(完整版)高中数学-平面向量专题

第一部分：平面向量的概念及线性运算
一.基础知识 自主学习
1．向量的有关概念
名称
向量
零向量
单位向量
平行向量
共线向量
相等向量
相反向量
2.向量的线性运算
向量运算
定义
既有 又有 的量；向量的大小叫做向量
的 (或称 )
长度为 的向量；其方向是任意的
长度等于 的
向量
方向 或 的非零向量
的非零向量又叫做共线向量
长度 且方向 的向量
长度 且方向 的向量
定义
法则(或几何
意义)
备注
平面向量是自由向量
记作0
a
非零向量a的单位向量为±
|a|
0与任一向量 或共线
两向量只有相等或不等，不能比
较大小
0的相反向量为0
运算律
加法 求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

求a与b的相反向量－b
的和的运算叫做a与b
的差
减法
a－b＝a＋(－b)

法则
(1)|λa|＝|λ||a|.
λ(μa)＝λμa；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ
λ(a＋b)＝λa＋λb.
＝0时，λa＝0.
数乘
求实数λ与向量a的积的
运算

3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的 条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
二.难点正本 疑点清源
1．向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的 有向线
段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁 大谁小之说，
即向量不能比较大小．
2．向量平行与直线平行的区别
向量平行包括 向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线
平行 ，必须说明这两条直线不重合．

- 1

三．基础自测
→→→→
1．化简OP
－QP＋MS－MQ的结果等于________．

2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共 线向量；
④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______．
→→→→→3．在△ABC中，AB
＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝________( 用b、c表示)．

4．如图，向量a－b等于( )
A．－4e
1
－2e
2
B．－2e
1
－4e
2

C．e
1
－3e
2
D．3e
1
－e
2







→→→
5．已知向量a，b，且AB
＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，C D＝7a－2b，则一定共线的三点是 ( )
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D


四．题型分类 深度剖析
题型一 平面向量的有关概念
例1 给出下列命题：
→→
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四 边形ABCD为平行四边形的充要条件；③
若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a| ＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的序号是________．


变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|＝|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；
(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；
(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；
→→
(6)若向量AB
与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；
(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(8)任一向量与它的相反向量不相等


题型二 平面向量的线性运算
→→→
1
→→
1
→→→→
例2 如图，以向量OA＝a，O B＝b为边作?OADB，BM＝
BC
，CN＝
CD
，用a、b表示OM、O N、MN
.
33

- 2

→
2
→→→
变式训练2 △ABC中，AD＝
AB
，DE ∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设AB＝a，AC＝b，用a、b
3
→→ →→→→
表示向量AE、BC、DE、DN、AM、AN
.







题型三 平面向量的共线问题
→→→
例3 设e
1
，e
2
是两个不共线向量，已知AB< br>＝2e
1
－8e
2
，CB
＝e
1
＋3e2
，CD
＝2e
1
－e
2
.
(1)求证：A、B、D三点共线；
→
(2)若BF
＝3e
1－ke
2
，且B、D、F三点共线，求k的值．




变式训练3 设两个非零向量a与b不共线，
→→→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．




五．思想与方法
5．用方程思想解决平面向量的线性运算问题
→
1
→→
1
→→→
试题：如图所示，在△ABO中，OC＝
OA
，OD ＝
OB
，AD与BC相交于点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b
42
→
表示向量OM
.









六．思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础． < br>→→→→
2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB
∥CD且AB与C D不共线，则AB∥CD；若AB∥BC，则A、
B、C三点共线．
失误与防范
1 ．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量
是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．

- 3

七．课后练习
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4 < br>→→→
2．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：
AB
＋CD< br>＝
BC
＋DA；②
AC
＋BD
=
BC?AD
；③
AC
－
→→
BD
＝DC
+
AB
.其中 正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3. 已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足
2AC?CB
=0，则
OC
等于( )
→→
A.
2OA
－OB B.
?OA
＋2OB

21
1
→
2
→
C.
OA
－
OB D.
?
OA
＋
OB

33
33
1
→→→→
4.如图所示，在△ABC中，
BD
＝DC
，AE＝3ED，若AB
＝a，
AC
＝b，则BE等于( )
2
1111
A.a＋b B．－a＋b
3324
1111
C.a＋b D．－a＋b
2433
→
5. 在四边形ABCD中，
AB
＝a＋2b,
BC
＝－4a－b，CD
＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
uuuruuuruuur
6.
AB
＝8，
AC
＝5，则
BC
的取值范围是__________．
7．给出下列命题：
→→
①向量
AB
的长度与向量BA的长度与向量BA的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
→→
⑤向量
AB
与向 量CD与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．
其中不正确的个数为____________．
8.如图，在△ABC中，点O是BC的中 点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N.若
→
AB
＝mAM，
→
AC
＝nAN，则m＋n的值为________．
9．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
→→
10.在正六边形ABCDEF中，
AB
＝a，AF
＝b，求< br>AC,AD
，AE
.
11.如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N 在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM
的值．

12.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.
→→
（1）求
GA
＋GB＋GO；
11
→→→
(2)若PQ过△ABO的重心G,且
AO
＝a, OB
＝b，OP＝ma，OQ＝nb，求证：＋＝3.
mn
- 4

第二部分：平面向量的基本定理及坐标表示

一．基础知识 自主学习
1．两个向量的夹角
定义
→→
已知两个 向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB
＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)
范围
向量夹角θ的范围是 ,
当θ＝ 时,两向量共线，
当θ＝ 时，两向量垂直，记作a⊥b.


2.平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理
如果e
1
，e
2
是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数λ
1
，λ
2
，
使a＝ .其中，不共线的向量e
1
，e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．
(2)平面向量的正交分解及坐标表示
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．
(3)平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取 与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，
由平面向量基本定理 可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，
把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a＝ ，其中 叫做a在x轴上的坐标， 叫做a在y轴上的坐标．
→→→
②设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是 的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为 ，反之亦成
立．(O是坐标原点)
3．平面向量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x< br>1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，
λa＝ ，|a|＝ .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
→→
②设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，则AB
＝ ，|AB
|＝ .
4．平面向量共线的坐标表示：设a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，其中b≠0.a∥b? .
二．难点正本 疑点清源
1．基底的不唯一性
只要两个向量不共线，就可以作为平 面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的
一组基底e
1
，e
2
线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
2．向量坐标与点的坐标的区别
→
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝ a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐
→
标统一为(x，y)，但应注意 其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝OA＝(x，y)．
→→→→→
当平面向量 OA平行移动到O
1
A
1
时，向量不变即O
1
A
1
＝OA＝(x，y),但O
1
A
1
的起点O
1
和终 点A
1
的坐标都发生了变
化．
- 5

三．基础自测
1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1, 2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.

2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与b平行，则k＝________.

3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a、 4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构
成四边形，则向量d＝___________ _.

→→
4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)， C(3,1)，且BC
＝2AD，则顶点D的坐标为 ( )
7
?
2，－
1
?

2，
?
A.
?
B.
2
??
2
??
C．(3,2) D．(1,3)

5．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x
2
)，则向量a＋b( )
A．平行于y轴 B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于x轴 D．平行于第二、四象限的角平分线

四．题型分类 深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
→→→→
例1 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC ，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d表示AB，AD
.




→→→→
变式训练1 如图，P是△ABC内一点，且满足条件AP＋2 BP＋3CP＝0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令CP＝p，
→
试用p表示CQ
.



题型二 向量坐标的基本运算
→→→→→
例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，B C＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b，
→
(1)求3a＋b－3c；(2)求满 足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN
的坐标．






- 6

→→
1
→
变式训练2 (1)已知点A、B、C的坐标分别为A(2，－ 4)、B(0，6)、C(－8,10)，求向量AB＋2BC－
AC
的坐标；
2< br>11
(2)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求：①3a＋4b；②a－3b；③a－b .
24







题型三 平行向量的坐标运算
例3 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.






变式训练3 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
( 1)求|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？








五．易错警示
8．忽视平行四边形的多样性致误
试题：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0) ，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．






六．思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
2．向量 的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转
化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．
3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
失误与防范 1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向 也有大
小的信息．
x
1
y
1
2．若a＝(x
1< br>，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则a∥b的充要条 件不能表示成
＝，因为x
2
，y
2
有可能等于0，所以应表示为x< br>1
y
2
x
2
y
2
－x
2
y
1
＝0.同时，a
∥
b的充要条件也不能错记为x
1
x2
－y
1
y
2
＝0，x
1
y
1
－x
2
y
2
＝0等．


- 7

七．课后练习
1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(1＋m,1－m)，若a∥b，则实数m的值为( )
A．3 B．－3 C．2 D．－2
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
3.设向量a＝(3，3)，b为单位向量，且a∥b，则b等于( ) < br>313131
A.
?
，－
?
或
?
－，
?
B.
?
，
?

2
? ?
22
??
2
?
22
?
313131
C.
?
－，－
?
D.
?
，
?
或
?
－，－
?

2< br>?
2
??
2
?
22
??
2

4.已知向量a＝(1，－m)，b＝(m
2
，m)，则向量a＋b所在的直线可能为( )
A．x轴 B．第一、三象限的角平分线
C．y轴 D．第二、四象限的角平分线
1
→
5．已知A(7,1)、B(1,4),直线y
?
ax
与线段AB交于C,且
AC?
2CB，则实数a等于( )
2
A．2 B．1
4
C.
5

5
D.

3
11
6．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab≠0)共线，则
＋的值等于________．
ab
7．已知向量a＝(1, 2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．
8．若向量a
?
(
x?
3,
x?
3
x?
4)
与
AB
相等，其中A(1,2)，B(3，2)，则x＝________. < br>9．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝______ ________.
10． a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
11．三角形的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量m＝(3c－b，a－b)，n ＝(3a＋3b，c)，m
∥
n.
(1)求cos A的值；(2)求sin(A＋30°)的值．











12．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知向量m＝(a，b)，向量n ＝(cos A，cos B)，
B＋C
向量p＝
?
22sin
，2sin A
?
，若m∥n，p
2
＝9，求证：△ABC为等边三角形．
2
??









2
第三部分：平面向量的数量积
- 8

一．基础知识 自主学习
1．平面向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们 的夹角为θ，则数量_______叫做a和b的数量积(或内积)，记作________________.
规定：零向量与任一向量的数量积为____.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ，两个非零向量a与b平行的充要条件是 .
2．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_________的乘积．
3．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝ ；
(2)非零向量a，b，a⊥b? ；
(3)当a与b同向时，a·b＝ ；
当a与b反向时，a·b＝ ，a·a＝a
2
，|a|＝a·a；
a·b
(4)cos θ＝
；
|a||b|
(5)|a·b|____|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝ (交换律)；
(2)(λa)·b＝ ＝ (λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝ .
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则a·b＝ ，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|
2
＝ 或|a|＝ .
uuur
(2)设A（x
1
,y
1
）,B(x
2
,y
2
),则A、B两点间的距离|AB|=
AB
＝ .
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则a⊥b? .

二．难点正本 疑点清源
1．向量的数量积是一个实数
两个向量的数量积是一个数 量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积
解题时，一定要注意 两向量夹角的范围．
2．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结 合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．这
是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a (b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．

三．基础自测
1． 已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝_____ ___.

AC
＝______. 2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=
10
,则
AB·

3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．

- 9

4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是 ( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2

5．已知向量a＝(1，－1 )，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于 ( )
A．(2,1) B．(1,0)
31
?
C.?
?
2
，
2
?
D．(0，－1)

四．题型分类 深度剖析
题型一 求两向量的数量积
BC
； 例1 (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求
AB·
(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，试求(a－2b)·(2a＋3b)．






变式训练1 (1)若向量a的方向是正南方向 ，向量b的方向是正东方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝______.
uuur
uuur
→
AD
等于( ) (2)如图，在△ABC中，AD⊥AB，
BC
＝3 BD，|
AD
|＝1，则
AC·
33
A．23 B. C. D.3
23


题型二 求向量的模
例2 已知 向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|3a－4b|；( 3)(a－2b)·(a＋b)．








π
变式训练2 设向量a，b满足|a－b|＝2，|a|＝2，且a－b与a的夹角为，则|b|＝________.
3

题型三 利用向量的数量积解决夹角问题
例3 已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．







变式训练3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．





题型四 平面向量的垂直问题
例4 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．
- 10

(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；
(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)









uuur
uuur
→→→
变式训练4 已知平面内A
、
B< br>、
C三点在同一条直线上，
OA
＝(－2，m)，OB＝(n,1)，
OC
＝(5，－1)，且OA⊥OB，
求实数m，n的值．










五．答题规范
5．思维要严谨，解答要规范
试题：设两向量e
1
、e
2
满足|e
1
|＝2，|e
2
|＝1，e
1
、e
2< br>的夹角为60°，若向量2te
1
＋7e
2
与向量e
1
＋te
2
的夹角为钝角，
求实数t的取值范围．










六．思想方法 感悟提高
方法与技巧
1． 向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律 类似．如(a＋b)
2
＝a
2
＋2a·b＋b
2
；
(λa＋μb)·(sa＋tb)＝λsa
2
＋(λt＋μs)a·b＋μtb
2< br>(λ，μ，s，t∈R)．
2．求向量模的常用方法：利用公式|a|
2
＝a
2
，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧．
失误与防范
1．(1)0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；
(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．
2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
3．一般地， (a·b)c≠(b·c)a即乘法的结合律不成立．因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c共线 的向量，同理右
边(b·c)a表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一般情况下(a·b )c≠(b·c)a.
4．a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c.即消去律不成立．
uuuruuur
5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，〈
AB,BC
〉应为120°，而不是60°.


- 11

七．课后练习
11
1.设向量a＝(1,0)，b＝(
，
)，则下列结论中正确的是( )
22
2
A．|a|＝|b| B．a·b＝

2
C．a∥b D．a－b与b垂直
2.若向量a＝(1,1)，b＝(2,5 )，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
3.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与a＋2b的夹角等于( )
A．150° B．90° C．60° D．30°
A．6
uuuruuur
4.平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若
AB
＝ (2,4)，
AC
＝(1,3)，则
AD?BD
等于( )
B．8 C．－8 D．－6
π
5.若e
1
、e
2
是夹角为
的单位向量，且向量a＝2e
1
＋e
2
，向量 b＝－3e
1
＋2e
2
，则a·b等于( )
3
77
A．1 B．－4 C．－ D.

22π
6．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为
，则|a＋b|＝__ ______.
3
7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60° ，则a·b＝________，若(a－mb)⊥a，则实数m＝________.
8．设a、b、c是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为________．
9.（O 是平面
?
上一点，A、B、C是平面
?
上不共线的三点.平面
?内的动点P满足
OP?OA?
?
(AB?AC),

uuuru uuruuur
1
若λ＝时，
PA?(PB?PC)
的值为______．
2
10．不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量 c＝a＋2b，求|c|的取值范围．









11．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.








12．向量a＝(cos 23°，cos 67°)，向量b＝(cos 68°，cos 22°)．
(1)求a·b；(2)若向量b与向量m共线，u＝a＋m，求u的模的最小值．







- 12

第四部分：平面向量应用举例
一．基础知识 自主学习
1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积 解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相
似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b? ? .
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b? ? .
x
1
x
2
＋y
1< br>y
2
a·b
(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝
＝
2222
(θ为a与b的夹角)．
|a||b|
x
1
＋y
1
x
2
＋y
2

2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是 ，它们的分解与合成与向量的 相似，可以用向量的知识
来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cos θ (θ为F与s的夹角)．
3．平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一种运算工具， 经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的
形式中含有未知数时， 由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函
数、不等式 、三角函数、数列的综合问题．
此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是 利用平面向量平行或垂直的充要条件；二
是利用向量数量积的公式和性质．

二．难点正本 疑点清源
1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形 结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数
与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的 结合．
2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．

三．基础自测
1．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC .已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)．
则D点的坐标为________．

2．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的 值是________．

uuur
uuur
y
??
3． 平面上有三个点A(－2，y)，B
?
0，
2
?
，C(x，y)，若
AB
⊥
BC
，则动点C的轨迹方程为_______________．

4．已知A、B是以C为圆心，半径为
5553
A．－ B. C．0 D.

222

uuur
5的圆上两点，且|
AB
|＝5，
AC·CB
等于 ( )
- 13

5．某人先位移向量a：“向东走3 km”，接着再位移向量b：“向北走3 km”，则a＋b表示
A．向东南走32 km B．向东北走32 km
C．向东南走33 km D．向东北走33 km


( )
四．题型分类 深度剖析
题型一 向量在平面几何中的应用
例1 如图，在 等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2E B.
求证：AD⊥CE.




变式训练1 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线 的长；
→→→
(2)设实数t满足(AB－tOC
)·OC
＝0，求t的值．


题型二 平面向量在解析几何中的应用
uuuruuuur
→
3
→
PA?AM
例2 已知点P（0 ，-3），点A在x轴上，点M满足
=0，AM
＝－
MQ
，当点A在x轴上移 动时，求动点M
2
的轨迹方程．





变式训练2 已知圆C：(x-3)
+(y-3)=4及点A（1,1），M是圆上的任意一点 ，点N在线段MA的延长线上，
uuur
→
且
MA
＝2AN，求点N的轨迹方程．





题型三 平面向量与三角函数
例3 已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，sin x)，c＝(－1,0)．
π
(1)若x＝
，求向量a与c的夹角；
3
3ππ
－，
?
，求函数f(x)＝a·b的最值；
(2 )若x∈
?
?
84
?
2
(3)函数f(x)的图象可以由函 数y＝sin 2x (x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
2





- 14
2
2

变式训练3 已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)． uuur
uuur
→
uuur
uuur
uuur
π??
(1)若
AC
·
BC
＝－1，求sin
?
α＋
4
?
的值；(2) 若|
OA
+
OC
|＝13 ，且α∈(0，π)，求OB
与
OC
的夹角．






五．易错警示
9．忽视对直角位置的讨论致误
u uur
uuur
试题：已知平面上三点A、B、C，向量
BC
＝(2－k,3 )，
AC
＝(2,4)．
(1) 若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．












六．思想方法 感悟提高
方法与技巧
1． 向量的坐标运 算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解
决某些 函数问题．

2． 以向量为载体，求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函 数等相结合的一类综合问题．通过向量
的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问 题的一般方法．


3． 有关线段的长度或相等，可以用向量的线性运算与向量的模．

4．用向量方法解决平面几何问题的步骤
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

5．向量的坐标表示，使向量成为解决解 析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的
优越性，在处理解析几何问题 时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问
题解决．

失误与防范
uuur
→
1．向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别 ．例如：向量
AB
∥CD并不能说明AB∥CD.
2．加强平面向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题．




- 15

七．课后练习
1．已知△ABC ，
AB?AC
,则一定有( )
A．
AB
⊥
AC
B．
AB
=
AC

C．(
AB
+
AC)⊥(
AB
-
AC
) D．
AB
+
AC
=
AB
-
AC

2．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离 为|v|个单
位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后质点P的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
uuuruuuruuuruuuruuur
3.平面上有四个互异点A 、B、C、D，已知
(DB?DC?2DA)?(AB?AC)?0
，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形 < br>uuuruuur
4.如图，△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,BC=
7
,则
AO?BC
等于( )
3
A.
2
C．2




5
B.

2
D．3
5．平面上O、A、B三点不共线，设
OA?a,OB?b
，则△OAB的面积等于( )
A.|a|
2
|b|
2
－(a·b)
2
B.|a|
2
|b|
2
＋(a·b)
2

11C.|a|
2
|b|
2
－(a·b)
2
D.|a|
2
|b|
2
＋(a·b)
2

226．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，则|2a＋b|＝________.
7．河水的流速为2 ms，一艘小船想以垂直于河岸方向10 ms的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．

→→→→
8. 已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点，且 满足
AP
·OA≤0，BP·OB≥0，则OP·
AB
的
最小值为_ _______．
uuuruuur
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b 、c，若
AB
·
AC
＝
BA?BC?1
，那么c＝____ ____.
→→
10.如右图，在Rt△ABC中，已知BC=a,若长为2a的线段PQ以 点A为中心，问
PQ
与BC
的夹角θ取何值时BP
·
CQ
的 值最大？并求出这个最大值．






11．已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．





AC?BA·BC
＝k (k∈R)． 12．在 △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
AB·
(1)判断△ABC的形状；( 2)若c＝2，求k的值．


- 16