高中数学空间向量与立体几何知识点与例题

空间向量与立体几何知方法总结
一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

u

r
uuuruuuruuur
r
v
uuuruuur
< br>uuur
r
r
uu
r
OB?OA?AB?a?b
;< br>BA?OA?OB?a?b
;
OP?
?
a(
?
?R)

?
??
?
运算律：⑴加法交换律：
a?b?b?a

?
?
??
?
?
⑵加法结合律：
(a?b)?c?a?(b ?c)

?
?
?
?
⑶数乘分配律：
?
(a ?b)?
?
a?
?
b

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则
3. 共线向量。
（1 ）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行
?
?
向量，
a
平行于
b
，记作。
?
?
??
?
?
?
?
（2）共线向量定理：空间任意两个向量
a
、
b
（
b
≠
0
），
a

b
存在实数λ，使
a
＝λ
b
。
?
?
ab
（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>
AB?
?
AC

<=>
OC
（4）与
a
共线的单位向量为
?
?xOA?yO B(其中x?y?1)

a
a

r
rr
p?xa?yb
。
4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
r
r
r
r
r
（2）共面向量定理：如果两个向量
a,b
不共线，
p
与向量
a, b
共面的条件是存在实数
x,y
使
（3）四点共面：若A、B、C、P四点共 面<=>
AP?
<=>
OP
xAB?yAC

?xOA?yOB?zOC(其中x?y?z?1)

r
r
r
r
5. 空间向量基本定理：如果三个向量
a,b, c
不共面，那么对空间任一向量
p
，存在一个唯一的有
r
rrr序实数组
x,y,z
，使
p?xa?yb?zc
。
r
r
r
r
r
r
r
r
r
若三向量
a, b,c
不共面，我们把
{a,b,c}
叫做空间的一个基底，
a,b,c叫做基向量，空间任意
.

三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
uuuruuuruuuruuur
使
OP?xOA?yOB?zOC
。 < br>推论：设
O,A,B,C
是不共面的四点，则对空间任一点
P
，都存在 唯一的三个有序实数
x,y,z
，
6. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系
O?xyz
中，对空间 任一点
A
，存在唯一的有序实数组
A(x,y,z)
，
x
叫 横坐标，
y
叫纵坐标，
z
叫竖坐标。

(x,y,z)< br>，使
OA?xi?yi?zk
，有序实数组
(x,y,z)
叫作向量< br>A
在空间直角坐标系
O?xyz
中的坐标，记作

注：①点A （x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点 关于什么轴
平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平 面yOz中的点设
为(0,y,z)
rrr
（2）若空间的一个基底的三个基向量互 相垂直，且长为
1
，这个基底叫单位正交基底，用
{i,j,k}
表
示。空间中任一向量
（3）空间向量的直角坐标运算律：
a?xi?yj?zk
=（x,y,z）
r
rr
r
①若< br>a?(a
1
,a
2
,a
3
)
，
b? (b
1
,b
2
,b
3
)
，则
a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3< br>?b
3
)
，
rr
a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
， < br>rr
ab?a
1
?
?
b
1
,a
2< br>?
?
b
2
,a
3
?
?
b
3
(
?
?R)
，
rr
a?b?a
1
b< br>1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0
。
rr
r
a?b?(a
1
?b
1
, a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
，< br>?
a?(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)(
?
?R)
，
uuur< br>②若
A(x
1
,y
1
,z
1
)
，< br>B(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
AB ?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
③定比分点公式：若
A(x
1
,y
1
,z
1
)，
B(x
2
,y
2
,z
2
)
，
AP?
?
PB
，则点P坐标为
(
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
z
1
?
?
z
2
,,)
。推导：设P（x,y,z）则
(x?x
1,
y?y
1
,z?z
1
)?
?
(x
2
?x,y
2
?y,z
2
?z)
,
1 ?
?
1?
?
1?
?
x
1
?x
2< br>y
1
?y
2
z
1
?z
2
,,)
222
，三角形重心P坐标为
显然，当P为AB中点时，
P(
④
?ABC中
，A（x
1
,y
1
,z
1
）
,B(x
2
,y
2
,z
2
),C(x
3< br>,y
3
,z
3
)
P(
.
x
1< br>?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y3
z
1
?z
2
?z
3
,,)

322

⑤ΔABC的五心：
内心P：内切圆的圆心， 角平分线的交点。
AP?
?
(
AB
AB
?
ACAC

)
（单位向量）
外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。
垂心P：高的交点：
PA?PB
PA?PB?PC
?PA?PC?PB?PC
（移项，内积为0，则垂直）
1
重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）
AP?(AB?AC)

3
中心：正三角形的所有心的合一。
rr
（4）模长公式：若
a? (a
1
,a
2
,a
3
)
，
b?(b
1
,b
2
,b
3
)
，
rrr
222< br>|a|?a?a?a?a?a
则
123
rr
rr
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?b
rr
?
（5）夹角公式：
cosa?b?
。 < br>222222
|a|?|b|
a
1
?a
2
?a
3
b
1
?b
2
?b
3
ΔABC中①
AB ?AC?0
<=>A为锐角②
AB?AC?0
<=>A为钝角，钝角Δ
（6 ）两点间的距离公式：若
A(x
1
,y
1
,z
1
)
，
B(x
2
,y
2
,z
2
)
，
uuuruuur
2
则
|AB|?AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
? (z
2
?z
1
)
2
，
或
d
A, B
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2

rrr
222
|b|?b?b?b?b?b
，
123
r
r
r
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量
a,b
，在空间任取一点
O
，作
OA?a,OB?b
，
r
r
r
r
r
r
则
?AOB
叫做向量
a
与b
的夹角，记作
?a,b?
；且规定
0??a,b??
?
，显然有
r
rr
r
r
r
?
r
r
r
r
?a,b???b,a?
；若
?a,b??
，则称
a< br>与
b
互相垂直，记作：
a?b
。
uuur
r
2
uuur
r
r
（2）向量的模：设
OA?a
，则有向线 段
OA
的长度叫做向量
a
的长度或模，记作：
|a|
。 < br>r
rr
r
r
r
r
r
r
r
（ 3）向量的数量积：已知向量
a,b
，则
|a|?|b|?cos?a,b?
叫做
a,b
的数量积，记作
a?b
，
r
r
r
r
r
r
即
a?b?
|a|?|b|?cos?a,b?
。
（4）空间向量数量积的性质：
7. 空间向量的数量积。
uuuruuurr
r
2
rr
r
r
r
r
rrrrr①
a?e?|a|cos?a,e?
。②
a?b?a?b?0
。③
|a|?a?a
。
（5）空间向量数量积运算律：
r
r
rr
r
r
r
rr
r
①
(
?
a) ?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
。②
a?b?b?a< br>（交换律）。
r
r
rr
r
rr
③
a?(b ?c)?a?b?a?c
（分配律）。
④不满足乘法结合率：
(a?b)c?a(b?c)




.

二．空间向量与立体几何(高考答题必考)
1．线线平行
?
两线的方向向量平行
1-1线面平行
?
线的方向向量与面的法向量垂直
1-2面面平行
?
两面的法向量平行
2线线垂直（共面与异面）
?
两线的方向向量垂直
2-1线面垂直
?
线与面的法向量平行
2-2面面垂直
?
两面的法向量垂直
3线线夹角
?

两条异面直线所成的角：

aa,bb
，则
a

与
b

所夹的锐角或直1、定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线角叫做a与b所成的角．
2、范围：两异面直线所成角θ的取值范围是
0?
?< br>?
?
2


4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直 线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，
当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面 直线所成的角．

3-2线面夹角
?
[0
O
,90
O
]
：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量
AP
与
面的法向量< br>n
的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再
求其余角，即是线面的夹
角.
sin
?
?cos?AP,n?
,

n
P
rr
3、向量求法：设直线a、b的方向向量为
a
、
b
，其夹角为
?
，则有
rr
a?b
cos
?
?|cos
?
|?
rr
a?b
0?
?
?
?
2
α
A
A
OO
3-3面面夹角（二面角）
?< br>[0,180]
:（1）若AB、CD分别是二面角
?
?l?
?
的两个面内与棱l垂
r
uuur
uuu
直的异面直线，则二面角的大小就是 向量
AB
与
CD
的夹角（如图（a）所示）．
uruururuu r
（2）设
n
1
、
n
2
是二面角
?
?l?
?
的两个角α、β的法向量，则向量
n
1
与
n2
的夹角（或其补角）就
是二面角的平面角的大小（如图（b）所示）．




若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量
n
1
,n
2
的夹角；法向量同进同出，则二面角等于
.

法向量的夹角的补角.
cos
?
??cos?n
1
,n
2
?


4点面距离
h
：
如图（a）所示，BO⊥平面α，垂足为O， 则点B到平面α的距离就是线段BO的长度．若AB是
平面α的任一条斜线段，
uuuruuur

uuuruuur
BA?BO?cos?ABO
则在Rt△BOA中，
BO?BA
cos∠ABO=
cos?ABO?

uuur
BO


r
如果令平面α的法向量为
n
，考虑到法向量的方向，可以得到B点到平面α的距离为
uuurr


AB?n
uuur
h=
BO?
r

n
4-1线面距离（线面平行）：转化为点面距离
4-2面面距离（面面平行）：转化为点面距离

应用举例：
例1：如右 下图,在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1中,已知AB= 4, AD
=3, AA
1
= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.
(1) 求二面角C—DE—C
1
的正切值;
(2) 求直线EC
1
与FD
1
所成的余弦值.
uuruuuruuur
解：（I）以A为原点，
AB,AD,AA
1
分别为x轴，y轴,z轴的正向 建立空间直角坐标系，
则D(0,3,0)、D
1
(0,3,2)、E(3,0,0 )、F(4,1,0)、

C
1
(4,3,2)
uuuruuur uuur
于是，
DE?(3,?3,0),EC
1
?(1,3,2),FD< br>1
?(?4,2,2)

r
设法向量
n?(x,y,2)
与平面C
1
DE垂直，则有
n?DE
?
?
3x?3y?0
?
uuur
?
?
?
?x?y??1

n?EC
1
?
?
x?3y?2z?0
?
r
r
r
uuur
?n?(?1,?1 ,2),
Q
向量AA
1
?(0,0,2)与平面CDE垂直,
?n与 AA
1
所成的角
?
为二面角C?DE?C
1
的平面角

uuur
ruuur
ruuur
n?AA
1
?1?0? 1?0?2?2
ruuuur
?
Q
cos
?
?
u< br>?
|n|?|AA
1
|
2
2
1?(?4)?3?2? 2?2

6
3
1?1?4?0?0?4
?tan
?
?
（II）设EC
1
与FD
1
所成角为β，则
uuuru uur
EC
1
?FD
1
ruuur
?cos
??
uuuu
|EC
1
|?|FD
1
|
1?3? 2?(?4)?2?2
222222
?
21
14

.

例2：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠
DAB=60
0
，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F
为PD 中点。
（1）证明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值
证明：（1）∵面ABCD是菱形，∠DAB=60
0
，
∴△ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD
∴∠EDB=30
0
，∠BDC=60
0
，∴∠EDC=90
0
，
如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=
∴ P（0，0，1），E（
1
33
，0，0），B（，，0）
2
22
1
2
3
，
2
uuuruuur
1
33
∴
PB
=（，，-1），
PE
= （，0，-1），
2
2 2
uuurr
平面PED的一个法向量为
DC
=（0，1，0） ，设平面PAB的法向量为
n
=（x, y, 1)
??
3311
ruuur
2
(x,y,1)?(,,?1)?0x?y?1?0
?
??r
?
x?
n?PB
2
???
2
?
22 2
n
由
?
ruuu
∴
=（, 0, 1)
???
r
3
???
3
?
?
3
x?1?0< br>?
y?0
?
n?PE
?
(x,y,1)?(
3
,0,?1)?0
?
??
?2?2
uuurruuurr
∵
DC
·
n
=0 即
DC
⊥
n
∴平面PED⊥平面PAB
rr
2
(2)解:由(1)知平面PAB的法向量为
n
=（, 0, 1),设平面FAB的法向量为
n
1
=（x, y, -1)，
3
uuuruur
1111
33
由（1）知：F（0，0，），
FB
= （，，-），
FE
= （，0，-），
2222
22
?
ruuur
?
(x,y,?1)?(
?
?
n
1
?F B
?
由
?
ruuur
?
?
?
?
n
1
?FE
?
(x,y,?1)?(
?
?
r
1
∴
n
1
=（
-
, 0,
-
1) 3
?
311
,,?)?0
?
?
222
?
?
31
?
,0,?)?0
?
22?
311
1x?y??0
?
x??
?
222
?
?
3

31
?
y?0
x??0
?
22
.

rr
rr
n?n57
∴二面角P-AB- F的平面角的余弦值cosθ= |cos<
n
,
n
1
>| =
rr
1
?

14
n?n
1
例3：在棱长为4的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，O是正方形A
1
B
1
C
1
D
1
的中心，点P在棱CC
1
上，且
CC
1
=4CP. < br>(Ⅰ)求直线AP与平面BCC
1
B
1
所成的角的大小（结果用反三角 函数值表示）；
(Ⅱ)设O点在平面D
1
AP上的射影是H，求证：D
1
H⊥AP；
(Ⅲ)求点P到平面ABD
1
的距离.
解: (Ⅰ)如图建立坐标系D- ACD
1
,
∵棱长为4
∴A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1）
uuur
uuur
∴
AP
= (-4, 4, 1) , 显然
DC
=（0，4，0）
为平面BCC
1
B
1
的一个法向量
∴直线AP与平面BCC
1
B
1
所成的角θ的正弦值sinθ=
uuur
uuur
|cos<
AP
,
DC
>|=
16
4
2
?4
2
?1?4
2
?
4 33

33
∵θ为锐角，∴直线AP与平面BCC
1
B
1
所成的角θ为arcsin
r
(Ⅲ) 设平面ABD
1
的法向量为
n
=（x, y, 1)，
uuuur
uuur
∵
AB
=（0，4，0），
AD
1
=（- 4，0，4）
uuuur
rrr
uuur
?
y?0
由
n
⊥
AB
，
n
⊥
AD
1
得
?
∴
n
=（1, 0, 1)，
?4x?4?0
?
uuurr
AP?n32
∴点P到平面ABD
1
的距离 d =
r
?

2
n
433

33
例4：在长、宽、高分别为2，2，3的 长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中， O是底面中心，求A
1
O
与B
1
C的距离。

解：如图，建立坐标系D- ACD
1
，则O（1，1，0），
（2，2，3），C（0，2，0）
uuuruuuur
uuur
∴
AO?(?1,1,?3)

B
1
C?(?2,0,?3)

A
1
B
1
?(0,2,0)

1
r
B
1
C的公共法向量为
n?(x,y,1)
，则
A
D
1
A
1
B
1
C
1 < br>A
1
设A
1
O与
D
C
3
?
ruuur
x??
?
?
?
?x?y?3?0
??
n ?A
1
O
?
(x,y,1)?(?1,1,?3)?0
2
?
?
?
??
ruuur
?
?
?
(x,y,1 )?(?2,0,?3)?0
?
?2x?3?0
?
?
y?
3
?
n?B
1
C
?
?2
O

B
∴
r
33
n?(?,,1)
∴ A
1
O与B
1
C的距离为
22
.

33
?
uuuurr
?,,1
??
0,2,0
?
?
?
?
22
?
|A< br>1
B
1
?n|
3322
?
r
d
=

???
22
11
|n|11
?
3??
3
?
?
?
?
?
??
?1
2
?
2
??
2
?
例5：在棱长为1的正方体ABCD-A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是B
1
C
1
、C
1
D
1
的中点，求A
1到面BDFE
的距离。
解：如图，建立坐标系D- ACD
1
，则B（1，1，0），A
1
（1，0，1），E（，1，1）
uuur
uuur
uuur
1
∴
BD?(?1,?1,0)

BE?(?,0,1)

A
1
B?(0,1,?1)

2
r
n
设面BDFE的法向量为
?(x,y,1)
，则
ruuur
?
(x ,y,1)?(?1,?1,0)?0
?
?x?y?0
?
n?BD
?
x?2
???
???

?
ruuu
< br>r
??
1
?
1
(x,y,1)?(?,0,1)?0?x?1 ?0
?
y??2
?
??
?
n?BE
?2?2
r
∴
n?(2,?2,1)


1
2
D
1
A
1
F
C
1
E
B
1
D
C
A
B
uuurr
| AB?n|
?
0,1,?1
?
?
?
2,?2,1
?
|?3|
∴ A
1
到面BDFE的距离为d
=
1
r
???1

2
2
3
|n|
2?
?
?2
?
?1
附：

.