(完整版)高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量
第一讲 向量的概念与线性运算
一．【要点精讲】
1．向量的概念
?
uuur
?
a①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法
AB
，
a
；坐标表示法?xi?yj?(x,y)
。
uuur
?
a
AB
向量 的模（长度），记作||.即向量的大小，记作｜|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
r
?
②零向量：长度为0的向量，记为
0
，其方向是任意的，规定< br>0
平行于任何向量。（与0的区
别）
③单位向量｜
?
a0
?
?
｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作
a
∥
b

?
x
1
?
x
2
?
?
?
?
?
y
1
?
y
2
⑤相等向量记为
a
?
b
。大小相等，方向相同
(x
1< br>,y
1
)?(x
2
,y
2
)
2．向量的运算
（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.
uuur
uuur
如图，已知向量a，b，在平面内任取一点
A
，作
AB?
a，
BC?
b，则向量
AC
叫做a与b
uuuruuuruuur
的和，记作a +b，即 a+b
?AB?BC?AC

C
a
a+b
b< br>B
D
b
a
b
三角形法则
A
a
平行四 边形法则
a+b
C
B
特殊情况：
a
b
a?b
(1)
A

a
b
a?b
A
B
(2)CC
A
(3)
B

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
uuuruuuruuuruuuruuu ruuur
AB?BC?CD?L?PQ?QR?AR
，但这时必须“首尾相连”。

rrrr
a?b
②向量减法： 同一个图中画出
a?b、
要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
（ 1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重
合的那条对角 线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相 接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有
向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量 的终点指向被减向量的终点.
（3）实数与向量的积
??
?
?
3 ．两个向量共线定理：向量
b
与非零向量
a
共线
?
有且只有 一个实数
?
，使得
b
=
?
a
。
二．【典例解析】
题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念
例1判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)若
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
a?b,则a?b
?
??
?
??
a
?
bb
?
c
a
(5)两相等向量若共起点,则终点也相 同 (6)若，，则
?
c
；
?
?
?
??
??
?
?
?
??
|a|
?
|b|
abbca
?
ba
(7)若，，则
ac
(8) 的充要条件是且
b
；
(9) 若四边形ABCD是平行四边形,则
AB?CD,BC?DA

→
＝2DC
→
”是“四边形ABCD为梯形”的 练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD中，“AB
A、充分不必要条件

B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律
例2 化简
(AB?CD)?(AC?BD)
=
练习1.下列命题中正确的是
uuuruuuruuuruuuruuur
A．
OA?OB?AB
B．
AB?BA?0

ruuurruuuruuuruuuruuur
C．
0?AB?0
D．
AB?BC?CD?AD

uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
2.化简
AC?
BD?
CD?
AB
得
r
uuur
A．
AB
B．
DA
C．
BC
D．
0


3．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则

( )
→→→→→→
＋BE＋CF＝0 －CF＋DF＝0
→→→→→→
＋CE－CF＝0 －BE－FC＝0

题型三: 结合图型考查向量加、减法
uuuruuuruuuruuur
例3在< br>?ABC
所在的平面上有一点
P
，满足
PA?PB?PC?AB
，则
?PBC
与
?ABC
的面
积之比是( )
1123
A．
3
B．
2
C．
3
D．
4

例4重心、垂心、外心性质


→
练习: 1．如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA =3a，
→→→
CB =2b，求CD ，CE ．

2已知
D
E
A
rrrr
a?b=a?b
rr
求证
a?b

B
C
uuuruuuruuuruuuruuur
3若
O
为
?ABC
的内心，且满足
(OB?OC)?(OB?OC?2OA)?0
，则
?ABC
的形状为
（ ）
A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
→→→
4．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则O C＝( )
2
→
1
→
1
→
2
→→→→ →
A．2OA－OB B．－OA＋2OB C.
3
OA－
3
OB D．－
3
OA＋
3
OB
→
|AB|
→→→
5．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA－3OB＋2OC＝0，则
→
等于__ ______．
|BC|

→→→→
6．已知平面内有一点P及一个△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则( )
A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上 C．点P在线段BC上 D．点
P在线段AC上

→→→
1< br>→→
7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝
3
C A＋λCB，则λ等于( )
2112
A.
3
B.
3
C．－
3
D．－
3

题型四: 三点共线问题
例4 设
e
1
,e
2
是不共线的向量,已知向量
AB?2e
1
?ke
2
,CB?e
1
?3e
2
,CD?2e
1
?e
2
,若
A,B,D三点共线,求k的值
→→→
例5已知A、B、C、P为平面内四点， A、B、C三点在一条直线上 PC =mPA +nPB ，求证：
m+n=1．


BC?e
1
?e
2
, CD?2e
1
?e< br>2
，则下列关系一定成立练习：1．已知：
AB?3(e
1
?e
2
),
的是（ ）
A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线
C、C，A，D三点共线 D、B，C，D三点共线
→→→
2．(原创题)设a，b是两个不共线的向量，若AB＝2a ＋kb，CB＝a＋b，CD＝2a－b，且A，B，
D三点共线，则实数k的值等于________ ．


第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示
一．【要点精讲】
1．平面向量的基本定理
??
?
e,e
a
12
如 果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对
实数
?
1
,
?
2
使：
a
?
?
1
e1
?
?
2
e
2
其中不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示这一
平面内所有向量的一组基底.
2．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与
x
轴 、
y
轴方向相同的_单
???
??
r
r
r
j
位向量_
i
、作为基底任作一个向量
a
，有且只有一对实数x
、
y
，

rr
r
使得
a?xi ?yj
…………○1，把
(x,y)
叫做向量
a
的（直角）坐标，记 作
a?(x,y)
…………○2
rr
y
xx
其中叫做
a
在轴上的坐标，叫做
a
在
y
轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标 表示
rrr
r
与
a
相等的向量的坐标也为
(x,y)特别地，
i?(1,0)
，
j?(0,1)
，
0?(0,0)< br>
特别提醒：设
OA?xi?yj
，则向量
OA
的坐标
(x,y)
就是点
A
的坐标；反过来，点
A
的坐
标
(x,y)
也就是向量
OA
的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是 可以用一对
实数唯一表示
3．平面向量的坐标运算
rr
rrrr
(x?x,y?y)
a?(x,y)b?(x,y)
1212
，
a?b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

11
，
22
，则
a?b
=（1）若
r
uuur
（2） 若
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
（3）若
a?(x,y)
和实数
?
，则
r
?
a?< br>(
?
x,
?
y)

??
??
4．向 量平行的充要条件的坐标表示：设
a
=(x
1
, y
1
) ，
b
=(x
2
, y
2
) 其中
b
?
a

?
??
a
∥
b
(
b
?
0
)的充要条件是
x
1
y
2
?x
2
y
1< br>?0

二．【典例解析】
题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量
A
11
OC
?
OA,OD
?
OB
C
42
[例1] 在△OAB中，，AD与BC交于点M，
M
D
B
r
rr
r
设
OA
=
a
，OB
=
b
，用
a
,
b
表示
OM
.
O
练习:1．若已知
e
1
、
e
2
是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )
A．
e
1
与—
e
2
B．3
e
1
与2
e
2
C．
e
1< br>＋
e
2
与
e
1
—
e
2
D．
e
1
与2
e
1

→→→
2．在平行四 边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ、μ∈
R，则λ ＋μ＝________.
题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算
例3 已知A（— 2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且
CM?3CA
,
CN?2CB
,求点M、N的坐标及向量
MN
的坐标.

→
练习:1. (2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C( 3,1)，且BC
→
＝2AD，则顶点D的坐标为( )
71
A．(2，
2
) B．(2，－
2
) C．(3,2) D．(1,3)

uuur
1
MP?
2
MN
, 求P点的坐标； 2．若M(3, -2) N(-5, -1) 且

uuur
1
uuuur
MP?MN
2
3．若M(3, -2) N(-5, -1)，点P在MN的延长线上，且 ,
求P点的坐标；

2
（－x,x）
（x,1）
4.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量
a?b
( )
A平行于
x
轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
D.平行于第二、四象限的角平分线 C.平行于
y
轴
→→
5．在三角形ABC中，已知A(2, 3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且AG＝2GD，
则点C的坐标是( )
A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4,2)


6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1 ，－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的
有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d为( )
A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6)
1
→→
7．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝
2
ax与线段AB交于C，且AC＝2CB，则实数a 等于( )
45
A．2 B．1 C.
5
D.
3

题型三: 平行、共线问题
1
b?
(,1
?
sin
?
)
2
例4已知向量
a?(1?sin
?
,1)
，，若
a
∥
b
，则锐角
?
等于（ ）

A．
30?
B．
45?
C．
60?
D．
75?


例5．（2009北京卷文）已知向量
a?(1 ,0),b?(0,1),c?ka?b(k?R),d?a?b
，
如果
cd
那么 ( )
A．
k?1
且
c
与
d
同向 B．
k?1
且
c
与
d
反向
C．
k??1
且
c
与
d
同向 D．
k??1
且
c
与
d
反向
?
?
练习：1．若向量
a
=(-1,x)与
b
=(-x, 2)共线且方向相同，求x

2．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及
OP?OA?tAB
，
求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。
(2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。


3．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为( )
11
A．－1 B．－
2
C.
2
D．1

m
4．已知 向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则
n
等于( )
11
A．－
2
B．2 C.
2
D．－2

→→→
5．已知向量O A＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A、B、C能构成三角形，
则实数m应满足的条件是( )
1
A．m≠－2 B．m≠
2
C．m≠1 D．m≠－1

6 ．已知点
A(4,0),B(4,4),C(2,6)
,试用向量方法求直线
AC和
OB
（
O
为坐标原点）交点
P
的
坐标。

题型四：平面向量综合问题
urr
例6． 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量
m?(a,b)
，
n?(sinB,sinA)
，
ur
p?(b?2,a?2)
.
urr
（1） 若
m

n
，求证：ΔABC为等腰三角形；
?
r
ur
u
（2） 若
m
⊥
p
，边长c = 2，角C =
3
，求ΔABC的面积 .




1
→→
1
→→→
练习已知点A(－1,2)，B(2,8)以及A C＝
3
AB，DA＝－
3
BA，求点C、D的坐标和CD的坐标．



第三讲 平面向量的数量积及应用
一．【要点精讲】
（1）两个非零向量的夹角
已知非零向量a与a，作
OA
＝
a，
OB
＝
b
，则∠A
Ｏ
A＝θ（０≤θ≤π）叫
a
与
b
的夹角；
说明：两向量的夹角必须是同起点的，范围0?≤?≤180?。

（2）数量积的概念
C
r
r
r
r
r
r
r
rr
r
非零向量
a
与
b
，
a
·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos
?
叫做
a
与
b
的数量积（或内积）。规定
0?a?0
； r
r
a
?
b
rr
r
r
向量的投影：︱
b
︱cos
?
=
|a|
∈R，称为向量
b
在
a
方向上的投影。投影的绝对值称为射影；

r
rr
r
r
（3）数量积的几何意义：
a
·b
等于
a
的长度与
b
在
a
方向上的投影的乘积 .

注意：⑴只要
a
⊥
b
就有
a
·
b
=0，而不必
a
=
0
或
b
=
0
．
⑵由
a
·
b
=
a
·
c
及
a
≠0却不能推出
b
=
c
．得|
a
| ·|
b
|cosθ
1
=|
b
c
a
|·|< br>c
|cosθ
2
及|
a
|≠0，只能得到|
b
|cosθ
1
=|
c
|cosθ
2
，即
b
、
θ
1
θ
2
c
在
a
方向上投影相等，而 不能得出
b
=
c
(见图)．
⑶ (
a
·
b
)
c
≠
a
(
b
·
c
)，向量的 数量积是不满足结合律的．
⑷对于向量
a
、
b
，有|
a< br>·
b
|≤|
a
|·|
b
|，等号当且仅当
a
∥
b
时成立．
（4）向量数量积的性质
a
rrr
2
r
2
a
①向量的模与平方的关系：
?a?a?|a|
。
②乘法公式成立
?
r
r
r
r
r
2
r
2
r
2
r
2
a?b?a?b?a?b?a?b
???
③向量的夹角：cos
?
=
（5）两个向量的数量积的坐标运算 r
r
2
r
2
r
rr
2
r
2< br>r
rr
2
a?b?a?2a?b?b?a?2a?b?b
；；
r
r
r
r
a
?
b
x
1
x
2
?
y
1
y
2
cos
?
a,b
??
r
r
2222
a
?
b
x
?
y
?
x
?
y
??
=1122。
r
r
r
r
xx?yy
a?(x,y),b?(x,y)
12
。
1122
，则
a
·
b
=
12
已知两个向量
r
r
r
r
r
r
（6）垂直：如果
a
与< br>b
的夹角为90
0
则称
a
与
b
垂直，记作< br>a
⊥
b
。
?
?
?
?
两个非零向量 垂直的充要条件：
a
⊥
b
?
a
·
b
＝O< br>?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?
0

22
222
|a|?x?y
a?(x,y)|a|?x ?y
（7）平面内两点间的距离公式设，则或。
22
|a|?(x?x)?(y?y)
1212
(平面内两点间的距离公式) .
二．【典例解析】
题型一：数量积的概念
例1．判断下列各命题正确与否：
r
r
r
r
rr
r
rr
r
a?0,a?b?a?c
（1）
0?a?0
；（2 ）
0?a?0
； （3）若，则
b?c
；
r
rr< br>r
rrr
r
（4）若
a?b?a?c
，则
b?c当且仅当
a?0
时成立；

r
r
rr
r
rr
r
r
（5）
(a?b)?c?a?(b?c)
对任意< br>a,b,c
向量都成立；
题型二. 求数量积、求模、求夹角的简单应用
例2
rrrr
已知a?2，b?3，a与b的夹角为120
o
，求
rr
rrr
2
r
2
rrrr
（4）a?b
（）1a?b；（2）a?b；（3）（2a?b）（?a?3b）
；



题型三：向量垂直、平行的判定
例3．已知向量
a?(2,3)
，
b?(x,6)
，且
ab
，则
x?
。
例4．已知

r
a?
?
4,3
?
，
r
b?
?
?1,2
?
r
r
rr
r
r
m?a?
?
b,
n?2a?b
，按下列条件求实数
?< br>的值。 ，
rr
rr
rr
(3)m?n
（1）
m?n
；（2）
mn
；。



例5．已知：
a
、
b
、
c
是同一平面内的三个向量，其中
a
=（1，2）
（1） 若|
c
|
?25
，且
ca
，求
c
的坐标；
5
,
b
2
（2）若||=且
a?2b
与
2 a?b
垂直，求
a
与
b
的夹角
?
.
ur ururur
rr
ur
u
ur
u
?
?
?< br>?
?
?
?
??
练习1 若非零向量
?
、满足，证明:
?
?



2 在△ABC中，
AB
=(2, 3)，
AC
=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值


1)
，
b?(2 , n)
，若
|a?b|?a?b
，则
n?
（ ） 3．已知向量
a?(1 ,
A．
?3
B．
?1
C．
1
D．
3

4.

rrrrrrr
已知a?1，b?2，且a?b与a垂直，求a与b的夹角。

5．知
a，b，c
为
△ABC
的三个内角
A，B，C
的对 边，向量
m?(3，?1)，n?(cosA，sinA)
．若
m?n
，且< br>acosB?bcosA?csinC
，则角
A，B
的
大小分别为（ ）
A．
ππ
，
63
2ππ
，
36
ππ< br>，
36
ππ
，
33
B． C． D．



题型四：向量的夹角
例6已知向量
a
=(cos
?
,sin
?
),
b
=(cos
?< br>,sin
?
),且
a
??
b
，求
a?b与
a?b
的夹角

r
r
r
rr
rr
r
r
r
0
练习1已知两单位向量
a
与
b< br>的夹角为
120
，若
c?2a?b,d?3b?a
，试求
c< br>与
d
的夹角。


2．|
a
|=1，|
b
|=2，
c
=
a
+
b
，且
c
⊥
a
，则向量
a
与
b
的夹角为
A．30° B．60° C．120° D．150°


3．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( )
A．150° B．120° C．60° D．30°


5
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b) ·c＝
2
，则a与c的夹角为( )
A．30°或150° B．60°或120° C．120° D．150°

ruuur
uuuruuur
uuu
5.过△ABC的重心任作一直线分别交 AB，AC于点D、E．若
AD?xAB
，
AE?yAC
，
xy?0
，
（ ）
则
11
?
xy
的值为（ ）

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
11
?
xy
＝3．选B． 解析：取△ABC为正三角形易得
?
?
?
?
?
4. 设向量
a
与
b
的夹角为
?
，
a?(3,3)
，< br>2b?a?(?1,1)
，则
cos
?
?
．

→→→→
5．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|
2
，则三角形ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
.

6已 知向量
a?(sin
?
,?2)
与
b?(1,cos
?)
互相垂直，其中
（1）求
sin
?
和
cos
?
的值；
?
?
?
(0,)
2
．
sin(
?
?
?
)
?
（2）若




题型五：求夹角范围
10
?
,0
?
?
?
102
，求
cos
?
的值．
rrrrr
rr
2
|a|?2|b|?0x?|a|x?a?b?0
例7已知,且关于
x
的方程有实根,则
a
与
b
的夹角的取值 范
围是
?
?
?
2
?
?
[,
?
][,][,
?
]
A.[0,
6
] B.
3
C.
33
D.
6



练习1．设非零向量
a
=
?
x,2x
?
，
b
=
?
?3x,2
?
，且
a
，
b
的夹角为钝角，求
x
的取值范围
2 ．已知
a?(
?
,2
?
)
，
b?(3
?< br>,2)
,如果
a
与
b
的夹角为锐角,则
?
的 取值范围是

??
??

????
??
??
eeee
|
e
|
?
2|
e
|
?
1
2te
?
7e
2
与3．设两个向量
1
、
2
，满足
1
，
2
，
1
、< br>2
的夹角为60°，若向量
1
??
e
向量
1
?
te
2
的夹角为钝角，求实数
t
的取值范围.


与BC
4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点 A为中点，问
PQ
的夹角
?
取何值时
BP?CQ
的值最大？ 并求出这个最大值.
（以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系）


题型六：向量的模
C
a
r
rrr
rr
A
a?3,a?b?13,
b
o< br>ab
120
例8．已知向量与的夹角为，则等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
0
练习1平面向量a与b的夹角为
60
，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于


（ ）
D.12

A.
3


B.2
3
C.4
?
?
?
2．已知平面上三个向量
a
、
b
、
c
的模均为 1，它们相互之间的夹角均为120°，
?
?
?
?
?
?< br>(a
?
b)
⊥
c
；（1）求证：（2）若
|ka?b ?c|?1
(k?R)
，求
k
的取值范围.



rr
rr
rr
r
a?(4,?3),|b|?1
a,b3．平面向量中，已知，且
a?b?5
，则向量
b?
______. < br>4．已知|
a
|=|
b
|=2，
a
与
b的夹角为60
0
，则
a
+
b
在
a
上的 投影为 。

rrrr
rr
rr
|a|?|b|?1, |3a?2b|?3
，则
|3a?b|?
。 5．设向量
a,b
满足

rr
rr
rr
|a|?3 ,|b|?7
，则
|2a?b|?
___ ___。 6．已知向量
a,b
的方向相同，且

7、已知O，N，P在
?ABC
所在平面内，且
OA?OB?OC,NA?NB?NC?0
（ )
，且
PA?PB?PB?PC?PC?PA
，则点O，N，P依次是
?A BC
的
A.重心 外心 垂心
C.外心 重心 垂心


题型七：向量的综合应用
B.重心 外心 内心
D.外心 重心 内心
→→→→
例9．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在 x轴上一点P，使AP·BP有最小值，则P点的坐标是
________．

< br>|a|
练习1．已知向量a与向量b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且a⊥c，则
|b|
的值为( )
123
A.
2
B.
3
C．2 D.3

→→
2．已知圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，则OA·AB＝( )
3333
A.
2
a
2
B．－
2
a
2
C.
2
a
2
D．－
2
a
2


→→→→
4．(原创题)三角形 ABC中AP为BC边上的中线，|AB|＝3，AP·BC＝－2，则|AC|＝________.

3A3AAA
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知m ＝(cos
2
，sin
2
)，n＝(cos
2
，sin2
)，
且满足|m＋n|＝3.
(1)求角A的大小；


15
6．在
?ABC
中，
AB?AC?0
，
?AB C
的面积是
4
，若
|AB|?3
，
|AC|?5
， 则
?BAC?
( )

?
2
?3
?
5
?
(A)
6

(B)
3

(C)
4

(D)
6

7．已知
O
为原点，点
A,B
的坐标分别为
A(a,0)
，
B(0,a)
，其中常数
a?0
，点
P
在线段
AB
上，且有
AP?tAB
(0?t?1)
，则
OA?OP
的最大值为（ ）
(A)
a

(B)
2a

(C)
3a

(D)
a
2


rr
33xx
a?(co sx,sinx)b?(cos,?sin)
22
，
22
。 8．已知向量
?
rrrr
x?
[0,]
2
，求
a?b,|a?b |
； （1）当
3
?
?
?
?
?
（2）若< br>f(x)
?
a
?
b
?
2m|a
?
b |
≥
2
对一切实数
x
都成立，求实数
m
的取值范围 。



9. 若正方形
ABCD
边长为1，点
P
在线段
AC
上运动，则
AP?(PB?PD)
的取值范围
1
是 ．[-2，
4
]


10. 已知
a,b
是两个互相垂直的单位向量, 且
c?a?1
,
c?b? 1
,
|c|?2
,则对任意的正实数
1
|
c?
t< br>a?b
|
t
,
t
的最小值是
22
.

各区期末试题
10. 在矩形
ABCD
中，
AB? 3
，
BC?1
，
E
是
CD
上一
uuuru uur
uuuruuur
点，且
AE?AB?1
，则
AE?AC的值为（ ）
D
E
C
A
B

19.如图，点
P
是以
AB
为直径的圆
O
上动点，
P
?
是点
P
关于< br>P
AB
的对称点，
AB?2a(a?0)
.
uuuruu ur
?
（Ⅰ）当点
P
是弧
AB
上靠近
B
的 三等分点时，求
AP?AB
的
值；
A
O
B
uuuruuur
（Ⅱ）求
AP?OP
?
的最大值和最小值.


P
?

uuur
（6）如图所示，点
C
在线段
BD
上，且
BC=3CD
，则
AD=
（ ）
uuuruuuruuuruuur
（A）
3AC?2AB
（B）
4AC?3AB

D
C
r
1
uuurr
2
uuur
4
uuu
1
uuu
AC? ABAC?AB
33
（C）
3
（D）
3

AB
(16) 在平面直角坐标系
xOy
中，已知点
A(3,3)< br>，
B(5,1)
，
P(2,1)
，点
M
是直线
OP
上的一
个动点.
（Ⅰ）求
uuuruuur
PB- PA
的值；
（Ⅱ）若四边形
APBM
是平行四边形，求点
M
的坐标；
uuuruuur
（Ⅲ）求
MA×MB
的最小值.

< br>A
?
3，0
?
B
?
0，3
?
C?
cos
?
，sin
?
?
3已知
A
、
B
、
C
三点的坐标分别为
⑵ 若
、、，且
??
?
，
?
π
?
2
3π
?
?< br>2
?
.
uuuruuur
AC?BC
，求角
?
的值；
2
2sin
?
?
sin2
?
uuuruuur
1
?< br>tan
?
⑵ 若
AC?BC??1
，求的值.

2已知二次函数
f?
x
?
对任意
x?R
，都有
f
?
1? x
?
?f
?
1?x
?
成立，设向量
1
? ?
a
?
?
sinx，2
?
，b
?
?
2sinx，
?
，c
?
?
cos2x，1
?
，d
?
?
1，2
?
x?
?
0，π
?
2
??
，当时，求不等式
f
?
a?b
?
?f
?
c?d
?
的解集.
uuuur
3
uuur
1< br>uuur
AM?AB?AC
S:S
?
ABC
43
2. 若点
M
是
?ABC
所在平面内一点，且满足，则
?
ABM< br>等于
（ ）
1111
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5

6.已知
O
为一平面上的定点，
A
，< br>B
，
C
为此平面上不共线的三点，若
uuuruuuruuuruuu r
BC?(OB?OC?2OA)?0
， 则
?ABC
的形状是 .
3
a?(sinx,)
2
，
b?(cosx,?1)
. 8 .已知向量
（1）当
a
∥
b
时，求
cosx?sin2x< br>的值；
2
（2）设
x
1
，
x
2
f (x)??
为函数
2
?(a?b)?b
x?x
2
4
的两个零点，求
1
的最小值．


(5)如图，用向量e
1
，e
2
表示向量a-b为
(A)-2e
2
-4e
1

(B)-4e
2
-2e
1

(C)e
2
-3e
1

(D)-e
2
+3e
1


( )

uuuur
2
uuur
1
uuur
uuuruuuuv
OMOAOB
(12)已知=
3
+
3
，设< br>AM
=λ
AB
，那么实数λ的值是____________．
(16)已知向量a=(1，
3
)，b=(-2，0)．
(Ⅰ)求向量a- b的坐标以及a-b与a的夹角；(Ⅱ)当t∈[-1，1]时，求|a-tb|的取值范围．