向量在高中数学中的作用

向量在高中数学教学中的作用

作为新课程改革，高中数学教材的 两个显着变化就是“向量和导数”的引入.其目的也很明
确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段 ，即充分体现它们的工具性.但这种“工具性”，
只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又 需要我们在实践中不断“开发”新的认识，
丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”. ，极大地丰富了关于空间向量的“数
量积”这一运算的“认知模块”的内涵.
对教材引进空间 向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，我们的学生可以说是欣喜
若狂啊，因为学生觉得这种方 法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用
中，学生觉得这些结论不易理解，加上 这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了
明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板”， 甚至张冠李戴.如何突破这一问题？我认为其根
本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形 成“知识链”.那么，这一性质是怎样
与相关问题产生“对接或联系”的呢？
（1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”.
?
?
(
?
?[0,])
1．1线线角
2
的求法的新 认识：
我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围
为
[0,
?
]
），即
BO

cos?
?|cos?a,b?|?|
a?b
|a||b|
|?
|a? b|
|a||b|
,我们能否加以重新认识这个公式
BO
呢？如图，

BO

b

OO

q
A

b

q
A


b

q
OO
(B

)O
a

1


A

cos
?
?
|OB
1
| |OB
1
|
?
|OB|
|b|
a

B
1
O

B
1
O

OO
a


，此时OB
1
可以看作是
b
与a
方向
上的单位向
b?e(其中e?
量
e
的数量积a
|a|
，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理
)
|b?
cos
?
?
解为：
1．2线面角
a
|a|< br>|
（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）.
|b|
2
?
?
(
?
?[0,])
的求法的新认识：
n
P
q
A
sin
?
?|cos?PA,n?|
sin
?
?
以理解为：
?
|PA?n|
|PA||n|

（其中
n
为平面
?
的一个法向量），此结论重新可
a
O
|OP||OP|
?
|PA|
|PA|
，此时OP又可

(其中e?
以看作是
PA
在
n
上的投影，即
PA
与
n
方向上的单位向量
e
的数量积
PA?e< br>，
n
|n|
，
)
|PA?
sin
?
?
故
n
|n|
|
（这里刚好满足三角函数中正弦的定义：对边比斜边 ）.
1．3二面角的平面角
?
(
?
?[0,
?
] )
的求法的新认识：
|PA|
F
n
1
n
2
E
D
n
1
|cos
?
|?|cosn
1
,n
2
|
|n||n|
2
（其中
n
1
与n
2
是两=
1
C
二面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解 为：
|n
1
?n
2
|
|n
1
?
A B
|cos
?
|?
n
|n
2
?
1
|
|n
2
||n
1
|
?
|n
1
| |n
2
|
（这里刚好满足三角
|
n
2
函数中余弦的 定义：邻边比斜边）.
★三大角的统一理解：
|b?
cos
?
?
a
|a|
|
sin
?
?
|PA?
n
|n|
|
|n
1
?
|cos
?
|?
|P A|
、、
其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形 中的三角
函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，
即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三
角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，
他们太熟 悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那学习就会水到
渠成！
（2）它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系
点”. < br>空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，
而点线 距和点面距又是重中之重！另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直
线的距离，只要 求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.因此对异面直线间的距离的考查
有着特殊的身份.教材按 排中引进了向量法来解决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！不
用作出（或找出）所求的距离了.
2．1点面距求法的新认识：
|b|
n
|n
2
?
1
|
|n
2
||n
1
|
?
|n
1
||n
2
|
、
|
n
2
d?|PO|?| PA|sin
?
?|PA|
|n?PA|
|n||PA|
?
|n?PA|
|n|
（其中
n
为平面
?
的一个法向量），< br>n
P
q
A
a
O

d?|PA?
此结论重新可以理解为：
n
|n|
， 即
PA
在
n
上的投影，即
PA
与
n
方向上 的单位向量
|
PA?e(其中e?
e
的数量积
n
|n|.
)
2．2点线距求法的新认识：
1）新认识之一：
如图，若存在有一条与l相交的直线时，就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个
P

|n|
. 法向量
n
，则点P到l的距离
2）新认识之二：
若不存在有一条与l相交的直线时，
我们可以先取l上的一个向量
n
，再利用
l

d?|PA?
n
|
A

O

|PO|
2
?|PA|
2
?|OA|
2
来解，即：
d
2
?|PA|
2
?|OA|
2
,而数量ＯＢ可以理解为
| OA|?|PA?
n
PA
在l上的向量
n
的投影，也即为：
2．3异面直线间距离求法的新认识：
|n|
.
|
从这几年的高考《考 纲说明》观察，我们不难发现，对异面直线间距离的考查本意不能太难，
但若出现难一点的考题，命题者 又能自圆其说的新情况.实际上，这种自圆其说法归根到底在于
高考考纲中的说法：只要求会计算已给出 公垂线或在坐标表示下的距离.那也就是说，在不要作
出公垂线（也许学生作不出！）的情况下，也可以 求出它们的距离的！那就是用向量法！
如图所示：若直线l
1
与直线l
2< br>是两异面直线，求两异面直线的距离.
略解：在两直线上分别任取两点A、C、B、D，
C
A


B
D
l
2


l
1


构造三个向量
AC,BD,CD
，记与两直线的
公垂线共线的向量 为
n
,则由
AC?n?0与BD?n?0
,得
n
,则它们的 距
离就可以理解为：
CD
在
n
上的投影的绝对
|n|
. 值，即：
★三大距离的统一理解:
d?|PA?
n
|n|
（点面距）、
|d?|CD?
n< br>|n|
|
d?|CD?
n
|
d?|PA?
（异面距） 、
n
|n|
（点线距之一）、
|OA|?|PA?
n
|n|
（点线距之二）、
|
|d
2
?|PA|
2
?|OA|
2
且

其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数量积此性质的直
接应 用.
由上述的剖析过程不难再看出：空间中的三大角与三大基本距离的计算，都隐藏于这个“特
定”的数量积的性质之中，体现在这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓
尽致” ，而又不失自然！这给“立体几何” 中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！