高中数学必修平面向量知识点总结

高中数学必修4知识点总结
平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1向量的概念：
?
?
?
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用
a
,
b
,
c
…… 来表示，或用有向线段的起点与终
点的大写字母表示，如：
AB
几何表示法
AB
，
a
；坐标表示法
a?xi?yj?(x,y)
向
uuuruuur
?
?
uuur
?
量的大小即向量的模（长 度），记作|
AB
|即向量的大小，记作｜
a
｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
??
?
?
0
与任意向量平行零向量
a
＝
0
?
｜
②零向量：长度为0的 向量，记为
0
，其方向是任意的，
rr
?
00
a
｜ ＝0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的
问题中务必看清楚是 否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
③单位向量：模为1个单位长度的向量
< br>向量
a
0
为单位向量
?
｜
a
0
｜＝ 1
??

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可 以移到同一直
?
?
线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作
a
∥
b
由于向量可以进行任意的平移(即自
由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上 ，故平行向量也称为共线向量

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点 可以任意选取，现在必
须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向 量中的“平
行”与几何中的“平行”是不一样的．
?
?
⑤相等向量：长度相 等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为
a
?
b
大
小相等，方向相同
?
x
1
?
x
2
(
x1
,
y
1
)
?
(
x
2
,y
2
)
?
?

y
?
y
2
?
1
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
ruuuruuur
uuur
r
uuur
r
?
r
uuu
设
AB?a,BC?b
， 则
a
+
b
=
AB?BC
=
AC

?
??
?
?
（1）
0?
a
?
a
? 0?
a
；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向 量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的
始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是 从减向量指向被减向量

（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起 点指向最后一个向量的终
点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终 点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
则．向 量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
uuuruuuruuuruuuruuuruuur< br>AB?BC?CD?L?PQ?QR?AR
，但这时必须“首尾相连”．
3向量的减法
??
① 相反向量：与
a
长度相等、方向相反的向量，叫做
a
的相反向量
?
记作
?
a
,零向量的相反向量仍是零向量

?
??
??
?
?
关于相反向量有： （i）
?
(
?
a)
=
a
； (ii)
a
+(
?
a
)=(
?a
)+
a
=
0
；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(iii)若
a
、
b
是互为相反向量，则
a
=< br>?
b
,
b
=
?
a
,
a
+< br>b
=
0

?
??
?
②向量减法：向量
a
加上
b
的相反向量叫做
a
与
b
的差，
?
?
?
?
记作：
a
?
b
?
a< br>?
(
?
b)
求两个向量差的运算，叫做向量的减法
?
?
?
??
?
③作图法：
a
?
b
可以表示 为从
b
的终点指向
a
的终点的向量（
a
、
b
有共同起点）
4实数与向量的积：
??
①实数λ与向量
a
的积 是一个向量，记作λ
a
，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）
?
a
?
?
?
a
；
??< br>?
?
当
?
?0
时，
?
a?
0
，方向是任意的

（Ⅱ）当
?
?0
时，λ
a
的方 向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，λ
a
的方向与< br>a
的方向相反；
????
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
5两个向量共线定理：
??
?
?
向量
b
与非零向 量
a
共线
?
有且只有一个实数
?
，使得
b
=
?
a

6平面向量的基本定理：
如果
e
1,e
2
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
a
，有且只
有一对实数
?
1
,
?
2
使：
a< br>?
?
1
e
1
?
?
2
e
2< br>，其中不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
7 特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件
（3）向量平行与直线平 行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线
（重合）的情况
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置
有关
学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几
???
?????

何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量 和平面向量的基本定理，计算
向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一 新的工具，它
往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点

例1 给出下列命题：
r
rr
r
① 若|
a
|＝|
b
|，则
a
=
b
；
uuuruuur
② 若
A
，
B
，
C
，< br>D
是不共线的四点，则
AB?DC
是四边形
ABCD
为平行四 边形的充
要条件；
r
rr
r
r
r
③ 若
a
=
b
，
b
=
c
，则
a
=
c
，
r
r
r
rr
r
④
a
=< br>b
的充要条件是|
a
|=|
b
|且
a

b
；
r
rr
r
r
r
⑤ 若
a

b
，
b

c
，则
a

c
，
其中正确的序号是
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
uuuruuuruuuruuur
uuuruuur
② 正确．∵
AB?DC
，∴
|AB|?|DC|
且
ABDC
，
又
A
，
B
，
C
，
D
是不共线的四点，∴ 四边形
ABCD
为平行四边形；反之，若四边形
uuuruuur
uuur uuur
ABCD
为平行四边形，则，
ABDC
且
|AB|?|DC |
，
uuuruuur
因此，
AB?DC
．
r
r
r
r
③ 正确．∵
a
=
b
，∴
a
，
b
的长度相等且方向相同；
r
r
r
r
又
b
＝
c
，∴
b
，
c
的长度相等且方向相同，
∴
a
，
c
的长度相等且方向相同，故
a
＝
c
．
r
r< br>r
r
rr
r
r
rr
r
r
④ 不正确．当
a

b
且方向相反时，即使|
a
|=|
b
|，也不能得到
a
=
b
，故|
a
|=|
b
|
r
r
r
r
且
a

b
不是
a
=
b
的充要条件，而是必要不充分条件．
rr
⑤ 不正确．考虑
b
=
0
这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是②③．
点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较 多，因而容易遗忘．为此，复
习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型 进行类比和联想．
例2 设
A
、
B
、
C
、
D
、
O
是平面上的任意五点，试化简：
uuuruuuruuuruuu ruuuruuuruuuruuuruuuruuur
①
AB?BC?CD
，②DB?AC?BD
③
?OA?OC?OB?CO

uuuruuuruuuruuuruuuruuur
解：①原式=
(AB?BC)?CD?AC?CD?AD

uuuruuuruuurruuuruuur
②原式=
(DB?BD)?AC?0?AC?AC

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurruuur
③原式=
(OB?OA)?(?OC?CO)?AB?(OC?CO)?AB?0?AB

r< br>r
r
r
r
rr
r
r
r
例3设非零向 量
a
、
b
不共线，
c
=
k
a
+< br>b
，
d
=
a
+
k
b
(
k
?R)，若
c
∥
d
，试求
k

r
r
解：∵
c
∥
d

r
r
∴由向量共线的充要条件得：
c
=λ
d
(λ?R)
r
r
r
r
r
r
r
即
k
a
+
b
=λ(
a
+
k
b
) ∴(
k
?λ)
a
+ (1?λ
k
)
b
=
0

r
r
又∵
a
、
b
不共线
∴由平面向量的基本定理
?
?
k
?
?
?
0
?
k
??
1

?
1
?
k
?
?
0

二.平面向量的坐标表示
rr
1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y轴方向相同的两个单位向量
i,j
作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向 量
a
可表示成
a?xi?yj
，由于
a
与
r
r
rr
r
数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量
a的坐标，记作
a
=(x,y)，其中x叫作
a
在x轴
上的坐标， y叫做在y轴上的坐标
(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位
置有关
2平面向量的坐标运算：
rrr
r
rr
r
(1) 若a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

uuur
(2) 若
A
?
x
1
,y
1?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

rr
(3) 若
a
=(x,y)，则
?
a
=(
?
x,
?
y)
r
r
r
r
(4) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
ab?x
1
y
2
? x
2
y
1
?0

r
r
r
r
(5) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2< br>?
，则
a?b?x
1
?x
2
?y
1
?y
2

r
r
若
a?b
，则
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
?
0
3
向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示
和性质

运
算
类
型
向
量
的
加
法
向
量
的
减
法
向
量
的
乘
法
几何方法 坐标方法 运算性质
1
平行四边形法则
2
三角形法则
r
r
?
??
?
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
? y
2
)

a
?
b
?
b
?
a

?
?
??
?
?
(a
?
b)
?
c
?a
?
(b
?
c)

uuuruuuruuur
AB?BC?AC

三角形法则
??
?
?
r
r
a?b?(x
1
?x
2< br>,y
1
?y
2
)

a
?
b
?
a
?
(
?
b)

uuuruuur
AB??BA

uuuruuuruuur
OB?OA?AB

?
a
是一个向量,
满足:
?
?
?
>0时,
?
a
与
a
同向;
?
?
?
<0时,
?
a
与
a
异向;
?
?
a?(
?
x,
?
y)

?
(
?
a)?(
??
)a

???
(
?
?
?
)
a
?
?
a
?
?
a

?
?
?
?
?
(
a
?
b
)?
?
a
?
?
b

??
?
?
?
=0时,
?
a
=
0

?
?
?
?
a
∥
b
?
a
?
?
b

向
量
的
数
量
积
?
?
a
?
b
是一个数
r
r
a? b?x
1
x
2
?y
1
y
2

?< br>?
?
?
a
?
b
?
b
?
a< br>
?
?
?
?
?
?
(
?
a)
?
b
?
a
?
(
?
b)
?
?
(a
?
b)

?
?
???
?
?
(
a
?
b
)?
c
?
a
?
c
?
b
?
c

?
?
?
?
a?
0
或
b?0
时,
?
?
a
?
b
=0
?
?
?
?
a?
0
且
b?0
时,
??
?
a
2
?
|a|
2
,
|a| ?x
2
?y
2

?
?
?
?
??
?
?
?
?
a?b?
|
a
||
b
|cos
?a
,
b?

|a
?
b|
?
|a||b|

rrrr
rrrrr
r
例1 已知向量
a?(1,2),b?(x, 1),u?a?2b
，
v?2a?b
，且
uv
，求实数
x< br>的值

rr
rrrrr
r
解：因为
a?(1,2), b?(x,1),u?a?2b
，
v?2a?b

rr
所以
u?(1,2)?2(x,1)?(2x?1,4)
，
v?2(1,2)?(x,1)?(2? x,3)

rr
又因为
uv

所以
3(2x?1)?4(2?x)?0
，即
10x?5

1
解得
x?

2
例2已知点
A(4,0),B(4 ,4),C(2,6)
,试用向量方法求直线
AC
和
OB
（
O
为坐标原点）交
点
P
的坐标

uuuruuur< br>解：设
P(x,y)
，则
OP?(x,y),AP?(x?4,y)

因为
P
是
AC
与
OB
的交点
所以
P
在直线
AC
上，也在直线
OB
上
uuuruuuruuuruuur
OPOB,APAC
即得
uuuruu ur
由点
A(4,0),B(4,4),C(2,6)
得，
AC?(?2,6 ),OB?(4,4)

?
6(x
?
4)
?
2y< br>?
0
得方程组
?

?
4x
?
4y< br>?
0
?
x
?
3
解之得
?

y
?
3
?
故直线
AC
与
OB
的交点
P
的坐标为
(3,3)


三．平面向量的数量积
1两个向量的数量积：
r
r
r
r
r
r
已 知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为
?
，则
a< br>·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos
?

r
r
r
r
叫做
a
与
b
的数量积（ 或内积）
规定
0?a?0

r
r
rr
r
a
?
b
2向量的投影：︱
b
︱cos
?
=
r
∈R，称为向量
b
在
a
方向上的投影投影的绝对值称为射
|a|
影
r
rr
r
r
3
数量积的几何意义： < br>a
·
b
等于
a
的长度与
b
在
a方向上的投影的乘积

4向量的模与平方的关系：
a?a?a?|a|

rrr
2
r
2
5
乘法公式成立：
????r
r
rr
rr
?
a?b
?
?a?2a?b?b
2
2
r
r
r
r
r
2
r
2
r
2
r
2
a?b?a?b?a?b?a?b
；
2
r
2
r
rr
2
?a?2a?b?b

6
平面向量数量积的运算律：
r
rr
r
①交换律成立：
a?b?b?a

rr
r
r
r
r
②对实数的结合律成立：
?
?a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
?
?
?R
?

??
r
r
rrr
r
rr r
r
③分配律成立：
?
a?b
?
?c?a?c?b?c?c ?
?
a?b
?

r
r
rr
r
r< br>特别注意：（1）结合律不成立：
a?
?
b?c
?
?
?
a?b
?
?c
；
r
r
rr
（2）消去 律不成立
a?b?a?c
r
r
不能得到
b?c?

??

r
r
r
r
r
r
（3）
a?b
=0不能得到
a
=
0
或
b
=
0
7两个向量的数量积的坐标运算：
r
r
r
r
已知两 个向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y2
)
，则
a
·
b
=
x
1
x< br>2
?y
1
y
2

ruuur
r
uu ur
r
r
8向量的夹角：已知两个非零向量
a
与
b
，作
OA
=
a
,
OB
=
b
,则∠AOB=
?

r
r
（
0?
?
?180
）叫做向量
a
与
b
的 夹角
r
r
r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a
?
b
cos
?
=
cos
?
a
,
b
??
r
r
= < br>2222
a
?
b
x
1
?
y
1
?
x
2
?
y
2
00
r
r
rr
r
00
当且仅当两个非零向量
a
与
b
同方向 时，θ=0，当且仅当
a
与
b
反方向时θ=180，同时
0
与
其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
r
r
r
r
r< br>r
0
9垂直：如果
a
与
b
的夹角为90则称
a
与
b
垂直，记作
a
⊥
b

10
两个非零向量垂直的充要条件
：
?
?
?
?< br>a
⊥
b
?
a
·
b
＝O
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?
0
平面向量数量积的性质
例1 判断下列各命题正确与否：
r
r
r
（1）
0?a?0
；（2）
0?a?0
；
r
r
r r
r
rr
（3）若
a?0,a?b?a?c
，则
b?c；
r
rr
r
rrr
r
⑷若
a?b?a?c< br>，则
b?c
当且仅当
a?0
时成立；
r
r
rr
r
rr
r
r
（5）
(a?b)?c?a?(b?c)< br>对任意
a,b,c
向量都成立；
（6）对任意向量
a
，有
a?a

r
r
2
r
2
解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对


r
rrr
rr
r
r
r
r
0
例2已知两单位向量
a
与
b
的夹角为
120
，若
c?2a?b,d?3b?a
，试求
c
与
d
的
夹角

r
r
r
r
0
解：由题意，
a?b?1
，且
a
与
b
的夹角为
120
，
r
r
r
r
1
0
所以，
a?b?abcos120 ??
，
2
r
r
r
r
r
2
rrr
2
r
2
rr
Qc?c?c?
(2a?b)?(2a ?b)
?4a?4a?b?b?7
，
r
?c?7
，

r
同理可得
?d?13

r
r
r
2
r
r
r
r
r
r
r
2
17
而
c?d?
(2a?b)?(3b?a)?7a?b?3b?2a??
，
2
r
r
设
?
为
c
与
d
的 夹角，
则
cos
?
?
17
2713
??
1791
1791

?
?
?
?
?arccos

182
182
点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑

r
r
rr
r
rr
r
例3 已知
a?
?
4,3
?
，
b?
?
?1,2
?
，m?a?
?
b,
n?2a?b
，按下列条件求实数
?
的
值

（1）
m?n
；（2）
mn
；
(3)m?n

rr rr
rr
r
rrrr
r
解：
m?a?
?
b ?
?
4?
?
,3?2
?
?
,
n?2a?b ?
?
7,8
?

rr
52
?
（1）
m?n
?
?
4?
?
?
?7?
?
3?2< br>?
?
?8?0
?
?
??
；
9
rr
1
（2）
mn
?
?
4?
?
?
?8 ?
?
3?2
?
?
?7?0
?
?
??
；
2
rr
(3)m?n
?
?
4?
?
?
2
?
?
3?2
?
?
2
2?211

5
?7
2
?8
2
?5
?
2
?4< br>?
?88?0

?
?
?
点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算