笔记(高中数学—平面向量)

高中数学—平面向量
非坐标
1．平面上不共线三点A，B，O若 满足
OC?
?
OA?
?
OB
，则当
?
，< br>?
满足条件
时，
A
，
B
，
C
三点共线．
2．设a
，若
AB?2a?kb
，
b
是两个不共线的向量，
C B?a?3b
，
CD?2a?b
，
且
A
，
B
，
D
三点共线，则实数
k?
．
→→→3．等边△ABC的边长为1，AB＝a，BC＝b，CA＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于
4．设向量
a
，
b
是两个非零向量，如果
(a?3b)?(7a? 5b)
，且
(a?4b)?(7a?2b)
，则
a
与
b的夹角
5．已知
|a|
2
?1
，
|b|?2
，且
(a?b)?a
，则
a
与
b
的夹角
6．设向 量
a
，
b
满足
|a|?|b|?1
，
|3a?2b |?3
，则
|3a?b|?

7．在
?ABC
中，
BD?
1
DC
，
AE?3ED
，
AB?a
，
AC?b
，则
BE?

8．设
P
、
Q
分 别是四边形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
的中点，
BC?a
，
2
DA?b
，并且
a
，
b
不共 线，则
PQ?

9．已知向量
m?2a?3b
，
n?4a? 2b
，
p?3a?b
，则将
p
用
m
，
n< br>表示为
10．在
?OAB
中，
OC?
1
OA
，
OD?
1
OB
，
AD
与
BC
交于M
点，设
OA?a
，
4
2
OB?b
，（1）用
a
，
b
表示
OM
；（2）在已知线段
AC
上取一点
E
，在线段
BD
上取一点
F
，使
EF过点
M
，设
OE?pOA
，求证：
1
OF?qOB，
7p
?
?
3

?1
．
7q
11．已知
a?b??122
，
|a|?4
，且向量
a
与向 量
b
的夹角为
135
，则
|b|
的
值为 ．
12．已知
|a|?6
，
|b|?4
，且
a
，
b
的夹角为
60
?
，则
(a?2b)?(a?3b)? ．
13．已知向量
e
1
，且a?3e
1
?2e
2
，
e
2
是互相垂直的单位 向量，
b??3e
1
?4e
2
，
则
a?b?
．
14．已知
?ABC
的三边长为
AB?2BC ?2
，
AC?3
，则
AB?BC?BC?CA?CA?AB?
．

15．已知
e
，
e
是一组 基底，若
2
1
?
e
1
?(
?
2
? 2
?
)e
2
?0
，则
?
?
．
16．已知
a
，
b
，
c
是三个非零向量，下列 结论中正确的是 ．
①若
a?b?|a||b|
，则
ab
；②若
a?b?b?c
，则
a?b
；③若
|a?b|?|a?b|
，
则
a?b
；④
(a?b)?c?(c?a )?b?0
；⑤
(b?c)a?(a?c)b?c
；⑥若
ab
，bc
，则
ac
．
17.如图所示,已知在矩形
ABCD
中,
AD?43
,设
AB?a,BC?b,BD?c
.试
求
a?b?c
.
???????????????
???

18. 如图所示,在
b
表示向量
AD
、
ABCD
中,已知
AB?a,DB?b
,用
a
、
AC
.
??????????
?
?

坐标
1．已知向量
a
，
b
，且
3(x?a)?2(x?2a)?4(x?a?b)?0
，则
x?

2．已知
A(1,2)
，
B(3,2)
，向量
a?(x?3,x?3y?4)
与
AB
相等，则
y?

3．设梯形
ABCD
的顶点坐标为
A(?1,2)
，
B(3 ,4)
，
D(2,1)
，且
ABDC
，
AB?2CD
，则
C
的坐标为
4．已知
a?(1,0)
，
b?(2, 3)
，则
(a?b)?

5．与向量
a?(12,5)
平行的单位向量为
6．已知向量
a? (4,3)
，
b?(6,y)
，且
ab
，则
y?
．

2

7．已知
A(1,?3)
，B(8,?1)
，如果点
C(2a?1,a?2)
在直线
AB
上 ，则
a?

?
8．已知
?OAB
的两个顶点为原点
O
和
A(5,2)
，且
?A?90
，
AB?AO
，
则
B
点的坐标为 ．
9．在
?ABC
中，设
AB?(2,3)
，
AC?(1,k)
，且
?ABC
是直角 三角形，则
k?

10．设
a?(m?1,?3)
，
b?( 1,m?1)
，若
(a?b)?(a?b)
，则
m?

11 ．已知
a?b?(2,?8)
，
a?b?(?8,16)
，则
a?b ?

12．已知
a?(3,1)
，
b?(?23,2)
，则
a
和
b
的夹角
13．设
a?(x,3)
，
b?(2,?1)
，若
a
和
b
的夹角为钝角，则
x
的取值范围
14．已知向量
a?(5,10)
，
b?(?3,?4)，
c?(5,0)
，则向量
c
可以由
a
，
b< br>表示为
15．已知
a?(m?2,m?cos
2
?
)
，
b?(n,
取值范围
16. P是△ABC所在平面上一点，若
PA? PB?PB?PC?PC?PA
，则P是△ABC
的什么心
n
?sin?
)
，若
a?2b
，则
m
的
2
??
17．已知
a
=(1,2),
b
=(-3,2),当k为可值 时:
?
???
(1)k
a
+
b
与
a-3
b
垂直;
?
???
(2)k
a
+
b
与
a
-3
b
平行,平行时它们是同向还是反向?
18 ．已知向量
a?(6,2)
，
b?(?3,k)
，当
k
为何 值时：（1）
ab
；（2）
a?b
；
（3）
a
与< br>b
的夹角为钝角．
19．已知
|a|?1
，
|b|?3，
a?b?(3,1)
，试求：（1）
|a?b|
；（2）
a? b
与
a?b
的夹角．
20．已知坐标平面内
OA?(1,5)，
OB?(7,1)
，
OM?(1,2)
，
P
是直线< br>OM
上一
个动点，当
PA?PB
取最小值时，求
OP
的坐标，并求
cos?APB
的值．