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如何利用向量的几何表示三角形的各种心
向量的几何表示是高考的热点问题 ，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题
的素材，常见的结论如下：
[来源:学科网Z |X|X|K]

uuuruuuruuuruuur
1
①
PG?( PA?PB?PC)
?
G
为
?ABC
的重心，
3
uuuruuuruuurr
特别地
PA?PB?PC?0?P
为
?ABC< br>的重心；
uuuruuur
?
(AB?AC),
?
?[0, ??)
是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心；
uuur
1
uuur uuur
AD?AB?AC,
等于已知AD是
?ABC
中BC边的中线. < br>2
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
②
PA?PB?PB? PC?PC?PA?P
为
?ABC
的垂心；
??
uuuruuur
ABAC
rr
过垂心.
?
(
uuu
?
uuu
)
?
?[0,??)
是△AB C边BC的高AD上的任意向量，
|AB|cosB|AC|cosC
uuuruuuruuu ruuuruuuruuurr
③
|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P

?ABC
的内心；
uuur
uuur
AC
AB
uur
?
uuur)(
?
?0)
所在直线过
?ABC
的内心(是
?BAC
的角平分线所在直线).
向量
?
(
u
|AB||AC|< br>uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
④
(O A?OB)?AB?(OB?OC)?BC?(OC?OA)?CA?0

uuuuruuuu ruuuur
uuuruuuruuur
22
?OA?OB?OC?OA?OB?OC
2
?
O
为
?ABC
的外心.
4.向量与平行四边形相关的结论
向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到， 其应用非常广泛.在平行四边形
uuurruuurr
ABCD
中，设
AB? a,AC?b
，则有以下的结论：
uuuruuurrruuur
①
AB? AC?a?b?AD,
通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若
uuuruuur
AB?DC
,可判断四边形为平行四边形；
rrrrrr
rruuurrr uuur
②
a?b?AD,a?b?CB,
若
a?b?a?b?a?b?0< br>对角线相等或邻边垂直，则平行四
ur
rrrrr
u
边形为矩形；(a?b)?(a?b)?0?a?b
对角线垂直.则平行四边形为菱形；
rr
2
rr
2
r
2
r
2
③
a?b?a?b?2 a?2b
说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；
rrrrrr
rr
r
b
同向或有
0
④
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
，特别地，当
a、

rr
rrrr
rrrr
b
反向或有
?
|a?b |?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
；当
a、
r
rrrr
rrrr
0
?
|a?b|?|a|?|b|
?||a|?|b||?|a?b|
；
rr
rrrrrr
b
不 共线
?
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
(这些和实数比较类似). 当
a、
5.解析几何与向量综合时可能出现的结论
（1） 给出直线的方向向量u?
?
1,k
?
或
u?
?
m,n
?< br>；
（2）给出
OA?OB
与
AB
相交,等于已知
O A?OB
过
AB
的中点;
??
?
（3）给出
PM ?PN?0
,等于已知
P
是
MN
的中点;
（4）给出AP?AQ?
?
BP?BQ
,等于已知
P,Q
与
AB< br>的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①
ABAC
；
??
r
r
②存在实数
?
,使AB?
?
AC
；
uuuruuuruuur
③若存在实数
?
,
?
,且
?
?
?
?1,使OC?
?
OA?
?
OB
,
等于已知
A,B,C
三点共线.
（6） 给出
OP?
OA?
?
OB
，等于已知
P
是
AB
的定比分点，
1?
?
?
为定比，即
AP?
?
PB

（7） 给出
MA?MB?0
,等于已知
MA?MB
,即
? AMB
是直角,给出
MA?MB?m?0
,等于已知
?AMB
是钝角, 给出
MA?MB?m?0
,
等于已知
?AMB
是锐角,
??
?
MAMB
?
（8）给出
?
?
?
?< br>?MP
,等于已知
MP
是
?AMB
的平分线
?
MAMB
?
??
（9）在平行四边形
ABCD
中，给出
( AB?AD)?(AB?AD)?0
，
等于已知
ABCD
是菱形;
[来源:学科网ZXXK]

uuuruuuruuuruuur
（10） 在平行四边形
ABCD
中，给出
|AB?AD|?|AB?AD|
，
等于已知
ABCD
是矩形;
（11）在
?ABC
中，给出
OA?OB?OC
，
222

等于已知
O
是
?ABC
的 外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直
平分线的交点）；
（12） 在
?ABC
中，给出
OA?OB?OC?0
，
等于已知
O
是
?ABC
的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在
?ABC
中，给出
OA?OB?OB?OC?OC?OA
，
等于已 知
O
是
?ABC
的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
uuuruuur
ABAC
r
?
uuur
)
(
?< br>?R
?
)
（14）在
?ABC
中，给出
OP?OA ?
?
(
uuu
|AB||AC|
等于已知
AP
通过
?ABC
的内心；
（15）在
?ABC
中，给出
a?OA?b?OB?c?OC?0,

等于已知
O
是
?ABC
的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心 是三角形三条角平
分线的交点）；
uuur
1
uuuruuur
（ 16在
?ABC
中，给出
AD?AB?AC
,
2
??等于已知
AD
是
?ABC
中
BC
边的中线;