2019年高中数学《平面向量》公式

2019年高中数学《平面向量》公式

一，基本概念
1，向量的概念：有大小有方向的量称为向量。
B
a
2，向量的表示：几何 表示为有向线段（如图）；字母表示为
a
或者
AB
。
3，向量的大小：即是向量的长度（或称模），记作
a
或者
AB
。
A
4，零向量：长度为0的向量称为零向量，记为
0
，零向量方向是任意的。
5，单位向量：长度为一个单位的向量称为单位向量，一般用
e
、
i
来表示。
e?1
，
i?1

6，平行向量（也称共线向量）：方向相 同或相反的向量称为平行向量，规定零向量与任意向量平行。若
a
平行于
b
， 则表
示为
a
∥
b
。
7，相等向量：方向相同，大小相等的 向量称为相等向量。若
a
与
b
相等，记为
a
=
b< br>
8，相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量。若
a
与
b
是相反向量，则表示为
a
=
?b
；向量
AB??BA


二，几何运算
1，向量加法：
（1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示：
a
a?bB
b
a?b
C
b
A
a
（2）三角形法则（首尾 相接），可理解为：位移的合成，如图所示，
AB?BC?AC

（3）两个向量和仍是一个向量；
（4）向量加法满足交换律、结合律：
a?b?b ?a
，
(a?b)?c?a?(b?c)

（5）加法几种情况（加法不等式）：



b
ba
a
a?b
b
?
a

a?b?a?b

a?b?a?b?a?b

a?b?a?b

2，减法：
（1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图
AB?AC?CB

（2）两向量差依旧是一个向量；
（3）减法本质是加法的逆运算：
AB?AC?CB?AB?CA?CB

3，加法、减法联系：
（1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，
AB?AD ?AC
，
AB?AD?DB

（2）若有
AB?AD?AB?AD
，则四边形
ABCD
为矩形
B
A
C
B
A
D
C

- 1 -

4，实数与向量的积：
（1）实数
?
与向量a
的积依然是个向量，记作
?
a
，它的长度与方向判断如下：
当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相同；当?
?0
时，
?
a
与
a
方向相反；当
?
?0
时，
?
a?0
；当
a?0
时，
?a?0
；
?
a?
?
?a

（2）实数与向量相 乘满足：
?
(
?
a)?(
??
)a

(
?
?
?
)a?
?
a?
?
a
?
(a?b)?
?
a?
?
b

5，向量共线：
（1）向量
b
与非零向量
a
共线的充要条 件是：有且只有一个实数
?
，使得
b?
?
a

（2 ）如图，平面内
A,B,C
三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数
m,n,q< br>，
使得
qOA?mOB?nOC?0
，且
m?n?q?0
， 反之也成立。
（3）
AB?
?
AC
，则
OB?(1??
)OA?
?
OC
（证明略）
6，向量的数量积
（ 1）数量积公式：
a?b?a?b?cos
?
?cos
?
?
O
AB
C
a?b
a?b

（2）向量夹角
?
：同起点两向量所夹的角，范围是
?
?0,180

（3）零向量与任一向量的数量积为0，即
0?a?0

（4）数量积与夹角关系：
?a?b?a?b?a?b




?
00
?
a
abb
aa
bb
ab

?
?0
0

0
0
?
?
?90
0

?
?90
0

90
0
?
?
?180
0

?
?180
0

a?b?a?b

a?b?a?b?0

a?b?0

0?a?b??a?b

a?b??a?b

（5 ）投影：
b?cos
?
?
a?b
a
称为
b
在
a
的方向上的投影；
a?cos
?
?
a?b
b< br>成为
a
在
b
的方向上的投影
C
（6）重要结论：直 角三角形
ABC
中，
AC?AB?AB

（7）向量数量积的运算律：
2
AB
a?a

2< br>2
a
a
?e
（向量
e
为与
a
方向相 同的单位向量）
a?b?b?a

(
?
a)?b?< br>?
(a?b)?a?(
?
b)

(a?b)?c?
a?c?b?c

(a?b)
2
?a?2a?b?b

(a?b)
2
?a?2a?b?b

(a?b)?(a?b)?a?b



2222
22

- 2 -

三，坐标运算
1，平面向量基本定理：如果
e
1
,e
2< br>是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，有且只有一对实< br>数
?
,
?
，使得
a?
?
e
1
?
?
e
2
，我们把不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（证明略）

2，坐标定义：如图， 在直角坐标系内，我们分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
,
由向量的基本定理可知，有且只有一对实数，使得：
a
向量的（直角）坐 标，记作
a
叫做向量的坐标表示。

3，如图，已知点
A?(x< br>1
,y
1
)
，
B?(x
2
,y
2< br>)
，由向量的坐标定义可知，
j
作为基底。任作一个向量
a
，
j
y
i
(x,y)
?xi?yj
，我们把
(x, y)
叫做
?(x,y)
，其中
x
、
y
分别为向量 的横纵坐标。这个式子
y?j
a
0
x?i
y
A
B
x
OA?(x
1
,y
1
)
，
OB?(x< br>2
,y
2
)
，
AB?OB?OA?(x
2
? x
1
,y
2
?y
1
)
由此可知，一个向量
的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标，即，
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)


4，向量的加减乘坐 标运算：已知
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x2
,y
2
)

（1）加、减、乘：
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

（2）实数与向量乘积的坐标运算：
?
a?(
?
x
1
,
?
y
1
)

（3）向量模（大小）的坐标形式：
a?
0
x
x
1
?y
1
,b?x
2
?y
2

2222
（4）
a,b
夹角余弦值
co s
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
22

5，向量间关系的坐标形式，已知
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)

（ 1）
ab,(b
（2）若
a
?0)
的充要条件是，
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

?b ,
则有
a?b?0
，即
x
1
x
2
?y1
y
2
?0

a
2
?b
2
c
2
?d
2
，因为
m?n?m?n
，所以有柯西不等
6，柯西不等式的向量形式
设向量
m?(a,b),n?(c,d)
，则有
m?n?ac?bd
，
m?n?
式的向量形式：
ac?bd?



a
2
?b
2
c
2
?d
2
，化简得：
(ac?bd)
2
?(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)


- 3 -