1、 G是
?ABC
的重心，求证：
GA?GB?GC
?
?
?
0

2、 如图，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD， E、F、G、H分别是
向量
AD、BC、AB与CD

加减
法作
的中点，则
EF
等于
图
3、若非零 向量
?
?
,
?
?
满足
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
，求
?< br>?
与
?
?
所成角的大小。
资源3、
1、已知< br>A(?2,3),B(3,?1),C(?3,?4)
????
,且
CM?3C A,CN?2CB
，求
?
M,N的坐标和
MN

运
算
2、已知向量
a
?
?(1,2),b
??(x,1),
?
?
?a
?
?2b
?
,v?
?2a
?
?b
?
且
?
?
v
?
，求
x


3、（1）若
AB?a?b

BC?2a?8b

CD?3(a?b)
求证：A、B、
D三点共线
活动4归纳小结


活动5巩固提高 附作业
提高
向量的有关概念
一、填空：
1．
AB?DF?CD?BC?FA?
_____________
2．两向量平行是两向量相等的____________条件
3．向量
a
?
?(x,1)
与
b
?
?(4,x)
共线且方向相同，则< br>x
=_______

a
r
?(x?y,xy)br
?(5,2).若a
r
?b
r
4．已知向量
22,x?.
______
y?
______
5．当
a
?
?b
?
?0,
且
a
?
,b
?
不共 线时，
a
?
?b
?
与
a
?
?b
?
的位置关系是______
6．有一边长为1的正方形ABCD，设
AB?a,B C?b,AC?c,则|a?b?c|?________,|a?b?c|?

________,
|?a?b?c|?___________.
。
??
7、设平行四边形ABCD的对角线交于O，交
AD?(3,7),AB?(?2,1)
?，则
OB
=________
8、非零向量
a,b满足|a|?|b| ?|a?b|
，则
a,b
的夹角为
9、在四边形A BCD中，若
AB?a,AD?b,且|a?b|?|a?b|
,则四边形ABCD的形状是

二、选择：
10、若向量
a?(1,1)

b?(1,?1)

r
c?(?1,?2)
则
c?
（ ）
A、
?
1
2
a?
3
2
b
B、
?
1
2
a?
3
2
b
C、
3
2
a?
1
2
b
D、
?
31
2
a?
2
b

11、两个非零向量相等的一个必要不充分条件是 （ ）
A．两个向量长度相等 B．两个向量方向相反
C．两个向量长度相等，且方向相同 D．两向量的起点和终点分别重合
12、给出以下四个命题：(1)若两非零向量
a
?
,b
?
，使得
a
?
?
?
b
?< br>(
?
?R)
，那么
a
?
b
?
；(2 )若两非零向量
a
?

?
a
?
?
?
b
?
(
?
?R)
；(3)若
?
?R
，则< br>?
a
?
a
?
；(4)若
?
,
??R,
?
?
?
，则
(
?
?
?
)a
?
与
a
?
b
，则
平行。其中正确命题的
个数是_____
A 1 B 2 C 3 D 4
13、O是平面 上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足
OP?OA?
?
(
ABAC
AB
?
AC
)

?
?(0,??)
则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A、外心 B、内心 C、重心、 D、垂心
三、解答

14、O是正六边形ABC DEF的中心，且
OA?a,OB?b,AB?c,分别写出图中与a,b,c
相等的向量.



15、已知向量
AB?(6,1),BC?(x,y),CD ?(?2,?3),当向量BCDA
时,求实数x,y应满足的关系式










16、如图所示，平行四 边形ABCD中，
BM?
2
3
BD,CN?
1
4
C A,若AB?a,AD?b,
试用
a.b
表示向量
MN
。

D
C


b

M
N


A
a

B





17、已知
A(2,3),B(?1,5)
且满足
AC?
1
3
AB,AD?3AB,AE??
1
4
AB
，求C、D、 E的坐标