苏教版高中数学三角函数-高中数学凤凰新学案必修一答案
第五章 平面向量
第一教时
教材:向量
目的:要
求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念,并能作一个向量与已
知向量相等,根据图形判定向量是
否平行、共线、相等。
过程:
一、开场白:课本P93(略)
实例:老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,
问:猫能否追到老鼠?(画图)
结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了。
A
B
二、
提出课题:平面向量
1.意义:既有大小又有方向的量叫向量。例:力、速度、加速度、冲量
等
注意:1?数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大
小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。
2?从19世纪末到20世纪初,向量就成为一套优良通性的数学
体系,用以研究空间性质。
2.
向量的表示方法:
a
B
1?几何表示法:点—射线
(终点)
有向线段——具有一定方向的线段
A(起点)
有向线段的三要素:起点、方向、长度
记作(注意起讫)
2?字母表示法:
AB
可表示为
a
(印刷时用黑体字)
P95 例 用1cm表示5n mail(海里)
3.
模的概念:向量
AB
的大小——长度称为向量的模。
A
B
北
记作:|
AB
|
模是可以比较大小的
4.
两个特殊的向量:
1?零向量——长度(模)为0的向量,记作
0
。
0
的方向是任意的。
注意
0
与0的区别
2?单位向量——长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例:温度有零上零下之分,“温度”是否向量?
答:不是。因为零上零下也只是大小之分。
例:
AB
与
BA
是否同一向量?
答:不是同一向量。
例:有几个单位向量?单位向量的大小是否相等?单位向量是否都相等?
答:有无数个单位向量,单位向量大小相等,单位向量不一定相等。
三、
向量间的关系:
1.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作:
a
∥
b
∥
c
规定:
0
与任一向量平行
2.
相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
a
b
c
记作:
a
=
b
规定:
0
=
0
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,与起点无关。
3.
共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上 ,
所以平行向量也叫共线向量。
C O B
A
OA
=
a
OB
=
b
OC
=
c
例:(P95)略
变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11个)
变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在)
变式三:与向量共线的向量有哪些?(
CB,DO,FE
)
四、
小结:
五、
作业:P96 练习 习题5.1
第二教时
教材:向量的加法
目的:要求学生掌握向量加法的意义,并能运用三角形
法则和平行四边形法则作
几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律,并运用它进行向
量计算。
过程:
六、复习:向量的定义以及有关概念
强调:1?向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。
2?正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何
向量可以在不改变它的方向和大小的
前提下,移到任何位置。
七、
提出课题:向量是否能进行运算?
5.某人从A到B,再从B按原方向到C,
则两次的位移和:
AB?BC?AC
A B
C
6.若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,
则两次的位移和:
AB?BC?AC
7.某车从A到B,再从B改变方向到C,
则两次的位移和:
AB?BC?AC
8.船速为
AB
,水速为
BC
,
则两速度和:
AB?BC?AC
提出课题:向量的加法
A
B
三、1.定义:求两个向量的和的运算,叫做向量的加法。
注意:;两个向量的和仍旧是向量(简称和向量)
2.三角形法则:
a
a
a
C
b
b
a+b
a
b
a+b
a+b
A
A C
C
A
B
B
强调:
B
1?“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起
点
2?可以推广到n个向量连加
3?
a?0?0?a?a
4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
3.例
一、已知向量
a
、
b
,求作向量
a
+
b
作法:在平面内取一点,
作
OA?a
AB?b
则
OB?a?b
a
b
O
b
a
a
A
b
A B
C
C A
B
C
4.加法的交换律和平行四边形法则
B
上题中
b
+
a
的结果与
a
+
b
是否相同
验证结果相同
从而得到:1?向量加法的平行四边形法则
2?向量加法的交换律:
a
+
b
=
b
+
a
9.向量加法的结合律:(
a
+
b
)
+
c
=
a
+ (
b
+
c
)
证:如图:使
AB?a
,
BC?b
,
CD?c
a+b+c
b+c
a+b
a
B
b
c
C
D
A
则(
a
+
b
)
+
c
=
AC?CD?AD
a
+
(
b
+
c
) =
AB?BD?AD
∴(
a
+
b
) +
c
=
a
+
(
b
+
c
)
从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
四、例二(P98—99)略
五、小结:1?向量加法的几何法则
2?交换律和结合律
3?注意:|
a
+
b
|
> |
a
| + |
b
|不一定成立,因为共线向量不然。
六、作业:P99—100 练习 P102 习题5.2 1—3
第三教时
教材:向量的减法
目的:要求学生掌握向量减法的意义与几何运算,并清楚向量减法与加法的关系。
过程:
八、复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律:
D C
例:在四边形中,
CB?BA?BA?
CD
解:
CB?BA?BA?CB?BA?AD?CD
九、
提出课题:向量的减法
A B
1.用“相反向量”定义向量的减法
1?“相反向量”的定义:与a长度相同、方向相反的向量。记作 ?a
2?规定:零向量的相反向量仍是零向量。?(?a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0
如果a、b互为相反向量,则a = ?b, b = ?a, a + b = 0
3?向量减法的定义:向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差。
即:a ? b =
a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法:
向量的减法是向量加法的逆运算:
若b + x =
a,则x叫做a与b的差,记作a ? b
3.求作差向量:已知向量a、b,求作向量
∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
a
作法:在平面内取一点O,
a
O
作
OA
= a,
AB
= b
则
BA
= a ? b
b
B
b
a?b
即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。
注意:1?
AB
表示a ? b。强调:差向量“箭头”指向被减数
2?用“相反向量”定义法作差向量,a ? b = a + (?b)
显然,此法作图较繁,但最后作图可统一。
B’
B
a
?
b
a+ (?b)
b
a
O
A
b
b
4.a∥b∥c
B
a ? b = a + (?b) a ? b
a
a
?
b
a
?
b
O B
A
A
B’
O
B
b
a
?
b
a
a
?
b
A
O
b
A
?
b
B
B
O
十、例题:
例一、(P101
例三)已知向量a、b、c、d,求作向量a?b、c?d。
解:在平面上取一点O,作
OA
= a,
OB
= b,
OC
= c,
OD
= d,
作
BA
,
DC
, 则
BA
= a?b,
DC
= c?d
A
a
b
d
c
O
C
D
C
B
D
例二、平行四边形中,,用表示向量,
解:由平行四边形法则得:
AC
= a + b,
DB
=
AB?AD
= a?b
A
B
变式一:当a, b满足什么条件时,a+b与a?b垂直?(|a| =
|b|)
变式二:当a, b满足什么条件时,|a+b| = |a?b|?(a, b互相垂直)
变式三:a+b与a?b可能是相当向量吗?(不可能,∵ 对角线方向不同)
十一、
小结:向量减法的定义、作图法|
十二、 作业: P102 练习
P103 习题5.2 4—8
第四教时
教材:向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课
目的:通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念,
掌
握向量的加法与减法的意义与几何运算。
过程:
十三、 复习:
1?向量的概念:定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、
相等向量、共线向量
2?向量的加法与减法:定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律
十四、
1.
处理《教学与测试》P135—136 第64课 (略)
2.处理《教学与测试》P137—138 第65课
例一、设a表示“向东走3km”,b表示“向北走3km”,
则a +
b表示向东北走
32
km
解:
OB
=
OA
+
AB
OB?3
2
?3
2
?32
(km)
B
a+b b
O a A
例二、试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证:由向量加法法则:
D C
AB
=
AO
+
OB
,
DC
=
DO
+
OC
由已知:
AO
=
OC
,
DO
=
OB
A B
O
∴
AB
=
DC
即AB与CD平行且相等
∴ABCD为平行四边形
例三、在正六边形中,若
OA
= a,
OE
= b,试用
向量a、b将
OB
、
OC
、
OD
表示出来。
O
P C
解:设正六边形中心为P
则
OB?OP?PB?(OA?OE)?OA?
a + b + a
E F
A B
OC?OP?PC?
a + b + a + b
由对称性:
OD
= b + b + a
3.处理《教学与测试》P139—140
第66课 (略)
十五、 有时间可处理“备用题”:
例一、化简
AB?DF?CD?BC?FA
解:
AB?DF?CD?BC?FA
=
AB?BC?CD?DF?FA
=
AC?CD?DF?FA
=
AD?DF?FA
=
AF?FA
= 0
例二、在静水中划船的速度是每分
钟40,水流的速度是每分钟20,如果
船从岸边出发,径直沿垂直与水流的航线到达对岸,那么船行进
的方向应该指向何处?
D C
解:如图:船航行的方向是
与河岸垂直方向成30?夹角,
下游
上游
即指向河的上游。
30
?
十六、
作业:上述三课中的练习部分(选)
A B
第五教时
教材:实数与向量的积
目的:要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线的充要条件。
过程:一、复习:向量的加法、减法的定义、运算法则。
???????
二、1.引入新课:已知非零向量
a
作出<
br>a
+
a
+
a
和(?
a
)+(?
a<
br>)+(?
a
)
?
a
?
?a
O
N
?
a
?
?a
A
M
?
a
?
?a
B
Q
?
a
?
?a
C
P
????
OC
=
OA?A
B?BC
=
a
+
a
+
a
=3
a
????
PN
=
PQ?QM?MN
=(?
a
)+(
?
a
)+(?
a
)=?3
a
????
讨论:1?3
a
与
a
方向相同且|3
a
|=3|
a
|
????
2??3
a与
a
方向相反且|?3
a
|=3|
a
|
2.从而提出课题:实数与向量的积
??
实数λ与向量
a
的积,记作:λ
a
??
定义:实数λ与向量
a
的积是一个向量,记作:λ
a
??
1?|λ
a
|=|λ||
a
|
????
?
2?λ>0时λ
a
与
a
方向相同;λ<0时λ
a
与
a
方向相反;λ=0时λ
a
=
0
??
3.运算定律:结合律:λ(μ
a
)=(λμ)
a
①
???
第一分配律:(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
②
?
?
?
?
第二分配律:λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b
③
结合律证明:
?
如果λ=0,μ=0,<
br>a
=
0
至少有一个成立,则①式成立
????
如果λ?0,
μ?0,
a
?
0
有:|λ(μ
a
)|=|λ||μ
a
|=|λ||μ||
a
|
???
|(λμ)
a
|=|λμ||
a
|=|λ||μ||
a
|
??
∴|λ(μ
a
)|=|(λμ)
a
|
?
如果λ、μ同号,则①式两端向量的方向都与
a
同向;
?
如果λ、μ异号,则①式两端向量的方向都与
a
反向。
??
从而λ(μ
a
)=(λμ)
a
第一分配律证明:
?
如果λ=0,μ=0,
a
=
0
至少有一个成立,则②式显然成立
?
如果λ?0,μ?0,
a
?
0
??
当λ、μ同号时,则λ
a
和μ
a
同向,
??
?
∴|(λ+μ)
a
|=|λ+μ||
a
|=(|λ|+|μ|)|
a
|
???????
|λ
a
+μ
a
|=
|λ
a
|+|μ
a
|=|λ||
a
|+|μ||
a
|=(|λ|+|μ|)|
a
|
?
∵λ、μ同号
∴②两边向量方向都与
a
同向
???
即:|(λ+μ)
a
|=|λ
a
+μ
a
|
?
当λ、μ异号,当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ
a
同向
?
当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ
a
同向
???
还
可证:|(λ+μ)
a
|=|λ
a
+μ
a
|
∴②式成立
第二分配律证明:
?
?
如果
a
=<
br>0
,
b
=
0
中至少有一个成立,或λ=0,λ=1则③式显然
成立
?
?
当
a
?
0
,
b
?0
且λ?0,λ?1时
1?当λ>0且λ?1时在平面内任取一点O,
B
??
??
作
OA?
a
AB?
b
OA
1
?
λ
a
A
1
B
1
?
λ
b
?<
br>?
?
?
则
OB?
a
+
b
OB
1
?
λ
a
+λ
b
O
A
B
1
A
1
由作法知:
AB
∥A
1
B
1
有?OAB=?OA
1
B
1
|
AB
|=λ|
A
1
B
1
|
∴
|OA
1
|
|OA|
?
|A
1
B
1
|
|AB|
?
λ ∴△OAB∽△OA
1
B
1
∴
|OB
1
|
|OB|
?
λ
?AOB=? A
1
OB
1
因此,O,B,B
1<
br>在同一直线上,|
OB
1
|=|λ
OB
|
OB
1
与λ
OB
方向也
相同
<
br>?
?
?
?
λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b
?
?
?
?
A
当λ<0时
可类似证明:λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b
1
∴ ③式成立
4.例一 (见P104)略
B
1
O
B
A
三、向量共线的充要条件(向量共线定理)
?????
1.若有向量
a
(
a
?
0
)、
b
,实数λ,使
b
=λ
a
则由实数与向量积的定义
?
?
知:
a
与
b
为共线向量
??
?
?
???
?
?
若
a
与
b
共线(
a
?
0
)且|
b
|:|
a
|=μ,则当
a
与
b
同向时
b
=μ
a
?
?
?
?
当
a
与
b
反向时
b
=?μ
a
?
?
从而得:向量
b
与非
零向量
a
共线的充要条件是:有且只有一个非零实数
λ
?
?
使
b
=λ
a
2.例二(P104-105 略)
三、小结:
四、作业: 课本 P105
练习 P107-108 习题5.3 1、2
第六教时
教材:平面向量基本定理
目的:要求学生掌握平面向量的基本定理,能用两个不共线向量表示一个向量;
或一个向量分解
为两个向量。
过程:一、复习:1.向量的加法运算(平行四边形法则)。
2.实数与向量的积 3.向量共线定理
二、由平行四边形想到:
1.是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量?且分解是唯一?
2.对于平面上两个不
共线向量
e
1
,
e
2
是不是平面上的所有向量都可以用它们
来表示?
——提出课题:平面向量基本定理
?
三、新授:1.(P105
-106)
e
1
,
e
2
是不共线向量,
a
是平面内任一向量
e
1
a
M
C
N B
e
2
O
?
OA
=
e
1
OM
=λ
1
e
1
OC
=a
=
OM
+
ON
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
OB
=
e
2
ON
=λ
2
e
2
得平面向量基本定理:如果e
1
,
e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么
??
对于这一平面内的任一向量
a
,有且只有一对实数λ
1
,λ
2
使
a
=λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
注意几个问题:1?
e
1
、
e
2
必须不共线,且它是这一平面内所有向量的一组
基底
2?
这个定理也叫共面向量定理
?
3?λ
1
,λ
2
是被
a
,
e
1
,
e
2
唯一确定的数量
2.例一( P106例三)已知向量
e
1
,
e
2
求作向量?2.5
e
1
+3
e
2
。
作法:1? 取点O,作
OA
=?2.5
e
1
OB
=3
e
2
CB
e
2
A
2? 作
OACB,
OC
即为所求+
e
1
N
O
?
?
AD
=
b
,例二、(P106例4)如图
ABCD的两条对角线交于点M,且
AB
=
a
,
?
?用
a
,
b
表示
MA
,
MB
,
MC
和
MD
解
ABCD中
b
D
C
:在
∵
?
?
A
AC
=
AB
+
AD
a
=
a
+
b
B
?
?
DB
=
AB
?
AD
=
a?
b
∴
11
?
?
1
?
1
?
MA
=?<
br>AC
=?(
a
+
b
)=?
a
?
b<
br>
2222
11
?
?
1
?
1
?11
?
1
?
MB
=
DB
=(
a
?
b
)=
a
?
b
MC
=
AC
=
a
+
b
2222222
M
11
?
1
?
MD
=?
MB
=?
DB
=?
a
+
b
222
例三、已知
ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,
求证:
OA
+
O
B
+
OC
+
OD
=4
OE
证:∵E是对角线AC和BD的交点
∴
AE
=
EC
=?
CE
BE
=
ED
=?
DE
A
D
O
E
B
C
在△OAE中
OA
+
AE
=
OE
同理:
OB
+
BE
=
OE
OC
+
CE
=
OE
OD
+
DE
=
OE
以上各式相加,得:
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=4
OE
例四、(P107 例五)如图,
OA
,
OB
不共线
,
AP
=t
AB
(t?R)用
OA
,
OB
表示
OP
解:∵
AP
=t
AB
∴
P
OP
=
OA
+
AP
=
OA
+
t
AB
O
A
B
=
OA
+
t(
OB
?
OA
)
=
OA
+ t
OB
?t
OA
=(1?t)
OA
+ t
OB
四、小结:平面向量基本
定理,其实质在于:同一平面内任一向量都可以表
示为两个不共线向量的线性组合。
五、作业: 课本 P107 练习 P108 习题5.3 3-7
第七教时
教材:5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-144 67、68课
目的
:通过练习使学生对实数与积,两个向量共线的充要条件,平面向量的基本
定理有更深刻的理解,并能用
来解决一些简单的几何问题。
过程:一、复习:1.实数与向量的积
(强调:“模”与“方向”两点)
2.三个运算定律(结合律,第一分配律,
第二分配律)
3.向量共线的充要条件
4.平面向量的基本定理(定理的本身及其实
质)
二、处理《教学与测试》
??
?
?
1.当λ?Z时,验证:λ(
a
+
b
)
=λ
a
+λ
b
?
?
?
?
证:当
λ=0时,左边=0
?
(
a
+
b
)=
0
右边=0
?
a
+0
?
b
=
0
分配律成立
当λ为正整数时,令λ=n, 则有:
?
?
?
?
?
?
?
?
n(
a
+
b
)=(<
br>a
+
b
)+(
a
+
b
)+…+(
a
+
b
)
?
???
???
?
?
=
a
+
a
+…+
a
+
b
+
b
+
b
+…+
b
=n
a
+n
b
即λ为正整数时,分配律成立
当为负整数时,令λ=?n(n为正整数),有
??
?
?
?
?
?
???
?n(
a
+
b
)=n[?(
a
+
b
)]=n[(?
a
)+(?<
br>b
)]=n(?
a
)+n(?
b
)=?n
a
+(?n
b
)=?n
?
?
a
?n
b
分配律仍成立
?
?
?
?
综上所述,当λ为整数时,λ(<
br>a
+
b
)=λ
a
+λ
b
恒成立 。
?
?
2.如图,在△ABC中,
AB
=
a
,
BC
=
b
AD为边BC的中线,G为△
ABC的重心,求向量
AG
?
?
11
?
解一:∵
AB
=
a
,
BC
=
b
则
BD
=
BC
=
b
22
A
?
1
?
2
∴
AD
=
AB
+
BD=
a
+
b
而
AG
=
AD
23
a
2
?
1
?
∴
AG
=a
+
b
33
b
D C
B
解二:过G作BC的平行线,交
AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC
A
22
?
AB
=
a
AE
=
33
a
E
G
b
D
F
BC
11
?
EG
=
EF
=
b
23
2
?
1
?
∴
AG
=
AE
+
EG
=
a
+
b<
br>
33
?
??
?
3.在 ABCD中,设对角
线
AC
=
a
,
BD
=
b
试用
a<
br>,
b
表示
AB
,
BC
1
?
11
?
解一:
AO
=
OC
=
a
BO
=
BD
=
b
222
1
?
1
?
D
∴
AB
=<
br>AO
+
OB
=
AO
?
BO
=
a?
b
22
1
?
1
?
BC
=
BO
+
OC
=
OC
+
BO
=<
br>a
+
b
22
A
解二:设
AB
=
x
,
BC
=
y
22
?
EF
=
BC
=
b
33
C
O
B
?
1
?
?
则
AB
+
BC
=
AC
x
+
y
=
a
∴
x
=(
a
?
b
)
2
?
AD
?
AB
=
BD
x
?
y
=
b
1
?
?
y
=(
a
+
b
)
2
1
?
?
1
?
?
即:
AB
=(
a
?
b
)
BC
=(
a
+
b
)
22
4.设
e
1
,
e
2
是两个不共线向量,已知
A
B
=2
e
1
+k
e
2
,
CB
=
e
1
+3
e
2
,
CD
=2
e
1
?
e
2
, 若三点A,
B, D共线,求k的值。
解:
BD
=
CD
?
CB
=(2
e
1
?
e
2
)?(
e
1
+3
e
2
)=
e
1
?4
e
2
∵A, B, D共线 ∴
AB
,
BD
共线
∴存在λ使
AB
=λ
BD
?
2?
?
即2
e
1
+k
e
2
=λ(
e
1
?4<
br>e
2
) ∴
?
∴k=?8
k??4
?
?
5.如图,已知梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2CD,
M, N分别是DC,
AB
?
??
?
中点,设
AD
=
a
,
AB
=
b
,试以
a
,
b
为基底表示
DC
,
BC
,
MN
11
?
解:
DC
=
AB
=
b
22
连ND
则DC╩ND
∴
D
N
M
O
M
C
A
B
?
1
?
BC
=
ND<
br>=
AD
?
AN
=
a
?
b
2
又
11
?
DM
=
DC
=
b
24
∴
MN
=
DN
?
DM
=
CB
?
D
M
=?
BC
?
DM
:
?
1
?<
br>1
?
1
?
?
=(?
a
+
b
)?
b
=
b
?
a
244
6.1kg的重
物在两根细绳的支持下,处于平衡状态(如图),已知两细绳
与水平线分别成30?,
60?角,问两细绳各受到多大的力?
解:将重力在两根细绳方向上分解,两细绳间夹角为90?
|OP|
=1 (kg) ?P
1
OP=60?
?P
2
OP=30?
∴
|OP
1
|
=
|
OP|
cos60?=1
?
1
=0.5 (kg)
2
30?
60?
P
1
|OP
2
|<
br>=
|OP|
cos30?=1
?
3
=0.87
(kg)
2
P
2
P
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg
三、作业:《教学与测试》67、68课练习
第八教时
教材:向量的坐标表示与坐标运算
目的:要求学生理解平面向量的坐标的概念,较熟练地掌握平面向量的坐标运算。
过程:一、复习:1.复习向量相等的概念
O
y
A
C
?
自由向量
OA
=
BC
B
a
x
?
2.平面向量的基本定理(基底)
a
=λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
其实质:同一平面内任一向量都可以表示为两个不
共线向量的线性组合。
二、平面向量的坐标表示
1.在坐标系下,平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示
问题:在坐标系下,向量是否可以用坐标来表示呢?
?
取x轴、y轴上两个单位向量
i
,
j
作基底,则平面内
作一向量
a
=x
i
+y
j
,
??
记作:
a
=(x, y) 称作向量
a
的坐标
?
如:=
OA
=(2, 2)
i
=(1,
a
A
0)
c
O
y
?
a
b
B
b
x
?
=
OB
=(2, ?1)
j
=(0, 1)
C
c
=
OC
=(1, ?5)
j
=(0, 0)
2.注意:1?每一平面向量的坐标表示是唯一的;
2?设A(x
1
, y
1
) B(x
2
,
y
2
) 则
AB
=(x
2
?x
1
,
y
2
?y
1
)
3?两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
3.例一:(P109)略
三、平面向量的坐标运算
?
??
?
?
?
1.问题:1?已知
a
(x
1
, y
1
)
b
(x
2
, y
2
)
求
a
+
b
,
a
?
b
的坐标
??
2?已知
a
(x, y)和实数λ,
求λ
a
的坐标
?
?
2.解:
a
+
b=(x
1
i
+y
1
j
)+(
x
2
i
+y
2
j
)=(x
1
+
x
2
)
i
+ (y
1
+y
2
)
j
?
?
即:
a
+
b
=(x
1
+
x
2
, y
1
+y
2
)
?
?
同理:
a
?
b
=(x
1
?
x
2
, y
1
?y
2
)
3.结论:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
同理可得:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的
坐标。
用减法法则:
∵
AB
=
OB
?
OA
=( x
2,
y
2
) ? (x
1
, y
1
)
O
A(x
1
,y
1
)
y
B(x
2
,y
2
)
x
?
4.实数与向量积的坐标运算:已知
a
=(x, y) 实数λ
=
(x
2
? x
1
, y
2
? y
1
)
?
则λ
a
=λ(x
i
+y
j
)=λx
i
+λy
j
?
∴λ
a
=(λx, λy)
结论:实数与向量的积的坐标,等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
四、例二(P110例二)
例三(P111例三)
例四(P145例一)已知三个力
F
1
(3, 4),
F
2
(2, ?5),
F
3
(x, y)的合力
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0
求
F
3
的坐标。
解:由题设
F
1
+F
2
+
F
3
=
0
得:(3, 4)+
(2, ?5)+(x, y)=(0, 0)
?
3?2?x?0
?
x??5
即:
?
∴
?
∴
F
3
(?5,1)
?
4?5?y
?0
?
y?1
例五、已知平面上三点的坐标分别为A(?2, 1), B(?1,
3), C(3, 4),求点D的坐
标使这四点构成平行四边形四个顶点。
解:当平行四边形为ABCD时,
仿例三得:D
1
=(2, 2)
当平行四边形为ACDB时,
仿例三得:D
2
=(4, 6)
当平行四边形为DACB时,
仿上得:D
3
=(?6, 0)
D
3
B
D
1
A
O
x
y
C
D
2
五、小结:1.向量的坐标概念
2.向量运算
六、作业:P112 练习 1—3 习题5.4
1—6
第九教时
教材:向量平行的坐标表示
目的:复习巩固平面向量坐标的概念
,掌握平行向量充要条件的坐标表示,并且
能用它解决向量平行(共线)的有关问题。
过程:一、复习:1.向量的坐标表示
(强调基底不共线,《教学与测试》P145
例三)
2.平面向量的坐标运算法则
1
练习:1.若M(3, -2)
N(-5, -1) 且
MP?
MN
, 求P点的坐标;
2
解:设P(x, y) 则(x-3,
y+2)=
11
(-8, 1)=(-4, )
22
4
x??1<
br>?
?
3
?
x?3??
?
1
3
∴
∴
P点坐标为(-1, -)
?
y?2?
?
y??
2?
?
2
2
?
?
2.若A(0, 1), B(1,
2), C(3, 4) 则
AB
?2
BC
=(-3,-3)
3.已知:四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3)
求证:四边形ABCD是
梯形。
解:∵
AB
=(-2, 3)
DC
=(-4, 6) ∴
AB
=2
DC
∴
AB
∥
DC
且
|
AB
|?|
DC
| ∴四边形ABCD是梯形
?<
br>?
二、1.提出问题:共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得
b
=λ<
br>a
,那
么这个充要条件如何用坐标来表示呢?
??
??
2.推导:设
a
=(x
1
,
y
1
)
b
=(x
2
, y
2
)
其中
b
?
a
?
?
x?
?
x2
?
由
a
=λ
b
(x
1
, y
1
) =λ(x
2
,
y
2
)
?
?
1
消去λ:
?<
br>y
1
?
?
y
2
x
1
y
2<
br>-x
2
y
1
=0
?
??
结论:
a
∥
b
(
b
?<
br>0
)的充要条件是x
1
y
2
-x
2
y
1
=0
?
注意:1?消去λ时不能两式相除,∵y
1
,
y
2
有可能为0, ∵
b
?
0
∴x
2
, y
2
中至少有一个不为0
2?充要条件不能写成
y
1
y
2
?
∵x
1
, x
2
有可能为0
x
1
x
2<
br>?
??
3?从而向量共线的充要条件有两种形式:
a
∥
b (
b
?
0
)
?
三、应用举例
例一(P111例四) 例二(P111例五)
?
?
例三
若向量
a
=(-1,x)与
b
=(-x, 2)共线且方向相同,求x
a?
?
b
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
?
?
解:∵
a
=(-1,x
)与
b
=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2-
x
?
(-
x
)=0
?
?
∴x=±
2
∵
a
与
b
方向相同
∴x=
2
例四 已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5)
D(2,7) 向量
AB
与
CD
平行吗?直线AB
与平行于直线CD吗?
解:∵
AB
=(1-(-1),
3-(-1))=(2, 4)
CD
=(2-1,7-5)=(1,2)
又:∵2×2-4-1=0 ∴
AB
∥
CD
又:
AC
=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)
AB
=(2, 4)
2×4-2×6?0
∴
AC
与
AB
不平行
∴A,B,C不共线
∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
四、练习:1.已知点A(0,1) B(1,0)
C(1,2) D(2,1) 求证:AB∥CD
2.证明下列各组点共线:1?
A(1,2) B(-3,4) C(2,3.5)
2? P(-1,2) Q(0.5,0) R(5,-6)
?
??
?
3.已知向量
a
=(-1,3)
b
=(x,-1)且
a
∥
b
求x
五、小结:向量平行的充要条件(坐标表示)
六、作业:P112 练习 4
习题5.4 7、8、9
《教学与测试》P146 4、5、6、7、8及思考题
第十教时
教材:线段的定比分点
目的:要求学生理解点P分有向线段
P<
br>1
P
2
所成的比λ的含义和有向线段的定比
分点公式,并能应用解题。
过程:一、复习:1.向量的加减,实数与向量积的运算法则
2.向量的坐标运算
二、提出问题:线段的定比分点
1.线段的定比分点及λ
P
1
,
P
2
是直线l上的两点,P是l上不同于P
1
,
P
2
的任一点,存在实
数λ,
使
P
1
P
=λ
PP
2
λ叫做点P分
P
1
P
2
所成的比,有三种情况:
P
1
P
P
2
P
1
P
2
P P
P
1
P
2
λ>0(内分) (外分)
λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ
<0 (-1<λ<0)
2.定比分点公式的获得:
设
P
1
P
=λ
PP
2
点
P
2
P
1
, P,
P
2
坐标为
P
(x
1
,y
1
)
(x,y) (x
2
,y
2
)
P
1
O
由向量的坐标运算
P
1
P
=(x-x
1
,y-y
1
)
PP
2
=( x
2
-x
1
,
y
2
-y
1
)
∵
P
1
P
=λ
(x-x
1
,y-y
1) =λ( x
2
-x
1
,
y
2
-y
1
)
PP
2
?
?
x?
?
x?x
1
?
?
(x
2<
br>?x)
∴
?
?
?y?y?
?
(y?y)
12
?
?
y?
?
x
1
?
?
x
2
1?
?
定比分点坐标公式
y
1
?
?
y
2
1?
?
x?x2
x?
1
2
3.中点公式:若P是
P
1
P
2
中点时,λ=
1
y?y
2
y?
1
2
4.注意几个问题:1?
λ是关键,λ>0内分 λ<0外分 λ?-1
若P与P
1
重合,λ=0
P与P
2
重合
λ不存在
2? 中点公式是定比分点公式的特例
1
3?
始点终点很重要,如P分
P
的定比λ=
则P分
P
2
PP
121
的定比λ=2
2
4?
公式:如 x
1
, x
2
, x, λ 知三求一
三、例题:例一
(P114例一) 知三求一
例二 (P114例二) △重心公式
例三 若P分有向线段
AB
的比为,则A分
BP
所成比为
?
(作示意图)
例四 过点P
1
(2, 3),
P
2
(6, -1)的直线上有一点,使| P
1
P|:|
PP
2
|=3, 求P点
坐标
解:当P
P
1
=3
内分
P
1
P
2
时 λ
?
3
4
7
3
O
PP
时λ=-3 当P外分
12
?
P
P
2
?
?
P’
当λ=3得P(5,0)
当λ=-3得P(8,-3)
例五
△ABC顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7)
?BAC平分线交BC边于
D,
求D点坐标
解:∵AD平分角?BAC
|AC|=
2?6?210
|AB|=
(?3)
2
?9
2
?310
∴D分向量
CB
所成比λ
2
=
3
22
B
D
C
A
3?
2
2
(?2)
7?10?
3
3
?
41
?1
y?
2
2
5
1?
1?
3
3
设D点坐标
(x, y) 则
x?
∴D点坐标为:(1,
41
)
5
四、小结:定比分点公式,中点公式
五、作业:P115-116 练习
习题5.5
第十一教时
教材:平面向量的数量积及运算律
目的:掌握平面向量的
数量积的定义及其几何意义,掌握平面向量数量积的性质
和它的一些简单应用。
过程:
十七、 复习:前面已经学过:向量加法、减法、实数与向量的乘法。
它们有一个共同的特点,即运算的结果还是向量。
但这种运算与实数的运算有了很大的区别。
F
十八、
导入新课:
5.力做的功:W = |F|?|s|cos?
?
s
?是F与s的夹角
6.定义:平面向量数量积(内积)的定义,a?b = |a||b|cos?,
并规定0与任何向量的数量积为0。?
C
7.向量夹角的概念:范围0?
≤
?
≤
180?
A
A
A
B
? = 0?
A
B
O
B
A
?
B
O
O
?
?
?
? = 180?
O
O
B
B O
A
C
8.注意的几个问题;——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
1?两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos?的符号所决
定。
2?两个向量的数量积称为内积,写成a?b;今后要学到两个向量的外积
a×b,而ab是两个数量的
积,书写时要严格区分。
3?在实数中,若a?0,且a?b=0,则b=0;但是在数量积中,若a?0,
且a?b=0,不能推出b=0。因为其中cos?有可能为0。这就得性质2。
4?已知实数a、b、c(b?0),则ab=bc
?
a=c。但是a?b = b?c
? a = c
如右图:a?b = |a||b|cos? =
|b||OA|
a
b?c =
|b||c|cos? = |b||OA|
c
?ab=bc 但a ? c
?
?
b
5?在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c)
O
A
显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,
而一般a与c不共线。
9.例题、P116—117 例一 (略)
十九、
投影的概念及两个向量的数量积的性质:
1.“投影”的概念:作图
B
B
B
O
O
O
b
b
b
?
?
?
O
(B)
a
A
A
A a
O
1
a
BO
1
B
1
O
O
O
O O
O
?叫做向量b在a方向上的投影。
定义:|b|cos
注意:1?投影也是一个数量,不是向量。
2?当?为锐角时投影为正值;
当?为钝角时投影为负值;
当?为直角时投影为0;
当? = 0?时投影为 |b|;
当? = 180?时投影为 ?|b|。
2.向量的数量积的几何意义:
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积。
3.两个向量的数量积的性质:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量。
1?e?a = a?e =|a|cos?
2?a?b ? a?b = 0
3?当a与b同向时,a?b = |a||b|;当a与b反向时,a?b =
?|a||b|。
特别的a?a =
|a|
2
或
|a|?a?a
4?cos?
=
a?b
|a||b|
5?|a?b|
≤
|
a||b|
二十、 例题:《教学与测试》P151 第72课 例一(略)
二十一、 小结:向量数量积的概念、几何意义、性质、投影
二十二、 作业: P119
练习
习题5.6 1—6
第十二教时
教材:平面向量的数量积的运算律
目的:要求学生掌握平面向量数量积的运算律,明确向量垂直的充要条件。
过程:
二十三、 复习:
1.平面向量数量积(内积)的定义及其几何意义、性质
2.判断下列各题正确与否:
1?若a = 0,则对任一向量b,有a?b =
0。 ( √ )
2?若a ?
0,则对任一非零向量b,有a?b ? 0。 ( × )
3?若a
? 0,a?b = 0,则b = 0。 ( × )
4?若a?b = 0,则a 、b至少有一个为零。 ( ×
)
5?若a ? 0,a?b = a?c,则b = c。
( × )
6?若a?b = a?c,则b = c当且仅当a ? 0时成立。
( × )
7?对任意向量a、b、c,有(a?b)?c ? a?(b?c)。
( × )
8?对任意向量a,有a
2
= |a|
2
。
( √ )
二十四、
平面向量的运算律
10. 交换律:a ? b
= b ? a
证:设a,b夹角为?,则a ? b = |a||b|cos?,b ? a =
|b||a|cos?
∴a ? b = b ? a
11.
(
?
a)?b =
?
(a?b) = a?(
?
b)
证:若
?
> 0,(
?
a)?b
=
?
|a||b|cos?,
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?,
a?(
?
b) =
?
|a||b|cos?,
若
?
< 0,(
?
a)?b
=|
?
a||b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?)
=
?
|a||b|cos?,
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?,
a?(
?
b) =|a||
?
b|cos(???) =
?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?。
12. (a + b)?c = a?c + b?c
在平面内取一点O,作
OA
= a,
AB
= b,
OC
=
c,
A
∵a + b (即
OB
)在c方向上的投影
a
?
2
b
B
等于a、b在c方向上的投影和,
?
1
?
即:|a + b| cos? = |a| cos?
1
+ |b|
cos?
2
O
A
c
B
∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?
1
+ |c|
|b| cos?
2
∴c?(a + b) = c?a +
c?b 即:(a + b)?c = a?c + b?c
13.
例题:P118—119 例二、例三、例四 (从略)
二十五、
应用例题:(《教学与测试》第27课P156 例二、例三)
例一、已知a、b都是非零向量,且a + 3b与7a ? 5b垂直,
a
? 4b与7a ? 2b垂直,求a与b的夹角。
解:由(a + 3b)(7a ?
5b) = 0 ? 7a
2
+ 16a?b ?15b
2
= 0
①
(a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ?
7a
2
? 30a?b + 8b
2
= 0 ②
两式相减:2a?b = b
2
代入①或②得:a
2
= b
2
C
a?bb
2
1
设a、b的夹角为?,则cos? =
∴? = 60?
??
|a||b|
2|b|
2
2
例二、求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
解:如图: AB
CD中:
AB?DC
,
AD?BC
,
AC
=
AB?
AD
∴|
AC
|=
|AB?AD|?AB?AD?2AB?AD
而
BD
=
AB?AD
∴|
BD
|=
|AB?AD|
2
?AB?AD?2AB?AD
∴|
AC
2
22
2
2
22
D
C
A B
|
2
+
|
BD
|
2
= 2
AB?2AD
22
=
|AB|
2
?|BC|
2
?|DC|
2
?|AD|
2
二十六、 小结:运算律
二十七、 作业: P119 习题5.6
7、8
《教学与测试》P152 练习
第十三教时
教材:平面向量的数量积的坐标表示
目的:要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示,掌握向量垂直的坐标表示的充
要条件。
过程:
二十八、 复习:
1.平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示
2.平面向量数量积的运算
3.两平面向量垂直的充要条件
4.两向量共线的坐标表示:
二十九、
课题:平面两向量数量积的坐标表示
14. 设a = (x
1
,
y
1
),b = (x
2
,
y
2
),x轴上单位向量i,y轴上单位向量j,
则:i
?
i = 1,j?j = 1,i?j = j?i = 0
15.
推导坐标公式:
∵a = x
1
i + y
1
j, b
= x
2
i + y
2
j
∴a?b =
(x
1
i + y
1
j )(x
2
i +
y
2
j) = x
1
x
2
i
2
+
x
1
y
1
i?j + x
2
y
1
i?j
+ y
1
y
2
j
2
=
x
1
x
2
+ y
1
y
2
从而获得公式:a?b = x
1
x
2
+
y
1
y
2
例一、设a = (5, ?7),b = (?6,
?4),求a?b
解:a?b = 5×(?6) + (?7)×(?4) = ?30 +
28 = ?2
16. 长度、角度、垂直的坐标表示
1?a = (x, y)
? |a|
2
= x
2
+ y
2
? |a|
=
x
2
?y
2
2?若A =
(x
1
, y
1
),B = (x
2
, y
2),则
AB
=
(x
1
?x
2
)
2?(y
1
?y
2
)
2
3? cos? =
a?b
?
|a|?|b|
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
22
x
2
?y
2
22
4?∵a?b ? a?b = 0 即x
1
x
2
+
y
1
y
2
= 0(注意与向量共线的坐标表示原
则)
17. 例二、已知A(1, 2),B(2, 3),C(?2,
5),求证:△ABC是直角三角形。
证:∵
AB
=(2?1,
3?2) = (1, 1),
AC
= (?2?1, 5?2) = (?3, 3)
∴
AB
?
AC
=1×(?3) + 1×3 =
0 ∴
AB
?
AC
∴△ABC是直角三角形
三、补充例题:处理《教学与测试》P153 第73课
例三、已知a = (3, ?1),b = (1, 2),求满足x?a = 9与x?b =
?4的向量x。
解:设x = (t, s),
由x?a = 9 ? 3t ? s = 9 t = 2
?
由x?a = 9 ? 3t ? s = 9 s = ?3
∴x = (2, ?3)
例四、如图,以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB,使?B
= 90?,
求点B和向量
AB
的坐标。
解:设B点坐标(x, y),则
OB
= (x, y),
AB
=
(x?5, y?2)
O
∵
OB
?
AB
∴x(x?5) + y(y?2) =
0即:x
2
+ y
2
?5x ? 2y = 0
又∵|
OB
| = |
AB
| ∴x
2
+
y
2
= (x?5)
2
+ (y?2)
2
即:10x
+ 4y = 29
?
73
?
x?x?
12
?
x
?y?5x?2y?0
?
?
2
或
?
2
?
?
由
??
37
?
10x?4
y?29
?
y
1
??
?
y
2
?
?
2
?
2
?
22
B
A
73373773
∴B点坐标
(,?)
或
(,)
;
AB
=
(?,?)
或
(?,)
2222
2222
例五、在△ABC中,
AB
=(2,
3),
AC
=(1, k),且△ABC的一个内角为直角,
求k值。
解:当A = 90?时,
AB
?
AC
= 0,∴2×1
+3×k = 0 ∴k =
?
3
2
当B =
90?时,
AB
?
BC
=
0,
BC
=
AC
?
AB
= (1?2, k?3) =
(?1, k?3)
∴2×(?1) +3×(k?3)
= 0 ∴k =
11
3
3?13
2
当C = 90?时,
AC
?
BC
=
0,∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k =
四、小结:两向量数量积的坐标表示
长度、夹角、垂直的坐标表示
五、作业: P121 练习及习题5.7
《教学与测试》P154 5、6、7、8,思考题
第十四教时
教材:平移
目的:要求学生理解“平移”的概念和平移的几何意义,并掌握平移公式,能运<
br>用公式解决有关具体问题。
过程:
三十、 平移的概念:点的位置、图形的位置改变
,而形状、大小没有改变,
从而导致函数的解析式也随着改变。这个过程称做图形的平移。(作图、讲解)
三十一、
平移公式的推导:
18. 设P(x,
y)是图形F上的任意一点,它在平移后的
a
F’
图象F’上的对应点为P’(x’, y’)——
P’
P
a
可以看出一个平移实质上是一个向量。
F
19. 设
PP'
= (h,
k),即:
OP'?OP?PP'
O
a
?
x'?x?h
∴(x’, y’) = (x, y) + (h, k)
∴
?
—— 平移公式
y'?y?k
?
20.
注意:1?它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系
2?知二求一
3?这个公式是坐标系不动,点P(x, y)按向量a = (h,
k)平移到点
P’(x’, y’)。另一种平移是:点不动,把坐标系平移向量?a,即:
?
x'?x?h
。这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样
?
y'?y?k
?
的,
这两个公式作用是一致的。
三十二、 应用:
例一、(P121 例一)
1.把点A(?2,
1)按a = (3, 2)平移,求对应点A’的坐标(x’, y’)。
2.点M(8,
?10)按a平移后对应点M’的坐标为(?7, 4),求a。
?
x'??2?3?1
解:1.由平移公式:
?
即对应点A’的坐标为(1, 3)
?
y'?1?2?3
?
?7?8?h
?
h??15
2.由平移公式:
?
即a的坐标为(?15, 14)
?
?
4??10?kk?14
??
例二、将函数y =
2x的图象l按a = (0, 3)平移到l’,求l’的函数解析式。
解:设P(x, y)为l上任一点,它在l’上的对应点为P’(x’, y’)
?
x'?x?0
?
x?x'
由平移公式:
?
?
?
?
y'?y?3
?
y?y'?3
a
P
代入y = 2x得:y’ ? 3 = 2x’ 即:y’ =
2x’ + 3
按习惯,将x’、y’写成x、y得l’的解析式:y = 2x +
3
O
(实际上是图象向上平移了3个单位)
P
例三、已知抛物线y = x
2
+ 4x + 7,
1.求抛物线顶点坐标。
2.求将这条抛物线平移到顶点与原点重合时的函数解析式。
解:1.设抛物线y = x
2
+ 4x +
7的顶点O’坐标为(h, k)
则h = ?2, k = 3
∴顶点O’坐标为(?2, 3)
3.按题设,这种平移是使点O’ (?2, 3)移到O(0,
0),
?
m?0?(?2)?2
设
O'O
= (m, n)
则
?
?
n?0?3??3
设P(x, y)是抛物线y =
x
2
+ 4x + 7上任一点,对应点P’为(x’, y’)
?
x'?x?2
?
x?x'?2
则
?
代入y
= x
2
+ 4x + 7得:y’ = x’
2
?
?
?
y'?y?3
?
y?y'?3
即:y =
x
2
三十三、 小结:平移公式、应用
三十四、 作业: P123 练习
P124 习题5.8
第十五教时
教材:平面向量的数量积平移的综合练习课
目的:使学生对平面向量数量积的意义、运算有更
深的理解,并能较熟练地处理
有关长度、角度、垂直的问题。
过程:
三十五、
复习:
1.平面向量数量积的定义、运算、运算律
2.平面向量数量积的坐标表示,有关长度、角度、垂直的处理方法
3.平移的有关概念、公式
三十六、
例题
例一、a、b均为非零向量,则 |a+b| = |a?b| 是 的………………(C)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解:若|a+b| = |a?b| ?
|a+b|
2
= |a?b|
2
? |a|
2
+
2a?b + |b|
2
= |a|
2
? 2a?b +
|b|
2
? a?b = 0 ?
a?b
?
例二、向量a与b夹角为,|a| = 2,|b| =
1,求|a+b|?|a?b|的值。
3
解:|a+b|
2
= |a|
2
+ 2a?b +
|b|
2
= 4 + 2×2×1×cos
?
+ 1 = 7
3
∴|a+b| =
7
,
同理:|a?b|
2
= 3, |a?b| =
3
∴|a+b|?|a?b| =
21
例三、 ABCD中,
AB
=
a,
BC
= b,
CD
= c,
DA
= d,
且a?b = b?c = c?d = d?a,问ABCD是怎样的四边形?
解:由题设:|a|?|b|cosB = |b|?|c|cosC = |c|?|d|cosD =
|d|?|a|cosA
∵|a| = |c| , |b| = |d|
∴cosA = cosB = cosC = cosD = 0
∴
ABCD是矩形
例四、 如图△ABC中,
AB
= c,
BC
=
a,
CA
= b,
b
C
a
则下列推导不正确的是……………(D)
A.若a ?b <
0,则△ABC为钝角三角形。
cB
A
B.若a ?b =
0,则△ABC为直角三角形。
C.若a ?b =
b?c,则△ABC为等腰三角形。
D.若c?(a + b + c) =
0,则△ABC为正三角形。
解:A.a?b = |a||b|cos? <
0,则cos? < 0,?为钝角
B.显然成立
C.由题设:|a|cosC = |c|cosA,即a、c在b上的投影相等
D.∵a + b + c = 0, ∴上式必为0,∴不能说明△ABC为正三角形
例五、
已知:|a| =
2
,|b| = 3,a与b夹角为45?,求使a+
?
b
与
?
a+b夹
角为锐角的
?
的取值范围。
解:由题设:a?b = |a||b|cos? = 3×
2
×
2
= 3
2
(a+
?
b)?(
?
a+b)
=
?
|a|
2
+
?
|b|
2
+
(
?
2
+ 1)a?b = 3
?
2
+
11
?
+ 3
∵夹角为锐角
∴必得3
?
2
+ 11
?
+ 3 > 0
∴
??
?11?85?11?85
或
??
66
例六、i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量,
且
AB
= 4i + 2j,
AC
=3i + 4j,
证明:△ABC是直角三角形,并求它的面积。
解:
AB
= (4, 2),
AC
= (3, 4), 则
BC
= (3?4, 4?2) = (?1,
2),
BA
= (?4, ?2),
∴
BA
?
BC
= (?1)×(?4) + (?2)×2 = 0
∴
BA
?
BC
即△ABC是直角三角形
|
AB
| =
4
2
?2
2
?25
,
|
BC
|
=
(?1)
2
?(?2)
2
?5
, 且?B =
90?,
1
?25?5?5
2
例七、用向量方法证明:菱形对角线互相垂直。
∴S
△
ABC
=
证:设
AB
=
DC
= a ,
AD
=
BC
= b
∵ABCD为菱形
∴|a| = |b|
A
a
D
C
b
B
∴
AC
?
BD
= (b + a)(b ? a) =
b
2
? a
2
= |b|
2
?
|a|
2
= 0
∴
AC
?
BD
例八、已知a、b都是非零向量,且a + 3b与7a ? 5b垂直,
a
? 4b与7a ? 2b垂直,求a与b的夹角。
解:由(a + 3b)(7a ?
5b) = 0 ? 7a
2
+ 16a?b ?15b
2
= 0
①
(a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ?
7a
2
? 30a?b + 8b
2
= 0 ②
两式相减:2a?b = b
2
代入①或②得:a
2
= b
2
a?bb
2
1
设a、b的夹角为?,则cos? =
∴? = 60?
??
2
|a||b|
2|b|
2
三十七、
作业:
P150 复习参考五 A组 19—26
B组 1—6
第十六教时
教材:续第十五教时
《教学与测试》第74、75课
目的:同第十五教时
过程:
三十八、
处理《教学与测试》第74、75课 (略)
三十九、
补充例题(视教学情况选用):
21. a、b为非零向量,当a +
tb(t?R)的模取最小值时,
1?求t的值 2?求证:b与a +
tb垂直
解:1? |a + tb|
2
= |a|
2
+ t
2
|b|
2
+ 2t|a||b|
∴当t =
?
2a?ba?b
??
时, |a + tb|最小
2
|b|
2|b|
2? ∵b
?
(a +
tb) = a
?
b
?
|b|
2
a?b
= 0
∴b与a + tb垂直
|b|
A
E
F
H
C
22. 如图,AD、BE、CF是△ABC的三条高,
求证:AD、BE、CF相交于一点。
证:设BE、CF交于一点H,
AB
= a,
AC
= b,
AH
= h,
B
则
BH
= h ? a ,
CH
= h ? b ,
BC
= b ? a
D
∵
BH
?
AC
,
CH
?
AB
∴
(h?a)?b?0
?
?
?(h?a)?b?(h?b)?a?h
?(b?a)?0
(h?a)?a?0
?
∴
AH
?
BC
又∵点D在AH的延长线上,∴AD、BE、CF相交于一点
23.
已知O为△ABC所在平面内一点,且满足
|
OA
| +
|
BC
| = |
OB
| + |
CA
| =
|
OC
| + |
AB
|,
求证:
AB
?
OC
证:设
OA
= a,
OB
= b,
OC
= c,
B
O
C
222222
A
则
BC
= c ? b,
CA
= a ? c,
AB
= b ? a
由题设:
OA
2
+
BC
2
=
OB
2
+
CA
2
=
OC
2
+
AB
2
,
化简:a
2
+ (c ?
b)
2
= b
2
+ (a ? c)
2
=
c
2
+ (b ? a)
2
得:
c
?
b = a
?
c = b
?
a
从而
AB
?
OC
= (b ? a)
?
c =
b
?
c ? a
?
c = 0
∴
AB
?
OC
同理:
BC
?
OA
,
CA
?
OB
四十、 作业: 《教学与测试》P156 4—9
P158 4—7
第十七教时
教材:正弦定理
目的:要求学生掌握正弦定理,并能应用解斜三角形,解决实际问题。
过程:一、引言:在直
角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角
函数,可以由已知的边和角求出未知的边和角。
那么斜三角形怎么办?——提出课题:正弦定理、余弦定
理
二、1.特殊情况:直角三角形中的正弦定理:
sinA=
sinB= sinC=1 即:
c=
abcabc
c= c= ∴==
sin
AsinBsinCsinAsinBsinC
a
c
b
c
A
b
C
c
B
a
2.能否推广到斜三角形?
证明一(传统证法)在任意斜△ABC当中:
S
△
ABC
=
absinC?acsinB?bcsinA
1
abc
两边同除以
abc
即得:==
2
1
2
1
2
1
2
sinAsinBsinC
B
3.用向量证明:
B
j
A
C
j
A
C
证二:过A作单位向量
j
垂直于
AC
AC
+
CB
=
AB
两边同乘以单位向量
j
j
?
(
AC
+<
br>CB
)=
j
?
AB
则:
j
?AC
+
j
?
CB
=
j
?
AB
∴|
j
|
?
|
AC
|cos90?+|
j
|
?
|
CB
|cos(90??C)=|
j
|?
|
AB
|cos(90??A)
∴
asinC?csinA
∴
ac
=
sinAsinC
cbabc
= ∴==
sinCsinBsinAs
inBsinC
同理:若过C作
j
垂直于
CB
得:
当△ABC为钝角三角形时,设 ?A>90?
过A作单位向量
j
垂直于向量
AC
4.突出几点:1?正弦定理的叙述:在一个三角形中。各边和它所对角的正弦
比相等,即:
abc
==它适合于任何三角形。
sinAsinBsinC
abc
===2R (R为△ABC外接圆半径)
sinAsinBsinC
2?可以证明
3?
每个等式可视为一个方程:知三求一
三、正弦定理的应用
从理论上正弦定理可解决两类问题:
1.两角和任意一边,求其它两边和一角;
2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。
例一、在△ABC中,已知
c?10
A=45? C=30?
求b(保留两个有效数字)
解略 见P128 注意强调“对”
例二、在△ABC中,已知
a?20
b=28 A=40? 求B
(精确到1?)和c(保
留
两个有效数字)
解略 见P129
注意由
ab
=求出sinB=0.8999 B角有两解
sinAsinB
例三、在△ABC中,已知
a?60
b=50 A=38? 求B
(精确到1?)和c(保
留
两个有效数字)
解略 见P129
注意由b四、小结:正弦定理,两种应用
已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解(见图示)
b
C
a
A
b
B
2
a
C
a
B
1
A
b
C
a
C
b
a
B
bsinA?a?b
A
A B
c
a?bsinA
B
a?b
a?b
一解 两解
一解
五、作业:P131练习1、2 P132 1、2、3
第十八教时
教材:余弦定理
目的:要求学生掌握余弦定理及其证明,并能应用余弦定理解斜三角形。
过程:一、复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题。
提出问题:1.已知两边和它们的夹角能否解三角形?
2.在Rt△ABC中(若C=90?)有:
c
2
?a
2
?b
2
在斜
三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢?
二、提出课题:余弦定理
1.余弦定理的向量证明:
设△ABC三边长分别为a, b, c
AC
=
AB
+
BC
A
b
a
c
B
C
AC
?
AC
=(
AB
+
BC
)
?
(
AB
+
BC
)=
AB
2
+2
AB
?
BC
+
BC
2
=|
AB
|
2
+2|
AB
|
?
|
BC
|cos(180?-
B)+|
BC
|
2
=
c
2
?2accosB?a
2
即:
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
同理可得:<
br>a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
2.语言叙述:三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与
它们夹角的余弦的积的两倍。
3.强调几个问题:1?熟悉定理的结构,注意“平方”“夹角”“余弦”等
2?知三求一
3?当夹角为90?时,即三角形为直角三角形时即为勾股定理(特例)
4
?变形:
a
2
?b
2
?c
2
cosC?
2ac
b
2
?c
2
?a
2
cosA?2bc
a
2
?c
2
?b
2
cosB?
2ac
三、余弦定理的应用
能解决的问题:1.已知三边求角
2.已知三边和它们的夹角求第三边
例一、(P130例4) 在△ABC中,已知a=7,
b=10, c=6 求A,B,C(精确到期
1?)
解略
例二、(P131例5) 在△ABC中,已知a=2.730, b=3.696,
C=82?28’解这个三角
形(边长保留四个有效数字,角度精确到期1’)
解略
?
??
?
例三、设
a
=(x
1
,
y
1
)
b
=(x
2
, y
2
)
a
与
b
的夹角为? (0
≤?≤?
),求证:
?
?
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=|
a
||
b
|cos?
?
?
证:如图:设
a
,
b
起点在原点,终点为A,B
?
?
则A=(x
1
, y
1
)
B=(x
2
, y
2
)
AB
=
b
?
a
A
在△ABC中,由余弦定理
?
?
2
?
2
?
2
?
?
|
b
?
a
|=|
a
|+
|
b
|?2|
a
||
b
| cos?
B
?
b
O
?
a
?
?
2
∵|
b
?
a
|=|
AB
|
2
=
|(x
2
-x
1
, y
2
-y
1
)|2
=(x
2
-x
1
)
2
+(
y
2
-y
1
)
2
?
2
?
222
|
a
|=x
1
+y
1
|
b
|= x
2
2
+y
2
2
∴(x
2
-x
1
)+(
y
2
-y
1
)
22
?
=
x
1
2
+y
1
2
+ x
2
2
+y
2
2
?2|
a
||
b
?
| cos? <
br>?
?
?
?
?
?
∴x
1
x
2
+
y
1
y
2
=|
a
||
b
|cos?
即有
a
?
b
= x
1
x
2
+
y
1
y
2
=|
a
||
b
|cos?
四、小结:余弦定理及其应用
五、作业:P131练习 P132 习题5.9
余下部分
第十九教时
教材:正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》76、77课
目的:通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固,应用更自如。
过程:一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形
二、例一
证明在△ABC中
圆半径
证略 见P159
注意:1.这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)
2.正弦定理的三种表示方法(P159)
例二 在任一△ABC中求证:
abc<
br>===2R,其中R是三角形外接
sinAsinBsinC
a(sinB?sinC)
?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0
证:左边
=
2RsinA(sinB?sinC)?2RsinB(sinC?sinA)?2RsinC(sinA?si
nB)
=
2R[sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sin
BsinA?sinCsinA?sinCsinB]
=0=右边
例三
在△ABC中,已知
a?3
,
b?2
,B=45?
求A、C及
c
asinB3sin45
?
3
解一:由正弦
定理得:
sinA?
??
b2
2
∵B=45?<90?
即
b
bsinC
?
当A=60?时C=75?
c?
sinB
2sin75
?
?
sin45
?
6?2
2
6?2
2
bsinC2sin15
?
??
当A=120?时C=15?
c?
?
sinB
sin45
解二:设
c
=x由余弦
定理
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
将已知条件代入,整理:
x
2
?6x?1?0
解之:
x?
6?2
2
当
c?
6?2
2
)?3
b?c?a1?3?
6?2
2
???
时
cosA?
2
2bc
6?22(3?1)
2<
br>2?2?
2
222
2?(
从而A=60?
C=75?
当
c?
6?2
时同理可求得:A=120?
C=15?
2
例四 试用坐标法证明余弦定理
证略见P161
例五
在△ABC中,BC=a, AC=b, a,
b是方程
x
2
?23x?2?0
的两个根,且
2cos(A+B)=1 求 1?角C的度数 2?AB的长度 3?△ABC的面积
1
解:1?cosC=cos[??(A+B)]=?cos(A+B)=?
∴C=120?
2
?
a?b?23
2?由题设:
?
?
a?b?2
∴
AB=AC+BC?2AC
?
BC
?
osC
?a?b?2abcos120
222
22
?<
br>?a
2
?b
2
?ab
?(a?b)
2
?ab
?(23)
2
?2?10
即AB=
10
111
33
?
3?S
△ABC
=
absinC?absin120
?
??2?
22222
例六
如图,在四边形ABCD中,已知AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?,
?BCD=135? 求BC的长
解:在△ABD中,设BD=x
则
BA
2
?BD
2
?AD
2
?2BD?AD?cos?BDA
即
14
2
?x
2
?10
2
?2?1
0x?cos60
?
整理得:
x
2
?10x?96?0
解之:
x
1
?16
x
2
??6
(舍去)
BCBD16
?
??sin30?82
∴
BC?
?
sin?CDBsin?BCD
sin135
例七
(备用)△ABC中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角,
A
B
D
C
由余弦定理:
1?求最大角
2?求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四
边形的最大面积。
解:1?设三边
a?k?1,b?k,c?k?1
k?N
?
且
k?1
a
2
?b
2
?c
2
k?4
??0
解得
1?k?4
∵C为钝角
∴
cosC?
2ac2(k?1)
∵
k?N
?
∴
k?2
或3 但
k?2
时不能构成三角形应舍去
1
当
k?3
时
a?2,b?3,c?4,cosC??,C?109
?
4
2?设夹C角的两边为
x,y
x?y?4
<
br>S
?xysinC?x(4?x)?
当
x?2
时S
最大
=
15
三、作业:《教学与测试》76、77课中练习
a
2<
br>?b
2
b
2
?c
2
c
2
?a
2
???0
补充:1.在△ABC中,求证:
cosA?cosBcosB?co
sCcosC?cosA
D
A
1515
??(?x
2
?4x)
44
2.如图AB?BC CD=33 ?ACB=30?
?BCD=75?
?BDC=45? 求AB的长
(112)
B
C
第二十教时
教材:解斜三角形的应用 目的:要求学生利用数学建模思想,结合正弦定理、余弦定理和解任意三角形
的知识解决实践中的有
关问题。
过程:一、提出课题:解斜三角形的应用
二、例一 (课本P132 例一)
略
例二[变题] 假定自动卸货汽车装有一车货物,货物与车箱的底部的滑动摩擦
系数
为0.3,油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95米,AB与水
平线之间的夹角为6?20’,
AC长为1.40米,求货物开始下滑时AC的长。
C
解:
设车箱倾斜角为?,货物重量为
mg
?
A
B
f?
?
N?
?
mgcos
?
当
?
mgcos
?
?mgsin
?
即
?
?
tan
?
时货物下
滑
f
mgsin?
?
?arctan0.3?16
?
42'
mgcos
mg
?
?
?tan
?
0.3?tan
?
16
?
42'?6
?
20'?23
?
02'
在△ABC中:
BC
2
?AB
2
?AC
2
?2AB?ACcos?BAC
?1.95
2
?1.40
2
?2?1
.95?1.40?cos23
?
02'?10.787
BC?3.28
例三 (课本P133 例二) 略
例四
我舰在敌岛A南50?西相距12 nmile的B处,发现敌舰正由岛沿北
10?西的方向以10nm
ileh的速度航行,问:我舰需要以多大速度,沿
什么方向航行才能用功小时追上敌舰?
解:在△ABC中:AB=12 AC=10×2=20 ?BAC=40?+80?=120?
BC
2
?AB
2
?AC
2
?2AB?ACcos?
BAC
1
?12
2
?20
2
?2?12?20?
(?)?784
BC=28
2
即追击速度为14mileh
ACBC
又:∵△ABC中,由正弦定理:
?
sinBsinA
∴
sinB?
ACsinA5353
?
∴
B?arcsin
BC1414
53
)
东
1
4
∴我舰航行方向为北
(50
?
?arcsin
三、作业:P134
练习 1、2 习题5.10 1—4
第二十二教时
教材:复习一——向量、向量的加法与减法、实数与向量的积
目的:通过复习对上述内容作一次梳理,使学生对知识的理解与应用提高到一个
新的水平。
过程:
四十一、 知识(概念)的梳理:
1.向量:定义、表示法、模、几种特殊向量
2.向量的加法与减法:法则(作图)、运算律
3.实数与向量的积:定义、运算律、向量共线的充要条件、
平面向量的基本定义
四十二、
例题:
24.
若命题M:
AA'
=
BB'
;命题N:四边形ABB’A’是平行四边形。
则M是N的 ( C )
(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解:若
AA'
=
BB'
,则
|
AA'
|=|
BB'
|,且
AA'
,
BB'
方向相同
∴AA’∥BB’
从而ABB’A’是平行四边形,即:M?N
若ABB’A’是平行四边形,则|AA’|=|BB’|,且AA’∥BB’
∴|
AA'
|=|
BB'
|
从而
AA'
=
BB'
,即:N?M
25.
设A、B、C、D、O是平面上的任意五点,试化简:
1?
AB?BC?CD
2?
DB?AC?BD
3?
?OA?OC?OB?CO
解:1? 原式=
(AB?BC)?CD?AC?CD?AD
2?
原式=
(DB?BD)?AC?0?AC?AC
3? 原式=
(OB?OA)?(?OC?CO)?AB?(OC?CO)?AB?0?AB
26. a =“向东走5km”,b =“向西走12km”,试求a+b的长度与方向。
解:如图:
|OB|?5
2
?12
2
?13
(km)
O
1212
tan?AOB = , ∴?AOB =
arctan
a+b
55
a
12
∴a +
b的长为13km,方向与
OA
成arctan的角。
5
B
b
A
27. 如图:1?已知a、b、c、d,求作向量a?b、c?d。
2?已知a、b、c,求作a + c ? b
a
?
b
c
a+c
?
b
a b
a
b
a
a+c
a
c
d
d
b
c
b
c
c
?
d
1
28.
设x为未知向量,a、b为已知向量,解方程2x?(5a+3x?4b)+a?3b=0
2
1
9
解:原方程可化为:(2x ? 3x) + (?5a +a) +
(4b?3b) = 0 ∴x =
?
a + b
2
2
29.
设非零向量a、b不共线,c=ka+b,d=a+kb (k?R),若c∥d,试求k。
解:∵c∥d ∴由向量共线的充要条件得:c =λd (λ?R)
即:ka+b=λ(a+kb) ∴(k?λ)a + (1?λk)b = 0
?
k?
?
?0
又∵a、b不共线
∴由平面向量的基本定理:
?
?k??1
?
1?k
?
?0
30. 如图:已知在 ABCD中,AH=HD
,BF=MC=
试用a、b分别表示
AM
、
MH
、
AF。
解:∵ ABCD中,BF=MC=
∴FM=
D
a
B
1
BC,设
AB
=a,
AD
=b,
4
F
M
C
1
BC,
2
11
BC=AD=AH
∴FM AH
H
b
A
22
∴四边形AHMF也是平行四边形,∴AF=HM
33311
又:
BM?BC?AD?
a ,
而
FB??BC??
b
44444
31
∴
AM?AB?BM
= a +b ,
MH?FA?FB?BA
= ?b ? a
44
11
AF??FA?
?(?b ? a) = b + a
44
四十三、
作业: 《导学
?
创新》§5.1 §5.2
第二十三教时
教材:复习二——实数与向量的数量积(续)
目的:继续复习有关知识,提高学生数形结合、解决实际问题的能力。
过程:
四十四、
继续复习实数与向量的积、向量共线的充要条件、平面向量的基本
定理——平几问题
A
31. 如图:已知MN是△ABC的中位线,
1
求证:MN=BC,
且MN∥BC
2
N
M
证:∵MN是△ABC的中位线,
11
∴
AM?AB
,
AN?AC
B
C
22
1111
∴
MN?AN?AM?AC?AB?(AC?AB
)?BC
2222
1
∴MN=BC, 且MN∥BC
2
32. 证明:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
1
证:设
AC
= b,
CB
=
a,则
AD
=
AC
+
CD
= b+a,
EB?EC?CB
=
2
A
∵A, G, D共线,B, G,
E共线
F
G
B
E
C
∴可设
AG
=λ
AD
,
EG
=
μ
EB
,
11
a)=λb+λa,
22
11
EG
= μ
EB
= μ(b+a)=
μb+μa,
22
111
∵
AE?EG?AG
即:b +
(
μb+μa) =λb+
λa
222
111
∴(μ?λ)a +
(
μ?λ+
)b = 0 ∵a, b不平行,
222
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?0
?
?
3
?AG?
2
AD
2
?
?
∴
?
111
3
?
?
?
?
??0
?
?
?
23
?
2
?
即:AG = 2GD
同理可化:AG = 2GD , CG = 2GF
则
AG
=λ
AD
=λ(b+
33.
设
AB
=
共线。
证:
AD
=
AB
+BC
+
CD
=
2
(a+5b) + ( ?2a + 8b)
+ 3(a ?b)
2
2
(a+5b),
BC
=?2a +
8b,
CD
=3(a ?b),求证:A,B,D三点
2
=
(1+
222
)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b)
222
2
(a+5b) ∴
AD
=
(
2
+ 1)
AB
2
而
AB
=
又∵
AD
,
AB
有公共点 ∴A,B,D三点共线
34.
求证:起点相同的三个非零向量a、b、3a ?2b的终点在同一直线上。
证:依题意,可设
OA
= a,
OB
= b,
OC
= 3a ?2b
AB
=
OB
?
OA
= b ? a ,
AC
=
OC
?
OB
= 3a ?2b ? a = 2(a
? b)
∴
AC
= ?2
AB
由于
AC
,
AB
起点均为A,∴三点A,B,C共线,
即起点相同的三个非零向量a、b、3a ?2b的终点在同一直线上
35. 已知:平面上
三点O、A、B不共线,求证:平面上任一点C与A、
B共线的充要条件是存在实数λ和μ,使
OC
=λ
OA
+ μ
OB
,且λ+ μ =
1。
证:必要性:设A,B,C三点共线,则可设
AC
= t
AB
(t?R)
则
OC
=
OA
+
AC
=
OA
+
t
AB
=
OA
+ t(
OB
?
OA
) =
(1?t)
OA
+ t
OB
令1?t =λ,t =
μ,则有:
OC
=λ
OA
+ μ
OB
,且λ+
μ = 1
充分性:
AC
=
OC
?
OA
=λ
OA
+ μ
OB
?
OA
=
(λ?1)
OA
+ μ
OB
= ?μ
OA
+
μ
OB
= μ(
OB
?
OA
) =
μ
AB
∴三点A、B、C共线
36. 某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶,感到风从正东方向吹来,
而当速度为2a时
,感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向。
解:设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量,
P
无风时此人感到风速为?a,
设实际风速为v,
v
v
?
2a
那么此时人感到的风速为v ? a,
设
OA
= ?a,
OB
= ?2a
B
A
O
∵
PO
+
OA
=
PA
∴
PA
= v ? a,这就是感到由正北方向吹来的风
速,
∵
PO
+
OB
=
PB
∴
PB
=
v
?2a,于是当此人的速度是原来的2倍
时所感受到由东北方向吹来的风速就是
PB
,
由题意:?PBO = 45?, PA?BO, BA = AO
从而,△POB为等腰直角三角形,∴PO = PB =
2
a 即:|v |
=
2
a
∴实际风速是
2
a的西北风
四十五、
作业: 《导学
?
创新》 §5.3
第二十四教时
教材:复习三——平面向量的坐标运算、定比分点
过程:
四十六、
复习:平面向量坐标的概念,运算法则,定比分点
四十七、
例题:
37. 已知四边形的顶点坐标为A(1,2),B(2,5),C(8,14),D(3,5),
求证:四边形ABCD是一个梯形。
证:∵
AD
=(2,3),
BC
=(6,9) 且2×9?3×6=0
∴
AD
∥
BC
又∵
AB
=(1,3),
CD
=(?5,?9) 而1×(?9)?3×(?5)?0
∴
AB
∥
CD
∴ABCD为梯形
38. 设a = (1,x),b = (?1,3),且2a + b∥a ?2b,试求x。
解:2a + b = (1,), a ?2b = (3, x?6)
∵2a
+ b∥a ?2b ∴1×(x?6) ? (2x+3)×3 = 0 ? x = ?3
39. 已知:A(1,?2),B(2,1),C(3,2),D(?2,3),
1?求证:A,B,C三点不共线
2?以
AB
、
AC
为一
组基底来表示
AD
+
BD
+
CD
解:1?∵
AB
=(1,3),
AC
=(2,4)
∵1×4?3×2?0 ∴
AB
AC
∴A,B,C三点不共线
2?
AD
+
BD
+
CD
=(?3,5)+(?4,2)+(?5,1) = (?12,8)
设:
AD
+
BD
+
CD
= m
AB
+
n
AC
即:(?12,8) = (m + 2n, 3m +
4n)
?
?12?m?2n
?
m?32
∴
?
∴
AD
+
BD
+
CD
=
32
AB
?22
AC
?
?
?
8?3m?4n
?
n??22
40. 已知
M(1,?3),N(4,6),P(x,3),且三点共线,求点P分有向线段MN
所成的比λ及x的
值。
x?13?(?3)
解:
?
?
?
4?x6?3
解得:λ= 2, x = 3
41.
已知△ABC的顶点是A(x
1
, y
1
),B(x
2
,
y
2
),C(x
3
,
y
3
),求△ABC的重心
G的坐标(x, y)。
C
解:如图:∵D是BC中点,
D
∴D点的坐标(
x
2
?x
3
y
2
?y
3
,
)
22
G
B
且G分有向线段AD所成的比λ=2
A x
2
?x
3
?
x?
1
?
x
1
?x
2
?x
3
?
2
x?
x?
?<
br>?
?
3
1?2
∴G的坐标
?
?
?
y
2
?y
3
y
1
?y
2
?y3
??
y?y
1
?
23
?
?
y??
1?2
?
∴△ABC的重心G的坐标是(
x
1
?x<
br>2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,
)
33
42. 已知A(1,2),B(?1,3),C(2,?2),点M分
BA
的比λ为3
:
1,点N在线
段BC上,且
S
A
MNC
?
2
S
?ABC
,求点N的坐标。
3
B
M
A
N
解:由题设:
BM
=3
MA
∴
BM
=又:
S
AMNC
?
2
S
?ABC
∴<
br>S
?BMN
3
111
即:|
BM
||
BN<
br>|sin?ABC
=
?
|
BA
||
BC
|sin?ABC
232
34
又 |
BM
| =|
BA
|
∴ |
BN
| = |
BC
|
49
4
∴
BN
=
NC
即N分
BC
的比为4
:
5, 设N(x, y)
5
4<
br>?
?1??2
?
1
5
?
?
x?
4<
br>3
?
1?
?
17
5
∴点N的坐标是
(,)
?
4
39
?
3??(?2
)
7
5
?
y??
?
4
9
1?
?<
br>5
?
43. 已知点M(2,3),N(8,4),点P在线段MN上,且
MP
?
?
PN?
?
2
MN
,
求点P坐标和λ。
解:设点P坐标为(x, y),由
MP?
?
PN
,
??
x?2y?3
?
,
8?x4?y
3
BA
4
1
?S
?ABC
3
又∵
?
PN?
?
2
MN
可知λ?
0,且
PN?
?
MN
,
从而
PN?(?
?
)NM
,
∴
?
?
?
8?x4?y
?
2?83?4
?
x?2y?3y?3
??
x?2
?
??
?
??
?
?
??
???
8?x4?y4?y
8?
x
(?)?
?
且
?
∴
?
8?x
?
?
?
?
8?x
?
4?y
?
?
?
?
?
?
?
?
4?y
?
?
2?8
?<
br>2?83?43?4
??
?
∴
x?28?x
??0解得:x?
11?35
8?x2?8
y?34?y9?5
??0解得:y?
4?y3?42
??
?
x?11?35
?
x?11?35<
br>??
9?59?5
??
代入检验(*):
?
y?
或
?
y?
22
??
?1?5
?
?
?
?
?
?
?1?5
??
22
??
∴点P坐标
(11?35,
9?5?1?5
),
?
?
22
9?5?1?5
),
?
?
22
或点P坐标
(11?35,
四十八、
作业:
《导学
?
创新》 §5.4 §5.5
第二十五教时
教材:复习四——平面向量的数量积及运算律
目的:要求学生对平面向量的数量积的概念理解
更清晰,并能教熟练地应用于平
行、垂直等问题。
过程:
四十九、 复习:
1.定义、其结果是一个数量。
2.a
?
b>0?0
≤
?
<90?;a
?
b=0?=?=90?
即a?b;a
?
b<0?90?
<
?
≤
180?
3.性质1? —5?
4.运算律
五十、
例题:
44. 已知|a| = 5,|b| = 8,a 与b的夹角为60?,求 |a + b |
1
解:a
?
b = |a||b|cos60? = 5×8×= 20
2
2 22
∴|a + b |= (a + b) = |a| +
|b|
2
+ 2a
?
b = 129
∴|a + b |
=
129
45. 求证:|a + b |
≤
|a| + |b|
证:|a + b |
2
= (a + b)
2
=
|a|
2
+ |b|
2
+ 2a
?
b =
|a|
2
+ |b|
2
+ 2|a||b|cos?
222
≤
|a| + |b| + 2|a||b| = ( |a| + |b|
)
即:|a + b |
≤
|a| + |b|
46.
设非零向量a、b、c、d,满足d = (a
?
c) b ?
(a
?
b)c,求证:a?d
证:内积a
?
c与a
?
b均为实数,
∴a
?
d = a
?[
(a
?
c) b ?
(a
?
b)c] = a
?[
(a
?
c) b] ?
a
?
[(a
?
b)c]
=
(a
?
b)(a
?
c) ?
(a
?
c)(a
?
b) = 0
∴a?d
47. 已知非零向量a、b,满足a ?±b,
求证:b?a垂直于a+b的充要条件是|a| = |b|
证:由题设:b?a与a+b均为非零向量
必要性:设b?a垂直于a+b,则(b?a)(a+b) = 0
又:(b?a)(a+b) = b
2
? a
2
=
|b|
2
? |a|
2
∴|b|
2
? |a|
2
= 0 即:|a| = |b|
充分性:设|a| =
|b|,则(b?a)(a+b) = b
2
? a
2
=
|b|
2
? |a|
2
= 0
即:(b?a)(a+b) =
0 ∴(b?a) ? (a+b)
5.已知a、b都是非零向量,且a + 3b与7a ?
5b垂直,
a ? 4b与7a ?
2b垂直,求a与b的夹角。
解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0
? 7a
2
+ 16a?b ?15b
2
= 0 ①
(a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a
2
? 30a?b +
8b
2
= 0 ②
两式相减:2a?b =
b
2
代入①或②得:a
2
=
b
2
a?bb
2
1
设a、b的夹角为?,则cos? =
??
|a||b|
2|b|
2
2
∴? = 60?
6.用向量方法证明:菱形对角线互相垂直。
证:设
AB
=
DC
= a ,
AD
=
BC
= b
∵ABCD为菱形
∴|a| = |b|
A
a
B
b
D
C
∴
AC
?
BD
= (b + a)(b ? a)
= b
2
? a
2
= |b|
2
?
|a|
2
= 0
∴
AC
?
BD
7.如图,AD、BE、CF是△ABC的三条高,
求证:AD、BE、CF相交于一点。
证:设BE、CF交于一点H,
AB
= a,
AC
= b,
AH
= h,
A
E
F
H
C
则
BH
= h ? a ,
CH
= h ? b ,
BC
= b ? a
∵
BH
?
AC
,
CH
?
AB
B
D
(h?a)?b?0
?
∴
?
?(h?a)
?b?(h?b)?a?h?(b?a)?0
(h?a)?a?0
?
∴
AH
?
BC
又∵点D在AH的延长线上,∴AD、BE、CF相交于一点
五十一、
作业:《导学
?
创新》 §5.6
第二十六教时
教材:复习五——平面向量的数量积的坐标表示、平移
目的:让学生对平面向量的数量积的理
解更深刻,尤其在两个非零向量垂直与平
行的充要条件的平行上更熟练。
过程:
五十二、 复习:设向量a = (x
1
,y
1
),b =
(x
2
,y
2
),
1.数量积的坐标表示:a
?
b = x
1
x
2
+ y
1
y
2
2.关于距离公式
3.
a∥b
a?b
存在唯一λ? R ? x
1
x
2
+
y
1
y
2
= 0
a
?
b = 0 ?
x
1
x
2
+ y
1
y
2
=
0
使a =λb成立
五十三、
例题:
48. 已知|a| = 3,b =
(1,2),且a∥b,求a的坐标。
解:设a = (x,y) ∵|a| = 3
∴
x
2
?y
2
?3
…①
又:∵a∥b
∴1
?
y ? 2
?
x = 0 …②
?
x?
?
?
解之:
?
?
y?
?
?
?
353
5
x??
?
5
或
?
5
?
65
?
y??
65
?
55
?
即:a =
(
35653565
,,?
) 或a = (
?
)
5555
49. 设p = (2,7),q = (x,?3),求x的取值范围使得:
①p与q的夹角为钝角 ②p与q的夹角为锐角。
21
21
解:①p与q的夹角为钝角?
p
?
q<0?2x?21<0?
x?
即x?(?∞,)
2
2
21
21
②p与q的夹角为锐角?
p
?
q>0?2x?21>0?
x?
即x?(,+∞)
2
2
50. 求证:菱形的对角线互相垂直。
D
C
证:设B(b
1
,0),D(d
1
,d
2
),
则
AB
= (b
1
,0),
AD
=
(d
1
,d
2
)
O
(A)
B
于是
AC
=
AB
+
AD
=
(b
1
,0) + (d
1
,d
2
) =
(b
1
+d
1
,d
2
)
BD
=
AD
?
AB
= (d
1
?b
1
,d
2
)
∵
AC
?
BD
=
(b
1
+d
1
)(d
1
?b
1
) +
d
2
d
2
= (d
1
2
+
d
2
2
)? b
1
2
=
|
AD
|
2
? b
1
2
=
|
AB
|
2
? b
1
2
=
b
1
2
? b
1
2
= 0
1
∴
AC
?
BD
D
F
C
51. 如图:ABCD是正方形,M是BC的中点,
将正方形折起使点A与M重合,设折痕为EF,
M
若正方形面积为64,求△AEM的面积。
N
解:如图,建立直角坐标系,
O
(A)
B
E
显然EF是AM的中垂线,
∴N是AM的中点,又正方形边长为8 ∴M(8,4), N(4,2)
设点E(
e,0),则
AM
=(8,4),
AN
=(4,2),
AE
=(e,0),
EN
=(4?e,2),
由
AM
?
EN
得:
AM
?
EN
= 0
即:(8,4)
?
(4?e,2) = 0
11
解之:e = 5 即|
AE
| = 5
∴S
△
AEM
=|
AE
||
BM
| =×5×4
= 10
22
52. 求证:cos(???) = cos?cos? +
sin?sin?
证:设?、?终边上以原点为起点的向量分别为a、b,夹角为?,
则
??? = 2k?±? (k?Z)
∵a = (|a|cos?, |a|sin?) b
= (|b|cos?, |b|sin?)
∴a
?
b =
|a|cos?
?
|b|cos? + |a|sin?
?
|b|sin?
=|a||b|(cos?cos? + sin?sin?)
又:∴a
?
b =
|a||b|cos? = |a||b|cos[2k?±(???)] = |a||b|cos
(???)
∴|a||b|(cos?cos? + sin?sin?) = |a||b|cos
(???)
∵a ? 0 , b ? 0 ∴cos(???) = cos?cos? +
sin?sin?
53. 将点A(?3,2)平移到点P(2,?4),按此方式,若点B平移后的
坐标为
(?5,1),试求点B的坐标。
解:依题意:平移向量a =
AP
= (5,?6),
?
?5?x?5
?
x??10<
br>设B的坐标为(x,y),由平移公式:
?
?
?
?
1?y?6
?
y?7
即点B坐标为(?10,7)
54. 将函数 y =
2x
2
的图象经过怎样的平移可得到 y = 2x
2
? 4x +
3的图
象?
解:y = 2x
2
? 4x + 3 = 2(x ?
1)
2
+1
即向右平移1个单位,再向上平移1个单位,
即按a =
(1,1)的方向平移即得的图象。
55. 已知函数 y = ?2(x ? 2)
2 <
br>?1的图象经过按a平移后使得抛物线顶点在
y轴上,且在x轴上截得的弦长为4,求平移后函数
解析式和a。
解:依题意:平移后的函数解析式为:y = 2x
2
+ n
平移前顶点为(2,?1),平移后顶点为(0,n),
∴a =
(0?2,n?(?1)) = (?2,n+1)
在y = 2x
2
+ n中,
令y = 0,x =±
n
;
2
n
= 2,∴n = 8,
2
∵函数在x轴上截得的弦长为4 ∴
∴平移后的解析式为:y =
2x
2
+ 8,且a = (?2,9)。
五十四、
作业:
《导学
?
创新》 §5.7 §5.8
第二十七教时
教材:复习六——解斜三角形
目的:巩固对正弦、余弦的掌握,并能较熟练地应用解决具体问题。
过程:
五十五、 复习:1?两个定理 2?两个定理能解决的问题
五十六、
例题:
56. 证明射影定理:a = bcosC + ccosB;b =
acosC + ccosA;c = acosB +
bcosA a
2
?b
2
?c
2
a
2
?c
2
?b
2
2a
2
?c??a
= 左边 证一:右边
=
b
2ab2ac2a
证二:右边 = 2RsinBcosC +
2RsinCcosB=2Rsin(B+C)=2RsinA= a = 左
边
其余两式同
57. 已知:在△ABC中,?A=45?,AB=
6
,BC=2,解此三角形。
6?
2
2
?
3
22
解一:
AB
BCACABsinA
???sinC??
sinCsinAsinBBC
∴当?C = 60?时, ?B = 75?
∴
AC?
BCsinB
?3?1
sinA
BCsinB
∴当?C = 120?时, ?B = 15?
∴
AC??3?1
sinA
解二:设AC = b,由
余弦定理:
4?b
2
?(6)
2
?26bcos45
?
即:
b
2
?23b?2?0
解得:
b?3?1
1
再由余弦定理:
cosC??
∴?C = 60?或120?, ?B = 75?或
2
15?
tanAa
2
?
2
,判断△ABC的形状。 58. 在△ABC中
,若
tanB
b
解一:由正弦定理
n
:
sAciBosn<
br>2
Asic
? 即:
sBciAo
s
n
2
A
s
i
c
nosAsinB
??s2A?is2Bn
i
sBsinA
n
o
∴2A = 2B 或 2A = 180?
? 2B 即:A= B 或 A + B = 90?
∴△ABC为等腰或直角三角形
aa
2
?c
2
?b
2
?
sinAcosBa
2
a
2
2R2ac
?
2
?
2
?
2
解二: 由题设:
22
cosAsinB
bb?c?abb
?<
br>2bc2R
化简:b
2
(a
2
+ c
2
? b
2
) = a
2
(b
2
+ c
2
? a
2
) ∴(a
2
?b
2
)(a
2
+ b
2
?
c
2
)=0
∴a = b或 a
2
+
b
2
= c
2
∴△ABC为等腰或直角三角形
C
59. 如图:在斜度一定的山坡上的一点A测得
山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为
50
15?,向山顶前进100m后,又从点B测得
45?
D
A
B
15?
100
?
斜度为45?,假设建筑物高50m,
求此山对于地平面的斜度?。
解:在△ABC中,AB = 100m , ?CAB = 15?, ?ACB =
45??15? = 30?
100BC
由正弦定理: ∴BC =
200sin15?
?
??
sin30sin15
在△DBC中,CD =
50m , ?CBD = 45?, ?CDB = 90? + ?
50200sin15
?
由正弦定理:?cos? =
3?1
∴? = 42.94?
?
??
sin45sin(90?
?
)
60.
一块直径为30cm的圆形铁板,已经截去直径分
别为20cm,10cm的圆形铁板各一块,现要求
在所剩余的铁板中,再截出同样大小的铁板两块,
问:这两块铁板的半径最大有多少cm?
解:设所求最大圆的半径为x,
A
D
B
?
C
15
2
?(10?x)
2
?(5?x)
2
30
?x
?
则在△ABC中:
cos??
2?15?(10?x)30
?3x
(10?x)
2
?5
2
?(15?x)
2
5
x?10
?
又在△ACD中:
cos??
2?(10?x)?5x
?10
∴
30?x5x?1030
??7x
2
?40x?300?0
?x
1
?,x
2
??10(舍去 )
30?3xx?107
61. 某船在海上航行中不幸遇险,并发出呼救信号,我海上救生艇在
A
处获悉后,立即测出该船的方位角为45?,与之相距10
nmail的C处,
还测得该船正沿方位角105?的方向以每小时9
nmail的速度向一小岛
靠近,我海上救生艇立即以每小时21
nmail的速度前往营救,试求出
该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。
解:设所需时间为t小时,
C
105?
在点B处相遇(如图)
B
在△ABC中,?ACB = 120?,
45?
A
AC = 100, AB = 21t, BC = 9t
由余弦定理:(21t)
2
= 10
2
+
(9t)
2
? 2×10×9t×cos120?
25
整理得:36t
2
?9t ? 10 = 0
解得:
t
1
?,t
2
??
(舍去)
312
由正弦定理:
23
(9?)?
ABBC
32
?
33
??sin?CAB?
2
14
sin120
?
sin?
CAB
21?
3
∴?CAB = 21?47’
62.
在湖面上高h处,测得云彩仰角为?,而湖中云彩影的俯角为?,
求云彩高。
C
A
?
?
B
D
E
解:C、C’关于点B对称,设云高CE = x,
则CD =
x ? h,C’D = x + h,
CDx?h
在Rt△ACD中,
AD?
?
tan?tan
?
在Rt△AC’D中,
AD?
C'Dx?h
?
tan?
tan?
∴
x?hx?htan??tan?sin(???)
??h?
解得:
x?h?
五十七、
tan?tan?
作业:
《导学
?
创新》
tan??tan?
§5.9 §5.10
sin(???)
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