高中数学课本必修1 北师大版-高中数学人教版b必修二
高中数学向量专题
一.选择题(共27小题)
1.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1
.若
点E为边CD上的动点,则的最小值为( )
A. B. C.
D.3
2.已知,,是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹
角为
量满足
A.
﹣4?+3=0,则|﹣|的最小值是( )
+1 C.2 D.2﹣
,向
﹣1 B.
3.已知点G是△ABC内一点,满足
|
A.
|的最小值是( )
B. C. D.
++=,若∠BAC=,?=1,则
4.已知△ABC中,
的动点,则
,AB=AC=1,点P是AB边上的动点,点Q是
AC边上
的最小值为( )
A.﹣4 B.﹣2 C.﹣1 D.0
5.已知向量,夹角为,||=2,对任意x∈R,有|+x|≥|﹣|,则
|t
﹣|+|t﹣|(t∈R)的最小值是( )
A. B. C.
D.
6.如图,在△ABC中,点D,E是线段BC上两个动点,且
的最小值为( )
=x,则
A. B.2 C. D.
7.已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若
实数λ的值为(
)
A. B. C.6 D.
,且,则
8.已知、是两个单位向量,那么下列命题中的真命题是( )
A. B. C.
D.
9.已知:|
30°,设
A.2
=m
|=1,|
+n
|=,?=0,点C在∠AOB内,且与的夹角为
(m,
n∈R),则的值为( )
D.4
B. C.3
10.已知,为单位向量,且
( )
A.[1,1+] B.[2﹣,2+] C.[] D.[3﹣2,3+2]
,向量满足|﹣﹣|=2,则||的范围为
11.已知平面内任意不共线三点A,B,C,则
A.正数
C.0
B.负数
的值为( )
D.以上说法都有可能
13.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=4,则
小值是( )
A.﹣4 B.﹣8 C.﹣10 D.﹣12
的最
14.已知O是正方形ABCD的中心.若
( )
A. B.﹣2 C.
D.
=,其中λ,μ∈R,则=
15.△ABC所在平面上一点P满足
积比为( )
A.2:3
B.1:3 C.1:4 D.1:6
++=,则△PAB的面积与△ABC的面
16.在△ABC中,若BC=8,BC边上中线长为3,则
A.﹣7 B.7 C.﹣28
D.28
?=( )
17.已知O是正△ABC的中心.若
( )
A. B. C.
D.2
=,其中λ,μ∈R,则的值为
18.设△ABC的面积为S,若
A.1 B.2 C. D.
,tanA=2,则S=( )
19.已知向量,,为平面向量,||=||=2
成夹角为
A.
,则||的最大值为( )
B. C.1 D.+1
=1,且使得﹣2与﹣所
20.已知O为△ABC内一点,且有,记
△ABC,△BCO,△ACO
的面积分别为S
1
,S
2
,S
3
,则S
1
:S
2
:S
3
等于( )
A.3:2:1 B.3:1:2 C.6:1:2 D.6:2:1
21.已知△ABC是边长为1的等边三角形,P为平面ABC内一点,则
的最小值是(
)
A. B. C. D.﹣1
22.已知向
量
=0,则|
A.2﹣
,满足||=2,||==3,若(﹣2)?(﹣)
|
的最小值是( )
B.2+ C.1 D.2
23.如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,点G在AD上,且是△ABC的重
心,则用向量
表示为( )
A.
C.
B.
D.
24.设O是平面ABC内一定点,P为平面ABC内一动点,若
=
的(
)
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
,则O为△ABC
25.已知平面向量,,满足||=||=||=1,若?=,则(2+)(﹣)
的最小值为(
)
A.﹣2 B.﹣ C.﹣1 D.0
26.已知O是△ABC内部一点,且3
面积之比为( )
A. B.1
C. D.2
=,则△OBC的面积与△ABC的
27.已知向量
,
A. B.
满足:
的最大值和最小值分别为m,n,则m+n等于( )
C.
D.
,若
二.填空题(共3小题)
2
8.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,∠ADC=45°,AD=2,BC=1,P<
br>是腰CD上的动点,则|3+|的最小值为 .
29.已知向量=(2,3),=(m,﹣6),若⊥,则|2+|= .
30.已知在△ABC所在平面内有两点P、Q,满足
|
|=4,||=2,S
△
APQ
=,则?
+=0,++=
,若
的值为 .
2018年09月30日186****1015的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共27小题)
<
br>1.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.
若
点E为边CD上的动点,则的最小值为( )
A. B. C.
D.3
【分析】如图所示,以D为原点,以DA所在的直线为x轴,以DC所在的直线
为y轴,求出A,B,C的坐标,根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出.
【解答】解:如图所示,以D为原点,以DA所在的直线为x轴,
以DC所在的直线为y轴,
过点B做BN⊥x轴,过点B做BM⊥y轴,
∵AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1,
∴AN=ABcos60°=,BN=ABsin60°=
∴DN=1+=,
∴BM=,
∴CM=MBtan30°=
∴DC=DM+MC=
,
,
,
∴A(1,0),B(,
设E(0,m),
<
br>∴
∴
当m=
=(﹣1,m),
=+m
2
﹣
)
,C(0,),
=(﹣,m﹣
m=(m﹣
.
),0≤m≤
=(m﹣
,
)
2
+,
)
2
+﹣
时,取得最小值为
故选:A.
2.已知,,是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为
量满足<
br>A.
﹣4?+3=0,则|﹣|的最小值是( )
+1 C.2
D.2﹣
,向
﹣1 B.
【分析】把等式
(),设
﹣4?
+3=0变形,可得得,即()⊥
,则的终点在以(2,0)为圆心,以1为半径的圆周上,
(
x>0)上,画出图形,再由已知得到的终点在不含端点O的两条射线y=
数形结合得答案.
【解答】解:由
∴()⊥(
﹣4?+3=0,得
),
,
,
如图,不妨设
则的终点在以(2,0)为圆心,以1为半径的圆周上,
又非零向量与的夹角为
>0)上.
不妨以y=
即
故选:A.
为例,则|﹣|的最小值是(2,0)到直线
.
的距离减1.
,则的终点在不含端点O的两条射线y=(x
3.已知点G是△ABC内一点,满足
|
A.
|的最小值是( )
B. C.
,
D.
++=,若∠BAC=,?=1,则
【分析】用表示出,利用基本不等式得出|AB|
2
+|AC|
2
的最小值
即可.
++=,∴G是△ABC的重心,
【解答】解:∵点G是△ABC内一点,满足
∴
∴
∵?
=(
=(
+
2
),
2
++2?)=(|AB|
2
+|AC|
2
)+,
=|AB|?|AC|=1,∴|AB|?|AC|=2,
∴AB
2
+AC
2
≥2|AB|?|AC|=4,
∴
∴|
2
≥
|≥
=.
.
故选:C.
4.已知△ABC中,的动点,则
,AB=AC=1,点P是AB边上的动点,点Q是AC边上
的最小值为(
)
A.﹣4 B.﹣2 C.﹣1 D.0
【分析】根据题意,以A为原
点,以AB所在对的直线为x轴,以AC所在的直
线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,根据向量
的坐标运算和向量的数量
积即可求出
【解答】解:∵△ABC中,,AB=AC=1,
以A为原点,以AB所在的直线为
x轴,以AC所在的直线为y轴,建立如图所
示的平面直角坐标系,
则B(1,0),C(0,1)
设P的坐标为(m,0)0≤m≤1,Q的坐标为(0,n),0≤n≤1,
∴
∴
故
=(﹣1,n),=(m,﹣1),
=﹣m﹣n=﹣(m+n)≥﹣2,当且仅当m=n=1时取等号,
的最小值为﹣2,
故选:B.
5.已知向量,夹角为,||=2,对任意x∈R,有|+x|≥|﹣|,则|t
﹣
|+|t﹣|(t∈R)的最小值是( )
A. B. C. D.
【
分析】由题意对任意x∈R,有,两边平方整理.由判别式小
=,=,于等于0,可得(﹣)⊥,运用数
量积的定义可得即有||=1,画出
建立平面直角坐标系,设出A,B的坐标,求得|t﹣|+|t﹣|
的坐标表示,
运用配方和两点的距离公式,结合三点共线,即可得到所求最小值.
【解答】解:向量,夹角为,,对任意x∈R,有,
两边平方整理可得x
22
+2x?﹣(
2
﹣2?)≥0,
则△=4(?)
2
+4
2
(
2
﹣2?)≤0,
即有(
2
﹣?)
2
≤0,即为
2
=?,
则(﹣)⊥,
由向量,夹角为,||=2,
,
由
2
=?=||?||?cos
即有||=1,
则|﹣|=
画出=,
=,
=,建立平面直角坐标系,如图所示;
),
);
则A(1,0),B(0,
∴=(﹣1,0),=(﹣1,
∴
=+
=
=2(
+
+
),N(,﹣
表示P(t,0)与M(,)的距离之和的2倍,
当M,P,N共线时,取得最小值2|MN|.
即有2|MN|=2
故选:D.
6.如图,在△ABC中,点D,E是线段BC上两个动点,且
的最小值为( )
=x,则
=.
A. B.2
【分析】设
可得=(
C. D.
,
)(x+y)=(5+
+
,
,由B,D,E,C共线可得x+y=2,
)
,
【解答】解:设
∵B,D,E,C共线,∴m+n=1,λ+μ=1.
∵
∴
=x
=(
,则x+y=2,
)(x+y)=(5++)
则的最小值为.
故选:D.
7.已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若
实数λ的值为(
)
A. B. C.6 D.
,且,则
【分析】根据题意,由向
量垂直与向量数量积的关系分析可得
?(﹣
?=(λ+)
)=0,整理变形可得(λ﹣
1)3×4×cos120°﹣9λ+16=0,解可得λ的
值,即可得答案.
【解答】解:根据题意,△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,
若
则有
﹣λ
2
,且
?
+
=(λ
2
,
)?(﹣)=λ?﹣λ
2
++
2
﹣?=(λ﹣1)?=0,
整理可得:(λ﹣1)3×4×cos120°﹣9λ+16=0,
解可得:λ=
故选:A.
8.已知、是两个单位向量,那么下列命题中的真命题是( )
A. B. C.
D.
【分析】根据题意,设θ为、的夹角,据此依次分析选项,综合可得答案.
【解答】解:根据题意,设θ为、的夹角,据此依次分析选项:
对于A、、是两个单位向量,则、的方向不一定相同,则=不一定成立,
A错误;
对于B、?=||||cosθ,当、不垂直时,?≠0,B错误;
对于C、?=||||cosθ=cosθ≤1,C错误;
对于D、
、是两个单位向量,即||=||,则有
2
=
2
,D正确;
故选:D.
9.已知:|
30°,设
A.2
=m
|=1,|
+n
|=,?=0,点C在∠AOB内,且与的夹角为
(m,n∈R),则的值为( )
D.4
的坐标,结合=m+n求
B. C.3
【分析】由已知建立平面直角坐标系,得到
得的坐标,再由与的夹角为30°求解.
|=,?=0,
【解答】解:∵||=1,|
∴建立平面直角坐标系如图:
则
∴
又
∴
故选:C.
=m
与
+n
,
=(m,
,
),
的夹角为30°,
,则的值为3.
10.已知,为单位向量,且,向量满足|﹣﹣|=2,则||的范围为
(
)
A.[1,1+] B.[2﹣,2+] C.[] D.[3﹣2,3+2]
【分析】由,是单位向量,?=0.可设=(1,0),=(0,1),=(x,y).由
向量
满足|﹣﹣|=2,可得(x﹣1)
2
+(y﹣1)
2
=4.其圆心C(1,
1),半径
r=2.利用|OC|﹣r≤||=≤|OC|+r即可得出.
【解答】解:由,是单位向量,?=0,
可设=(1,0),=(0,1),=(x,y),
由向量满足|﹣﹣|=2,
∴|(x﹣1,y﹣1)|=2,
∴=2,即(x﹣1)
2
+(y﹣1)
2
=4,
其圆心C(1,1),半径r=2,
∴|OC|=
∴2﹣
≤||=≤2+.
故选:B.
11.已知平面内任意不共线三点A,B,C,则
A.正数
C.0
B.负数
的值为( )
D.以上说法都有可能
【分析】当不共线三点A,B,C构成锐角三角形或直角三角形时,显然有
;当三点A,B,C构成
钝角三角形,可设C为钝角,
角A,B,C所对边分别为a,b,c,则有c>a,c>b,并可得出=
﹣accosB﹣abcosC﹣bccosA<﹣ab(cosA+cosB+cosC)=ab[c
osA+cosB﹣cos(A+B)],
说明cosA+cosB+cos(A+B)>0即可.
【解答】解:如果三点A,B,C构成的三角形为锐角三角形或直角三角形,
显然;
如果三点A,B,C构成钝角三角形,可设C为钝角,
角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则:c>a,c>b;
则
=accos(π﹣B)+abcos(π﹣C)+bccos(π﹣A)
<﹣abcosB﹣abcosC﹣abcosA
=﹣ab(cosB+cosC+cosA)
=﹣ab[cosA+cosB﹣cos(A+B)]
=﹣ab(cosA+cosB﹣cosAcosB+sinAsinB)
=﹣ab[cosA+cosB(1﹣cosA)+sinAsinB]
A,B是锐角;
∴cosA>0,cosB>0,且1﹣cosA>0,sinAsinB>0;
∴
故选:B.
12.已知抛物线C:y
2<
br>=x,过点P(a,0)的直线与C相交于A,B两点,O为坐
标原点,若?<0,则a的取值范
围是( )
.
A.(﹣∞,0) B.(0,1) C.(1,+∞)
D.[1]
【分析】设过点P(a,0)的直线方程为my=x﹣a,由直线与抛物线方程联
立,
消去x得关于y的一元二次方程,利用根与系数的关系和平面向量的数量积列不
等式求出a
的取值范围.
【解答】解:设过点P(a,0)的直线方程为my=x﹣a,
且该直线与抛物线C:y
2
=x相交于A,B两点,
则,
∴y
2
﹣my﹣a=0,
∴,
∴?=x
1
x
2
+y
1
y
2
=+y
1
y
2
=a
2
﹣a<0,解得0<a<1;
∴a的取值范围是(0,1).
故选:B.
13.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=4,则
小值是( )
A.﹣4 B.﹣8 C.﹣10 D.﹣12
的最
【分析】如图所示,延
长OM到点E,使得ME=OM.又点M是线段BC的中点,
则四边形OBEC是平行四边形.利用向量
的平行四边形法则、共线定理、数量积
运算、二次函数的单调性即可得出.
【解答】解:如图所示,延长OM到点E,使得ME=OM.
又点M是线段BC的中点,则四边形OBEC是平行四边形.
∴
∴
=2
=
=
=
当且仅当
故选:B.
.
=
,
,即点O为线段AM的中点时,取得最小值﹣8.
14.已知O是正方形ABCD的中心.若
( )
A.
B.﹣2 C. D.
=,其中λ,μ∈R,则=
【分析】根据平面向量加减运算的
三角形法则求出λ,μ即可得出答案.
【解答】解:===+=,
∴λ=1,μ=﹣,
∴=﹣2.
故选:B.
15.△ABC所在平面上一点P满足
积比为( )
A.2:3 B.1:3 C.1:4 D.1:6
++=,可得=,化为
++=,则△PAB的面积与△ABC的面
【分析】如图所示,由于点P满足
.即可得到△PA
B的面积与△ABC的面积比=AP:AB.
【解答】解:如图所示,∵点P满足
∴
∴.
=,
++=,
∴△PAB的面积与△ABC的面积比=AP:AC=1:3.
故选:B.
16.在△ABC中,若BC=8,BC边上中线长为3,则
A.﹣7 B.7 C.﹣28
D.28
?=( )
【分析】利用已知条件推出BC=8,BC边上中
线长为3,通过向量的模的平方,
转化求解?即可.
【解答】解:在△ABC中,若BC=8,BC边上中线长为3,
可得:
可得
两式作差可得:4
故选:A.
17.已知O是正△ABC的中心.若
( )
A. B. C.
D.2
,由=,可得
=,其中λ,μ∈R,则的值为
?
,
,
=﹣28,所以?=﹣7.
,
,
【分析】O是正△ABC的中心,可得
+=,
的值.
可得1+λ=μ=﹣λ﹣μ?2λ=﹣μ即可得
【解答】解:∵O是正△ABC的中心,∴
由=
+
,可得+
=.
,
=,
∴(1+μ)+(﹣λ﹣μ)
∴1+λ=μ=﹣λ﹣μ?2λ=﹣μ
∴则的值为﹣,
故选:C.
18.设△ABC的面积为S,若
A.1 B.2 C. D.
,tanA=2,则S=( )
【分析】利用向量的数量积,以及三角函数,化简求解即可.
【解答】解:tanA=2,可得cosA===,sinA=,
,
可得bccosA=1,可得bc=,
=1.
△ABC的面积为S=bcsinA=
故选:A.
19.已知向量,,为平面向量,||=||=2
成夹角为
A.
,则||的最大值为( )
B. C.1 D.+1
=1,且
使得﹣2与﹣所
【分析】由向量的数量积的定义可得<,>=
=(cos,sin)=(,,设=(x,y),=(1,0),
),判断四点A、B、C、D共圆,设圆心为E,C
在
圆E上运动,结合图象可得所求最大值.
【解答】解:设=,=,=,
?=1,
∵平面向量,,满足||=||=2
∴cos<,>=
∴<,>=,
=,
设=(x,y),=(1,0),
=(cos,sin)=(,),
,
∵﹣2与﹣的夹角为
可得∠BCD+∠BAD=180°,
则四点A、B、C、D共圆,
,即为2﹣与﹣的夹角为
设圆心为E,C在圆E上运动,
可得E的横坐标为,
由BD=,可得2r==2,
解得r=1,由A(1,0),可得E(,
即有|OE|==,
.
),
则||的最大值为1+
故选:A.
20.已知O为△ABC内一点,且有,记△ABC,△BCO,△ACO
的面积分
别为S
1
,S
2
,S
3
,则S
1
:S2
:S
3
等于( )
A.3:2:1 B.3:1:2
C.6:1:2 D.6:2:1
【分析】如图所示,延长OB到点E,使得
四边形
OAFE.则+2=+=,由于
=2
+2
,分别以
+3
,为邻边作平
行
=3.又=,可得﹣
=2,可得=2.于是=,得到S
△
A
BC
=2S
△
AOB
.同理可得:S
△
ABC
=3
S
△
AOC
,
S
△
ABC
=6S
△
BOC
.即可得出.
【解答】解:如图所示,
延长OB到点E
,使得
则
∵
又
于是
+2
+2
=2
=
=
+3
+=,
=3
.
.
=2,分别以,为邻边作平行四边形OAFE.
=,∴﹣
=2,可得
,
∴S
△
ABC
=2S
△
AOB
.
同理可得:S
△
ABC
=3S
△
AOC
,S
△<
br>ABC
=6S
△
BOC
.
∴ABC,△BOC,△ACO的面积比=6:1:2.
故选:C.
21.已知△ABC是边长为1的等边三角形,P为平面ABC内一点,则
的最小值是(
)
A. B. C. D.﹣1
、和,计算?(+)【分析】建立平面直角坐标系,用坐标表示出
的最小值即可.
【解答】解:以BC中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系,
则A(0,),B(﹣,0),C(,0),
=(﹣x,﹣y),=(﹣﹣x,﹣y
),
﹣y)?(﹣2y)=2x
2
﹣
=(﹣x,﹣y),
y+2y
2
设P(x,y),则
所以?(+)=﹣x?(﹣2x)
+(
)
2
﹣;
时,
=2x
2
+2(y﹣
所以当x=0,y=
故选:B.
22.已知向量
=0,则|
A.2﹣
取得最小值是﹣.
,满足||=2,||==3,若(﹣2)?(﹣)
|的最小值是( )
B.2+ C.1 D.2
,再设,这样根据
的最小
【分析】由题意设即可得出终点的轨迹,而数形结合即可求出
值.
【解答】解:根据条件,设=
∴
∴的终点在以
∴||的最小值为:
;
为圆心,为半径的圆上,如图所示:
.
=0;
,设,则:
故选:A.
23.如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,点G在AD上,且是△ABC的重
心,则用
向量表示为( )
A.
C.
B.
D.
【分析】根据向量加法的平行四边形法则及数乘的几何意义,
再根据三角形重心的性
质便可得出
义及向量的数乘运算即可表示出向量
【解答】解:根据题意,
∴
=
=
故选:A.
.
,
,这样根据向量加法的几何意
.
;
24.设
O是平面ABC内一定点,P为平面ABC内一动点,若
=,则O为△ABC
的
( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
【分析】运用向量的
加减运算,以及向量数量积的性质,结合三角形的外心,可
得所求.
【解答】解:若
可得
即为(
=0,
即有|
则|<
br>|
2
=|
|=|
|
2
=||
2
,<
br>
?(
﹣
+)=
)?(
?(
+
+
)
=(
=
)=
﹣
?(+)=0,
+)=(﹣)?(+)
,
)?(
|=||,
故O为△ABC的外心,
故选:B.
25.已知平面向量,,满足||=||=||=1,若?=,则(2+)(﹣)
的最小值为(
)
A.﹣2 B.﹣ C.﹣1 D.0
>=60°,设==(1,0)
,
,
==(
﹣y)=y﹣
),=(x,
=
【分析】推导出<
y),则x
2
+y
2
=1,则(2+)(﹣)=(2+x,y)(<
br>﹣=sin(θ+150°),由此能求出(2+)(﹣)的最小值.
【解答】解:∵平面向量,,满足||=||=||=1,?=,
∴cos<
∴<
∴设
>=
>=60°,
==,
==(1,0),==(),
=(x,y),则x
2
+y
2
=1,
∴(2+)(﹣)=(2+x,y)(
=(2+x)(
=
=
=
y
﹣
,﹣y)
)+(﹣y)y
﹣
sin(θ+150°),
∴(2+)(﹣)的最小值为﹣
故选:B.
.
26.已知O是△ABC内部一点,且3
面积之比为( )
A. B.1 C. D.2
=,则△OBC的面积与△ABC的
【分析】
由向量式可得O为三角形ABC中位线FE的三等分点(靠近E),从而可
得两三角形面积和△ABC的
关系,可从而得答案.
【解答】解:∵3=,∴2(═﹣(
如图E,F分别是对应边的中点,
由平行四边形法则知:2=﹣,
∴O为三角形ABC中位线FE的三等分点(靠近E),
∴O到CB的距离是三角形
ABC高的一半,∴则△OBC的面积与△ABC的面积之
比为1:2.
故选:A.
27.已知向量
,
A.
B.
满足:
的最大值和最小值分别为m,n,则m+n等于( )
C.
D.
,若
【分析】由已知可得,设,则=x
1
=,结合
)
?(),可得y
1
=±3,不妨取=(,3),设=(x,y),结合(
=0,可得x
,y所满足的关系式,数形结合得答案.
【解答】解:由
∴
∴
设
且||=
,
,则
=,
=x
1
=,
,即1﹣2
,
,
∴y
1
=±3,不妨取=(,3).
设=(x,y),则
由题意()?(
=(1﹣x,﹣y),
)=0,
=(﹣x,3﹣y),
∴(1﹣x)(﹣x)﹣y(3﹣y)=0,
化简得,x
2
+y
2
﹣﹣3y+=0,即=.
则点(x,y)表示圆心在(,),半径为
如图所示,
的圆上的点,
则||=的最大值为m=|OC|+r=
.
,
最小值为n=|OC|﹣r=
∴m+n=
故选:D.
二.填空题(共3小题)
.
28.已知直角梯形ABCD中,A
D∥BC,∠BAD=90°,∠ADC=45°,AD=2,BC=1,P
是腰CD上的动点,则|3
+|的最小值为 .
,的坐标,结合二次函数的【分析】建立坐标系,设出P的坐标,表示
出
性质求出其最小值即可.
【解答】解:分别以AD,AB为x,y轴,建立直角坐标系:
如图示:
,
∵∠ADC=45°,AD=2,BC=1,P是腰CD上的动点,
∴A(0,0),B(0,1),C(1,1),D(2,0),
则设P(x,2﹣x),
故3=(﹣3x,3x﹣6),=(x,1﹣x),
故1≤x≤2,
故|3+|=,
+≥,
而y=8x
2
﹣20x
+25=8
故|3+|的最小值是
.
,
故答案为:
29.已知向量=(2,3),=(m,﹣6),若⊥,则|2+|= 13 .
【
分析】根据题意,由向量的垂直与向量数量积的关系可得若⊥,则有?=2m
﹣18=0,解可得m的值
,即可得的坐标,从而可得向量2+的坐标,由向量
模的计算公式计算可得答案.
【解答】解:根据题意,向量=(2,3),=(m,﹣6),
若⊥,则有?=2m﹣18=0,解可得m=9,
则=(9,﹣6),
故2+=(13,0);
故|2+|=13;
故答案为:13.
30.已知在△ABC所在平面内有两点P
、Q,满足
||=4,||=2,S
△
APQ
=,则?的值为
±4
+=0,++=,若
.
【分析】由题意可得P为AC的中点,Q为靠
近B的线段AB的三等分点,根据S
△
APQ
=,求得sin∠A
的值,可得cos∠A的值,从而求得?的值.
【解答】解:已知在△ABC
所在平面内有点P满足
∵点Q满足++=,即++=﹣
+=0,∴P为AC的中点,
=﹣2,
,即
∴Q为靠近B的线段AB的三等分点,如图所示:
若||=4,||=2,则|
|?|
|=1,||=||=,
∴S
△
APQ
=?||?cos∠A=?1??sin∠A=,
=±
,
,
∴sin∠A=,∴cos∠A=±
则?=||?||cos∠A=±4
.
故答案为:±4
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