2017江苏高中数学竞赛试题-初中高中数学教师资格证差别大吗
平面向量
一.向量的基本概念与基本运算
1向量的概念: ?
?
?
①向量:既有大小又有方向的量向量一般用
a,b,c
…
…来表示,或用有向线段的起点与终
uuuruuur
?
?
点的大写字母表示
,如:
AB
几何表示法
AB
,
a
;坐标表示法
a?xi?yj?(x,y)
向
uuur
?
量的大小即向量的模(长度),记作|
AB
|即向量的大
小,记作|
a
|
向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
??
?
?
00
②零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平
行零向量
a
=
0
?
rr
?
|
a
|=0 由于
0
的方向是任意的,且规
定
0
平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)
的问题中务必看清楚是否有“非零向
量”这个条件.(注意与0的区别)
③单位向量:模为1个单位长度的向量
向量
a
0
为单位向量
?
|
a
0
|=1
??④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直
?
?
线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作
a
∥
b
由于向量
可以进行任意的平移(即
自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量<
br>
?
?
⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合
,记为
a
?
b
大
小相等,方向相同
(x
1
,y
1
)?(x
2
,y
2
)
?
?
?
x
1
?
x
2
?
y
1
?
y
2
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
ruuuruuur
uuur
r
uuur
r
?
ruuu
设
AB?a,BC?b
,则
a
+
b
=
AB?BC
=
AC
?
??
?
?
(1)
0?
a
?
a
?0?a
;(2)向量加法满足交换律与结合律;
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:
(1)用平行四边形法则时,两个已知向
量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点
重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是
从减向量指向被减向量
(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个
向量的终点的
有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当
两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向
量加法的三角形
法则可推广至多个向量相加:
1
uuuruuuruuuruu
uruuuruuur
AB?BC?CD?L?PQ?QR?AR
,但这时必须“首尾相连”.
3向量的减法
①
相反向量:与
a
长度相等、方向相反的向量,叫做
a
的相反向量
?
记作
?
a
,零向量的相反向量仍是零向量
??
?
??
?
?
?
?
关于相反向量有:
(i)
?
(
?
a)
=
a
; (ii)
a
+(
?
a
)=(
?a
)+
a
=
0
;
?
??
?
?
?
?
?
?
(iii)若
a
、
b
是互为相反向量,则
a
=
?
b
,
b
=
?
a
,
a
+
b
=
0
?
??
?
②向量减法:向量
a加上
b
的相反向量叫做
a
与
b
的差,
??
?
?
记作:
a
?
b
?
a
?
(
?
b)
求两个向量差的运算,叫做向量的减法
?
??
??
?
③作图法:
a
?
b
可以表示为从b
的终点指向
a
的终点的向量(
a
、
b
有共同
起点)
4实数与向量的积:
①实数λ与向量
a
的积是一个向量,记作λ<
br>a
,它的长度与方向规定如下:
??
(Ⅰ)
?
a
?
?
?
a
; <
br>??
?
?
相反;当
?
?0
时,
?
a
?
0
,方向是任意的
(Ⅱ)当
?
?0
时,λa
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,λ
a
的方向与
a
的方向
????
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
5两个向量共线定理:
??
?
?
向量
b
与非零向
量
a
共线
?
有且只有一个实数
?
,使得
b
=
?
a
6平面向量的基本定理:
如果
e
1,e
2
是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量
a
,有且只
有一对实数
?
1
,
?
2
使:
a<
br>?
?
1
e
1
?
?
2
e
2<
br>,其中不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
??
?
?????
7 特别注意:
(1)向量的加法与减法是互逆运算
(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件
(3)向量平行与直线平
行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线
(重合)的情况
(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置
有关
2
二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示:
在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
i,j
作为基底由平面
向
rr
rr
rr
r
量的基本定理知,该平面内的任一向量
a
可表示成
a?xi?yj
,由于
a
与数对(x,y)是一一
rrr
对应的,因此把(x,y)叫做向量
a
的坐标,记作
a
=(x
,y),其中x叫作
a
在x轴上的坐标,y
叫做在y轴上的坐标
(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位
置有关
2平面向量的坐标运算:
r
rr
r
(1) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?
x
2
,y
1
?y
2
?
uuur
(2) 若
A
?
x
1
,y
1?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
rr
(3)
若
a
=(x,y),则
?
a
=(
?
x,
?
y)
r
r
r
r
(4) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
ab?x
1
y
2
?
x
2
y
1
?0
r
r
r
r
(5) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2<
br>?
,则
a?b?x
1
?x
2
?y
1
?y
2
r
r
若
a?b
,则
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
?
0
3向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)
及其各运算的坐标表示和性质
运算
类型
向
量
的
加
法
向
量
的
减
法
几何方法 坐标方法 运算性质
1平行四边形法则
2三角形法则
r
r
?
??
?
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2)
a
?
b
?
b
?
a
?
?
??
?
?
(a
?
b)
?
c
?
a
?
(b
?
c)
uuuruuuruuur
AB?BC?AC
三角形法则
??
?
?
r
r
a?b?(x
1
?x
2<
br>,y
1
?y
2
)
a
?
b
?
a
?
(
?
b)
uuuruuur
AB??BA
uuuruuuruuur
OB?OA?AB
3
向
量
的
乘
法
?
a
是一个向量,
满足:
向;
向;
?
?
a?(
?
x,
?
y)
?
(
?
a)?(
??
)a
???
(
?
?
?
)
a
?
?
a
?
?
a
?
?
?
?
?
(
a
?
b
)?
?
a
?
?
b
??<
br>?
>0时,
?
a
与
a
同
?
<0时,
?
a
与
a
异
?
?
?
=0时,
?
a
=
0
?
?
?
?
?
?
?
?
a
∥
b
?
a
?
?
b
向
量
的
数
量
积
?
?
a
?
b
是一个数
?
?
?
?
a?
0
或
b?0
时,
?
?
a
?
b
=0
?
?
?
?
a?
0
且
b?0
时,
?
?
?
?
?
?
a?b?
|
a||
b
|cos
?a
,
b?
r
r<
br>a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
<
br>?
?
?
?
a
?
b
?
b
?<
br>a
?
?
?
?
?
?
(
?<
br>a)
?
b
?
a
?
(
?
b)
?
?
(a
?
b)
?
?
???
?
?
(
a
?
b
)?
c
?
a
?
c
?
b
?
c
??
?
a
2
?
|a|
2
,
|a|?x
2
?y
2<
br>
?
?
?
?
|a
?
b|
?
|a||b|
三.平面向量的数量积
1两个向量的数量积:
r
r
r
r
r
rr
r
已知两个非零向量
a<
br>与
b
,它们的夹角为
?
,则
a
·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos
?
叫做
a
与b
的
r
r
数量积(或内积) 规定
0?a?0
r
r
rr
r
a
?
b
2向量的投影:
︱<
br>b
︱cos
?
=
r
∈R,称为向量
b
在a
方向上的投影投影的绝对值称
|a|
为射影
r
rr
r
r
3数量积的几何意义:
a
·
b
等于
a
的长度与
b
在
a
方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系:
a?a?a
2
?|a|
2
rrrr
5乘法公式成立:
????
r
r
rr
rr
?
a?b
?
?a?2a?b?b
2
2
r
r
r
r
r
2
r
2
r
2
r
2
a?b?a?b?a?b?a?b
;
2
r
2
r
rr
2
?a?2a?b?b
6平面向量数量积的运算律:
4
r
rr
r
①交换律成立:
a?b?b?a
rr
r
r
r
r
②对实数的结合律成立:
?
?a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
?
?
?R
?
??
r
r
rrr
r
rr
r
r
③分配律成立:
?
a?b
?
?c?a?c?b?c?c
?
?
a?b
?
r
r
rr
r
r<
br>特别注意:(1)结合律不成立:
a?
?
b?c
?
?
?
a?b
?
?c
;
r
r
rr
(2)消去
律不成立
a?b?a?c
r
r
不能得到
b?c?
??
r
r
r
r
r
r
(3)
a?b
=0不能得到
a
=
0
或
b
=
0
7两个向量的数量积的坐标运算:
r
r
r
r
已知两个向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
,则
a
·
b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
ruuur
r
uuurr
r
8向量的夹角:
已知两个非零向量
a
与
b
,作<
br>OA
=
a
,
OB
=
b
,则∠AOB=
?
r
r
(
0?
?
?180
)叫做向量
a
与
b
的
夹角
r
r
r
x
1
x
2
?
y1
y
2
r
a
?
b
cos
?
=
cos
?
a,b
??
r
r
=
2222<
br>a
?
b
x
1
?
y
1
?
x<
br>2
?
y
2
00
r
r
r
r
r
00
当且仅当两个非零向量
a
与
b
同方向时,θ=0,当且
仅当
a
与
b
反方向时θ=180,同时
0
与
其它任
何非零向量之间不谈夹角这一问题
r
r
r
r
r
r
0
9垂直:
如果
a
与
b
的夹角为90则称
a
与
b
垂直,记作
a
⊥
b
10两个非零向量垂直的充要条件
:
?
?
?
?
a
⊥
b
?
a
·
b
=O
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?
0
平面向量
数量积的性质
题型1.基本概念判断正误:
(1)共线向量就是在同一条直线上的向量.
(2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点.
(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的.
uuuruuur
(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是
AB?CD
.
uuuruuur
(5)若
AB?CD
,则A、B、C、D四点构成平行四边
形.
(6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量.
rrr
r
r
r
(7)若
a
与
b
共线,
b
与
c
共线,则
a
与
c
共线.
rrrr
(8)若
ma?mb
,则
a?b
.
5
rr
(9)若
ma?na
,则
m?n
.
rrrr
(10)若
a
与
b
不共线,则
a
与
b都不是零向量.
rr
rrrr
(11)若
a?b?|a|?|b|,则
ab
.
rr
rrrr
(12)若
|a?b|?|
a?b|
,则
a?b
.
题型2.向量的加减运算
rr
rr
1.设
a
表示“向东走8km”,
b
表示“向北走6km”,则
|a?b|?
.
uuuruuuruuuruuuruuuur
2.化简
(AB?MB)?(BO?BC)?O
M?
.
uuuruuuruuur
3.已知
|OA
|?5
,
|OB|?3
,则
|AB|
的最大值和最小值分别为
、 .
uuuruuuruuur
uuurruuurr
uuuruuur
4.已知
AC为AB与AD
的和向量,且
AC?a,BD?b
,则<
br>AB?
,
AD?
.
uuuruuuruuu
uuur
uuur
3
uuur
r
5.已知点C在
线段AB上,且
AC?AB
,则
AC?
BC
,
AB?
BC
.
5
题型3.向量的数乘运算
rrrr
rrrr
rr
1.计
算:(1)
3(a?b)?2(a?b)?
(2)
2(2a?5b?3c)?3(?2a?3b?2c)?
r
r
r
1
r
2.已知
a?(1,?4),b?(?3,8)
,则
3a?b?
.
2
题型4.作图法球向量的和
r
3
r
rr
r
1
r
已知向量
a,b
,如下图,请做出向量
3a?b
和
2a?b
.
2
2
r
a
r
b
题型5.根据图形由已知向量求未知向量
uuuruuur
uuur
AC
表示
AD
. 1.已知在<
br>?ABC
中,
D
是
BC
的中点,请用向量
AB,uuuruuur
uuur
r
uuur
r
2.在平行四边形ABCD
中,已知
AC?a,BD?b
,求
AB和AD
.
题型6.向量的坐标运算
uuur
1.已知
AB?(4,5)<
br>,
A(2,3)
,则点
B
的坐标是 . uuur
2.已知
PQ?(?3,?5)
,
P(3,7)
,则点
Q
的坐标是 .
rrr
3.若物体受三个力
F,2)
,
F
2
?(?2,3)
,
F
3
?(?1,?4)
,则合力的坐标为 .
1
?(1
6
r
r
r
r
r
r
r
r
4.已知
a?(?3,4)
,
b?(5,2)
,求
a?
b
,
a?b
,
3a?2b
.
uuur
r
5.已知
A(1,2),B(3,2)
,向量
a?(x?2,x?3y?2
)
与
AB
相等,求
x,y
的值.
uuuruuuruuu
r
uuur
6.已知
AB?(2,3)
,
BC?(m,n)
,
CD?(?1,4)
,则
DA?
. <
br>uuuruuur
r
uuur
7.已知
O
是坐标原点,
A(2,?1),B(?4,8)
,且
AB?3BC?0
,求
OC
的坐标.
题型7.判断两个向量能否作为一组基底 uruur
1.已知
e
1
,e
2
是平面内的一组基底,
判断下列每组向量是否能构成一组基底:
uruururuururuuruurururuuruu
ruruuruurur
A.
e
1
?e
2
和e
1<
br>?e
2
B.
3e
1
?2e
2
和4e<
br>2
?6e
1
C.
e
1
?3e
2
和e
2
?3e
1
D.
e
2
和e
2
?e
1
2.已知
a?(3,4)
,能与
a
构成基底的是( )
A.
(,)
B.
(,)
C.
(
?
,
?
)
D.
(
?
1,
?
)
题型8.结合三角函数求向量坐标
r
r
34
55
4355
3
5
4
5
4
3
uuur
uuur
o
1.已知
O
是坐标原点,点
A
在第二象限,
|O
A|?2
,
?xOA?150
,求
OA
的坐标.
uuur
uuur
o
2.已知
O
是原点,点
A
在第一象限,
|OA|?43
,
?xOA?60
,求
OA
的坐标.
题型9.求数量积
r
r
r
rr
rr
r
r
o
1.已知
|a|?3,|b|?4
,且
a
与
b
的夹角为
60
,求(1)
a?b,(2)
a?(a?b)
,
r
r
r
r
r1
rr
(3)
(a?b)?b
,(4)
(2a?b)?(a?3
b)
.
2
r
r
r
rr
r<
br>rr
r
2.已知
a?(2,?6),b?(?8,10)
,求(1)<
br>|a|,|b|
,(2)
a?b
,(3)
a?(2a?b)
,
r
r
r
r
(4)
(2a?b)?(a?3b)
.
题型10.求向量的夹角
7
r<
br>r
r
r
r
r
1.已知
|a|?8,|b|?3
,
a?b?12
,求
a
与
b
的夹角.
r
r
r
r
2.已知
a?(3,1),b?(?23,2)
,求
a
与
b
的夹角.
3.已知
A(1,0)
,
B(
0,1)
,
C(2,5)
,求
cos?BAC
.
题型11.求向量的模
r
r
r
r
r
r
r
r
o
1.已知
|a|?3,|b|?4
,且
a
与<
br>b
的夹角为
60
,求(1)
|a?b|
,(2)
|2
a?3b|
.
r
rr
r
r
r
r
1
r
2.已知
a?(2,?6),b?(?8,10)
,求(1
)
|a|,|b|
,(5)
|a?b|
,(6)
|a?b|
.
2
rr
rr
r
r
|b|?2,
|3a?2b|?3
,求
|3a?b|
.
3.已知
|a|?1,
r
r
r
a
题型12.求单位向量
【与
a
平行的单位向量:
e
??
r
】
|a|
1.与
a?(12,5)
平行的单位向量是
.
2.与
m?(?1,)
平行的单位向量是 .
题型13.向量的平行与垂直
r
r
1
2
r
rr
r
r
r
1.已知
a?(6,2)
,
b?(?
3,m)
,当
m
为何值时,(1)
ab
?(2)
a?b?
r
r
r
r
r
r
2.
已知
a?(1,2)
,
b?(?3,2)
,(1)
k
为何值
时,向量
ka?b
与
a?3b
垂直?
r
r
rr
ka?ba?3b
(2)
k
为何值时,向量与平行?
r
r
r
r
r
r
rr
r
r
3.已知
a
是非零向量,
a?b?a?c
,且
b?c,求证:
a?(b?c)
.
题型14.三点共线问题 <
br>1.已知
A(0,?2)
,
B(2,2)
,
C(3,4),求证:
A,B,C
三点共线.
8
uuur
2.设
AB?
ruuu
rrruuurrr
2
r
(a?5b),BC??2a?8b,CD?3(a?b)<
br>,求证:
A、B、D
三点共线.
2
uuurrruuurrruuu
rrr
3.已知
AB?a?2b,BC??5a?6b,CD?7a?2b
,则一定共
线的三点是 .
4.已知
A(1,?3)
,
B(8,?1)<
br>,若点
C(2a?1,a?2)
在直线
AB
上,求
a
的值.
5.已知四个点的坐标
O(0,0)
,
A(3
,4)
,
B(?1,2)
,
C(1,1)
,是否存在常数
t
,使
uuuruuuruuur
OA?tOB?OC
成立?
题型15.判断多边形的形状
uuurruuurr
uuuruuur<
br>1.若
AB?3e
,
CD??5e
,且
|AD|?|BC|<
br>,则四边形的形状是 .
2.已知
A(1,0)
,
B(4,3)
,
C(2,4)
,
D(0,2)
,证明四边形
ABCD
是梯形.
3.已知
A(?2,1)
,B(6,?3)
,
C(0,5)
,求证:
?ABC
是直角三角形
.
uuuruuuruuur
4.在平面直角坐标系内,
OA
?(?1,8),OB?(?4,1),OC?(1,3)
,求证:
?ABC
是等腰直
角
三角形.
题型16.平面向量的综合应用
r
r<
br>r
r
r
r
1.已知
a?(1,0)
,
b?(
2,1)
,当
k
为何值时,向量
ka?b
与
a?3b
平行?
r
r
r
r
r
2.已知
a?(3,5)<
br>,且
a?b
,
|b|?2
,求
b
的坐标.
rrr
rr
r
3.已知
a与b
同向,
b?(1,2)
,则
a?b?10
,求
a
的坐标.
r
r
rr<
br>rr
3.已知
a?(1,2)
,
b?(3,1)
,
c
?(5,4)
,则
c?
a?
b
.
9
r
r
r
r<
br>rr
4.已知
a?(5,10)
,
b?(?3,?4)
,c?(5,0)
,请将用向量
a,b
表示向量
c
.
r
r
r
r
5.已知
a?(m,3)<
br>,
b?(2,?1)
,(1)若
a
与
b
的夹角为钝角
,求
m
的范围;
r
r
(2)若
a
与
b<
br>的夹角为锐角,求
m
的范围.
r
r
r
r
r
r
6.已知
a?(6,2)
,
b?(?3,m)
,当
m
为何值时,(1)
a
与
b
的夹角为钝角?(2)
a与
b
的夹角为锐角?
7.已知梯形
ABCD的顶点坐标分别为
A(?1,2)
,
B(3,4)
,
D(2,1
)
,且
ABDC
,
AB?2CD
,求点
C
的坐标.
8.已知平行四边形
ABCD
的三个顶点的坐标分别为
A(2,1)
,
B(?1,3)
,
C(3,4)
,求第四个
顶点
D
的坐标.
9.一航船以5kmh的速度向垂直于对岸方
向行驶,航船实际航行方向与水流方向成
30
o
角,
求水流速度与船的实际速
度.
10.已知
?ABC
三个顶点的坐标分别为
A(3,4)
,<
br>B(0,0)
,
C(c,0)
,
uuuruuur
(1)若
AB?AC?0
,求
c
的值;(2)若
c?5
,求
sinA
的值.
【备用】
rrrr
rr
r
r
1.已知
|a|?3,|b|?4,|a?b|?5
,求
|a?b|
和向量
a,b
的夹角.
rrr
u
rr
rrrrr
rur
2.已知
x?a?b
,
y?2a?b
,且
|a|?
|b|?1
,
a?b
,求
x,y
的夹角的余弦.
rrrrrr
1.已知
a?(1,3),b?(?2,?1)
,则
(3a?2
b)?(2a?5b)?
.
rrrr
rr
4.已知两向量a?(3,4),b?(2,?1)
,求当
a?xb与a?b
垂直时的x的值.
rr
rr
5.已知两向量
a?(1,3),b?(2,
?
)
,
a与b
的夹角
?
为锐角,求
?
的范围.
10
rr
rr
变式:若
a?(
?
,2),b?(?3,5)
,
a与b
的夹角
?
为钝角,求
?
的取值范围.
选择、填空题的特殊方法:
1.代入验证法
r
rrr
例:已知向量
a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,?2)
,则
c?
( )
1
r
3
r
1
r
3
r
3
r
1
r
3
r
1
r
A.
?a?b
B.
?a?b
C.
a?b
D.
?a?b
2222
2222
2.排除法
uuur<
br>例:已知M是
?ABC
的重心,则下列向量与
AB
共线的是( )
uuuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuuuruu
uur
A.
AM?MB?BC
B.
3AM?AC
C.
AB?BC?AC
D.
AM?BM?CM
11
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