高中数学平面向量专题复习(含例题练习)

专题八
平面向量
一、复习要求
一．向量有关概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量
的区 别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线
段，为什么？（向量可以平移）。如： 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：
0
，注意零向
量的方向是任意的；
3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与
AB
共线的单位向量是< br>?
AB
)；
|AB|
4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 叫相等向量，
相等向量有传递性；
5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向 量
记作：
a
∥
b
，规定零向量和任何向量平行。
a
、
b
叫做平行向量，
提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个
向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线
重合；
③平行向量无传递性！（因为有
0
)；
AC
共线； ④三点A、B、C
共线
?
AB、
6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相 反向量。
a
的
相反向量是－
a
。如
下列命题：（1）若< br>a?b
，则
a?b
。（2）两个向量相等的充
要条件是它们的起点相同 ，终点相同。（3）若
AB?DC
，则
ABCD
是平行四边形。（4）若ABCD
是平行四边形，则
AB?DC
。（5）
若
a?b,b? c
，则
a?c
。（6）若
ab,bc
，则
ac
。其 中正确的
是_______
二、向量的表示
1．几何表示法：用带箭头的有向线段 表示，如
AB
，注意起点在
前，终点在后；
2．符号表示法：用一个小写的 英文字母来表示，如
a
，
b
，
c
等；
3．坐标表 示法：在平面内建立直角坐标系，以与
x
轴、
y
轴方向

1

相同的两个单位向量
i
，
j
为基底，则平 面内的任一向量
a
可
表示为
a?xi?yj?
?
x,y?
，称
?
x,y
?
为向量
a
的坐标，
a
＝
?
x,y
?
叫做向量
a
的坐标表示。如果向量 的起点在原点，那么
向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三．平面向量的基本定理：如果e
1
和
e
2
是同一平面内的两个不共
线向量，那么对该 平面内的任一向量
a
，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a
=
?
1
e
1
＋
?
2
e
2
。如
（1）若
a?(1,1),b?(1,?1),c? (?1,2)
，则
c?
______
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A.
e
1
?(0,0),e
2
?(1,?2)
B.
e
1
?(?1,2),e
2
?(5,7)

C.
e
1
?(3,5),e
2
?(6,10)
D.
e
1
?(2,?3),e
2
?(,?)

（3）已 知
AD,BE
分别是
?ABC
的边
BC,AC
上的中线,且
AD?a,BE?b
,则
BC
可用向量
a,b
表示为___ __
（4）已知
?ABC
中，点
D
在
BC
边上， 且
CD?2DB
，
CD?rAB?sAC
，则
r?s
的值是 ___
?????????
??????
1
2
3
4
四．实数与向量的积：实数
?
与向量
a
的积是一个向量，记作
?< br>a
，
它的长度和方向规定如下：
?
1
?
?
a ?
?
a,
?
2
?
当
?
>0时，
?
a
的方向与
a
的方向相同，当
?
<0时，
?
a
的方向与
a
的方向
相反，当
?
＝0时，
?a?0
，注意：
?
a
≠0。
五．平面向量的数量积：
1．两个向量的夹角：对于非零向量
a
，
b
，作
OA?a,OB? b
，
?AOB?
?

?
0?
?
?
?
?
称为向量
a
，
b
的夹角，当
?
＝0时 ，
a
，
b
同向，当
?
?
时，
a
，
b
垂直。
2
2．平面向量的数量积：如果两个非零向量
a
，
b
，它们的夹
角为
?
，我们把数量
|a||b|cos< br>?
叫做
a
与
b
的数量积（或内积或
＝
?时，
a
，
b
反向，当
?
＝
点积），记作：a
?
b
，即
a
?
b
＝
abcos?
。规定：零向量与任
一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。< br>如（1）△ABC中，
|AB|?3
，
|AC|?4
，
|BC |?5
，则

2
?????????

AB?BC?
_________
（2）已知
a?(1,),b?(0,? ),c?a?kb,d?a?b
，
c
与
d
的夹角
为
?
4
1
2
1
2
，则
k
等于____
（3）已知
a?2,b?5,ab??3
，则
a?b
等于____
（4）已知
a,b
是两个非零向量，且
a?b?a?b
，则
a与a? b
的夹角为____
3．
b
在
a
上的投影为
|b |cos
?
，它是一个实数，但不一定大
于0。如
已知
|a|?3
，
|b|?5
，且
a?b?12
，则向量
a
在向量
b
上的
投影为______
4．
a
?
b
的几何意义：数量积
a
?
b
等于
a
的模
|a|与
b
在
a
上
的投影的积。
5．向量数量积的性质：设 两个非零向量
a
，
b
，其夹角为
?
，
则：
①
a?b?a?b?0
；
②当
a
，
b
同 向时，
a
?
b
＝
ab
，特别地，
2
??< br>??
??
a?a?a?a,a?a
；当
a
与
b
反向时，
a
?
b
＝－
ab
；当
?
b< br>不同向，
a?b?0
是
?
为锐角的必要为锐角时，
a
?
b
＞0，且
a、
b
不反向，
a?b?0
是非充 分条件；当
?
为钝角时，
a
?
b
＜0，且
a、?
为钝角的必要非充分条件；
a?b
③非零向量
a
，
b
夹角
?
的计算公式：
cos
?
?
；
ab
④
|a?b|?|a||b|
。如
（1）已知
a?(
?< br>,2
?
)
，
b?(3
?
,2)
，如果
a
与
b
的夹角为锐
角，则
?
的取值范围是______
??????
13
（2）已知
?OFQ
的面积为
S
，且
OF?FQ?1
，若
?S?
，
22
则
OF,F Q
夹角
?
的取值范围是_________
六．向量的运算：

3
??????
??
??
22

1．几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边
形法则” 只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用
“三角形法则”：设
AB?a,BC?b
，那么向量
AC
叫做
a
与
b
的
和，即a?b?AB?BC?AC
；
②向量的减法：用“三角形法则”：设
AB?a, AC?b,那么a?b?AB?AC?CA
，由减向量的终点指向
被减向量的终点。注意：此处 减向量与被减向量的起点相同。如
化简：①
AB?BC?CD?
___；②
A B?AD?DC?
____；
③
(AB?CD)?(AC?BD)?
____ _
2．坐标运算：设
a?(x
1
,y
1
),b?(x2
,y
2
)
，则：
①向量的加减法运算：
a?b?( x
1
?x
2
，
y
1
?y
2
)。如
（1）已知点
A(2,3),B(5,4)
，
C(7,10)，若
AP?AB?
?
AC(
?
?R)
，
则当< br>?
＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上
1
??
（2）已 知
A(2,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy)
，
x,y?(?, )
，
222
则
x?y?

②实数与向量的积 ：
?
a?
?
?
x
1
,y
1
??
?
?
x
1
,
?
y
1
?。
③若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
，即一个向
量的坐标等于表示 这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐
标。如
设
A(2,3),B(?1,5)
，且
AC?AB
，
AD?3AB
，则C、D的坐标
分别是_ _________
④平面向量数量积：
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
。如
已知向量
a
＝（sinx，cosx）,
b
＝（sinx，sinx）,
c
＝
?
3
??< br>（－1，0）。（1）若x＝，求向量
a
、（2）若x∈
[?,]
，< br>c
的夹角；
3
84
1
函数
f(x)?
?a?b
的最大值为，求
?
的值
2
⑤向量的模：
|a| ?x
2
?y
2
,a?|a|
2
?x
2
?y
2
。如
已知
a,b
均为单位向量，它们的夹角为
60，那么
|a?3b|
＝
_____
⑥两点间的距离：若
A?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则

4
2
1
3

|AB|?
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1?
22
。
七．向量的运算律：
??
2．结合律：
a ?b?c?
?
a?b
?
?c,a?b?c?a?
?
b?c< br>?
?
?
a
?
?b?
?
?
a?b?
?a?
?
?
b
?
；
3．分配律：
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a,< br>?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b
?
a?b
?
?c?a?c?b?c
。
1．交换律：
a? b?b?a
，
??
a?
?
??
?
a
，a?b?b?a
；
????????????
，
，
如下列命题中：①
a?(b?c)?a?b?a?c
；②
a?(b?c)?(a?b)?c
；
③
(a?b)
?|a|
2

2
???
???
??
??
?
?2|a|?|b|?|b|
；④ 若
a?b?0
，则
a?0
或
b?0
；⑤若
2
a?b?c?b,
则
a?c
；⑥
a?a
；⑦
22
2
2
a?b
a
2
?
b
a
；⑧
(a?b)
2
? a?b
；
22
⑨
(a?b)
2
?a?2a?b?b
。其中正确的是______
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对
于 一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，
两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不 能两边同除以一个向
量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）
向量 的“乘法”不满足结合律，即
a(b?c)?(a?b)c
，为什么？
八．向量平行 (共线)的充要条件：
ab?a?
?
b
?(a?b)
2
?( |a||b|)
2
?x
1
y
2
?y
1
x< br>2
＝0。如
(1)若向量
a?(x,1),b?(4,x)
，当x
＝_____时
a
与
b
共线且方
向相同
（ 2）已知
a?(1,1),b?(4,x)
，
u?a?2b
，
v?2 a?b
，且
uv
，
则
x＝______

（3） 设
PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)
，则
k＝_____
时，
A,B,C共线
九．向量垂直的充要条件：
a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|

?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.特 别地
(
AB
AB
?
AC
AC
5
)?(
AB
AB
?
AC
AC
)
。如

(1)已知
OA?(?1,2),OB?(3,m)，若
OA?OB
，则
m?

（2）以原点O和A (4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，
?B?90?
，则点B的坐标是______ __
（3）已知
n?(a,b),
向量
n?m
，且
n? m
，则
m
的坐标是
________

十．向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注
意运用；
b
同 向或有（2）
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
，特别地，当
a、< br>0
?
|a?b|?|a|?|b|

a、 b
；当反向或有< br>?
||a|?|b||?|a?b|
0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
；当
a、 b
不共线
?
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
(这些和实数比较类似).
（3 ）在
?ABC
中，①若
A
?
x
1
,y
1< br>?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
，则其
?
x?x?xy ?y?y
3
?
重心的坐标为
G
?
123
,
12
?
。如
33
??
若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、 （-3，4）、（-1，-1），
则⊿ABC的重心的坐标为_______

②< br>PG?
1
(PA?PB?PC)
?
G
为
?ABC的重心，特别地
3
PA?PB?PC?0?P
为
?ABC
的重心 ；
③
PA?PB?PB?PC?PC?PA?P
为
?ABC
的垂心；
④向量
?
(
AB
?
AC
)(
?
? 0)
所在直线过
?ABC
的内心(是
|AB||AC|
?BAC的角平分线所在直线)；
（4）向量
PA、 PB、 PC
中三终点
A、B、C
共线
?
存在实数
?
、
?
使得
PA?
?
PB?
?
PC
且
?
?
?
?1
.如
平面直角坐标系中，
O
为坐标原点，已知两点
A(3,1 )
,
B(?1,3)
,
若点
C
满足
OC?
?
1
OA?
?
2
OB
,其中
?
1
,
?
2
?R
且
?
1
?
?
2
?1
,则
点
C
的轨迹是_______
四：同步练习
???
??????

6

2012年高考文科数学解析分类汇编：平面向量
一、选择题
1 ．（2012年高考（重庆文））
设
x?R
,向量
a?(x,1),b?(1,?2),
且
a?b
,
（ ） 则
|a?b|?

A．
5


B．
10
C．
25
D．
10

3 ．（ 2012年高考（天津文））
在
?ABC
中,
?A?90?
,
AB?1
,设
点
P,Q
满足
AP?
?
AB,AQ ?(1?
?
)AC,
?
?R
.若
BQ?CP??2
,则
?
?


A．
（ ）
1

3
B．
2

3
C．
4

3
D．2
4 ．（2012年高考（四川文））
设
a
、< br>b
都是非零向量,下列四个条件中,使
ab
成立的充分条件是
?
|a||b|
A．
|a|?|b|
且
ab
B．
a??b

C．
ab

D．
a?2b

5 ．（2012年高考（辽宁文））
已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a ·b =
（ ）
1,则x =
A．—1 B．—
（ ）
1

2
C．
1

2
D．1
6 ．（2012年高考（ 广东文））
对任意两个非零的平面向量
?
和
?
,定义
??
?
?
?
?
?
,若平面向量
a
、b
满足
a?b?0
,
a
与
b
的夹角
?
?
?
?
2
（ ）
?
n
?
?< br>?
?
?
?
?
0,
?
,且
ab
和
ba
都在集合
?
n?Z
?
中,则
ab?

4
??
?
A．
1

2
B．1 C．
35
D．
2

2

7

7 ．（2012年高考（广东文））
(向量)若向量
AB ?
?
1,2
?
,
BC?
?
3,4
?
,则
AC?

A．
?
4,6
?
B．
?
?4,?6
?

C．
?
?2,?2
?

D．
?
2,2
?

9 ．（2012年高考（大纲文））< br>?ABC
中,
AB
边的高为
CD
,若
CB?a
,
CA?b
,
a?b?0
,
|a|?1
,
|b| ?2
,则
AD?

A．
12
3
a?
1
3
b
B．
a ?
2
33
b
C．
3
a?
3
b
D．
4
a?
4
b

55

55
二、填空题
10．（2012年高考（浙江文））
在△ABC中,M是 BC的中点,AM=3,BC=10,则
AB?AC
=________.
12．（ 2012年高考（课标文））
已知向量
a
,
b
夹角为
45< br>0
,且
|
a
|=1,|
2a?b
|=
10< br>,则|
b
|=_______.
14．（2012年高考（湖南文））
如图4,在平行四边形ABCD中 ,AP⊥BD,垂足
为P,
AP?3
且
APAC
= _____.
AD
P
B
C

15．（2012年高考（湖北文））
已知向量
a?(1,0),b?(1,1)
,则
(Ⅰ)与
2a?b
同向的单位向量的坐标表示为____________;
(Ⅱ)向量
b?3a
与向量
a
夹角的余弦值为____________.
16．
（2012年高考（北京文））
已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边
上的动点,则
DE?CB
的值为________.

8
（ ）
（ ）

17．
（201 2年高考（安徽文））
设向量
a?(1,2m),b?(m?1,1),c?(2,m)
,
若
(a?c)
⊥
b
,则
a?
_____
.

9