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高中数学平面向量知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 20:13
tags:高中数学向量

高中数学神招pdf微盘-高中数学必修四一知识点总结

2020年9月20日发(作者:郎玉甫)


平面向量知识点总结
第一部分:向量的概念与加减运算,向量与实数的积的运算。
一.向量的概念:
1. 向量:向量是既有大小又有方向的量叫向量。
2. 向量的表示方法:
(1)几何表示法:点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素:
起点、方向、长度 记作(注意起讫)
(2)字母表示法:
AB
可表示为
a

3.模的概念:向量
AB
的大小——长度称为向量的模。

记作:|
AB
| 模是可以比较大小的

4.两个特殊的向量:

1?零向量——长度(模)为0的向量,记作
0

0
的方向是任意的。 注意
0

0的区别
2?单位向量——长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。
二.
向量间的关系:

1.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作:
a

b

c

规定:
0
与任一向量平行
2.
相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

a
b
c
记作:
a
=
b

规定:
0
=
0

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,与起点无关。

3.
共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上 ,

所以平行向量也叫共线向量。
三.向量的加法:
1.定义:求两个向量的和的运算,叫做向量的加法。
注意:;两个向量的和仍旧是向量(简称和向量)
2.三角形法则:
a

a
C
b


a+b

a
b
a+b

A

A C
B
强调:
B
a
b
a+b
C
A B


1?“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起

2?可以推广到n个向量连加
3?
a?0?0?a?a

4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
3.加法的交换律和平行四边形法则
1?向量加法的平行四边形法则(三角形法则): 2?向量加法的交换律:
a
+
b
=
b
+
a
3?向量加法的结合律:(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)
4.向量加法作图:两个向量相加的和向量,箭头是由始向量始端指向终向量
末端。
四.向量的减法:
1.
用“相反向量”定义向量的减法

1?“相反向量”的定义:与a长度相同、方向相反的向量。记作 ?a
2?规定:零向量的相反向量仍是零向量。?(?a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0
如果a、b互为相反向量,则a = ?b, b = ?a, a + b = 0
3?向量减法的定义:向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差。
即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法:
向量的减法是向量加法的逆运算:
若b + x = a,则x叫做a与b的差,记作a ? b
3.向量减法做图:
AB
表示a ? b。强调:差向量“箭头”指向被减数
总结:
1?向量的概念:定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、
相等向量、共线向量
2?向量的加法与减法:定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律
五:实数与向量的积(
强调:“模”与“方向”两点)

1.实数与向量的积
??
实数λ与向量
a
的积,记作:λ
a

??
定义:实数λ与向量
a
的积是一个向量,记作:λ
a

??
1?|λ
a
|=|λ||
a
|
???? ?
2?λ>0时λ
a

a
方向相同;λ<0时λ
a

a
方向相反;λ=0时λ
a
=
0

??
2.运算定律:结合律:λ(μ
a
)=(λμ)
a

???
第一分配律:(λ+μ)
a

a

a

?
?
?
?
第二分配律:λ(
a
+
b
)=λ
a

b

3.向量共线充要条件:


?
?
向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是:有且只有一个非零实数 λ
?
?
使
b

a

六.平面向量定理 :
用两个不共线向量表示一个向量;或一个向量分解为两个向量。
(其实质在于:同一平面内任 一向量都可以表示为两个不共线向量的线性
组合)
平面向量基本定理:如果
e
1

e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么于一平
??
面内的任一向量
a
,有且只有一对实数λ
1
,λ
2
使a

1
e
1

2
e
2

注意几个问题:1?
e
1

e
2
必须不共线, 且它是这一平面内所有向量的一组基底
2? 这个定理也叫共面向量定理
?
3?λ
1
,λ
2
是被
a

e
1

e
2
唯一确定的数量
第二部分:向量的坐标运算
七.
向量的坐标表示与坐标运算
1.平面向量的坐标表示:在坐标系下,平面上任何一点都可用一对实数(坐标)
来表示
?
取x轴、y轴上两个单位向量
i
,
j
作基底,则平面内 作一向量
a
=x
i
+y
j

??
记作:
a
=(x, y) 称作向量
a
的坐标
2.注意:1?每一平面向量的坐标表示是唯一的;
2?设A(x
1
, y
1
) B(x
2
, y
2
) 则
AB
=(x
2
?x
1
, y
2
?y
1
)
3?两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
3.结论:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
同理可得:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的
坐标。
?
4.实数与向量积的坐标运算:已知
a
=(x, y) 实数λ ?
则λ
a
=λ(x
i
+y
j
)=λx
i
+λy
j

?
∴λ
a
=(λx, λy)
结论:实数与向量的积的坐标,等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
八.向量平行的坐标表示
??
?
结论:
a

b
(
b
?< br>0
)的充要条件是x
1
y
2
-x
2
y
1
=0
?
注意:1?消去λ时不能两式相除,∵y
1
, y
2
有可能为0, ∵
b
?
0

∴x
2
, y
2
中至少有一个不为0


2?充要条件不能写成
y
1
y
2
∵x
1
, x
2
有可能为0
?
x
1
x< br>2
??
?
3?从而向量共线的充要条件有两种形式:
a
b
(
b
?
0
)
?
九.线段的定比分点: < br>a?
?
b
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

1.线段的定比分点及λ
P
1
, P
2
是直线l上的两点,P是l上不同于P
1
, P
2
的任一点,存在实
数λ,
使
P
2
λ叫做点P分
P
1
P

PP
1
P
2所成的比,有三种情况:

P
1
P
P
2

P
1

P
2

P P
P
1

P
2

λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ
<0 (-1<λ<0)

?
?
x?
2.定比分点坐标公式
?
?
?
y?
?
x
1
?
?
x
2
1?
?

y
1
?
?
y
2
1?
?x?
x
1
?x
2
2

3.中点公式:若P是
P
1
P
2
中点时,λ=
1
y?y
2
y?
1
2
4.注意几个问题:
1? λ是关键,λ>0内分
λ<0外分
λ?-1 若P与P
1
重合,
λ=0 P与P
2
重合
λ不存在
2? 中点公式是定比分点公式的特例
1
3? 始点终点很重要,如P分
P
的定比λ= 则P分
P
2
PP
121
的定比λ=2
2
4? 公式:如 x
1
, x
2
, x, λ 知三求一
十.
平面向量的数量积及运算律
(一)平面向量数量积
1.定义:平面向量数量积(内积)的定义,a?b = |a||b|cos?,
并规定0与任何向量的数量积为0。?
C
2.向量夹角的概念:范围0?

?

180?
A
A

A
? = 0?
A
B
? = 180?
O
B
O
A
O
A
?
B
O
?
B
O
?
B
O
?
B






C
3.注意的几个问题;——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
1?两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos?的符号所决
定。
2?两个向量的数量积称为内积,写成a?b;今后要学到两个向量的外积
a×b,而ab是两个数量的 积,书写时要严格区分。
3?在实数中,若a?0,且a?b=0,则b=0;但 是在数量积中,若a?0,
且a?b=0,不能推出b=0。因为其中cos?有可能为0。这就得性质 2。
4?已知实数a、b、c(b?0),则ab=bc
?
a=c。但是a?b = b?c ? a = c
如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|
a
b?c = |b||c|cos? = |b||OA|
c
?ab=bc 但a ? c
?
?
b
5?在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c)
O
A
显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,
而一般a与c不共线。
(二)投影的概念及两个向量的数量积的性质:
1.“投影”的概念:作图

B
B
B

O
O
O

b
b
b

?
?
?

O
(B)
a
A
A
A a
O
1
a
BO
1
B
1

O
O
O
O
O
?叫做向量b在a
O
定义:|b|cos方向上的投影。
注意:1?投影也是一个数量,不是向量。
2?当?为锐角时投影为正值;
当?为钝角时投影为负值;
当?为直角时投影为0;
当? = 0?时投影为 |b|;
当? = 180?时投影为 ?|b|。
2.向量的数量积的几何意义:
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积。
3.两个向量的数量积的性质:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量。
1?e?a = a?e =|a|cos?
2?a?b ? a?b = 0
3?当a与b同向时,a?b = |a||b|;当a与b反向时,a?b = ?|a||b|。
特别的a?a = |a|
2

|a|?a?a

4?cos? =
a?b

|a||b|


5?|a?b|
≤ |
a||b|
十一.
平面向量的数量积的运算律
1. 交换律:a ? b = b ? a
2. 结合律:(
?
a)?b =
?
(a?b) = a?(
?
b)
3. 分配律:(a + b)?c = a?c + b?c
十二. 平面向量的数量积的坐标表示
1.设a = (x
1
, y
1
),b = (x
2
, y
2
),x轴上单位向量i,y轴上单位向量j,则:i
?
i = 1,
j?j = 1,i?j = j?i = 0
2.a?b = x
1
x
2
+ y
1
y
2

3.长度、角度、垂直的坐标表示
1?a = (x, y) ? |a|
2
= x
2
+ y
2
? |a| =
x
2
?y
2

2?若A = (x
1
, y
1
),B = (x
2
, y
2),则
AB
=
(x
1
?x
2
)
2?(y
1
?y
2
)
2

3? cos? =
a?b
?
|a|?|b|
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
22
x
2
?y
2
22

4?∵a?b ? a?b = 0 即x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0(注意与向量共线的坐标表示原
则)
十三.平移
一、平移的概念:点的位置、图形的位置改变,而形状、大小没有改变,从而导致函数的解析式也随着改变。这个过程称做图形的平移。(作图、讲解)
一个平移实质上是一个向 量
二、平移公式:设
PP'
= (h, k),即:
OP'?OP?PP'

?
x'?x?h
∴(x’, y’) = (x, y) + (h, k) ∴
?
—— 平移公式
y'?y?k
?
三、注意:1?它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系
2?知二求一
3?这个公式是坐标系不动,点P(x, y)按向量a = (h, k)平移到点P’(x’,
y ’)。另一种平移是:点不动,把坐标系平移向量?a,即:
?
x'?x?h
。这两种 变换使点在坐标系中的相对位置是一样
?
y'?y?k
?
的,
这两个公式作用是一致的。
十四.
正弦定理
1?正弦定理的叙述:在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等
公式即:
abc
==它适合于任何三角形。
sinAsinBsinC
abc
===2R (R为△ABC外接圆半径)
sinAsinBsinC
2?可以证明


3? 每个等式可视为一个方程:知三求一
从理论上正弦定理可解决两类问题:
1.两角和任意一边,求其它两边和一角;
2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。
十五.
余弦定理
1.余弦定理语言描述:三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
2. 余弦定理公式:
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA

b
2
?a
2
?c
2
?2accosB

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

4.强调几个问题:
1?熟悉定理的结构,注意“平方”“夹角”“余弦”等
2?知三求一
3?当夹角为90?时,即三角形为直角三角形时即为勾股定理(特例)
b
2
?c
2
?a
2
4?变形:
cosA?
2 bc
a
2
?b
2
?c
2
cosC?

2ac

a
2
?c
2
?b
2
cosB?

2ac
三、余弦定理的应用
能解决的问题:1.已知三边求角
2.已知三边和它们的夹角求第三边

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