高中数学向量章节知识点与年高考试题

(5)平移公式 设点
P(x,y)
按向量
a
?
?< br>?(h,k)
平移后得到点
P
?
(x
?
,y
?
)
，则
OP
?
＝
OP
+
a
或< br>?
x
?
?
x
?
h,
?
，曲线
y?f(x)
按向量
a?(h,k)
平移后所得的曲线的函数解析式为：
y ?k?f(x?h)

?
?
y
?
?
y
?
k.
(6) 正弦定理：
abc
???
2R

sinAsinBsinC
王新敞
b
2
?
c
2
?
a
2
余弦定 理：
a?b?c?2bccosA,
?
cosA
?

2bc
222
a
2
?
b
2
?
c
2

c
?
a
?
b
?
2abco sC
，
?
cosC
?

2ab
222
王新敞
三、巩固训练（2004年高考试题）
rr< br>rr
广东卷1．已知平面向量
a?(3,1)
，
b?(x,?3)，且
a
?
b
，则x=（ ）A. –3 B. –1 C. 1 D . 3
全国卷三理（10）文(11) 在
?ABC
中，
AB?3,B C?13,AC?4
，则边
AC
上的高为（ ）
A.
333
2
B.
3
C. D.
33

222
王新敞
全国卷四理11文12．△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠ C的对边.如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，
2?3
1?3
3
，那 么b=（ ）A． B．
1?3
C． D．
2?3

22
2
1
?
?
?
?
?
?
??
?
?
全国卷四文15．向量
a
,
b
满足(< br>a
-
b
)·(2
a
+
b
)=-4,且|a
|=2,|
b
|=4,则
a
与
b
夹角的余弦 值等于 (
?
)
2
??
?
?
天津卷理3文4. 若平面向量
b
与向 量
a
?(1,?2)
的夹角是
180?
，且
b?35
，则
b
＝
△ABC的面积为
王新敞
A.
(?3,6)
B.
(3,?6)
C.
(6,?3)
D.
(?6,3)

王新敞
?
?
?
?
?
天津卷文14. 已知向量a?(1,1)
，
b?(2,?3)
，若
ka
?2
b< br>与
a
垂直，则实数
k
等于
（－1）

王新敞
uuuruuuruuur
浙江卷文理14.已知平面上三点A,B,C满足
A B?3,BC?4,CA?5
则
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
AB?BC?BC?CA?CA?AB
的值等于 -25

王新敞
???
?
??
?
??
?
福建卷文理8．已知
a、
b
是非零向量且满足(
a
－2
b
) ⊥
a
，(
b
－2
a
) ⊥
b
，则
a
与
b
的夹角是
??
2
?
5
?
B．C．D．
63

3

6
湖南卷文8．已知向量
a?(cos
?
,s in
?
)
,向量
b?(3,?1)
则
|2a?b|
的最大值，最小值分别是（ ）
A．
王新敞
A．
42,0
B．
4,42
C．16，0 D．4，0
王新敞

r
43
江苏卷16.平面向量
a,b
中，已知
a
=(4，-3)，
b
=1，且
a?b
=5，则向量
b< br>=______（
b?(,?)
）
55
王新敞
上海卷文理6已知点A(1, －2),若向量
AB
与
a
={2,3}同向,
AB
=2
13
,则点B的坐标为 (5,4)
王新敞
?
??
?
全国卷一文理3．已知
a
,
b
均为单位向量,它们 的夹角为60°,那么|
a
+3
b
|=A
7
B
10
C
13
D4
43
?(?,)
，点O( 0,0)和A(1,-2)在
l
上的射影分别是O
1
55
?
1111
和A
1
，则
O
1
A
1
＝
?
e
，其中
?
＝（ ）（A） （B）－ （C）2 （D）－2
55
?
?
?
??
?
?
?
全国卷二 文（9）已知向量
a
、
b
满足：|
a
|＝1，|
b
|＝2，|
a
－
b
|＝2，则|
a
＋
b< br>|＝（ ）
全国卷二理（9）已知平面上直线
l
的方向向量
e< br>?
王新敞
（A）1 （B）
2
（C）
5
（D）
6

王新敞
rr
rrrrrr
o
重庆卷文理6．若向量
a与b
的夹角为
60
，
|b|?4,(a?2b).(a?3b)??72
,则向量
a
的模为： （ ）
A 2 B 4 C 6 D 12
王新敞
湖北卷理4文7．已知
a,b,c
为非零的平面向量. 甲：
a?b?a?c,乙:b?c,则
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
王新敞
湖北卷文理19． 如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以 点A为中点，问
PQ与BC
的夹角
?
取何值时
BP?CQ
的 值最大？并求出这个最大值
王新敞
(一)平面向量
1．考试内容：向量，向量的加 法与减法，实数与向量的积，平面向量的坐标
表示，线段的定比分点，平面向量的数量积，平面两点间的 距离，平移．
2．考试要求：
（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．
（2）掌握向量的加法和减法．
（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量
的坐标运算． < br>（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处
理有关长度，角度和 垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐 标公式，并
且能熟练运用，掌握平移公式．
3．四年试题：

?
（2000—文(2)，理(4)）
设a,b,c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①(a?b)?c－(c·a)·b=0；
②|a|－|b|＜|a－b|；
③(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)=9|a|
2
－4|b|
2
.
中，是真命题的有（ ）．
（Ａ）①② （Ｂ）②③ （Ｃ）③④ （Ｄ）②④

?
（2000—文(22)，理(22)）
如图，已知梯形
ABCD
中，
分值
难度
文史
0．52
5
理工
0．64
C,D,E
AB?2CD
，点
E
满足
?
?
AE
?
?
EC< br>，双曲线过
三点，且以
A,B
为
23
焦点，当
?< br>?
?
时，求双曲线离心率
e
的取值范围．
34
8
：文史类，题目中的
?
给出具体的值
?
?< br>，求离心率
e
的值）
11
分
值
难
度
文史
0．07
理工
14

D
C
?
（2001—文(5)）
E
若向量a=(3,2)，b=(0,-1)，则向量
B
A
．
0．08
2b－a的坐标是（ ）
（Ａ）
(3,?4)
（Ｂ）
(?3,4)
（Ｃ）
(3,4)
（Ｄ）
(?3,?4)



?
(2001—理(5))
若向量
分
值
难
度
）
5
0．905
a=(1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，则
c=（ ）．
（
13
a
?
b
22
Ａ
13
?
a+
b （Ｂ）
22
（Ｃ）
3131
a
?
b （Ｄ）
?
a+
b
2222

分
值
难
度
5
0．935
?
(2001—文(10)，理(10))
设坐标原点为
O
，抛物线
y
2
?
2x
与过焦点的直线交于
A,B
两点，则
（ ）．
3
3
（Ａ） （Ｂ）
?
（Ｃ）
3
（Ｄ）
?3

4
4
分
值
难
度
文史
0．620
理工
0．790
5
?
（2002—文(12)，理(10)）
平面直角坐标系中，
O
为坐标原点，已知两点
A(3,1)
，
B(?1,3)
，若点
C满足
?
?
?
OC
?
?
OA?
?
OB
，其中
?
,
?
?R
，且
?
?
?
?1
，则点
C
的轨迹方程为（ ）．
（Ａ）
(
x?
1)
2
?
(
y?
2)
2
?
5
（Ｂ）
3x?2y?11?0

（Ｃ）
2x?y?0
（Ｄ）
x?2y?5?0

分
值
难
度
文史
0．453
5
理工
0．623
??????
已知两点
M(?1,0)
，
N(1,0)
且点
P
使
MP
?
MN
，< br>PM?PN
，
NM?NP
成公差
?
（2002—文(22)， 理(21)）
小于
0
的等差数列．
（Ⅰ）点
P
的轨迹是什么曲线？
?
?
（Ⅱ）若点
P
坐标为
(
x
0
,
y
0
)
，记< br>?
为
PM
与
PN
的夹角，求
tan
?
．
分
值
难文史
12
理工

度 0．16 0．25
?
（2003—文(8)，理(4)）
O
是平面上一 定点，
A,B,C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
uuuru uur
uuuruuur
ABAC
r
?
uuur
),
?
?
?
0,??
?
，则
P
点的轨迹一定通过VABC
的( )．
OP
?
OA
?
?
(
uuu
|AB||AC|
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
分
值
难
度
文 史
工
理
5
?
（2003—文(22)，理(21)）
已知常数
a?0
，向量c =
(0,a)
， i = (1，0)，经过原点
O
以c+
?
i 为方向
向量的直线与经过定点
A(0,a)
以i -2
?
c为方向向 量的直线相交于点
P
，其中
?
?
R，试问：是否存在两个定点
E,F
，使得
|PE|?|PF|
为定值， 若存在，求出
E,F
的坐标， 若不存在，说明理由．
分
值
难 度
文14 理
12
文 史
工
理
4．命题趋势
2000年-- 考查向量基本概念，定比分点公式;
2001年-- 考查向量坐标运算， 向量的数量积;
2002年-- 考查向量坐标运算，基本定理， 向量与数列的综合;
2003年-- 考查向量与平面几何的综合; 向量与解析几何的综合;
四年的命题体现了平面向量考查的三个层次(见《考试说明解析》·中国考试·
2003·NO3)
第一层次：主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，数 乘
要求考生掌握平面向量的和，差，数乘和内积的运算法则，理解其直观的几何意
义，并能正确 地进行运算．(2000年的考题)
第二层次：主要考查平面向量的坐标表示，向量的线性运算．(2001年的考题)

< br>第三层次：和其他数学内容结合在一起，如可以和曲线，数列等基础知识结
合，考查逻辑推理和运 算能力等综合运用数学知识解决问题的能力．应用数形结
合的思想方法，将几何知识和代数知识有机地结 合在一起，能为多角度的展开解
题思路提供广阔的空间。
题目对基础知识和技能的考查一般由 浅入深，入手并不难，但要圆满完成解
答，则需要严密的逻辑推理和准确的计算。
5．复习建议
（1）充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，是数形结合的< br>重要体现，因此，平面向量容易成为中学数学知识的一个交汇点。
（2）在基础知识复习时，要注意向量考查的层次，分层次进行复习。
第一层次：复习好向量 本身的内容，包括平面向量的主要概念，主要运算：
和、差、数乘、内积的运算法则，定律，几何意义及 应用。
第二层次：平面向量本身的综合，特别是平面向量的坐标表示，线性运算，
基本定理以 及内积的应用，以及课本例题的教学价值，例如2002年的选择题
?
（2002—文(12)，理(10)）
平面直角坐标系中，
O
为坐标原点，已知两点
A(3,1)
，
B(?1,3)
，若点
C满足
?
?
?
OC
?
?
OA?
?
OB
，其中
?
,
?
?R
，且
?
?
?
?1
，则点
C
的轨迹方程为（ ）．
（Ａ）
(
x?
1)
2
?
(
y?
2)
2
?
5
（Ｂ）
3x?2y?11?0

（Ｃ）
2x?y?0
（Ｄ）
x?2y?5?0

这道题可以用向量的坐标表示计算。
设
C(a,b)
，由题意
(x ,y)?
?
(3,1)?
?
(?1,3)?(3
?
?
?
,
?
?3
?
)
．
?
x
?
3
?
?
?
于是
?

y
?
?
?
3
?
?
①＋②×2得
P
B
A

x?2y?5(
?
?
?
)?5
．
于是点
C
的轨迹方程为
x?2y?5?0
．
O
但 是如果利用平面向量基本定理一节中课本的一道例题
P
124
例5，已知
?< br>?
?
??
??
OA,OB
不共线，
AP
?< br>tAB
，
t?R
，则有
OP?(1?t)OA?tOB
，
如果用
?
表示
1?t< br>，
?
表示
t
，则有
?
?
?
?1．
这里给出了共线的一个条件．而2002年选择题恰恰就是这个例题的变化，

因此
C
点在
A,B
两点确定的直线上，利用两点式直线方程公式立即 有
y?
1
x?
3
，即
x?2y?5?0
．
?
3
?
1
?
1
?
3
从这道试题可 以启发我们，在教学中一定要落实课本，落实课本的例题，挖
掘课本例题在培养数学能力上的作用．
第三层次：平面向量与其它知识的结合。
A．与平面几何的结合：
①在平行四边形
ABCD
中，
若
AB?AD
，则
(AB?AD)?(AB?AD)?0
，即菱形模型。
若
AB?AD
，则
AB?AD?AB?AD
，即矩形模型。
②在
?ABC
中，
OA?OB?OC
，
O
是
?ABC
的外心；
AB?AC
一定过
BC
的中点；通过
?ABC
的重心；
OA?OB?OC?0
，
O
是
?ABC
的重心；
OA?OB?OB?OC?OC?OA
，
O
是
?ABC
的垂心； < br>222
?
(
AB
AB
?
AC
AC
)
(
?
?R)
通过
?ABC
的内心；
a?OA?b ?OB?c?OC?0
则
O
是
?ABC
的内心；
1
AB
2
?
AC
2
?
(AB
?
AC)2
．
2
B．与代数的结合
① 弄清实数乘积与平面向量数量积的异同点：
S
?
ABC
?
向量的数量积与实数的积的相同点：
实数的乘积
运算的结果是一个实
数
交换律
a?b?b?a

分配律
(a?b)?c?ac?bc




向量的数量积
运算的结果是一个实
数

a2
?b
2
?
0
?a?
0
且
b?0


?
?
?
?
?
?
a?
b
?
a
?
b
?
a
?
b|
向量的数量积与实数的积的不同点：
实数的乘积
结合律
(ab)c?a(bc)

ab?0?a?0
或
b?0






向量的数量积
?
?
?
?
?
?
②代数不等式：由
a
?(x
1
,y
1
)
,
b

?(x
2
,y
2
)
，可得
a
?
b
?
a
?
b

2

(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
2
?(x
1
2
?x
2
)(y
1
2
? y
2
2
)
。

C．与解析几何结合
①定比分点公式
若
OP
?
OA
?
?
OB
，则
P
是
AB
的定比分点，
?
为定比，满足
AP?
?
PB
。
1
?
?
②点向式直线方程 < br>已知点
(
x
0
,
y
0
)
及方向向量
?
u,v
?
，可确定过
(x
0
,y
0)
，以
?
u,v
?
为方向
向量的直线方程为

(x
?
x
0
)v
?
(y
?
y0
)u
.
.
（3）精选典型例题及练习题扩大学生的解题视野。 < br>例1、已知a=
(1,3)
，b
?(1,1)
，c=a+
?< br>b，是否存在实数
?
，使a 与c的夹角
为锐角，若存在，求出
?的取值范围，若不存在，请说明理由。（考查数量积的应
用及严密的推理能力）
例2、在 坐标平面上有两个向量a
?(cos
?
,sin
?
)
，b< br>?(cos
?
,sin
?
)
，其中
0?
?< br>?
?
?
?
。
（Ⅰ）证明（a+b）
?
（a- b）；
（Ⅱ） ka+b = a-kb ，求
?
?
?
的值，其中
k
为非零常数。（考查数 量积与
三角函数综合）
例3、已知
?OFQ
的面积为
S
， 且
OF?FQ?1
。

1
?S?
2
，求向量
OF
与
FQ
的夹角
?
的取值范围；
2
3
（Ⅱ）记
OF?c
，（
c?2
），
S
?
c
，若以
O
为中心，
F
为焦点的椭圆经
4
（Ⅰ）若< br>过点
Q
，当
OQ
取得最小值时，求此椭圆方程。（考查平面向量的数量 积，三角函
数的值，解析几何，函数最值的综合）
例4、已知
OA?(2,1)，
OB?(1,7)
，
OC?(5,1)
，若
OD?xOA，
y?DB?DC
，
（
x,y?R
）。
（Ⅰ）求
y?f(x)
的解析式；
（Ⅱ）若点
p(x,y)
在曲线
y?f(x)
上运动，求
y
在
1?x?2
时的最小 值；
x
（Ⅲ）把
y?f(x)
的图像按向量a
?(?2,8)平移得到曲线
C
1
，过坐标原点
O
作
OM,ON
交
C
1
于
M,N
两点，直线
MN
交
y< br>轴于点
Q(0,y
0
)
，当
?MON
为锐角时，求
y
0
的取值范围。（考查平面向量数量积的坐标表示，函数的最值，图像的平移 ，
解不等式，解析几何的有关知识）
例5、是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两 个向量的和与其余
两个向量之和垂直。（存在性问题，向量的基本运算与平面几何综合）
例6 、一条河的两岸平行，河宽
400m
，一小船从
A
处出发航行到对岸，小船速度为v
1
，且 v
1
?3m
秒，水流速度为v
2
， v
2
?2m
秒。
(Ⅰ)当v
1
，v
2
夹角
?
为多大时，船才能到达 对岸
B
处，此时位移的大小，方
向怎样？时间是多少？
(Ⅱ) 当
v
1
，v
2
夹角
?
为多大时，小船航行的时间最少？此时位 移的大小方
向怎样？时间是多少？