关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

高一数学研究性学习-向量

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 20:30
tags:高中数学向量

作为教研员对高中数学的分析-高中数学2杠3知识点

2020年9月20日发(作者:邹瑜)







高一年级数学研究性学习




研究学习主题:平面向量在数学问题中的应用














适用年级:高一全级
教 师:郝 斌







目 录

课题研究背景 ....................................... .................................................. ...................... 1

研究目标 ............ .................................................. .................................................. ....... 1

研究方法 ........................... .................................................. .......................................... 2

研究成果。(小论文) ................................... .................................................. .......... 2

1 平面向量的基础知识 ................. .................................................. ............................ 2

1.1向量的几何表示 .................................................. ........................................... 2

1.2平面向量的坐标表示 ................................. .................................................. .. 3

1.3向量的运算 ............................ .................................................. ....................... 3

1.3.1加法运算 ...... .................................................. ...................................... 3

1.3.2减法运算 .................................... .................................................. ........ 4

1.3.3数乘运算 ..................... .................................................. ....................... 4

1.3.4坐标运算 ...... .................................................. ...................................... 4

1.3.5向量的数量积 .................................. .................................................. .. 5

1.4平面向量的基本定理 ........................ .................................................. ........... 5

2 平面向量应用举例 ................. .................................................. ................................ 6

2.1平面向量在数学证明中的应用 ............................. ........................................ 6

2.1.1平面向量在三角公式中的应用 ........................... ............................... 6

2.1.2向量法在平行问题中的应用 ............................ .................................. 7

2.2 应用向量法解决一些解析几何问题 .................................. ........................ 10

2.2.1求体积 ..... .................................................. ......................................... 10

2.2.2求点的坐标 ................................... .................................................. ... 10

2.2.3求直线的方程 ....................... .................................................. ........... 11





平面向量在数学问题中的应用
指导老师:郝斌
课题组长:王强
小组成员:高一全体同学
班级:高一(1)、(3)、(4)、(7)班
课题研究背景
在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,
不会应用平面向量 去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰,
过程简洁,有意想不到的神奇效果。著名教 育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是
对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰 退。这充分
揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,
减 轻负担。
平面向量是高中数学的新增内容,也是新高考的一个亮点。 向量知识、向
量观点在 数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何
形式的“双重身份”,能融数形与 一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知
识综合,形成知识交汇点。而在高中数学体系中,解析几何 占有着很重要的地位,
有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形与数的转化,< br>则会大大简化过程。

研究目标
通过研究性学习来了解向量在中学数学中的作 用和地位,知道向量这种新的
方法在数学学习中的作用,以及学习这种方法来更方便简洁的解决数学问题 。从
而提高学习数学的兴趣,更容易的掌握学习技巧和方法。


1



研究方法
1、 查阅资料。通过查阅资料来了解平面向量的用途及向量方
法,学习这种数学思想。
2、 自主探讨。分组讨论来解决一些简单的数学问题,培养这种
思想方法。
3、 老师引导。通过老师的引导通过向量的方法解决一些较难的
数学问题。
研究成果。(小论文)
1 平面向量的基础知识
1.1向量的几何表示
具有 方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段记作AB。
(AB是印刷体,也就是粗体字 母,书写体是上面加个→)
有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|。
有向线段包含3个因素:起点、方向、长度。
相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,
向量a、b平行,记作ab,零向量与任意向量平行,即0a,
在向量中共线向量就是平行向量, (这和直线不同,直线共线就是同一条直线
了,而向量共线就是指两条是平行向量)
长度等于0的向量叫做零向量,记作0。


2



零向量的方向是任意的;且零向量与任何向量都垂直。
长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
1.2平面向量的坐标表示
在 直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为
基底。任作一个向量a,由 平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得
a=xi+yj
我们把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y),
其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,上式叫做向量的坐
标表示。
在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

1.3向量的运算
1.3.1加法运算
向量加法的定义
已知向量a、b,在平面上任意取一点A ,作AB=a,BC=b,再作向量AC,则向
量AC叫做a与b的和,记做a+b,即a+b=AB+ BC=AC
AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。(首尾相连,连接首
尾,指向终点)
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边
形OAC B,则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和,这种计算法则叫做
向量加法的平行四边形法则 。


3



对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
1.3.2减法运算
AB- AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。(共起点,连终点,方向
指向被减向量)
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的
相反向量 仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
1.3.3数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|
=|λ||a|,当λ > 0时,λa的方向和a的方向相同,当λ < 0时,λa的方向和a的
方向相反,当λ = 0时,λa = 0。
设λ、μ是实数,那么:(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ + μ)a = λa + μa(3)λ(a ± b) = λa
± λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
1.3.4坐标运算
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)
=(x1+x2)i+(y1+y2)j
即 a+b=(x1+x2,y1+y2)。
同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)。
这就是说,两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
由此可以得到:
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。


4



根据上面的结论又可得
若a=(x,y),则λa=(λx,λy)
这就是说,实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
1.3.5向量的数量积
已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积,记作
a?b,θ是a与b的夹角,|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方
向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。
a?b的几何意义:数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=(x1,y1) ,b=(x2,y2),
则a·b=x1x2+y1y2
向量的数量积的性质
(1)a·a=∣a∣^2≥0
(2)a·b=b·a
(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)
(4)a·(b+c)=a·b+a·c
(5)a·b=0<=>a⊥b
(6)a=kb<=>ab
(7)e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ
1.4平面向量的基本定理
如 果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,
有且只有一对实数λ、μ ,
使a= λ*e1+ μ*e2,(λ+μ=1)。




5











2 平面向量应用举例
2.1平面向量在数学证明中的应用
2.1.1平面向量在三角公式中的应用
(1)正弦定理的向量法证明
abc
??
在任意?ABC中,a,b,c分别为∠A ,∠B,∠C对边,则
sinAsinBsinC







6



证明:如图1所示,作CD⊥AB于
????????
????????
D , 因为向量

在向量
CD
上的射影都是
CD

ab
????????
?
即∣
CD
∣=bsinA,∣
CD∣=bsinA,所以有
sinAsinB
,利有同样的方法,
c
bc< br>a
?
?
分别作BC,CA的垂线,可以得到
sinBsinC

sinA

sinC

abc
??
即可以等到
sinAsinBsinC


(2)余弦定理的向量法证明

在任意?ABC中,a,b,c分别为∠A ,∠B,∠C对边,则a2=b2+c2-2bccosA;

b2=a2+c2-2acc osB;c2=a2+b2-2abcosC。在证明这个定理这前先给出一个记号:
??
??
?
?
?
P
向量
?
在向量
?
上的射 影记为:
?

????????????
证明:在?ABC中,
B A?AC?BC
由向量的射影定理等到:
????
????
????
????
????????????
BC
?
BA
BCBAAC????
????
P?BCcos0?a
P
BC
?BAcosB ?ccosB
????
?P
????
?P
????
P
BCBC

BC

BC
;;
????
????< br>AC
????
P
BC
?ACcosC?bcosC

所以有:地
a?ccosB?bcosC
(1)
同理要证得:
b?acosC?ccosA
(2)

c?acosC?bcosA
(3)
再由:(1)×a-(2)×b-(3)×c得到:a2=b2+c2-2bccosA
同理可以得到;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC。
上述向量法证明正(余)弦定理,不必区分锐角、钝角、直角三角形,从而大大
简化了证明过程,

2.1.2向量法在平行问题中的应用


7



??
??
例1:两个向量
a

b
共线的充要条件是
a?b?0

??????
证明: (必要性) 当
a

b
共线时(包括
a

b
为零向量的 情形),则∠〈
a

b
〉=00
??
????????b
〉或1800,由公式|
a
×
b
|=|
a
| |
b
|sin∠〈
a
,得到:|
a
×
b
| =0,从而
a?b?0

????????
??
( 充分性)当
a?b?0
时,那么由|
a
×
b
|=|
a
||
b
|sin∠〈
a

b
〉知:
a< br>=
0

????
b
=
0

a

b
,因为零向量可以看成与任何向量共线,所以总有
??
a

b

??
例2:向量
a

b
分别是直线l1,l2的方向向量,判断直线l1,l2的位置关系。不
??< br>妨设:
a
=(1,-1,3);
b
=(4,-4,12)
? ???
解:因为
b
=(4,-4,12)=4(1,一1,3)=4
a
,所以
a

b
,即l
1
∥l
2


例3:用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下两底边且等于它们长度和的一
半。
证明:如图,在梯形ABCD中,连接BD并取BD
????
1
的中点为O,连结EO、FO,
EO
=
2
????????
AD

FO
=
2
AD

????
1
A
B
F
O
??????
1
????
OF?BC
2
,∵E O∥AD、OF∥BC、BC∥AD ∴EO∥OF,
????????????
即O、E、F共线,又
EF?EO?OF
,所以有
????
1
????????
EF?AD?BC
2

E
??
C D
2.2向量法在垂直问题中的应用
??
XYZ
1):向量
a
=(
1

1

1
);
b
=(
X< br>2

Y
2

Z
2
)相互垂直的充要条件是
X
1
X
2
?YY
12
?Z
1
Z< br>2
?0

??
证明:(必要性)当向量
a

b
有一个为零向量时,结论显然成立。


8



????
下面证明
a

b
都不为 零向量时,结论成立。向量
a

b
相互垂直,则
??
?a, b
=90,根据=
??
cos?a,b?0
12
?Z
1< br>Z
2
?0
。 ∴,得到
X
1
X
2
?YY
??
cos?a,b?0
X
1
X
2
?YY? Z
1
Z
2
?0
12
(充分性)因为。则,得
??
?a,b?
??
a
90,即可以得到
,b
相互垂直。 0
0
??
cos?a,b
X
1
X
2
? YY
12
?Z
1
Z
2
X
1
2
?Y
1
2
?Z
1
2
?X
2
2
?Y2
2
?Z
2
2

2)平行四边形成为菱形的充要条件是对角线互相垂直。



C
D
????
O
????
?
ABCD
是菱形
?DC?DA
B
????
A
?????
1
???
因为DO?AD?DC< br>?
2
证明:
??
因为,、
????
1
??? ?????
????????
1
????
2
????
2????????
AO?AB?AD
AO?DO?DC?DA?0?AO?DO
2
4
、即AC⊥DB。
??
??
?
?
?????? ??
????????
1
????
2
????
2
A O?DO?DC?DA?0
DC?DA
?
??
?
4
AC⊥DB即、则
?ABCD
为菱形。
?
?

3)勾股定理的向量法证明

222
?ABC
AB?AC?CB
如图,在Rt,证明:。
??? ?????????
证明:在Rt
?ABC
中,
AC?CB?AB
对 上述等式两边平方得:
????
2
????
2
????????? ???
2
AC?CB?2ACCB?AB

C
由解析几何(1)中两个向量数量积的定义得到:
????????????????
AC?CB?ACCBcos?C
A

因为
?C

?90
,所以
cos?C?0
,即
?
B
????
2
????
2
????
2
AC?CB?AB
,即结论
AB
2
?AC
2
?CB
2
成立。


9



向量法是借助向量的几何意义,把问题转化为向量的计算,通过向量计算来
达到求解的目的,用向量法去 解决几何问题,一方面能体现向量的应用性,另一
方面有助于学习者在应用中加深对向量知识的理解与掌 握。

2.2 应用向量法解决一些解析几何问题
2.2.1求体积
已知四面体ABCD的顶点坐标
的体积。
解:由初等几何知,四面体ABCD 的体积V等于以AB、AC和AD为棱的平行六面体
的六分之一,因此
V?
1
6
A
?
0,0,0
?

B
?
6,0,6< br>?

C
?
4,3,0
?

D
?2,?1,3
?
。求它
?
?
????????????
AB,AC,AD
????
?
?
?
,而
???
AB ?
?
6,0,6
?
AC?
?
4,3,0
?
,,
?
606
?
????????????
??
AB,AC ,AD?
?
430
?
??6v
????
?
2?13
?
AD?
?
2,?1,3
?
??
,故,从而
??
1
V?
6
?
?
????????????
A B,AC,AD
?
?
?1

本题利用混合积的几何意义来求四面体的体积,方法简捷。

2.2.2求点的坐标
例:已知
?ABCD
的三个顶点
解:设点D的坐标为
A
?< br>0,?2,0
?

B
?
2,0,1
?
C
?
0,4,0
?
,求顶点D的坐标。

?
x,y,z
?
,则
????
AB?
?
2,0,1
?
?
?
0,?2,0
?
?
?
2,2,1
?< br>????
DC?
?
0,4,0
?
?
?
x,y ,z
?
?
?
?x,4?y,2?z
?
,因为ABCD为平行 四边形,固有
????????
AB?DC
,得
?
2,2,1
?
?
?
?x,4?y,2?z
?
,从而
x??2,y?2 ,z?1
。所以点D
的坐标为
?
?2,2,1
?



10



该题利用两向量相等的充要条件来求平行四边形一个顶点的坐标,计算很方
便。

2.2.3求直线的方程
l
1
:
x?1y?4z?2y?1z?2
??
l
2
:x??
47?5

2 ?1
,求过两直线
l
1

l
2
已知两相交直线的交点,并且和两直线
l
1

l
2
垂直的直线
l
的方程。
解:由题设可知直线
l
1
的方向向量
??V
1
?
?
4,7,5
?
,直线
l
2< br>的方向向量
???
V
2
?
?
1,2,?1
?

所求直线
l
可以看作两平面的交线,其一
l

l
1
与决定的平面,其二是
l

l
2
决定的平面,而 的
l
方向向量可取为
???????
V?V
1
?V
2
?
?
3,?1,1
?
,于是所求两
平面的方程分别为
?
x?1y?4z?2
??
x?0y?1z?2
?
????
47?5?012?1
????
?0
?
3
?
3?1 1
?
?11
?
????


2x?19y?25z?24?0

x?4y?7z?10?0

?
故所求的直线方程为:
2x?19y?25z?24?0
x?4y?7z? 10?0

该题根据两向量的向量积来求直线的方向向量,最终求出直线的方程。


11

高中数学网课 模板-高中数学新教师自我评价


高中数学概率的教学-高中数学必修四每章知识网络图


高中数学倾斜角所对应的-江苏版高中数学电子课本


齐次化解高中数学问题-高中数学常用的逻辑用语教案


高中数学定理定律定义-高中数学基础学计算机


高中数学教材北师大版-高中数学两船最快相遇问题


高中数学知识汇总二十九张阅-一本和一遍过高中数学哪个难


濮阳哪里有好的高中数学补课老师-高中数学精华课程教学视频



本文更新与2020-09-20 20:30,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/405852.html

高一数学研究性学习-向量的相关文章